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第 5 章生活中的轴对称（压轴 30 题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•远安县二模）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个
入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的
球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
【分析】根据网格结构利用轴对称的性质作出球的运动路线，即可进行判断．
【解答】 解：如图所示，该球最后落入2号袋．
故选：B．
【点评】本题考查了生活中的轴对称现象，根据网格结构作出球的运动路线是解题的关键．
2．（2020•浙江自主招生）如图，五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC
＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的周
长最小值为（ ）
A． B． C． D．5
【分析】根据要使△AMN的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，作
出A关于BC和ED的对称点A′，A″，即可得出最短路线，再利用勾股定，求出即可．
【解答】解：作A关于BC和ED的对称点A′，A″，连接A′A″，交BC于M，交ED于N，
则A′A″即为△AMN的周长最小值．作EA延长线的垂线，垂足为H，设BC交y轴于点L，
以A点为原点建立平面直角坐标系，
∵∠EAB＝120°，∴∠A′AL＝30°，
∵AB＝BC＝1，AE＝DE＝2，
∴AA′＝2BA＝2，AA″＝2AE＝4，∴A′（﹣1，﹣ ），A″（4，0），
设直线A′A″的解析式为：y＝kx+b，
则 ，
解得： ，
故y
A′A″
＝ x﹣ ；
设直线AA′的解析式为：y＝ax，
则﹣ ＝﹣a，
解得：a＝
故直线AA′的解析式为：y＝ x，
可得BC所在直线解析式为：y＝﹣ x+d，
同理可得：B（﹣ ，﹣ ），
则可得：d＝﹣ ，
故直线BC所在直线解析式为：y＝﹣ x﹣ ，
则 ，
解得： ，
即M（ ，﹣ ），
故MB＝ ＝ ＜1，
∴M一定在线段BC上，
则Rt△A′HA中，∵∠EAB＝120°，∴∠HAA′＝60°，
∵A′H⊥HA，
∴∠AA′H＝30°，∴AH＝ AA′＝1，
∴A′H＝ ＝ ，
A″H＝1+4＝5，
∴A′A″＝ ＝2 ．
故选：B．
【点评】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及勾股定理的应用，根据已知得出M，N
的位置是解题关键．
3．（2017•启东市校级自主招生）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分
别落在点C ，D 处．若∠C BA＝50°，则∠ABE的度数为（ ）
1 1 1
A．15° B．20° C．25° D．30°
【分析】根据折叠前后对应角相等可知．
【解答】解：设∠ABE＝x，
根据折叠前后角相等可知，∠C BE＝∠CBE＝50°+x，
1
所以50°+x+x＝90°，
解得x＝20°．
故选：B．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
4．（2015•莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段
BN．观察，探究可以得到∠ABM的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．45°
【分析】连接AN，根据折叠的性质得到△ABN为等边三角形，可得∠ABN＝60°，于是得到
∠ABM＝∠NBM＝30°．
【解答】解：连接AN，
∵EF垂直平分AB，
∴AN＝BN，
由折叠知AB＝BN，
∴AN＝AB＝BN，
∴△ABN为等边三角形，
∴∠ABN＝60°，
∴∠ABM＝∠NBM＝30°．
故选：B．
【点评】本题考查了翻折变换，等边三角形的性质，翻折前后对应角相等；对应边相等；注
意特殊角及三角函数的应用．
5．（2020•河北模拟）如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折
叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．110° B．120° C．140° D．150°
【分析】由题意知∠DEF＝∠EFB＝20°图b∠GFC＝140°，图c中的∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG．
【解答】解：∵AD∥BC，
∴∠DEF＝∠EFB＝20°，
在图b中∠GFC＝180°﹣2∠EFG＝140°，
在图c中∠CFE＝∠GFC﹣∠EFG＝120°，
故选：B．【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
6．（2019•滨海新区模拟）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BC，交AD于点E，下列说法
正确的有（ ）
①∠BAC＝∠ACB；②S四边形ABDC ＝AD•CE；③AB2+CD2＝AC2+BD2；④AB﹣BD＝AC﹣
CD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质求出AD⊥BC，然后利用三角形的面积可证明②是
正确的，然后利用边角边定理证明△ABD与△ACD全等，从而得到③④是正确的，没有条
件说明①的正误．
【解答】解：∵AD平分∠BAC，AB＝AC，
∴AD⊥BC，CE＝BE，
∴S四边形ABDC ＝S△ABD +S△ACD ＝ AD×BE+ AD×CE＝ AD（BE+CE）＝AD×BC，故②错误；
