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专题 12 阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题
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题型01 阿波罗尼斯圆..................................................................................................................................................1
题型02 蒙日圆............................................................................................................................................................13
题型 01 阿波罗尼斯圆
【解题规律·提分快招】
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点 ，设 点在同一平面上且满足 ，当 且 时， 点的轨迹是个圆，称
之为阿波罗尼斯圆．（ 时 点的轨迹是线段 的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设 ．若 （ 且 ），则点 的轨迹方程是
，其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆．
证明：由 及两点间距离公式，可得 ，
化简可得 ①，
（1）当 时，得 ，此时动点的轨迹是线段 的垂直平分线；
（2）当 时，方程①两边都除以 得 ，化为标准形式即为：
，∴点 的轨迹方程是以 为圆心，半径为 的圆．图① 图② 图③
【定理】 为两已知点， 分别为线段 的定比为 的内外分点，则以 为直径的圆 上
任意点 到 两点的距离之比为 ．
证明：以 为例．如图②，设 ， ，则 ，
．过 作 的垂线圆 交于 两点，由相交弦定理及勾股定理得
，于是 ．
同时在到 两点距离之比等于 的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆 上任意一点 到 两点的距离之比恒为 ．同理可证 的情形．
3.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当 时，点B在圆 内，点A在圆 外；当 时，点A在圆 内，点B在圆 外．
【结论2】因 ，故 是圆 的一条切线．若已知圆 及圆 外一点A，可以作出与之对应
的点B，反之亦然．
【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 ，面积为 ．
【结论4】过点 作圆 的切线 （ 为切点），则 分别为 的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分 和外分 所得的两个分点，如图所示， 是 的
内分点， 是 的外分点，此时必有 平分 ， 平分 的外角．
证明：如图①，由已知可得 （ 且 ）， ，又
，
平分 ．由等角的余角相等可得 ，
平分 的外角．
【结论6】过点 作圆 不与 重合的弦 ，则AB平分 ．
证明：如图③，连结 ，由已知 （ 且 ），又，
平分 ．
平分 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发
现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的
名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点 分别是抛物线 和
上的动点，若抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
【答案】B
【分析】将圆 用阿氏圆表示，得到 ，将问题转化为求 最小值问
题，利用二次函数求最值即可得到．
【详解】易知抛物线 的焦点 ， 不在圆E上，
将圆 变形为：
即 ，
，当且仅当 三点共线时取等号；
设 ，则 ，当且仅当 时取等号；
所以 ，故
所以 的最小值为 ，
故选：B．
【点睛】本题解题的关键是借助题目的背景提示，将圆 用阿氏圆表示，分别用几何
法和代数法求最值．
2．（24-25高三上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 、 的距离
之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 中，
、 ，点 满足 ．设点 的轨迹为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．轨迹 的方程为
B． 面积最大值为C．若 ，则 的最大值为
D．在 上存在点 ，使得
【答案】D
【分析】对于A，通过直接法求出点 的轨迹方程即可判断；对于B，数形结合可判断；对于C，设
，转化为直线 与曲线 有公共点，结合直线与圆的位置关系可判断；对于D，求出
点 的轨迹方程，转化为两圆的位置关系即可判断.
【详解】设P(x,y)， 不与 、 重合，
由A(−2,0)、B(4,0)，有 ， ，
，即 ，化简得 ，
所以点 的轨迹曲线 是以 为圆心，半径 的圆，如图所示，
对于A选项，由曲线 的方程为 ，选项A正确；
对于B选项，由图可知，当 时，点 到直线 的距离取最大值 ，
所以， ，B对；
对于C选项，设 ，可得 ，
由题意可知，直线 与圆 有公共点，则 ，
解得 ，故 的最大值为 ，C对；
对于D选项，设M(x,y)，由 得 ，
化简得 ，因为 ，
所以 上不存在点 ，使得 ，故D错误.故选：D.
3．（24-25高三上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 ， 及动
点 ，若 （ 且 ），则点 的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼
斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知 ， ，直线 ： ，直线 ：
，若 为 ， 的交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由已知可得 ，则点 的轨迹是以 为直径的圆，除去 点、 点，得到的轨迹方程为
， 由阿氏圆性质找到点 ，将 转化为 ，问题转化为求解到两定点
距离之和最小即可.
【详解】当 时， ： ， ： ，此时交点为 ；
当 时，由直线 ： ，斜率为 ，
由直线 ： ，斜率为 ， ，
又 ： ， 直线 恒过 ，
： ， 直线 恒过 ，
若 为 ， 的交点，则 ，
所以点 的轨迹是以 为直径的圆，除去 点、 点.
综合以上两种情况，点 的轨迹是以 为直径的圆，除去 点，
则圆心为 的中点 ，圆的半径为 ，
故 的轨迹方程为 ，即 ，
又O(0,0)， ，易知 ， 在该圆内，
又由题意可知圆 上一点 满足 ，取 ，
则 ，满足 .下面证明任意一点M(x,y)都满足 ，即 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
如图，当且仅当 ， ， 三点共线，且 位于 ， 之间时，等号成立，
即 的最小值为 .
故选：
【点睛】思路点睛：利用阿氏圆的定义取点 ，构造 ，转化线段和结合三角形三边关系计算
即可.
