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第 5 章生活中的轴对称（典型 30 题专练）
一．选择题（共17小题）
1．（2021秋•咸安区期末）下列图案中，是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念判断．
【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
B、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C、是轴对称图形，故本选项符合题意；
D、不是轴对称图形，故本选项不合题意；
故选：C．
【点评】本题考查的是轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
2．（2021秋•高青县期末）如图，在△ABC中，DE垂直平分BC交AB于点D，交BC于点E．
若AB＝10cm，AC＝8cm，则△ACD的周长是（ ）
A．12cm B．18cm C．16cm D．14cm
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到DB＝DC，根据三角形的周长公式计算，得到答
案．
【解答】解：∵DE是线段BC的垂直平分线，
∴DB＝DC，
∴△ACD的周长＝AD+DC+AC＝AD+DB+AC＝AB+AC＝18（cm），故选：B．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两
个端点的距离相等是解题的关键．
3．（2021秋•迁安市期末）如图，△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，P为MN上任一点，下
列结论中错误的是（ ）
A．△AA'P是等腰三角形
B．MN垂直平分AA'，CC'
C．△ABC与△A'B'C'面积相等
D．直线AB、A'B'的交点不一定在MN上
【分析】由轴对称的性质可知△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，
∴△ABC≌△A'B'C'，AA'⊥MN，CC'⊥MN，
∵P为MN上任一点，
∴AP＝A'P，
∴△AA'P是等腰三角形，
∴A选项不符合题意；
∵AP＝A'P，CP＝C'P，
∴MN垂直平分AA'、CC'，
∴B选项不符合题意；
∵△ABC≌△A'B'C'，
∴△ABC与△A'B'C'面积相等，
∴C选项不符合题意；
∵由轴对称的性质，可知直线AB、A'B'的交点一定在MN上，
∴D选项符合题意；
故选：D．
【点评】本题考查轴对称的性质，熟练掌握图形轴对称的性质、等腰三角形的性质、三角形
全等的性质是解题的关键．
4．（2021秋•渑池县期末）如图，在等边△ABC中，AD、CE是△ABC的两条中线，AD＝5，P
是AD上一个动点，则PB+PE最小值的是（ ）A．2.5 B．5 C．7.5 D．10
【分析】如图连接PC，只要证明PB＝PC，即可推出PB+PE＝PC+PE，由PE+PC≥CE，推
出P、C、E共线时，PB+PE的值最小，最小值为AD的长度．
【解答】解：如图连接PC，
∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴PB＝PC，
∴PB+PE＝PC+PE，
∵PE+PC≥CE，
∴P、C、E共线时，PB+PE的值最小，
最小值为CE的长度，即为AD的长为5．
故选：B．
【点评】本题考查轴对称﹣最短问题，等腰三角形的性质、线段的垂直平分线的性质等知识，
解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
5．（2021秋•封开县期末）如图，△ABC中，AD平分∠BAC，AB＝4，AC＝2，若△ACD的面
积等于3，则△ABD的面积为（ ）
A． B．4 C．6 D．12
【分析】过D点作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，如图，利用角平分线的性质得DE＝DF，再根据三角形面积公式，利用S△ACD ＝ •DF•AC＝3得到DF＝DE＝3，然后利用三角形面积公
式计算S△ABD ．
【解答】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD平分∠BAC，
∴DE＝DF，
∵AC＝2，△ACD的面积为3，
∴ ×2•DF＝3，解得DF＝3，
∴DE＝3，
∵AB＝4，
∴△ABD的面积＝ ×3×4＝6．
故选：C．
【点评】本题考查的是角平分线的性质，根据题意作出辅助线，利用数形结合求解是解答此
题的关键．
6．（2021秋•怀安县期末）如图，AI、BI、CI分别平分∠BAC、∠ABC、∠ACB，ID⊥BC，
△ABC的周长为18，ID＝3，则△ABC的面积为（ ）
A．18 B．30 C．24 D．27
【分析】过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，然后根据角平分线上的点到角的两边的距离相
等的性质可得ID＝IE＝IF，再根据三角形面积计算即可得解．
【解答】解：如图，过点I作IE⊥AB于E，IF⊥AC于F，∵∠ABC、∠ACB的平分线，ID⊥BC，