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
在△ABD与△ACD中，
，
∴△ABD≌△ACD（SAS），
∴BD＝CD，
∴③AB2+CD2＝AC2+BD2；④AB﹣BD＝AC﹣CD，故③④正确；
△ABC不一定是等边三角形，∴∠BAC＝∠ACB不一定成立，
故①不一定正确．
所以正确的有③④共2个．
故选：B．
【点评】本题考查了等腰三角形的三线合一的性质，全等三角形的判定与性质，正确得出两
三角形全等是解题的关键．
7．（2019•站前区校级三模）有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD
边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），
则CF的长为（ ）A．1 B．1 C． D．
【分析】利用折叠的性质，即可求得BD的长与图3中AB的长，又由相似三角形的对应边成
比例，即可求得BF的长，则由CF＝BC﹣BF即可求得答案．
【解答】解：如图2，根据题意得：BD＝AB﹣AD＝2.5﹣1.5＝1，
如图3，AB＝AD﹣BD＝1.5﹣1＝0.5，
∵BC∥DE，
∴△ABF∽△ADE，
∴ ＝ ，
即 ，
∴BF＝0.5，
∴CF＝BC﹣BF＝1.5﹣0.5＝1．
故选：B．
【点评】此题考查了折叠的性质与相似三角形的判定与性质．题目难度不大，注意数形结合
思想的应用．
8．（2018•桐梓县二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一点，将△BCE沿
着CE折叠至△FCE，若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的 O相切，则折痕CE
的长为（ ）
⊙
A． B．5 C． D．以上都不对
【分析】连接OC，则根据正方形的性质可推出∠ECF＝∠BCE＝ ∠BCD＝30°，在
RT△BCE中，设BE＝x，则CE＝2x，利用勾股定理可得出x的值，也即可得出CE的长度．
【解答】解：连接OC，则∠DCO＝∠BCO，∠FCO＝∠ECO，
∴∠DCO﹣∠FCO＝∠BCO﹣∠ECO，即∠DCF＝∠BCE，
又∵△BCE沿着CE折叠至△FCE，∴∠BCE＝∠ECF，
∴∠ECF＝∠BCE＝ ∠BCD＝30°，
在RT△BCE中，设BE＝x，则CE＝2x，
得CE2＝BC2+BE2，即4x2＝x2+42，
解得BE＝ ，
∴CE＝2x＝ ．
故选：C．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题的关键是根据切线的性质得到∠BCE＝∠ECF
＝∠DCF＝ ∠BCD＝30°，有一定难度．
9．（2017•洪山区模拟）在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A
落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移
动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据翻折变换，当点Q与点D重合时，点A′到达最左边，当点P与点B重合时，
点A′到达最右边，所以点A′就在这两个点之间移动，分别求出这两个位置时A′B的长度，
然后两数相减就是最大距离．
【解答】解：如图1，当点D与点Q重合时，根据翻折对称性可得
A′D＝AD＝5，
在Rt△A′CD中，A′D2＝A′C2+CD2，
即52＝（5﹣A′B）2+32，
解得A′B＝1，
如图2，当点P与点B重合时，根据翻折对称性可得A′B＝AB＝3，∵3﹣1＝2，
∴点A′在BC边上可移动的最大距离为2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了折叠问题，也考查了勾股定理，它们的综合性比较强，对于学生的
综合能力要求比较高，平时加强训练．
10．（2016•卢龙县一模）图①是一块边长为1，周长记为P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪
1
去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形
纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的 ）后，得图③，④，…，记第n
（n≥3）块纸板的周长为P
n
，则P
n
﹣P
n﹣1
的值为（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据等边三角形的性质（三边相等）求出等边三角形的周长P ，P ，P ，P ，根据
1 2 3 4
周长相减的结果能找到规律即可求出答案．
【解答】解：P ＝1+1+1＝3，
1
P ＝1+1+ ＝ ，
2
P ＝1+ + + ×3＝ ，
3
P ＝1+ + + ×2+ ×3＝ ，
4
…
∴p ﹣p ＝ ﹣ ＝ ＝ ，
3 2
P ﹣P ＝ ﹣ ＝ ＝ ，
4 3则Pn﹣Pn﹣1＝ ＝ ．
故选：C．
【点评】本题考查了等边三角形的性质；要求学生通过观察图形，分析、归纳发现其中的规
律，并应用规律解决问题．
二．填空题（共10小题）
11．（2020•泰安一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折
痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝ ，则矩形ABCD的周长是 3 6 cm ．
【分析】根据tan∠EFC＝ 设CE＝3k，在RT△EFC中可得CF＝4k，EF＝DE＝5k，根据
∠BAF＝∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继
而代入可得出答案．
【解答】解：设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝ ，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE＝ ＝ ＝5 ，