二、多选题
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两
个定点的距离之比为常数 ，且 ，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点 到点
与点 的距离之比为 ，则（ ）
A．点 的轨迹方程为
B．点 到直线 距离的最小值为
C．点 到圆 上的点的最大距离为
D．若到直线 的距离为 的点 至少有3个，则
【答案】ACD
【分析】选项A根据距离比化简可得；选项B转化为圆心的直线的距离减半径可判断；选项C转化为两圆圆心距加两个半径可得；选项D转化为圆心到直线的距离小于或等于 可得.
【详解】设 点坐标为 ，由题意可得 ，
化简可得 ，故A正确；
在圆 上，其圆心坐标为 ，半径为 ，
故点 到直线 的距离的最小值为圆心 到直线的距离减半径，即为
，故B错误；
点 到圆 上的点的最大距离为 到 的距离加两个半径，即为
，故C正确；
若到直线 的距离为 的点 至少有3个，
设圆心 到直线 的距离为 ，则 ，
即 ，可得 ，故D正确，
故选：ACD
5．（24-25高三上·江苏连云港·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧
几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系
中， .点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 ，下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的方程为
B．过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率范围是
C．曲线 上的点到直线 的最小距离为
D．过点 作曲线 的一条切线，切点为F，则 等于
【答案】ABD
【分析】设P(x,y)，根据 求得曲线 的轨迹方程，根据点到直线的距离公式来对选项进行分析，
从而确定正确答案.
【详解】设P(x,y)，由 ，得 ，而 ，
所以 ，
整理得 ，所以A选项正确.
B选项，圆 的圆心为 ，半径为 ，
设直线 的方程为 ，
(2,0)到直线 的距离 ，
，两边平方并化简得 ，
解得 ，所以直线 的斜率范围是 ，B选项正确.
C选项，(2,0)到直线 的距离为 ，
所以曲线 上的点到直线 的最小距离为 ，C选项错误.
D选项， ， ， ，
所以 ，D选项正确.
故选：ABD【点睛】思路点睛：
通过设定比值来求解轨迹：首先设定两点之间的距离之比，并将其代入直角坐标系中，推导出曲线的方程.
这一步奠定了解题的基础.
利用距离公式分析直线与曲线关系：通过设定直线方程并利用点到直线的距离公式，求解出符合条件的斜
率范围，确保直线与曲线存在公共点.
结合几何关系确定切线条件：利用点和斜率的关系，结合几何推导，确定切线条件，从而判断选项的正确
性.
三、填空题
6．（24-25高三上·福建厦门·期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平
面内到两个定点 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字
命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中， ， ，点 满足
，则点 的轨迹方程为 ．
【答案】
【分析】首先设出点的坐标，然后列出等式，最后化简所得的等式可得轨迹方程.
【详解】由题意可设点 ，由 ， ， ，得 ，
化简得 ，即 .
故答案为： .
7．（23-24高三上·海南海口·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出
了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面
内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内
有两点 和 ，且该平面内的点 满足 ，若点 的轨迹关于直线
对称，则 与 之间的关系式为 .
【答案】
【分析】根据求曲线方程的求法求出动点的轨迹方程，再结合圆的性质，即可求解.【详解】解：设 ，因为 和 ，且该平面内的点 满足 ，
∴ ，
∴ ，
化简可得 ，
∴点 的轨迹方程为
∵ 点的轨迹关于直线 对称，
∴圆心 在此直线上，∴ .
故答案为： .
8．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 的距离之比
为常数 的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体
中， ，点 在棱 上， ，动点 满足 ，若点
在平面 内运动，则点 对应的轨迹的面积是 ； 为 的中点，则三棱锥
体积的最小值为 .
【答案】 ； ．
【分析】以 为原点， 为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，用坐标表示两点间距离转
化后可得轨迹方程，从而得轨迹求得面积，利用空间向量法求得点 到平面 的距离，并结合平面上
圆的性质求得距离的最小值，从而得棱锥体积最小值．
【详解】如图，以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，则
， ， ， ， ， ， ， ，
在平面 内，
设 ，则由 得 ，
化简得 ，
所以 点轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，面积为 ，
在长方体 中， ， ，，
设平面 的一个法向量是 ，
则 ，取 得 ，
，
到平面 的距离为 ，
满足 ，
所以 的最小值等于 ，
从而 到平面 的距离的最小值为 ，
∴三棱锥 体积的最小值为 ．
故答案为： ； ．
【点睛】方法点睛：在涉及到空间两点间的距离问题时，如果与长方体、正方体有关的图形时，可以建立
空间直角坐标系，利用空间向量法（把平面解析几何法类比于空间解析几何法）求空间的距离、角度．把
几何问题用计算方法求解．
四、解答题
9．（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点
距离之比为常数 且 的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，
，动点 满足 ，设动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)若直线 与曲线 交于 两点，求 ；
(3)若曲线 与 轴的交点为 ，直线 与曲线 交于 两点，直线 与直线 交于点 ，
证明：点 在定直线上．【答案】(1)
(2)
(3)证明见解析
【分析】（1）利用轨迹法，代入两点间距离公式，即可求解；
（2）代入直线与圆相交的弦长公式，即可求解；
（3）首先直线 与圆 的方程联立，并利用坐标表示直线 和 的方程，并利用韦达定理表示 ，
即可求解交点坐标，
【详解】（1）设 ，因为 ，所以 ，
即 ，整理得 ，
所以曲线 的轨迹方程为 ．
（2）曲线 的圆心到直线 的距离 ，
所以 ．
（3）证明：设 ．
联立 得 ，
．
设 ，所以直线 的方程为 ，直线 的方程为 ．
因为直线 与直线 交于点 ，所以则
，即 ，解得 ，
所以点 在直线 上．
【点睛】关键点点睛：本题的关键是坐标法的应用，利用韦达定理表示 .
