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专题 12 阿波罗尼斯圆和蒙日圆问题
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题型01 阿波罗尼斯圆..................................................................................................................................................1
题型02 蒙日圆..............................................................................................................................................................5
题型 01 阿波罗尼斯圆
【解题规律·提分快招】
一、阿波罗尼斯圆
1.阿波罗尼斯圆的定义
在平面上给定两点 ，设 点在同一平面上且满足 ，当 且 时， 点的轨迹是个圆，称
之为阿波罗尼斯圆．（ 时 点的轨迹是线段 的中垂线）
2.阿波罗尼斯圆的证明
设 ．若 （ 且 ），则点 的轨迹方程是
，其轨迹是以 为圆心，半径为 的圆．
证明：由 及两点间距离公式，可得 ，
化简可得 ①，
（1）当 时，得 ，此时动点的轨迹是线段 的垂直平分线；
（2）当 时，方程①两边都除以 得 ，化为标准形式即为：
，∴点 的轨迹方程是以 为圆心，半径为 的圆．图① 图② 图③
【定理】 为两已知点， 分别为线段 的定比为 的内外分点，则以 为直径的圆 上
任意点 到 两点的距离之比为 ．
证明：以 为例．如图②，设 ， ，则 ，
．过 作 的垂线圆 交于 两点，由相交弦定理及勾股定理得
，于是 ．
同时在到 两点距离之比等于 的圆上，而不共线的三点所确定的圆是唯一的，
圆 上任意一点 到 两点的距离之比恒为 ．同理可证 的情形．
3.阿波罗尼斯圆的相关结论
【结论1】当 时，点B在圆 内，点A在圆 外；当 时，点A在圆 内，点B在圆 外．
【结论2】因 ，故 是圆 的一条切线．若已知圆 及圆 外一点A，可以作出与之对应
的点B，反之亦然．
【结论3】所作出的阿波罗尼斯圆的直径为 ，面积为 ．
【结论4】过点 作圆 的切线 （ 为切点），则 分别为 的内、外角平分线．
【结论5】阿波罗尼斯圆的直径两端是按比例内分 和外分 所得的两个分点，如图所示， 是 的
内分点， 是 的外分点，此时必有 平分 ， 平分 的外角．
证明：如图①，由已知可得 （ 且 ）， ，又
，
平分 ．由等角的余角相等可得 ，
平分 的外角．
【结论6】过点 作圆 不与 重合的弦 ，则AB平分 ．
证明：如图③，连结 ，由已知 （ 且 ），又，
平分 ．
平分 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·浙江金华·阶段练习）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发
现：平面内到两个定点 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的
名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知点 分别是抛物线 和
上的动点，若抛物线 的焦点为 ，则 的最小值为（ ）
A．6 B． C． D．5
2．（24-25高三上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 、 的距离
之比为定值 的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系 中，
、 ，点 满足 ．设点 的轨迹为 ，则下列说法错误的是（ ）
A．轨迹 的方程为
B． 面积最大值为
C．若 ，则 的最大值为
D．在 上存在点 ，使得
3．（24-25高三上·湖南株洲·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：已知平面内两个定点 ， 及动
点 ，若 （ 且 ），则点 的轨迹是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼
斯圆（简称“阿氏圆”）.在平面直角坐标系中，已知 ， ，直线 ： ，直线 ：
，若 为 ， 的交点，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
4．（24-25高三上·山东烟台·期末）阿波罗尼斯是古希腊数学家，他研究发现：如果平面内一个动点到两
个定点的距离之比为常数 ，且 ，那么这个点的轨迹为圆，这就是著名的阿氏圆.若点 到点
与点 的距离之比为 ，则（ ）A．点 的轨迹方程为
B．点 到直线 距离的最小值为
C．点 到圆 上的点的最大距离为
D．若到直线 的距离为 的点 至少有3个，则
5．（24-25高三上·江苏连云港·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262年至前190年）与欧
几里得、阿基米德齐名，著有《圆锥曲线论》八卷.他发现平面内到两个定点的距离之比为定值 的
点所形成的图形是圆.后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系
中， .点 满足 ，设点 的轨迹为曲线 ，下列结论正确的是（ ）
A．曲线 的方程为
B．过点 的直线 与曲线 有公共点，则直线 的斜率范围是
C．曲线 上的点到直线 的最小距离为
D．过点 作曲线 的一条切线，切点为F，则 等于
三、填空题
6．（24-25高三上·福建厦门·期中）希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：平
面内到两个定点 的距离之比为定值 的点所形成的图形是圆．后来，人们将这个圆以他的名字
命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．已知在平面直角坐标系中， ， ，点 满足
，则点 的轨迹方程为 ．
7．（23-24高三上·海南海口·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出
了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如：平面
内到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内
有两点 和 ，且该平面内的点 满足 ，若点 的轨迹关于直线
对称，则 与 之间的关系式为 .