解得：k＝1，
故矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36cm．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的
长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．
12．（2020•浙江自主招生）如图，图1是一块边长为1，面积记为S 的正三角形纸板，沿图1的
1
底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三
角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 ）后，得图3，图4，…，记第n（n≥3）块纸板的面积为S ，则S ＝ ﹣ [1 ﹣（ ） n ] ．
n n
【分析】根据等边三角形的性质得出，三角形的边长分别为： ， ， …即相邻三角形相似
比为：1：2，进而求出即相邻三角形面积比，从而得出规律．
【解答】解：∵依次剪去一块更小的正三角形纸板，即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板
边长的 ，
∴三角形的边长分别为： ， ， …
即相邻三角形相似比为：1：2，
∴即相邻三角形面积比为：1：4，
∴剪去一块的正三角形纸板面积分别为： ， ， …
第n个纸板的面积为： ﹣ ﹣ ﹣ ﹣•••﹣ ＝ ﹣ × ＝ ﹣
[1﹣（ ）n]，
故答案为： ﹣ [1﹣（ ）n]．
【点评】此题主要考查了等边三角形的性质与数据的规律性知识，此题得出相邻三角形面积
比，从而表示出各三角形面积是解决问题的关键．
13．（2020•浙江自主招生）如图，将边长为3+ 的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F
重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD＝1，则重叠部分的面积为
．
【分析】观察图形可知重叠部分的面积即是△DEF的面积减去△MNF的面积．由折叠的性质，可求得∠BDE＝∠EDF＝45°，由四边形的内角和为360°，求得∠BEF为150°，得到∠CEM为
30°，则可证得∠EMC为90°；作△BDE的高，根据45°与60°的三角函数，借助于方程即可求
得其高的值，则各三角形的面积可解．
【解答】解：过点E作EG⊥AB于G，
∴∠EGB＝90°，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝3+ ，
根据题意得：∠BDE＝∠FDE，∠F＝∠B＝60°，
∵DF⊥AB，
∴∠FDB＝90°，
∴∠BEF＝360°﹣∠B﹣∠F﹣∠BDF＝150°，∠BDE＝∠FDE＝ ∠FDB＝45°
∴∠MEC＝180°﹣∠BEF＝30°，
∴∠EMC＝180°﹣∠C﹣∠EMC＝90°，
在Rt△ADN中，AD＝1，tan∠A＝tan60°＝ ＝ ，
∴DN＝ ，
∴S△ADN ＝ AD•DN＝ ×1× ＝ ，
在△BDE中，DB＝AB﹣AD＝3+ ﹣1＝2+ ，
∵∠EDG＝45°，
∴∠DEG＝45°，
∴DG＝EG，
∵tan∠B＝tan60°＝ ＝ ，
设EG＝x，则DG＝x，BG＝ x，
∴x+ x＝2+ ，
解得：x＝ ，∴EG＝DG＝ ，
∴S△BDE ＝ BD•EG＝ ×（2+ ）× ＝ ，
∵∠B＝∠C＝∠F＝60°，
∴BE＝ ＝ +1，
∴EC＝BC﹣BE＝2，
∵∠BED＝∠FED＝180°﹣∠B﹣∠BDE＝75°，
∴∠FNM＝∠MEC＝30°，
∴∠FMN＝∠EMC＝90°，
∴EM＝EC•cos30°＝ ，
∴FM＝EF﹣EM＝BE﹣EM＝1，
∴MN＝FM•tan60°＝ ，
∴S四边形MNDE ＝S△DEF ﹣S△MNF ＝S△BDE ﹣S△MNF ＝ ﹣ ×1× ＝ ．
【点评】此题考查了等边三角形的性质，折叠的性质以及三角函数的性质等知识．此题综合
性很强，解题的关键是抓住数形结合思想的应用．
14．（2019•南阳二模）如图，把矩形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD
边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为 2 4 ．
【分析】由图形翻折变换的性质可知，BF＝PF，PH＝CH，由于∠FPH＝90°，所以在
Rt△PFH中利用勾股定理可求出FH的长，进而可求出BC的长．
【解答】解：∵矩形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD边的P点处，
∴BF＝PF＝8，PH＝CH＝6，
∵∠FPH＝90°，
∴在Rt△PFH中，FH2＝PF2+PH2，即FH2＝82+62，
∴FH＝10，
∴BC＝BF+CH+FH＝8+6+10＝24．
故答案为：24．
【点评】本题考查的是图形翻折变换的性质，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属
于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．
15．（2022•哈尔滨模拟）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，
使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的周长为 1 1 或 1 0 ．
【分析】解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠
前后图形的形状和大小不变．
【解答】解：当角B翻折时，B点与D点重合，DE与EC的和就是BC，也就是说等于8，CD
为AC的一半，故△CDE的周长为8+3＝11；
当A翻折时，A点与D点重合．同理DE与EC的和为AC＝6，CD为BC的一半，所以CDE