∴ID＝IE，ID＝IE，
∴ID＝IE＝IF＝3，
∵△ABC的周长为18，
∴△ABC的面积＝ （AB+BC+AC）×3＝ ×18×3＝27．
故选：D．
【点评】本题主要考查了角平分线的性质，三角形的面积，熟记性质是解题的关键．
7．（2021秋•博白县期末）如图，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，BF＝6，
CF＝2，则AC的长度为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到FA＝BF＝6，结合图形计算，得到答案．
【解答】解：∵EF是AB的垂直平分线，BF＝6，
∴FA＝BF＝6，
∴AC＝FA+CF＝6+2＝8，
故选：C．
【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两
个端点的距离相等是解题的关键．
8．（2021秋•沈丘县期末）元旦联欢会上，同学们玩抢凳子游戏，在与A、B、C三名同学距离
相等的位置放一个凳子，谁先抢到凳子谁获胜．如果将A、B、C三名同学所在位置看作
△ABC的三个顶点，那么凳子应该放在△ABC的（ ）
A．三边中线的交点 B．三条角平分线的交点
C．三边上高的交点 D．三边垂直平分线的交点
【分析】为使游戏公平，要使凳子到三个人的距离相等，于是利用线段垂直平分线上的点到
线段两端的距离相等可知，要放在三边垂直平分线的交点上．【解答】解：∵三角形的三条垂直平分线的交点到三角形三个顶点的距离相等，
∴凳子应放在△ABC的三条垂直平分线的交点最合适．
故选：D．
【点评】本题主要考查了线段垂直平分线的性质的应用，想到要使凳子到三个人的距离相等
是正确解答本题的关键．
9．（2021秋•临清市期末）已知等腰三角形一腰上的高线与另一腰的夹角为40°，那么这个等腰
三角形的顶角等于（ ）
A．50°或130° B．130° C．80° D．50°或80°
【分析】首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数
为50°．另一种情况等腰三角形为钝角三角形，由题意，即可推出顶角的度数．
【解答】解：①如图，等腰三角形为锐角三角形，
∵BD⊥AC，∠ABD＝40°，
∴∠A＝50°，
即顶角的度数为50°．
②如图，等腰三角形为钝角三角形，
∵BD⊥AC，∠DBA＝40°，
∴∠BAD＝50°，
∴∠BAC＝130°．
故选：A．
【点评】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质．此题难度适中，解题的关
键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．
10．（2021秋•长沙期末）如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆
DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，
且B，E，C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC，工程人员这种操作方法的依据是（
）A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
【分析】根据等腰三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．
11．（2021秋•江州区期末）等腰三角形的一个内角是110°，则它的底角的度数是（ ）
A．35° B．40° C．70° D．110°
【分析】根据等腰三角形的性质，三角形的内角和定理即可解决问题．
【解答】解：∵等腰三角形的一个内角是110°，
∴等腰三角形的顶角为110°，
∴等腰三角形的底角为35°，
故选：A．
【点评】本题考查等腰三角形的性质、三角形的内角和定理等知识，解题的关键是灵活运用
所学知识解决问题，属于中考常考题型．
12．（2021秋•费县期末）如图，△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，AD＝BC，点P为直线BC上
方的一个动点，△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，则当PB+PC最小时，∠PBD的度数为
（ ）
A．30° B．45° C．60° D．90°
【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为 AD的直线l上，l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，证明△BB'C是等腰直角三角形，得
出∠B'＝45°，求出∠PBB'＝∠B'＝45°，即可得出答案．
【解答】解：∵△PBC的面积等于△ABC的面积的 ，
∴P在与BC平行，且到BC的距离为 AD的直线l上，
∴l∥BC，
作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，如图所示：
则BB'⊥l，PB＝PB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，