8．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：平面上到两定点 的距离之比
为常数 的点的轨迹是一个圆心在直线 上的圆，该圆被称为阿氏圆.如图，在长方体
中， ，点 在棱 上， ，动点 满足 ，若点
在平面 内运动，则点 对应的轨迹的面积是 ； 为 的中点，则三棱锥体积的最小值为 .
四、解答题
9．（24-25高三上·河南洛阳·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点
距离之比为常数 且 的点的轨迹是圆．后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆．在平面直角坐标系中，
，动点 满足 ，设动点 的轨迹为曲线 ．
(1)求曲线 的轨迹方程；
(2)若直线 与曲线 交于 两点，求 ；
(3)若曲线 与 轴的交点为 ，直线 与曲线 交于 两点，直线 与直线 交于点 ，
证明：点 在定直线上．
题型 02 蒙日圆
【解题规律·提分快招】
一、蒙日圆
1.蒙日圆的定义
在椭圆上，任意两条相互垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于椭圆长半
轴短半轴平方和的几何平方根，这个圆叫蒙日圆，如图1．
证明：设椭圆的方程为 ，则椭圆两条互相垂直的切线 交点 的轨迹是蒙日
圆： ．①当题设中的两条互相垂直的切线 斜率均存在且不为 时，可设 （且 ），过 的椭圆的切线方程为 ，由 得
，
由其判别式值为 ，得 ，
是这个关于 的一元二次方程的两个根， ，
由已知 点 的坐标满足方程 ．
②当题设中的两条互相垂直的切线 有斜率不存在或斜率为 时，可得点 的坐标为 或
，此时点 也在圆 上．
综上所述：椭圆 两条互相垂直的切线 交点 的轨迹是蒙日圆：
．
2.蒙日圆的几何性质
【结论1】过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线 ，则 ．
证明：设 点坐标 ，由 ，得
，由其判别式的值为0，
得 ，
， 是这个关于 的一元二次方程的两个根， ， ，
， ．
【结论2】设 为蒙日圆O： 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，交椭圆于点
为原点，则 的斜率乘积为定值 ．
【结论3】设 为蒙日圆O： 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分别为
为原点，则 的斜率乘积为定值 ，且 的斜率乘积为定值（垂径定理的推广）．
【结论4】过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线，O为原点，则 平分
椭圆的切点弦 ．
证明： 点坐标 ，直线 斜率 ，由切点弦公式得到 方程 ， ，
，由点差法可知， 平分 ，如图 是中点．
【结论5】设 为蒙日圆 上任一点，过点P作椭圆 的两条切线，交蒙
日圆O于两点C，D，则 的斜率乘积为定值 ．
【结论6】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 为原点，则 的斜率乘积为定值： ．
【结论7】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 为原点，则 的最大值为 ， 的最小值为 ．
【结论8】设 为蒙日圆 上任一点，过点 作椭圆 的两条切线，切点分
别为 ，则 的最大值为 的最小值为 ．
【典例训练】
一、单选题
1．（24-25高三上·山西太原·阶段练习）画法几何创始人蒙日发现：椭圆上两条互相垂直的切线的交点必
在一个与椭圆同心的圆上，且圆半径的平方等于长半轴､短半轴的平方和，此圆被命名为该椭圆的蒙日圆.