的周长为6+4＝10．故△CDE的周长为10或11．
【点评】本题考查图形的翻折变换．
16．（2021春•江夏区校级月考）若x＞0，y＞0，且x+y＝12．则 的最小值是
13 ．
【分析】将代数式 转化为 + ，
理解为A（x，0）到B（0，2）、C（12，3）的距离的最小值，利用勾股定理解答即可．
【解答】解：∵x+y＝12，∴y＝12﹣x，
原式可化为： ＝ + ，
即可理解为A（x，0）到B（0，2）、C（12，3）的距离的最小值．
如图： 的最小值即B′
C的长度．
∵B′C＝ ＝13，
∴ 的最小值为13．
故答案为：13
【点评】本题考查利用轴对称求最短路线的问题，难度较大，解题关键是将求代数式的值巧
妙的转化为几何问题．
17．（2021•滨江区三模）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点
C，D重合），压平后得到折痕MN．设AB＝2，当 时，则 ＝ ．若 （n为整数），则 ＝ ．（用含n的式子表示）
【分析】设EF和AD的交点为G，先求得CN，NE的长，再根据两组相似三角形：
△NCE∽△EDG∽△MFG，利用成比例线段即可求解．
【解答】解：已知 （n为整数），且CD＝2，则CE＝ ，DE＝ ；
设AM＝a，BN＝b；
在Rt△NCE中，NE＝BN＝b，NC＝2﹣b，由勾股定理得：
NE2＝NC2+CE2，即b2＝（2﹣b）2+（ ）2；
解得：b＝ ，BN＝NE＝ ，NC＝2﹣b＝ ；
由于∠NEF＝90°，∠C＝∠D，
∴∠GED+∠NEC＝90°，∠GED+∠DGE＝90°，
∴∠NEC＝∠DGE，
易证得△NEC∽△EDG，
∴ ，即 ；
解得：EG＝ ，FG＝EF﹣EG＝2﹣ ＝ ，
∵∠FGM＝∠DGE＝∠NEC，且∠F＝∠C＝90°，
∴△MFG∽△NCE，得： ；
即： ，解得：MF＝ ；∴ ＝ ；
当n＝2时， ；
故答案为： ， ．
【点评】本题考查图形的翻折变换，相似三角形的判定和性质以及勾股定理的综合应用，由
于计算量较大，需要细心求解．
18．（2020秋•饶平县校级期中）如图，已知：∠MON＝30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点
1 2 3
B 、B 、B …在射线OM上，△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA ＝2，
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
则△A B A 的边长为 6 4 ．
6 6 7
【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质，得出A B ∥A B ∥A B ，以及A B ＝
1 1 2 2 3 3 2 2
2B A ，得出A B ＝4B A ＝4，A B ＝8B A ＝8，A B ＝16B A ＝32，据此得出答案．
1 2 3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
【解答】解：如图，∵△A B A 是等边三角形，
1 1 2
∴A B ＝A B ，∠3＝∠4＝∠12＝60°，
1 1 2 1
∴∠2＝120°，
∵∠MON＝30°，
∴∠1＝180°﹣120°﹣30°＝30°，
又∵∠3＝60°，
∴∠5＝180°﹣60°﹣30°＝90°，
∵∠MON＝∠1＝30°，
∴OA ＝A B ＝2，
1 1 1
∴A B ＝2，
2 1
∵△A B A 、△A B A 是等边三角形，
2 2 3 3 3 4
∴∠11＝∠10＝60°，∠13＝60°，
∵∠4＝∠12＝60°，
∴A B ∥A B ∥A B ，B A ∥B A ，
1 1 2 2 3 3 1 2 2 3
∴∠1＝∠6＝∠7＝30°，∠5＝∠8＝90°，
∴A B ＝2B A ，B A ＝2B A ，
2 2 1 2 3 3 2 3∴A B ＝4B A ＝8，A B ＝8B A ＝16，A B ＝16B A ＝32，
3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
∴A B ＝32B A ＝64，
6 6 1 2
故答案为：64．
【点评】本题考查的是平行线的性质、等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知
得出规律A B ＝4B A ，A B ＝8B A ，A B ＝16B A 是解题的关键．
3 3 1 2 4 4 1 2 5 5 1 2
19．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将其沿对角线BD折叠，顶点C的对应位置为G（如图
1），BG交AD于E；再折叠，使点D落在点A处，折痕MN交AD于F，交DG于M，交BD
于N，展开后得图2，则折痕MN的长为 ．
【分析】依题意可知△DFM为直角三角形，且DF＝ AD＝2，由折叠的性质可证
△ABE≌△GDE，在Rt△ABE中，由勾股定理求BE，利用△ABE∽△FDM，可得对应边的比
相等可求MF，继而求出MN的长．
【解答】解：如图，由已知可得MN垂直平分AD，DF＝ AD＝2，FN＝ AB＝ ，
∵AB＝CD＝GD，∠A＝∠G＝90°，∠AEB＝∠GED，
∴△ABE≌△GDE，
设AE＝x，则BE＝ED＝4﹣x，
在Rt△ABE中，由勾股定理得
AB2+AE2＝BE2，即32+x2＝（4﹣x）2，
解得x＝ ，
易证△ABE∽△FDM，∴ ，即 ＝ ，
解得MF＝ ．
∴MN＝NF+FM＝ ＝ ．
故答案为： ．
【点评】本题考查了折叠的性质，三角形全等的判定与性质，三角形相似的判定与性质，勾
股定理的运用．关键是由性质将有关线段进行转化．
20．（2017•准格尔旗一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、Q
为BC边上两个动点，且PQ＝2，当BP＝ 4 时，四边形APQE的周长最小．