作PM⊥BC于M，则BB'＝2PM＝AD，
∵AD⊥BC，AD＝BC，
∴BB'＝BC，BB'⊥BC，
∴△BB'C是等腰直角三角形，
∴∠B'＝45°，
∵PB＝PB'，
∴∠PBB'＝∠B'＝45°，
∴∠PBC＝90°﹣45°＝45°；
故选：B．
【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的
性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
13．（2021秋•垦利区期末）如图，等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，腰AC的垂
直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点．则
△CDM周长的最小值为（ ）
A．6cm B．8cm C．9cm D．10cm
【分析】根据垂直平分线的性质可得AM＝CM，即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为
AD的长，根据面积求出AD的长，即可解决问题．
【解答】解：连接AM，∵AC的垂直平分线EF交AC于点E，
∴AM＝CM，
∴CM+DM＝DM+AM，
即A、M、D三点共线时，CM+DM最小值为AD的长，
∵AB＝AC，点D为BC的中点，
∴AD⊥BC，CD＝ BC＝2cm，
∵等腰△ABC的底边BC长为4cm，面积为16cm2，
∴AD＝8cm，
∴△CDM周长的最小值为AD+CD＝10cm，
故选：D．
【点评】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质等知识，将CM+MD转化为
AM+DM是解题的关键．
14．（2021秋•虎林市期末）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，CF⊥AB，交
AB于点F，交BE于点D，若BC＝8cm，DF＝3cm，则△CDB的面积为（ ）
A．12cm2 B．8cm2 C．6cm2 D．4cm2
【分析】作DH⊥BC于点H，利用角平分线上的点到两边的距离相等，即可求出对应三角形
的高，即可求解．
【解答】解：作DH⊥BC于点H，如图：∵BE平分∠ABC，CF⊥AB，DH⊥BC．
∴DH＝DF．
∵DF＝3cm．
∴DH＝3cm．
∵BC＝8cm．
∴△CDB的面积为： ＝12cm2．
故选：A．
【点评】本题考查角平分线性质和三角形面积的知识，关键在于利用角平分线作垂直．本题
属于基础题．
15．（2021秋•鼓楼区期末）EF是BC的垂直平分线，交BC于点D，点A是直线EF上一动点，
它从点D出发沿射线DE方向运动，当∠BAC减少x°时，∠ABC增加y°，则y与x的函数表达
式是（ ）
A．y＝x B．y＝ x C．y＝90﹣x D．
【分析】根据线段垂直平分线的性质得出AB＝AC，根据等腰三角形的性质得出∠ABC＝
∠ACB，根据三角形内角和定理得出∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，根据当∠BAC减少x°时，
∠ABC增加y°得出∠BAC﹣x°+∠ABC+y°+∠ACB+y°＝180°，再求出答案即可．
【解答】解：∵EF是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，当∠BAC减少x°时，∠ABC增加y°，∴∠BAC﹣x°+∠ABC+y°+∠ACB+y°＝180°，
∴2y°﹣x°＝0，
即y＝ x，
故选：B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，函数
解析式等知识点，能根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等得出AB＝AC是
解此题的关键．
16．（2021秋•东莞市期末）如图，已知∠MON＝30°，点A ，A ，A ，…在射线ON上，点B ，
1 2 3 1
B ，B ，…在射线OM上，△A B A ，△A B A ，△A B A ，…均为等边三角形，若OA ＝2，
2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
则△A B A 的边长为（ ）
6 6 7
A．16 B．32 C．64 D．128
【分析】由等边三角形的性质得到∠B A A ＝60°，A B ＝A A ，再由三角形外角的性质求出
1 1 2 1 1 1 2
∠A B O＝30°，则A B ＝A A ＝OA ，同理得A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，A B ＝A A ＝22•OA ，
1 1 1 1 1 2 1 2 2 2 3 2 1 3 3 3 4 1
A B ＝A A ＝23•OA ，由此得出规律A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，即可求解．
4 4 4 5 1 n n n n+1 1
【解答】解：∵△A B A 为等边三角形，
1 1 2
∴∠B A A ＝60°，A B ＝A A ，
1 1 2 1 1 1 2