若椭圆 的离心率为 ，则椭圆 的蒙日圆的方程为（ ）
A． B．C． D．
2．（24-25高三上·湖北·期中）19世纪法国著名数学家加斯帕尔 蒙日，创立了画法几何学，推动了空间几
何学的独立发展，提出了著名的蒙日圆定理：椭圆的两条切线互相垂直，则切线的交点位于一个与椭圆同
心的圆上，称为蒙日圆，椭圆 的蒙日圆方程为 .若圆
与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·广东·二模）法国数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的两条相互垂直切线的交
点轨迹为圆，我们通常称这个圆为该椭圆的蒙日圆．根据此背景，设 为椭圆 的一个外切
长方形（ 的四条边所在直线均与椭圆 相切），若 在第一象限内的一个顶点纵坐标为2，则 的面
积为（ ）
A． B．26 C． D．
4．（24-25高三上·天津滨海新·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”、“微分几何之
父”．他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该
椭圆的蒙日圆．若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两
条切线，分别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点，则下列说法中，正确的个数为（ ）
①椭圆 的离心率为
② 到 的左焦点的距离的最小值为
③ 面积的最大值为
④若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题
x2 y2
5．（24-25高三上·江西·期中）已知椭圆C: + =1(a>b>0)，我们把圆 称为 的蒙日
a2 b2
圆， 为原点，点 在 上，延长 与 的蒙日圆交于点 ，则（ ）
A． 的最大值为 B．若 为 的中点，则 的离心率的最大值为
C．过点 不可能作两条互相垂直的直线都与 相切 D．若点(2,1)在 上，则 的蒙日圆面积最小为
6．（23-24高三上·广东广州·期中）画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的
两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆
， ， 分别为椭圆的左、右焦点，直线 的方程为 ， 为椭圆 的蒙日圆
上一动点， ， 分别与椭圆相切于A， 两点， 为坐标原点，下列说法正确的是（ ）
A．椭圆 的蒙日圆方程为
B．记点A到直线 的距离为 ，则 的最小值为0
C．一矩形四条边与椭圆 相切，则此矩形面积最大值为
D． 的面积的最大值为
三、填空题
7．（24-25高三上·广西柳州·阶段练习）在双曲线中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，
它的圆心是双曲线的中心，半径等于实半轴与虚半轴平方差的算术平方根，这个圆叫双曲线的蒙日圆.过双
曲线 的蒙日圆上一点 作 的两条切线，与该蒙日圆分别交于 两点，若 ，则
的周长为 .
8．（24-25高三上·江西上饶·阶段练习）加斯帕尔•蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发
现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日
圆”.已知椭圆 ，若直线 上存在点 ，过 可作 的两条互相垂直的
切线，则椭圆离心率的取值范围是 .
9．（23-24高三上·广东江门·期中）“蒙日圆”涉及几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上
任意两条互相垂直的切线的交点，必在一个与椭圆同心的圆上.称此圆为该椭圆的“蒙日圆”，该圆由法国
数学家加斯帕尔·蒙日（1746-1818）最先发现.若椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆
上一动点，过 和原点作直线 与椭圆 的蒙日圆相交于 ， ，则 .四、解答题
10．（24-25高三上·重庆渝中·阶段练习）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的
任意两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是以椭圆的中心为圆心， （ 为椭圆的长半轴长， 为
椭圆的短半轴长）为半径的圆，这个圆被称为蒙日圆.已知椭圆 ： ， ， 分别为椭圆 的左、
右焦点，椭圆 的蒙日圆为圆 .