【分析】要使四边形APQE的周长最小，由于AE与PQ都是定值，只需AP+EQ的值最小即可．
为此，先在BC边上确定点P、Q的位置，可在AD上截取线段AF＝DE＝2，作F点关于BC
的对称点G，连接EG与BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P
点，则此时AP+EQ＝EG最小，然后过G点作BC的平行线交DC的延长线于H点，那么先证
明∠GEH＝45°，再由CQ＝EC即可求出BP的长度．
【解答】解：如图，在AD上截取线段AF＝PQ＝2，作F点关于BC的对称点G，连接EG与
BC交于一点即为Q点，过A点作FQ的平行线交BC于一点，即为P点，过G点作BC的平行
线交DC的延长线于H点．
∵GH＝DF＝6，EH＝2+4＝6，∠H＝90°，
∴∠GEH＝45°，
∴∠CEQ＝45°，
设BP＝x，则CQ＝BC﹣BP﹣PQ＝8﹣x﹣2＝6﹣x，
在△CQE中，∵∠QCE＝90°，∠CEQ＝45°，
∴CQ＝EC，
∴6﹣x＝2，
解得x＝4．
故答案为4．【点评】本题考查了矩形的性质，轴对称﹣最短路线问题的应用，题目具有一定的代表性，
是一道难度较大的题目，对学生提出了较高的要求．
三．解答题（共10小题）
21．（2013•广东模拟）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使D点落在BC边上点F处，已知折
痕AE＝ cm，且tan∠EFC＝ ．求矩形ABCD的周长．
【分析】根据tan∠EFC＝ 设CE＝3k，在RT△EFC中可得CF＝4k，EF＝DE＝5k，根据
∠BAF＝∠EFC，利用三角函数的知识求出AF，然后在RT△AEF中利用勾股定理求出k，继
而代入可得出答案．
【解答】解：设CE＝3k，则CF＝4k，由勾股定理得EF＝DE＝5k，
∴DC＝AB＝8k，
∵∠AFB+∠BAF＝90°，∠AFB+∠EFC＝90°，
∴∠BAF＝∠EFC，
∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝ ，
∴BF＝6k，AF＝BC＝AD＝10k，
在Rt△AFE中由勾股定理得AE＝ ＝ ＝5 ，
解得：k＝1．
故矩形ABCD的周长＝2（AB+BC）＝2（8k+10k）＝36（cm）．
【点评】此题考查了翻折变换的知识，解答本题关键是根据三角函数值，表示出每条线段的
长度，然后利用勾股定理进行解答，有一定难度．
22．（2013•青羊区一模）如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，
同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线
BC相交于点D．（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、DE、
CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
【分析】（1）过点P做PF平行于AQ，由平行我们得出一对同位角和一对内错角的相等，再
由AB＝AC，根据等边对等角得角B和角ACB的相等，根据等量代换的角B和角PFB的相等，
根据等角对等边得BP＝PF，又因点P和点Q同时出发，且速度相同即BP＝CQ，等量代换得
PF＝CQ，在加上对等角的相等，证得三角形PFD和三角形QCD的全等，根据全等三角形的
对应边边相等得出DF＝CD＝ CF，而又因P是AB的中点，PF∥AQ得出F是BC的中点，
进而根据已知的BC的长，求出CF，即可得出CD的长．
（2）分两种情况讨论，第一种情况点P在线段AB上，根据等腰三角形的三线合一得BE＝EF，
再又第一问的全等可知DF＝CD，所以ED＝EF+FD＝BE+DC＝ BC＝3，得出线段DE的长
为定值；第二种情况，P在BA的延长线上，作PM平行于AC交BC的延长线于M，根据两直
线平行，同位角相等推出角PMB等于角ACB，而角ACB等于角ABC，根据等量代换得到角
ABC等于角PMB，根据等角对等边得到PM等于PB，根据三线合一，得到BE等于EM，同
理可得△PMD全等于△QCD，得到CD等于DM，根据DE等于EM减DM，把EM换为BC
加CM的一半，化简后得到值为定值．
【解答】解：（1）如图，过P点作PF∥AC交BC于F，
∵点P和点Q同时出发，且速度相同，
∴BP＝CQ，
∵PF∥AQ，
∴∠PFB＝∠ACB，∠DPF＝∠CQD，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PFB，
∴BP＝PF，
∴PF＝CQ，又∠PDF＝∠QDC，
∴证得△PFD≌△QCD，
∴DF＝CD＝ CF，又因P是AB的中点，PF∥AQ，
∴F是BC的中点，即FC＝ BC＝3，
∴CD＝ CF＝ ；
（2）分两种情况讨论，得ED为定值，是不变的线段，
如图，如果点P在线段AB上，
过点P作PF∥AC交BC于F，
∵△PBF为等腰三角形，
∴PB＝PF，
BE＝EF，
∴PF＝CQ，
∴FD＝DC，
∴ED＝EF+FD＝BE+DC＝ BC＝3，
∴ED为定值，
同理，如图，若P在BA的延长线上，
作PM∥AC的延长线于M，
∴∠PMC＝∠ACB，
又∵AB＝AC，
∴∠B＝∠ACB，
∴∠B＝∠PMC，
∴PM＝PB，根据三线合一得BE＝EM，
同理可得△PMD≌△QCD，
所以CD＝DM，
∵BE＝EM，CD＝DM，
∴ED＝EM﹣DM＝ ﹣DM＝ + ﹣DM＝3+DM﹣DM＝3，综上所述，线段ED的长度保持不变．
【点评】此题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判断与性质，考查了分类讨论的数学
思想，是一道综合题．
23．（2013•绍兴模拟）如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，
求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画
出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四