∴∠A B O＝∠B A A ﹣∠MON＝60°﹣30°＝30°，
1 1 1 1 2
∴∠A B O＝∠MON，
1 1
∴A B ＝OA ，
1 1 1
∴A B ＝A A ＝OA ，
1 1 1 2 1
同理可得A B ＝A A ＝OA ＝2OA ，
2 2 2 3 2 1
∴A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝22•OA ，
3 3 3 4 3 2 1
A B ＝A A ＝OA ＝2OA ＝23•OA ，
4 4 4 5 4 3 1
…
∴A B ＝A A ＝2n﹣1•OA ＝2n，
n n n n+1 1
∴△A B A 的边长：A B ＝26＝64，
6 6 7 6 6
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、规律型等知识，熟练掌
握等边三角形的性质，找出规律是解题的关键．17．（2021秋•路北区期末）如图，四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，连接BD，BD⊥CD，
垂足是D且∠ADB＝∠C，点P是边BC上的一动点，则DP的最小值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据等角的余角相等求出∠ABD＝∠CBD，再根据垂线段最短可知DP⊥BC时DP最
小，然后根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得DP＝AD．
【解答】解：∵BD⊥CD，∠A＝90°
∴∠ABD+∠ADB＝90°，
∠CBD+∠C＝90°，
∴∠ABD＝∠CBD，
由垂线段最短得，DP⊥BC时DP最小，
此时，DP＝AD＝3．
故选：C．
【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记
性质并判断出DP最小时的位置是解题的关键．
二．填空题（共2小题）
18．（2021秋•罗城县期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，BC＝
16cm，则BD＝ 8 cm．
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质即可求解．
【解答】解：∵AB＝AC，AD平分∠BAC交BC于点D，
∴BD＝DC＝ BC，
∵BC＝16cm，
∴BD＝8cm．
故答案为：8．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合是解题的关键．
19．（2021秋•崆峒区期末）如图，等边△ABC中，BD⊥AC于D，QD＝1.5，点P、Q分别为
AB、AD上的两个定点且BP＝AQ＝2，在BD上有一动点E使PE+QE最短，则PE+QE的最小
值为 5 ．
【分析】作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值
最小．最小值PE+PQ＝PE+EQ′＝PQ′．
【解答】解：如图，∵△ABC是等边三角形，
∴BA＝BC，
∵BD⊥AC，AQ＝2，QD＝1.5，
∴AD＝DC＝AQ+QD＝3.5，
作点Q关于BD的对称点Q′，连接PQ′交BD于E，连接QE，此时PE+EQ的值最小．最
小值PE+QE＝PE+EQ′＝PQ′，
∵AQ＝2，AD＝DC＝3.5，
∴QD＝DQ′＝1.5，
∴CQ′＝BP＝2，
∴AP＝AQ′＝5，
∵∠A＝60°，
∴△APQ′是等边三角形，
∴PQ′＝PA＝5，
∴PE+QE的最小值为5．
故答案为：5．
【点评】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利
用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．
三．解答题（共11小题）
20．（2021秋•阳江期末）如图，点P是∠MON中一点，PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，连
接AB，∠PAB＝∠PBA．求证：OP平分∠MON．【分析】先根据等腰三角形的判定得到PA＝PB，然后根据角平分线的性质定理的逆定理得到
距离．
【解答】证明：∵∠PAB＝∠PBA，
∴PA＝PB，
∵PA⊥OM于点A，PB⊥ON于点B，
∴P点在∠MON的平分线上，
∴OP平分∠MON．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．在角的内
部到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上．
21．（2021秋•靖西市期末）如图：已知OA和OB两条公路，以及C、D两个村庄，建立一个车
站P，使车站到两个村庄距离相等即PC＝PD，且P到OA，OB两条公路的距离相等．
【分析】作∠AOB的角平分线和线段CD的垂直平分线，它们的交点为P点．
【解答】解：如图，点P为所作．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距
离相等．也考查了线段垂直平分线的性质．