(1)求圆 的方程；
(2)已知点 是椭圆 上的任意一点，点 为坐标原点，直线 与圆 相交于 、 两点，求证：
；
(3)过点 作互相垂直的直线 、 ，其中 交圆 于 、 两点， 交椭圆 于 、 两点，求四边
形 面积的取值范围.
一、单选题
1．（24-25高三上·福建厦门·期中）公元前3世纪，古希腊数学家阿波罗尼斯结合前人的研究成果，写出
了经典之作《圆锥曲线论》，在此著作第七卷《平面轨迹》中，有众多关于平面轨迹的问题，例如:平面内
到两定点距离之比等于定值（不为1）的动点轨迹为圆.后来该轨迹被人们称为阿波罗尼斯圆.已知平面内有
两点 和 ，且该平面内的点P满足 ，若点P的轨迹关于直线 对称，
则 的值为 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．（23-24高三上·河南南阳·期中）如图，加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究圆
锥曲线时发现：椭圆（或双曲线）上两条相互垂直的切线的交点 的轨迹方程为圆，该圆称为外准圆，也
叫蒙日圆．双曲线 的蒙日圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
3．（2025高三·全国·专题练习）古希腊数学家阿波罗尼斯采用平面切割圆锥的方法来研究圆锥曲线.用垂
直于圆锥的轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面倾斜，可得到椭圆.如图，现有一个轴截面为等腰的圆锥PO，过点A及线段PB的中点M的某平面截圆锥PO，得到一个椭圆，则该椭圆的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
4．（24-25高三上·浙江杭州·期中）法国数学家加斯帕·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，
他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的
蒙日圆.若椭圆 的蒙日圆为 ，过 上的动点 作 的两条切线，分
别与 交于 ， 两点，直线 交 于 ， 两点，则下列结论错误的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B． 面积的最大值为
C． 到 的左焦点的距离的最小值为
D．若动点 在 上，将直线 ， 的斜率分别记为 ， ，则
二、多选题
5．（24-25高三上·全国·单元测试）加斯帕尔・蒙日是18-19世纪法国著名的数学家，他在研究圆锥曲线
时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为
“蒙日圆”（如图所示）．当椭圆方程为 时，蒙日圆方程为 ．已知长
方形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法正确的是（ ）A．椭圆 的离心率为
B．若 为正方形，则 的边长为
C．椭圆 的蒙日圆方程为
D．长方形 的面积的最大值为14
6．（24-25高三上·福建福州·期中）古希腊著名数学家阿波罗尼斯（约公元前262~前190）发现：平面内
到两个定点 的距离之比为定值 的点的轨迹是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿
波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系 中，已知 ， ，动点 满足 ，直线
，则（ ）
A．直线 过定点
B．动点 的轨迹方程为
C．动点 到直线 的距离的最大值为
D．若点 的坐标为 ，则 的最小值为
7．（2024·江西宜春·三模）古希腊数学家阿波罗尼斯的著作《圆锥曲线论》中给出了阿波罗尼斯圆的定义：
在平面内，已知两定点A，B之间的距离为a（非零常数），动点M到A，B的距离之比为常数 （ ，
且 ），则点M的轨迹是圆，简称为阿氏圆．在平面直角坐标系 中，已知 ，点M
满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A． 面积的最大值为12 B． 的最大值为72
C．若 ，则 的最小值为10 D．当点M不在x轴上时，MO始终平分
8．（23-24高三下·广西·阶段练习）法国数学家蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆 的
任意两条互相垂直的切线的交点 的轨迹是以原点为圆心， 为半径的圆，这个圆称为蒙日圆．若