边形AEGF是正方形．设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
（1）请你帮小萍求出x的值．
（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4．请你按照小萍的方法画图，得到
四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）
【分析】（1）正方形AEGF的边长是x．则BG＝EC﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，在
直角△BGC中利用勾股定理即可得到关于x的方程，即可求解；
（2）可以证明△AEF是等边三角形，△EFG是等腰三角形，作出底边上的高，利用三角函数
即可求解EG，根据△BGC的周长是：BG+GC+BC＝BG+GC+BD+CD＝BG+GC+BE+CF＝2EG
即可求解．
【解答】解：（1）分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，
D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，
得到四边形AEGF是正方形，
根据对称的性质可得：BE＝BD＝2，CF＝CD＝3，
设AD＝x，则正方形AEGF的边长是x，
则BG＝EG﹣BE＝x﹣2，CG＝FG﹣CF＝x﹣3，在直角△BCG中，根据勾股定理可得：（x﹣2）2+（x﹣3）2＝52，
解得：x＝6或﹣1（舍去）．
故边长是6；
（2）作GM⊥EF于点M．
根据对称的性质可得：AE＝AF＝AD＝4，
∠EAB＝∠BAD，∠FAC＝∠DAC，
又∵∠BAC＝30°，
∴∠EAF＝60°，
∴△AEF是等边三角形，
∴EF＝AE＝4，∠AEF＝∠AFE＝60°，
∴∠GEF＝∠GFE＝30°，
则EG＝GF，
∴EM＝ EF＝2，
∴EG＝ ＝ ，
∴△BGC的周长是：BG+GC+BC＝BG+GC+BD+CD＝BG+GC+BE+CF＝2EG＝ ．
【点评】本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，
根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
24．（2012•赤峰）阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同
学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张
丽同学的用纸总面积为W ，李明同学的用纸总面积为W ．回答下列问题：
1 2
①W ＝ 3 x + 7 y （用x、y的式子表示）
1
W ＝ 2 x + 8 y （用x、y的式子表示）
2
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l
的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a ＝AB+AP．
1
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，
该方案中管道长度a ＝AP+BP．
2
①在方案一中，a ＝ （ 3+ x ） km（用含x的式子表示）；
1
②在方案二中，a ＝ km（用含x的式子表示）；
2
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
【分析】（1）①根据题意得出3x+7y和2x+8y，即得出答案；②求出W ﹣W ＝x﹣y，根据x
1 2
和y的大小比较即可；
（2）①把AB和AP的值代入即可；②过B作BM⊥AC于M，求出AM，根据勾股定理求出
BM．再根据勾股定理求出BA′，即可得出答案；
③求出 ＝6x﹣39，分别求出6x﹣39＞0，6x﹣39＝0，6x﹣39＜0，即可得出答案．
【解答】（1）解：①W ＝3x+7y，W ＝2x+8y，
1 2
故答案为：3x+7y，2x+8y．
②解：W ﹣W ＝（3x+7y）﹣（2x+8y）＝x﹣y，
1 2∵x＞y，
∴x﹣y＞0，
∴W ﹣W ＞0，
1 2
得W ＞W ，
1 2
所以张丽同学用纸的总面积大．
（2）①解：a ＝AB+AP＝x+3，
1
故答案为：x+3．
②解：过B作BM⊥AC于M，
则AM＝4﹣3＝1，
在△ABM中，由勾股定理得：BM2＝AB2﹣12＝x2﹣1，
在△A′MB中，由勾股定理得：AP+BP＝A′B＝ ＝ ，
故答案为： ．
③解： ＝（x+3）2﹣（ ）2＝x2+6x+9﹣（x2+48）＝6x﹣39，
当 ＞0（即a ﹣a ＞0，a ＞a ）时，6x﹣39＞0，解得x＞6.5，
1 2 1 2
当 ＝0（即a ﹣a ＝0，a ＝a ）时，6x﹣39＝0，解得x＝6.5，
1 2 1 2
当 ＜0（即a ﹣a ＜0，a ＜a ）时，6x﹣39＜0，解得x＜6.5，
1 2 1 2
综上所述
当x＞6.5时，选择方案二，输气管道较短，
当x＝6.5时，两种方案一样，
当0＜x＜6.5时，选择方案一，输气管道较短．
【点评】本题考查了勾股定理，轴对称﹣最短路线问题，整式的运算等知识点的应用，通过
做此题培养了学生的计算能力和阅读能力，题目具有一定的代表性，是一道比较好的题目．
25．（2016秋•和平区期中）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC交于D点，M、N分别在线段AD、AC上的动点，连接MN、MC，当MN+MC最小时，画出M、N的
位置．已知△ABC的面积为12cm2，AB＝6cm，求MN+MC的最小值．
【分析】①作DE⊥AB于点E，连接CE，作EN⊥AC于点N，交AD于点M，则点M、N就
是所求作的点．
②作MF⊥AB于点F，证明：MN+MC的最短距离为MN+ME＝EN，再证明点F、M、C三点
共线，NE＝CF，然后根据三角形的面积求解即可．
【解答】解：如图：作DE⊥AB于点E，连接CE，作EN⊥AC于点N，交AD于点M，则点