22．（2021秋•邵阳县期末）如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABC的周长为21cm，
△ABD的周长为13cm，求AE的长．【分析】根据线段垂直平分线的性质可得AD＝DC，AE＝CE＝ AC，再根据题意可得
AB+BC+AC＝21cm，AB+BD+AD＝13cm，然后可得AC长，进而可得AE长．
【解答】解：∵DE是AC的垂直平分线，
∴AD＝DC，AE＝CE＝ AC，
∵△ABC的周长为21cm，
∴AB+BC+AC＝21cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+AD＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴AC＝8cm，
∴AE＝4cm．
【点评】此题主要考查了线段垂直平分线，关键是掌握线段垂直平分线上任意一点，到线段
两端点的距离相等．
23．（2021秋•阳江期末）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在边长为1的正方
形方格的格点上．
（1）写出点A，B，C的坐标：A （﹣ 1 ， 3 ） ，B （ 2 ， 0 ） ，C （﹣ 3 ，﹣ 1 ） ．
（2）画出△ABC关于y轴对称的△A B C ．
1 1 1
（3）△A B C 的面积为 9 ．
1 1 1
【分析】（1）利用点的坐标的表示方法求解；
（2）先根据关于y轴对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；
（3）用一个矩形的面积分别减去三个三角形的面积去计算△A B C 的面积．
1 1 1【解答】解：（1）A（﹣1，3），B（2，0），C（﹣3，﹣1）；
（2）如图，△A B C 为所作；
1 1 1
（3）△A B C 的面积＝4×5﹣ ×4×2﹣ ×3×3﹣ ×5×1＝9．
1 1 1
故答案为（﹣1，3），（2，0），（﹣3，﹣1）；9．
【点评】本题考查了作图﹣轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形
的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．
24．（2021秋•洪江市期末）如图，直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，l与m
分别交边AB于点D和点E．
（1）若AB＝10，则△CDE的周长是多少？为什么？
（2）若∠ACB＝125°，求∠DCE的度数．
【分析】（1）依据线段垂直平分线的性质，即可得到△CDE的周长＝CD+DE+CE＝
AD+DE+BE＝AB；
（2）依据AD＝CD，BE＝CE，即可得到∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，再根据三角形内角和
定理，即可得到∠A+∠B＝55°，进而得到∠ACD+∠BCE＝55°，再根据∠DCE＝∠ACB﹣
（∠ACD+∠BCE）进行计算即可．
【解答】解：（1）△CDE的周长为10．
∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，
∴△CDE的周长＝CD+DE+CE＝AD+DE+BE＝AB＝10；
（2）∵直线l与m分别是△ABC边AC和BC的垂直平分线，
∴AD＝CD，BE＝CE，∴∠A＝∠ACD，∠B＝∠BCE，
又∵∠ACB＝125°，
∴∠A+∠B＝180°﹣125°＝55°，
∴∠ACD+∠BCE＝55°，
∴∠DCE＝∠ACB﹣（∠ACD+∠BCE）＝125°﹣55°＝70°．
【点评】本题考查了线段的垂直平分线的性质，线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点
的距离相等．
25．（2021秋•邗江区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE分别交AC、AB
于点D、E．
（1）若∠A＝50°，求∠CBD的度数；
（2）若AB＝7，△CBD周长为12，求BC的长．
【分析】（1）根据三角形内角和定理求出∠ABC＝∠C＝65°，根据线段垂直平分线的性质得
到DA＝DB，求出∠ABD的度数，计算即可；
（2）根据线段垂直平分线的性质和三角形的周长公式计算即可．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠C＝65°，
又∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠ABD＝∠A＝50°，
∴∠CBD＝15°；
（2）∵DE垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴DB+DC＝DA+DC＝AC，
又∵AB＝AC＝7，△CBD周长为12，
∴BC＝5．
【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个
端点的距离相等是解题的关键．
26．（2021秋•江源区期末）如图，把直角三角形放置在4×4方格纸上，三角形的顶点都在格点
上．在方格纸上用三种不同的方法画出与已知三角形成轴对称的三角形．（要求：画出的三