矩形 的四边均与椭圆 相切，则下列说法中正确的是（ ）
A．椭圆 的蒙日圆方程为
B．过直线 上一点 作椭圆 的两条切线，切点分别为 为直角时，直线的斜率为
C．若圆 与椭圆 的蒙日圆有且仅有一个公共点，则
D．若 为正方形，则 的边长为
9．（23-24高三下·重庆·阶段练习）古希腊数学家阿波罗尼斯发现：用平面截圆锥，可以得到不同的截口
曲线.如图，当平面垂直于圆锥的轴时，截口曲线是一个圆.当平面不垂直于圆锥的轴时，若得到“封闭曲
线”，则是椭圆；若平面与圆锥的一条母线平行，得到抛物线（部分）；若平面平行于圆锥的轴，得到双
曲线（部分）.已知以 为顶点的圆锥 ，底面半径为1，高为 ，点 为底面圆周上一定点，圆锥侧面
上有一动点 满足 ，则下列结论正确的是（ ）
A．点 的轨迹为椭圆
B．点 可能在以 为球心，1为半径的球外部
C． 可能与 垂直
D．三棱锥 的体积最大值为
10．（24-25高三上·广西贵港·阶段练习）法国数学家加斯帕尔•蒙日是19世纪著名的几何学家，被称为
“画法几何”创始人“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭
圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆 的蒙日圆为
，过圆 上的动点 作椭圆 的两条切线，交圆 于 两点，直线 交椭圆 于
两点，则下列结论正确的是（ ）
A．椭圆 的离心率为
B．若点 在椭圆 上，且直线 的斜率之和为0，则直线 的斜率为C．点 到椭圆 的左焦点的距离的最小值为
D． 面积的最大值为
三、填空题
11．（24-25高三上·安徽黄山·期中）古希腊数学家阿波罗尼斯（约公元前262年—公元前190年）的著作
《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作有中这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数
且 的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知点 ，点 满足
，则点 的轨迹所对应的阿波罗尼斯圆的半径为 .
12．（2024·新疆喀什·二模）“蒙旦圆”涉及的是几何学中的一个著名定理，该定理的内容为：椭圆上两
条互相垂直的切线的交点必在一个与椭圆同心的圆上，该圆称为原椭圆的蒙日圆．若椭圆
的离心率为 ，则该椭圆的蒙日圆方程为 ．
13．（24-25高三上·山东淄博·期中）加斯帕尔·蒙日是18~19世纪法国著名的几何学家，他在研究时发现：
椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心，这个圆被称为“蒙日圆”.
已知椭圆 ，若直线 上存在点P，过P可作C的两条互相垂直的切线，
则椭圆离心率的取值范围是 .
14．（2024·西藏拉萨·一模）古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点 ， 的距离之比为
定值 （ 且 ）的点的轨迹是一个圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，
简称阿氏圆.已知动点 在边长为6的正方形 内（包含边界）运动，且满足 ，则动点
的轨迹长度为 .
四、解答题
15．（2024·安徽·三模）阿波罗尼斯是古希腊著名数学家，他的主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲
线论》一书中，阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一，指的是平面内动点 与两定点 的距离的比值
是个常数，那么动点 的轨迹就是阿波罗尼斯圆，圆心在直线 上.已知动点 的
轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 ，定点分别为椭圆 的右焦点 与右顶点 ，
且椭圆 的离心率为 .(1)求椭圆 的标准方程；
(2)如图，过点 斜率为 的直线 与椭圆 相交于 （点 在 轴上方）两点，点 是椭圆 上
异于 的两点， 平分 平分 .
①求 的取值范围；
②将点 看作一个阿波罗尼斯圆上的三点，若 外接圆的周长为 ，求直线 的方程.
16．（23-24高三上·吉林·阶段练习）圆 称为椭圆 的蒙日圆.已知椭圆
： 的离心率为 ， 的蒙日圆方程为 .
(1)求 的方程；
(2)若 为 的左焦点，过 上的一点 作 的切线 ， 与 的蒙日圆交于 ， 两点，过 作直线 与
交于 ， 两点，且 ，证明： 是定值.