M、N就是所求作的点．
∵AD平分∠BAC与BC交于D点，∠ACB＝90°
∴由作图可知：CD＝DE
∴△ADE与△ADC关于直线AD对称，即点C与点E关于直线AD对称，
∵作EN⊥AC于点N，交AD于点M，
∴EN是点E到AC的最短距离，
∴MN+MC＝MN+ME＝EN，
作MF⊥AB于点F，
则：MN＝MF
在Rt△FME与Rt△NMC中，
Rt△FME≌Rt△NMC（HL），
∴∠FME＝∠NMC
∠FME+∠EMC＝∠EMC+∠NMC＝180°．
∴点F、M、C三点共线，NE＝CF
∵已知△ABC的面积为12cm2，AB＝6cm，
∴ ×6•CF＝12，
∴CF＝4（cm），
即：MN+MC的最小值为4cm．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题、角平分线的性质，解题的关键是掌握“两点之
间线段最短”与“点到直线的所有连线当中，垂线段最短”等知识要点．
26．（2013•武汉模拟）已知△ABC中，点E为边AB的中点，将△AEC沿CE所在的直线折叠得
△A′EC，BF∥AC，交直线A′C于F．
（1）若∠ACB＝90°，∠A＝30°，求证：AC＝CF+BF．
（2）若∠ACB为任意角，在图（2）图（3）的情况下分别写出AC、CF、BF之间关系，并证
明图（3）结论．
（3）如图（4），若∠ACB＝120°，BF＝6，BC＝4，则AC的长为 6+ 2 ．
【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得AE＝CE，根据等边对等角
可得∠ACE＝∠A，再根据翻折的性质可得∠A′CE＝∠ACE，然后求出∠BCF＝30°，再根据
两直线平行，同旁内角互补求出∠CBF＝90°，然后用BF表示出CF、BC，再表示出AC，即
可得证；
（2）图（2），连接A′B，根据翻折的性质可得A′E＝AE，A′C＝AC，∠A＝∠CA′E，
根据中点定义可得AE＝BE，从而得到BE＝A′E，然后根据等边对等角可得∠EA′B＝
∠EBA′，根据两直线平行，内错角相等可得∠A＝∠ABF，然后求出∠FA′B＝∠FBA′，
根据等角对等边可得A′F＝BF，再根据A′C＝CF+A′F整理即可得证；图（3）同理求出
A′F＝BF，再根据A′C＝CF﹣A′F整理即可得证；
（3）连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，根据两直线平行，同旁内角互补求出∠CBF＝60°，
然后解直角三角形求出BG、FG，再求出CG，然后利用勾股定理列式求出CF，再根据AC＝
CF+BF代入数据计算即可得解．
【解答】（1）证明：∵∠ACB＝90°，点E为边AB的中点，
∴AE＝CE，
∴∠ACE＝∠A＝30°，
由翻折的性质得，∠A′CE＝∠ACE，
∴∠BCF＝90°﹣30°×2＝30°，
∵BF∥AC，
∴∠CBF＝180°﹣∠ACB＝180°﹣90°＝90°，
∴CF＝2BF，BC＝BF÷tan30°＝BF÷ ＝ BF，
又∵AC＝BC÷tan30°＝ BF÷ ＝3BF，∴AC＝CF+BF；
（2）解：如图（2），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E＝AE，A′C＝AC，∠A＝∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝A′E，
∴∠EA′B＝∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A＝∠ABF，
∵∠FA′B＝∠EA′B﹣∠CA′E，
∠FBA′＝∠EBA′﹣∠ABF，
即∠FA′B＝∠FBA′，
∴A′F＝BF，
∵A′C＝CF+A′F，
∴AC＝CF+BF；
如图（3），连接A′B，
由翻折的性质得，A′E＝AE，A′C＝AC，∠A＝∠CA′E，
∵点E为边AB的中点，
∴AE＝BE，
∴BE＝A′E，
∴∠EA′B＝∠EBA′，
∵BF∥AC，
∴∠A+∠ABF＝180°，
∵∠CA′E+∠EA′F＝180°，
∴∠ABF＝∠EA′F，
∵∠FA′B＝∠EA′F﹣∠EA′B，
∠FBA′＝∠ABF﹣∠EBA′，
即∠FA′B＝∠FBA′，
∴A′F＝BF，
∵A′C＝CF﹣A′F，
∴AC＝CF﹣BF；
（3）解：如图（4），连接A′B，过点F作FG⊥BC于G，
∵BF∥AC，∠ACB＝120°，∴∠CBF＝180°﹣120°＝60°，
∴BG＝BF•cos60°＝6× ＝3，FG＝BF•sin60°＝6× ＝3 ，
∴CG＝BC﹣BG＝4﹣3＝1，
在Rt△CGF中，CF＝ ＝ ＝2 ，
∴AC＝BF+CF＝6+2 ．
故答案为：6+2 ．
【点评】本题考查了翻折变换，平行线的性质，等边对等角的性质，解直角三角形，勾股定
理的应用，作辅助线构造出等腰三角形是解题的关键，也是本题的难点．
27．（2013•杭州模拟）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4cm，DC＝
6cm，试求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此
题．请按照她的思路回答下列问题：
（1）小萍分别以AB、AC所在的直线为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的
对称点分别为点E、F，延长EB、FC相交于G点．试帮她证明四边形AEGF是正方形；
（2）联系（1）的结论，试求出AD的长．
【分析】（1）先根据图形翻折变换的性质可知△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF，得出
∠EAF＝90°；再根据对称的性质得到AE＝AF，从而说明四边形AEGF是正方形；
（2）利用勾股定理，建立关于x的方程模型（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102，求出AD＝x＝12．
【解答】（1）证明：∵△ABE由△ABD翻折而成，△ACF由△ACD翻折而成，