角形的顶点都在格点上，不涂黑）【分析】直接利用轴对称图形的性质进而得出符合题意的答案即可．
【解答】解：如图1，2，3所示，即为所求； ．
【点评】此题主要考查了轴对称变换，正确掌握轴对称图形的性质是解题关键．
27．（2021秋•唐山期末）如图，AD是△ABC的角平分线，DE、DF分别是△ABD和△ACD的
高．
（1）试说明AD垂直平分EF；
（2）若AB＝6，AC＝4，S△ABC ＝15，求DE的长．
【分析】（1）先利用角平分线的性质得DE＝DF，利用“HL”证明Rt△AED≌Rt△AFD得到
AE＝AF，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论；
（2）根据三角形的面积公式即可求得DE的长．
【解答】解：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE＝DF，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE＝AF，
而DE＝DF，
∴AD垂直平分EF；
（2）∵DE＝DF，
∴S△ABC ＝S△ABD +S△ACD ＝ AB•ED+ AC•DF＝ DE（AB+AC）＝15，
∵AB＝6，AC＝4，
∴ ×10×DE＝15，∴DE＝3．
【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了
直角三角形全等的判定方法、线段垂直平分线的判定．
28．（2021秋•武城县期末）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示A、B、C三点在格点上．
（1）作出△ABC关于y轴对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
1 1 1 1
（2）作出△ABC关于x对称的△A B C ，并写出点A 的坐标；
2 2 2 2
（3）求△AA A 的面积．
1 2
【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可．
1 1 1
（2）利用轴对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点A ，B ，C 即可．
2 2 2
（3）直接利用三角形面积公式求解．
【解答】解：（1）如图，△A B C 即为所求．
1 1 1
点A 的坐标（﹣2，4）．
1
（2）如图，△A B C 即为所求；点A 的坐标 （2，﹣4）．
2 2 2 2
（3）S ＝8×4× ＝16．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是掌握轴对称变换
的性质，属于中考常考题型．
29．（2021秋•黄石港区期末）如图a，网格中的每一个正方形的边长为1，△ABC为格点三角形，
直线MN为格点直线（点A、B、C、M、N在小正方形的顶点上）．
（1）仅用直尺在图a中作出△ABC关于直线MN的对称图形△A′B′C′．
（2）如图b，仅用直尺将网格中的格点三角形ABC的面积三等分，并将其中的一份用铅笔涂成阴影．
（3）如图c，仅用直尺作三角形ABC的边AC上的高，简单说明你的理由．
【分析】（1）分别作出A，B，C的对应点A′，B′，C′即可．
（2）如图，取格点O，计算可知S△AOC ＝S△BOC ＝S△AOB ＝2（平方单位）．本题方法多只要满
足条件即可．
（3）如图，选择格点D、E，证明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．选择格点Q，证明
△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．推出BQ为线段AC的垂直平分线，设BQ与AC相交于点
F，则BF为所要求的△ABC的边AC上的高．
【解答】（1）解：如图a中，△A′B′C′即为所求．
（2）解：如图，取格点O，计算可知S△AOC ＝S△BOC ＝S△AOB ＝2（平方单位）
本题方法多，列举部分方法如下：（3）解：如图，选择格点D、E，证明△ABD≌△CBE．于是，AB＝CB．
选择格点Q，证明△ABQ≌△CBQ，于是，AQ＝CQ．
∴BQ为线段AC的垂直平分线，设BQ与AC相交于点F，则BF为所要求的△ABC的边AC上
的高．
【点评】本题考查作图，轴对称变换，三角形的面积等知识，解题的关键是学会利用数形结
合的思想解决问题，属于中考常考题型．
30．（2021秋•仓山区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边上的中线，E是AC 边
上的一点，且∠CBE＝∠CAD．求证：BE⊥AC．
【分析】根据等腰三角形的性质得出AD⊥BC，再得出∠CBE+∠C＝90°．
【解答】证明：∵AB＝AC，AD是BC边上的中线，
∴AD⊥BC，
∴∠CAD+∠C＝90°，
又∵∠CBE＝∠CAD，
∴∠CBE+∠C＝90°，
∴BE⊥AC．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质，掌握等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、
底边上的高相互重合是解题的关键．