题型 02 蒙日圆
【解题规律·提分快招】
一、蒙日圆
1.蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半
轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．
证明：设椭圆的方程为 ，则椭圆两条互相垂直的切线 交点 的轨迹是蒙日
圆： ．①当题设中的两条互相垂直的切线 斜率均存在且不为 时，可设 （
且 ），过 的椭圆的切线方程为 ，由 得
，
由其判别式值为 ，得 ，
是这个关于 的一元二次方程的两个根， ，
由已知 点 的坐标满足方程 ．
②当题设中的两条互相垂直的切线 有斜率不存在或斜率为 时，可得点 的坐标为 或，此时点 也在圆 上．
综上所述：椭圆 两条互相垂直的切线 交点 的轨迹是蒙日圆：
．
2.蒙日圆的几何性质
【结论1】过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线 ，则 ．
证明：设 点坐标 ，由 ，得
，由其判别式的值为0，
得 ，
， 是这个关于 的一元二次方程的两个根， ， ，
， ．
【结论2】设 为蒙日圆O： 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，交椭圆于点
为原点，则 的斜率乘积为定值 ．
【结论3】设 为蒙日圆O： 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为
为原点，则 的斜率乘积为定值 ，且 的斜率乘积为定值
（垂径定理的推广）．
【结论4】过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线，O为原点，则 平分
椭圆的切点弦 ．
证明： 点坐标 ，直线 斜率 ，由切点弦公式得到 方程 ， ，
，由点差法可知， 平分 ，如图 是中点．【结论5】设 为蒙日圆 上任一点，过点P作椭圆 的两条切线，交蒙
日圆O于两点C，D，则 的斜率乘积为定值 ．
【结论6】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 为原点，则 的斜率乘积为定值： ．
【结论7】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 为原点，则 的最大值为 ， 的最小值为 ．
【结论8】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 ，则 的最大值为 的最小值为 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必
在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.
若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的蒙日圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据离心率公式得到 ，再利用给定结论求解即可.
【详解】由题可知， ，解得 ，
则 ，则圆半径的平方等于 ，且圆心为原点，
则圆的方程为 .故选：B.
2．（24-25高三上·湖北·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几
何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同
心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 的蒙日圆方程为 .若圆
与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】首先明确蒙日圆的方程是根据椭圆方程得出，对于椭圆 ，其蒙日圆方程为
.本题中先求出椭圆的蒙日圆方程，再根据圆与圆的位置关系，即两圆有且仅有一个公共点
时的情况来求解 的值.
【详解】对于椭圆 ，其中 ， ，根据蒙日圆方程 ，
可得蒙日圆方程为 ，其圆心坐标为 ，半径 .
圆 ，其圆心坐标为 ，半径 .
因为两圆有且仅有一个公共点，所以两圆内切或外切.
当两圆外切时，两圆的圆心距等于两圆半径之和.
两圆的圆心距 ，由 ，即 ， ，两边平方
得 ，解得 ， .
当两圆内切时，两圆的圆心距等于两圆半径之差的绝对值.
由 ，即 ，两边平方得 ， （无解）.
所以 的值为 .
故选：B.
3．（2024·广东·二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交
点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设 为椭圆 的一个外切
长方形（ 的四条边所在直线均与椭圆 相切），若 在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则 的面
积为（ ）
A． B．26 C． D．
【答案】C
【分析】根据题意求出椭圆C的蒙日圆方程，求出M在第一象限的顶点P的坐标，设出过P且与椭圆C相切的直线方程，与椭圆联立，再利用点到直线距离公式即可求解.
【详解】依题意，直线 ， 都与椭圆 ，且它们围成四边形是矩形，
于是该矩形是椭圆 的蒙日圆内接矩形，因此该蒙日圆的圆心为 ，半径 ，
因此该椭圆 的蒙日圆方程为 ，
M为椭圆 的一个外切长方形，设其四个顶点分别为P、Q、 、 ，
其中P在第一象限，显然P与 关于原点 对称，Q与 关于原点对称，
而 P点纵坐标为2，则其横坐标为3，即 ，显然M的四条边所在直线斜率存在且不为0，
设过P且与椭圆C相切的直线为 ，由 消去y并整理，
得 ，由 ，
化简得 ，解得 或 ，不妨取直线PQ方程为 ，即 ，
直线 的方程为 ，即 ，
O点到直线PQ的距离为 ，O点到直线 的距离为 ，
所以M的面积为 .
故选：C
【点睛】关键点点睛：根据蒙日圆的定义求出蒙日圆的方程，并求出第一象限内的点是解决问题的关键.
4．（24-25高三上·天津滨海新·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之
父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该
椭圆的蒙日圆．若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两
条切线，分别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）①椭圆 的离心率为
② 到 的左焦点的距离的最小值为
③ 面积的最大值为
④若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】根据定义，确定蒙日圆的点结合椭圆离心率计算判断①；根据定义求得 ，再求出最
大面积判断③；设出点M的坐标并求出其横坐标范围计算判断②；根据定义确定点A，B的关系，再利用
“点差法”计算判断④.
【详解】对于①，直线 ， 与椭圆 都相切，且这两条直线垂直，因此其交点 在圆 上，
即有 ，则 ，椭圆 的离心率 ，①正确；
对于③，依题意，点 均在圆 上，且 ，因此线段 是圆 的直径，
即有 ，显然圆 上的点到直线 距离最大值为圆 的半径 ，即点 到直线 距离最大
值为 ，
因此 面积的最大值为 ，③正确；
对于②，令 ，有 ，令椭圆 的左焦点 ，有 ，
则 ，而 ，
因此 ，即 ，
所以 到 的左焦点的距离的最小值为 ，②正确；对于④，依题意，直线 过原点O，即点A，B关于原点O对称，设 ，有 ，
于是得 ，
又由①知， ，得 ，
所以 ，④正确，
所以说法正确的有①②③④.
故选：D.
【点睛】关键点点睛：解题关键是对椭圆的蒙日圆及椭圆性质应用， 及点差法得出斜率积等的
应用.
二、多选题
x2 y2
5．（24-25高三上·江西·期中）已知椭圆C: + =1(a>b>0)，我们把圆 称为 的蒙日
a2 b2
圆， 为原点，点 在 上，延长 与 的蒙日圆交于点 ，则（ ）
A． 的最大值为 B．若 为 的中点，则 的离心率的最大值为
C．过点 不可能作两条互相垂直的直线都与 相切 D．若点(2,1)在 上，则 的蒙日圆面积最小
为
【答案】AD
【分析】根据圆及椭圆的几何性质判断A，根据 为 的中点建立关于 的齐次不等式，从而得到离心
率的最值可判断B，举反例排除C，利用点在椭圆上与基本不等式“1”的妙用可判断D.
【详解】对于A，因为圆 的圆心为O(0,0)，半径为 ，
x2 y2
又椭圆C: + =1(a>b>0)，所以 ，
a2 b2
所以 ，故A正确；对于B，若 为 的中点，则 ，
则 ，故 ，B错误；
对于C，取 ，则直线 ， 互相垂直，且都与 相切，C错误；
对于D，因为点(2,1)在 上，所以 ，
则 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的蒙日圆面积最小为 ，D正确.
故选：ABD.
6．（23-24高三上·广东广州·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的
两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
， ， 分别为椭圆的左、右焦点，直线 的方程为 ， 为椭圆 的蒙日圆
上一动点， ， 分别与椭圆相切于A， 两点， 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的蒙日圆方程为
B．记点A到直线 的距离为 ，则 的最小值为0
C．一矩形四条边与椭圆 相切，则此矩形面积最大值为
D． 的面积的最大值为
【答案】ABD
【分析】对于A：当 斜率不存在时可得 点坐标，斜率存在时，将切线方程与椭圆方程联立，利
用 和垂直关系可构造等式求得 点轨迹；对于B：利用椭圆定义将 转化为 ，
由平面几何知识可知 最小值为点 到直线 的距离，结合点到直线距离公式可运算求解；对于C：
根据矩形为蒙日圆的内接矩形，结合基本不等式运算求解；对于D：推导可得过椭圆外一点的椭圆的切点
弦直线方程为 ，当 时，可求得 的值；当 时，将直线与椭圆方程联立可得韦达
定理的结论，结合弦长公式和点到直线距离公式可化简得到 ，换元结合二次函数最值
的求法可求得结果.【详解】由题意可知： ，
对于选项A：当直线 一条斜率为 ，另一条斜率不存在时，则 ；
当直线 斜率均存在时，设 ，切线方程为： ，
联立方程 得： ，
由 ，
整理可得： ，则 ，
又因为 ，则 ，即 ，整理得 ，
所以 点轨迹为 ；
且 也满足 ，
所以蒙日圆的方程为 ，故A正确；
对于选项B，因为 为椭圆 上的点，则 ，即
可得 ，
因为 的最小值为点 到直线 的距离，且 ，
可知 ，
所以 ，故B正确；
对于选项C：因为矩形四条边均与 相切，可知该矩形为蒙日圆的内接矩形，
设矩形的长为 ，宽为 ，蒙日圆的半径 ，则 ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，所以此矩形面积最大值为8，故C错误；
对于选项D：设 位于椭圆上，下证：在A处的切线方程为 ，
由 ，即 ，可知 在直线 上，
联立方程 ，消去y得 ，
即 ，解得 ，即直线 与椭圆相切，
所以在点A处的切线方程为 ，
同理可知：在点 处的切线方程为 ；
设 ，则 ，可知 坐标满足方程 ，
即切点弦 所在直线方程为： ；
当 时， ，此时 所在直线方程为： ，
可得 ， ；
当 时，由 得： ，
由A知： ，可得 ，
设 ，则 ， ，
，
又原点 到直线 的距离 ，，
令 ，则 ，
可得 ，当且仅当 时，等号成立，
综上所述： 的面积的最大值为 ，故D正确.
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：本题考查圆锥曲线中的新定义问题的求解，解题关键是能够根据蒙日圆的定义，结合
点在蒙日圆上，得到蒙日圆的标准方程，从而结合圆的方程来判断各个选项.
三、填空题
7．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双
曲线 的蒙日圆上一点 作 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 两点，若 ，则
的周长为 .
【答案】 /
【分析】结合双曲线方程求出 与 ，由蒙日圆定义可得圆的方程，再由切线互相垂直可得 为直径，解
直角三角形可得.
【详解】由双曲线 可知， .
则 的蒙日圆圆心为 ，半径为 ，其蒙日圆方程为 ，
由已知可得 ，
所以 为圆的直径，所以 .
又 ，所以 .
所以 的周长为 .
故答案为： .8．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发
现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日
圆”.已知椭圆 ，若直线 上存在点 ，过 可作 的两条互相垂直的
切线，则椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点
问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解.
【详解】对于椭圆 ，
令 ，可得 ，令 ，可得 ，
由 ，可知点 在“蒙日圆”上，
所以椭圆 的“蒙日圆”的半径为 ，
所以“蒙日圆”方程为 ，
因为点 在椭圆的“蒙日圆”上，又因为点 在直线上，
所以直线 和“蒙日圆”有公共点.
即圆心 到直线 的距离不大于半径，
即 ，所以 ，则 ，
所以椭圆离心率 ，所以 ，即椭圆离心率的取值范围是 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆
的半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题.
9．（23-24高三上·广东江门·期中）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上
任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国
数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆
上一动点，过 和原点作直线 与椭圆 的蒙日圆相交于 ， ，则 .【答案】
【分析】令 ，利用椭圆的定义可得 ，再由平面向量的知识可得
，从而得到 ；结合“蒙日圆”的定义可知 ，由此得到
，故得解.
【详解】因为椭圆 ，所以 ，故 ， ，如图，令 ，
因为 ，所以 ，即 ，
结合图象，由平面向量的知识可得 ，故 ，
两式相加得 ，即 ，即 ，
由“蒙日圆”的定义，当我们过椭圆上下左右四个顶点作椭圆的切线时，易知椭圆的“蒙日圆”的直径为
这四条切线所围成的矩形的对角线，故由勾股定理得 ，
所以 ，故 ，
.
故答案为： .
四、解答题
10．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是以椭圆的中心为圆心， （ 为椭圆的长半轴长， 为
椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆 的左、
右焦点，椭圆 的蒙日圆为圆 .
(1)求圆 的方程；
(2)已知点 是椭圆 上的任意一点，点 为坐标原点，直线 与圆 相交于 、 两点，求证：
；
(3)过点 作互相垂直的直线 、 ，其中 交圆 于 、 两点， 交椭圆 于 、 两点，求四边
形 面积的取值范围.
【答案】(1)
(2)证明见解析；
(3)
【分析】（1）根据蒙日圆定义及椭圆方程直接得解；
（2）设A(x ,y )，根据椭圆方程，焦点坐标直接计算 ，再由圆的几何性质计算 即可
0 0
得证；
（3）分类讨论，当斜率存在且不为0时，根据 可得 ，分别求出 ，利用换元
法求出 的取值范围即可.
【详解】（1）椭圆 ： 中 ， ，
所以所求圆 的方程为 ；
（2）如图，
设A(x ,y )，则 ，
0 0
又 、 ，，
同理 ，
，
.
（3）①当 斜率不存在， 斜率为0时， 方程为 ，原点到 的距离为 ，
所以 ， ，
所以四边形 面积 ；
②当 斜率存在， 斜率不为0时，设 的方程为 ，
则 的方程为 即 ，
则原点到 的距离为 ，
所以 ，
设M(x ,y )、N(x ,y )，联立 与 的方程，即 ，
1 1 2 2
消去 得 ，
由于 在椭圆 内部，所以直线 与 必相交且 ，
所以
，
因为 ,
所以四边形 面积
，令 ，则 ，
故
，
， ， 令 ，则 ，
则 在 单调递减，
当 时 ；当 时， ，所以 .
综上： .
【点睛】关键点点睛：表示出四边形的面积 后，能够恰当经过两次换元，转化为二次函数
求最值，是解题的关键，对运算能力要求较高.
一、单选题
1．（24-25高三上·福建厦门·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出
了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内
到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有
两点 和 ，且该平面内的点P满足 ，若点P的轨迹关于直线 对称，
则 的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】设点 ，运用直接法求得点P的轨迹方程为： ，依题意圆心 在已
知直线上，代入化简即得.
【详解】设点 ，则由 可得， ，
两边取平方， ，
化简得： ，即 ，
依题意，其圆心 在直线 上，可得 ，故 .
故选：B.
2．（23-24高三上·河南南阳·期中）如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆
锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也
叫蒙日圆．双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设出过点 的切线方程，并与双曲线方程联立，利用判别式为零得到关于 的方程，方程的根即
为 ，通过韦达定理可得点 的轨迹方程，进而可求面积.
【详解】不妨设 ，则过点 的双曲线切线方程为 ， 存在且不为零，
联立 ，
消去 得 ，
所以 ，
整理得
可知 为关于 的方程 的两个根，
且 ，
即 ，整理得 ，
即点 的轨迹方程为 ，
即双曲线 的蒙日圆方程为 ，半径为
面积为 .
故选：A.
3．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰
的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意，椭圆长轴长 ，取线段AM的中点 ，连接 并延长交AB
于点Q，过Q作 交底面圆于点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长
，由相似三角形求得 ，从而可解离心率.
【详解】如图，
圆锥的轴截面 是等腰直角三角形， 于点O，过点A作平面截该圆锥，
不妨设 ，则 ， ，
所以椭圆长轴长 ，
取线段AM的中点 ，连接 并延长交AB于点Q，过Q作 交底面圆于点E，F，
连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长 ，
由椭圆的对称性可知 ，取BQ的中点N，连接MN，
则 ， ， ，
因此 ，即 ，
显然Q，N是线段AB的两个三等分点，即 ， ，
由相交弦定理得 ，解得 ，于是 ， ，
所以椭圆的离心率 .
故选：B.
【点睛】关键点点睛：取线段AM的中点 ，连接 并延长交AB于点Q，过Q作 交底面圆于
点E，F，连接PE，PF分别交椭圆于点G，H，则椭圆短轴长 ，构建相似三角形求解.
4．（24-25高三上·浙江杭州·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，
他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的
蒙日圆.若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分
别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点，则下列结论错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 面积的最大值为
C． 到 的左焦点的距离的最小值为
D．若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
【答案】D
【分析】求椭圆的离心率，根据直线与椭圆的位置关系求参数或范围、求椭圆中的最值问题，根据题意结
合圆，椭圆的知识并结合直线与椭圆位置关系，韦达定理可逐项求解.
【详解】A：依题意，过椭圆 的上顶点作 轴的垂线，过椭圆 的右顶点作 轴的垂线则这两条垂线的交
点在 上，
因为 ，所以椭圆 的离心率 ，故A正确；
B：因为点 ， ， 都在 上，且 ， 为 的直径，所以 面积的最大值为 ，故B正确；
C：设 ， 的左焦点为F (−c,0)，连接 ，
1
所以 ，
又 ，当 时， 的最小值为 ，
则 到 的左焦点的距离的最小值为 ，故C正确；
D：由直线 经过坐标原点，易得点A， 关于原点对称，
设A(x ,y )， ，则 ，得 ， ，
1 1
又 ，两式相减得， ，
所以 ，故D错误.
故选：D
【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略：
（1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、
图形、几何性质来解决；
（2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值
（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量
的取值范围.
二、多选题
5．（24-25高三上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线
时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为 时，蒙日圆方程为 ．已知长
方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．若 为正方形，则 的边长为
C．椭圆 的蒙日圆方程为
D．长方形 的面积的最大值为14
【答案】ACD
【分析】根据椭圆方程可求得离心率，知A正确；根据蒙日圆方程定义可知C正确；结合长方形 的对角
线长和基本不等式可求得B错误D正确.
【详解】对于A，由椭圆 的方程知 ，则 ，
椭圆 的离心率 ，A正确；
对于C，由A知，椭圆 对应的蒙日圆方程为 ，C正确；
对于B，由C可知，正方形 是圆 的内接正方形， 正方形 对角线长为圆的直径 ，
正方形 的边长为 ，B错误；
对于D，设长方形 的长和宽分别为 长方形 的对角线长为椭圆 对应蒙日圆的直径
，
长方形 的面积 （当且仅当 时取等号），
即长方形 的面积的最大值为14，D正确．
故选：ACD．
6．（24-25高三上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内
到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿
波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，直线，则（ ）
A．直线 过定点
B．动点 的轨迹方程为
C．动点 到直线 的距离的最大值为
D．若点 的坐标为 ，则 的最小值为
【答案】ABD
【分析】选项A：利用直线过定点求解即可，选项B：设动点 ，然后根据条件列出
，然后整理得到阿氏圆的方程，
选项C:易知最大值为 .选项D：分析可知当且仅当 为线段 与
圆 的交点时取最小值.
【详解】对A,直线 ， ，所以直线 过定点 ，A正确；
对B，设 ，因为动点 满足 ，所以 ，
整理可得 ，
即 ，所以动点 的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
动点 的轨迹方程为圆 ，B正确；
对于 C，当直线 与 垂直时, 动点 到直线 的距离最大，
且最大值为 ，C错误；
对于D，由 ，得 ，所以 ，
又因为点 在圆 内，点 在圆 外，
所以 ，
当且仅当 为线段 与圆 的交点时取等号.
故选：ABD
7．（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：
在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数 （ ，
且 ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 中，已知 ，点M
满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为12 B． 的最大值为72C．若 ，则 的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
【答案】ABD
【分析】设点 ，由条件可得点M的轨迹方程，即可判断A，由向量数量积的运算律代入计算，即可
判断B，由点与圆的位置关系，即可判断C，由角平分线定理即可判断D
【详解】对于A，设点 ，由 ，得 ，
化为 ，所以点M的轨迹是以点 为圆心、4为半径的圆，
所以 面积的最大值为 ，故A正确；
对于B，设线段AB的中点为N，
，
当点M的坐标为 时取等号，故 的最大值为72，故B正确；
对于C，显然点 在圆外，点 在圆内，
，当B，M，Q三点共线且点M
在线段BQ之间时， ，故C错误；
对于D，由 ， ，有 ，当点M不在x轴上时，
由三角形内角平分线分线段成比例定理的逆定理知，MO是 中 的平分线，故D正确．
故选：ABD．
8．（23-24高三下·广西·阶段练习）法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆 的
任意两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若
矩形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆 的蒙日圆方程为
B．过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 为直角时，直线的斜率为
C．若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D．若 为正方形，则 的边长为
【答案】ACD
【分析】根据给定条件，结合蒙日圆的特征求出蒙日圆的方程判断A；求出直线 与蒙日圆的交点坐标计
算判断B；由两圆相切求出 判断C；求出蒙日圆的内接正方形边长判断D.
【详解】对于A，椭圆 的蒙日圆方程为 ，A正确；
对于B，依题意，点 是直线 与蒙日圆的交点，则 ，解得 或 ，
直线 的斜率为 或0，B错误；
对于C，圆 的圆心为 ，半径为2，显然点 在圆 外，
而圆 的半径为3，由两圆只有一个公共点，得 ，解得 ，C正确；
对于D，由矩形 的四边均与椭圆 相切，得 是圆 的内接矩形，
当 为正方形时，该正方形边长为 ，D正确.
故选：ACD
9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口
曲线.如图，当平面垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲
线”，则是椭圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线（部分）；若平面平行于圆锥的轴，得到双
曲线（部分）.已知以 为顶点的圆锥 ，底面半径为1，高为 ，点 为底面圆周上一定点，圆锥侧面
上有一动点 满足 ，则下列结论正确的是（ ）A．点 的轨迹为椭圆
B．点 可能在以 为球心，1为半径的球外部
C． 可能与 垂直
D．三棱锥 的体积最大值为
【答案】ACD
【分析】作出中垂面结合椭圆特征判断A，根据球的截面和 的轨迹判断B，根据 结合 范围判
断C，根据等体积法求解判断D.
【详解】由于 ，则 在线段 的中垂面上，连接 交圆锥于点 ，
由于 ， ，所以 ，故 为等边三角形，
取 中点为 连接 ，则 ，则 在线段 的中垂面上，
由于 不垂直于 ，所以形成的是椭圆，故A正确，
以 为球心，1为半径的球被平面 （平面 为线段 的中垂面）所截得的截面为以 为直径的圆，
而 的轨迹为以 为长轴的椭圆，由于圆的面积大于椭圆面积，
所以 不会离开椭圆，故 在球内或球面上，故B错误，
若要 ，由于 ，所以只需要 ,
当 在 处，此时 取最小值1，当 在 处，此时 取最大值2，由于 连续变化，
故能够找到点 ，使得 ，故C正确，（ 为 到平面 的距离），
由题意 的轨迹椭圆的短轴为 ， ，
因为圆锥轴截面顶角的一半为 ，截面与圆锥轴的夹角为 ，所以该椭圆的离心率为
，所以 ，
故三棱锥 的体积最大值为 ，故D正确.
故选：ACD
【点睛】关键点点睛：本题考查圆锥的截面问题，解答本题的关键是充分利用圆锥的性质根据题意求解，
考查空间想象能力和计算能力，属于较难题.
10．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为
“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭
圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 的蒙日圆为
，过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线，交圆 于 两点，直线 交椭圆 于
两点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．若点 在椭圆 上，且直线 的斜率之和为0，则直线 的斜率为
C．点 到椭圆 的左焦点的距离的最小值为
D． 面积的最大值为
【答案】AB
【分析】过椭圆 的上顶点作 轴的垂线，过椭圆 的右顶点作 轴的垂线，即可得到交点 在圆 上，
从而求出离心率，即可判断A；依题意可得直线 经过坐标原点，则点 ， 关于原点对称，设 ，
由斜率公式求出 、 即可判断B；设 ，椭圆 的左焦点为 ，连接 ，表示出
，再由 的范围，求出 的最小值，即可判断C；依题意可得 为圆 的直径，则 ，再由面积公式即可判断D.
【详解】对于A，依题意，过椭圆 的上顶点作 轴的垂线，过椭圆 的右顶点作 轴的垂线，
则这两条垂线的交点 在圆 上，
所以 ，得 ，所以椭圆 的离心率 ，故A正确；
对于B，由 可知 ，又过点 ，所以 ，解得 ，
所以椭圆方程为 ，
因为点 都在圆 上，且 ，所以 为圆 的直径，
所以直线 经过坐标原点，易得点 ， 关于原点对称，
设 ，则 ， ， ， ，
所以 ，所以 ，
又 ， ，所以 ，故B正确；
对于C，设 ，椭圆 的左焦点为 ，连接 ，
因为 ，即 ，
所以 ，
又 ，所以 ，
所以则 到左焦点的距离的最小值为 ，故C不正确；
对于D，因为点 都在圆 上，且 ，所以 为圆 的直径，则 ，
设点 到 的距离为 ，则 ，
所以 面积 ，故D不正确；故选：AB
【点睛】关键点点睛：C选项关键是结合 的范围，D选项关键是推导出 .
三、填空题
11．（24-25高三上·安徽黄山·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作
《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点 ，点 满足
，则点 的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 .
【答案】
【分析】设 ，由已知可得 ，化简即可得结果.
【详解】设 ，因为 ，
化简得到圆 ，是以 为圆心， 为半径的圆．
故答案为： .
12．（2024·新疆喀什·二模）“蒙旦圆”涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两
条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆
的离心率为 ，则该椭圆的蒙日圆方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出 ，再求出椭圆在顶点处的切线交点坐标即可求出蒙日圆方程.
【详解】由椭圆 的离心率为 ，得 ，解得 ，
椭圆 在顶点 处的切线分别为 ，它们交于点 ，
显然点 在椭圆 的蒙日圆 上，因此 ，
所以椭圆 的蒙日圆方程为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：利用蒙日圆的定义，求出椭圆的两条切线的一个交点坐标是解题之关键.
13．（24-25高三上·山东淄博·期中）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.
已知椭圆 ，若直线 上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，
则椭圆离心率的取值范围是 .
【答案】
【分析】首先通过椭圆切点在顶点的四条特殊切线可知道蒙日圆的半径，问题转化为直线与蒙日圆有交点
问题，根据直线与圆的位置关系列式即可求解.
【详解】由椭圆方程 可知蒙日圆半径为 ，
所以蒙日圆方程为 ，
因为点 在椭圆的蒙日圆上，又因为点 在直线上，
所以直线 和蒙日圆有公共点.
即圆心 到直线 的距离不大于半径，
即 ，所以 ，
所以椭圆离心率 ，所以 .
故答案为： .
【点睛】关键点睛：本题的关键是对“蒙日圆”定义的理解，能够利用椭圆的四条特殊切线确定蒙日圆的
半径，将问题转化为直线与圆有交点的问题.
14．（2024·西藏拉萨·一模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为
定值 （ 且 ）的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆.已知动点 在边长为6的正方形 内（包含边界）运动，且满足 ，则动点
的轨迹长度为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用距离关系求得点 的轨迹，求出圆心角，然后利用弧长公式求解即可.
【详解】如图，以 为原点， ， 所在直线为x，y轴，建立平面直角坐标系 ，则 ， ，设 ，因为 ，即 ，
整理得 .所以动点 的轨迹为以 为圆心4为半径的圆的一部分.
设圆 与线段 交于点 ，与线段 交于点 ，
因为在 中， ， ，所以 ，
所以 ，所以点 的轨迹长度为 .
故答案为：
四、解答题
15．（2024·安徽·三模）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点 与两定点 的距离的比值
是个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 上.已知动点 的
轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点分别为椭圆 的右焦点 与右顶点 ，
且椭圆 的离心率为 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图，过点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 （点 在 轴上方）两点，点 是椭圆 上
异于 的两点， 平分 平分 .①求 的取值范围；
②将点 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的周长为 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2)① ；②
【分析】（1）方法1，利用特殊值法，求得椭圆方程；
方法2，利用定义整理得 ，再根据条件列式求得椭圆方程；
方法3，利用定义进行整理，由 为常数，求得系数，得到椭圆方程；
（2）①令直线 的方程为： ，与椭圆方程联立，设 .则
，再令 ，即 ，代入韦达定理得 ，可
求 的范围；
②由①知， ，由阿波罗尼斯圆定义知， 在以 为定点的阿波罗尼斯圆上，设该
圆圆心为 ，半径为 ，与直线 的另一个交点为 ，则有 ，进而可得 ，利用
面积可求m,进而可求直线 的方程.
【详解】（1）方法1：令 ，且 ，解得 ，
，椭圆 的方程为 .
方法2：设 ，由题意 （常数），
整理得： ，
故 ，又 ，解得： .，椭圆 的方程为 .
方法3：设 ，则 .
由题意 .
为常数， ，又 ，解得： ，故 ，
椭圆 的方程为 .
（2）①由角平分线定理知： ，以下求 的值，
令直线 的方程为： ，
（该方程的 恒成立），
设 .则 ，
再令 ，即 ，代入韦达定理得
，
由 知， ，
，
又 ，故 ，
，即 .
②由①知， ，由阿波罗尼斯圆定义知， 在以 为定点的阿波罗尼斯圆上，
设该圆圆心为 ，半径为 ，与直线 的另一个交点为 ，则有
，而 ，同理 ，
由①知， ，
，
由 式
，
由圆周长公式： ，
，
，
直线 的方程为 .
【点睛】关键点点睛：本题考查轨迹问题，考查直线与椭圆的位置关系，以及外接圆，新定义的综合应用，
属于难题，本题的关键是读懂题意，并根据几何关系进行消参，转化与化归，是本题的关键也是难点.
16．（23-24高三上·吉林·阶段练习）圆 称为椭圆 的蒙日圆.已知椭圆
： 的离心率为 ， 的蒙日圆方程为 .
(1)求 的方程；
(2)若 为 的左焦点，过 上的一点 作 的切线 ， 与 的蒙日圆交于 ， 两点，过 作直线 与
交于 ， 两点，且 ，证明： 是定值.
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）依题意，利用待定系数法即可得解；
（2）分类讨论 ， 的斜率取值情况，联立直线与椭圆方程，利用弦长公式求得 ，从而得证.【详解】（1）依题意，得 ，解得 ，
所以椭圆 的方程为 .
（2）当 ， 的斜率等于0时， ， ，
所以 ；
当 ， 的斜率不等于0时，设 ： ，则 ： ，
由 ，得 ，
令 ，得 .
设 到 的距离为 ，则 ，
得 ，
由 ，得 ，
易知 ，设M(x ,y )，N(x ,y )，则 ，
1 1 2 2
则 ，
故 .综上， 是定值.
【点睛】方法点睛：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