∴△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF．
∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，
∴∠EAF＝90°．
又∵AD⊥BC∴∠E＝∠ADB＝90°，∠F＝∠ADC＝90°．
又∵AE＝AD，AF＝AD
∴AE＝AF．
∴四边形AEGF是正方形．
（2）解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x．
∵BD＝4，DC＝6
∴BE＝4，CF＝6
∴BG＝x﹣4，CG＝x﹣6
在Rt△BGC中，BG2+CG2＝BC2，
∴（x﹣4）2+（x﹣6）2＝102，即x2﹣10x﹣24＝0，解得x ＝12，x ＝﹣2（舍去）
1 2
∴AD＝x＝12．
【点评】本题考查图形的翻折变换和利用勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对
称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
28．（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，
，求证：∠B＝30°，请你完成证明过程．
（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，
沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）
中的结论求∠ADG的度数和AG的长．
（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），
当AB＝6，求EF的长．
【分析】（1）Rt△ABC中，根据sinB＝ ＝ ，即可证明∠B＝30°；
（2）求出∠FA′D的度数，利用翻折变换的性质可求出∠ADG的度数，在Rt△A'FD中求出
A'F，得出A'E，在Rt△A'EG中可求出A'G，利用翻折变换的性质可得出AG的长度．
（3）先判断出AD＝ AC，得出∠ACD＝30°，∠DAC＝60°，从而求出AD的长度，根据翻折
变换的性质可得出∠DAF＝∠FAO＝30°，在Rt△ADF中求出DF，继而得出FO，同理可求出
EO，再由EF＝EO+FO，即可得出答案．
【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠C＝90°， ，∵sinB＝ ＝ ，
∴∠B＝30°；
（2）解：∵正方形边长为2，E、F为AB、CD的中点，
∴EA＝FD＝ ×边长＝1，
∵沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，
∴A′D＝AD＝2，
∴ ＝ ，
∴∠FA′D＝30°，
可得∠FDA′＝90°﹣30°＝60°，
∵A沿GD折叠落在A′处，
∴∠ADG＝∠A′DG，AG＝A′G，
∴∠ADG＝ ＝ ＝15°，
∵A′D＝2，FD＝1，
∴A′F＝ ＝ ，
∴EA′＝EF﹣A′F＝2﹣ ，
∵∠EA′G+∠DA′F＝180°﹣∠GA′D＝90°，
∴∠EA′G＝90°﹣∠DA′F＝90°﹣30°＝60°，
∴∠EGA′＝90°﹣∠EA′G＝90°﹣60°＝30°，
则A′G＝AG＝2EA′＝2（2﹣ ）；
（3）解：∵折叠后B、D两点恰好重合于一点O，
∴AO＝AD＝CB＝CO，
∴DA＝ ，
∵∠D＝90°，
∴∠DCA＝30°，
∵AB＝CD＝6，
在Rt△ACD中， ＝tan30°，
则AD＝DC•tan30°＝6× ＝2 ，∵∠DAF＝∠FAO＝ ∠DAO＝ ＝30°，
∴ ＝tan30°＝ ，
∴DF＝ AD＝2，
∴DF＝FO＝2，
同理EO＝2，
∴EF＝EO+FO＝4．
【点评】本题考查了翻折变换的知识，涉及了含30°角的直角三角形的性质、平行四边形的性
质，综合考查的知识点较多，注意将所学知识融会贯通．
29．（2013•南岗区校级一模）等腰△ABC中，CA＝CB，点D为边AB上一点，沿CD折叠
△CAD得到△CFD，边CF交边AB于点E，CD＝CE，连接BF．
（1）求证：FD＝FB．
（2）连接AF交CD的延长线于点M，连接ME交线段DF于点N，若EF＝4EC，AB＝22，求
MN的长．
【分析】（1）首先根据全等三角形判定的方法，判断出△ACE≌△BCD，推得AE＝BD，DF
＝EB，然后判断出△DCF≌△ECB，推得∠FDE＝∠BCE，最后根据相似三角形判定的方法，
判断出△DEF∽△CEB，推得 ＝ ，再根据∠DEC＝∠FEB，推得△DEC∽△FEB，再判
断出∠FDB＝∠FBD，即可推得FD＝FB．
（2）首先根据相似三角形判定的方法，判断出△DEF∽△CEB，推得 ，再判断出
△CED∽△BEF，推得∠DCE＝∠EBF，进而判断出△EBF、△BCF为等腰三角形，所以
∠BCF＝∠EBF，∠DCE＝∠BCF，CE为△BCD和∠BCD的平分线；最后由角平分线定理，
可得 ， ，求出ED、EC的值各是多少；再判断出△MNG∽△END，推得
＝ ， ＝ ，MN＝ ME，解直角三角形求出EM，据此求出MN的大小即可．
【解答】（1）证明：如图1，，
∵CA＝CB，
∴∠A＝∠ABC，∵CD＝CE，
∴∠CDE＝∠CED，
在△ACE与△BCD中
∴△ACE≌△BCD（AAS）
∴AE＝BD，
∴AD＝EB，
∵AD＝DF，
∴DF＝EB，
在△DCF与△ECB中
∴△DCF≌△ECB（SSS），
∠DCE＝∠ECB，∠DFE＝∠EBC，
∴∠FDE＝∠BCE，
∴△DEF∽△CEB，
∴ ＝ ，
∵∠DEC＝∠FEB，
∴△DEC∽△FEB，
∴∠DCE＝∠EBF，
∴∠FDB＝∠FBD，
∴FD＝FB．
（2）解：∵沿CD折叠△CAD得到△CFD，
∴CA＝CF，∠CAD＝∠CFD，
∵∠CAD＝∠CBE，
∴∠CFD＝∠CBE，
∵∠DEF＝∠CEB，
∴△DEF∽△CEB，
∴ ，
又∵∠CED＝∠BEF，
∴△CED∽△BEF，∴∠DCE＝∠EBF，
∵CD＝CE，
∴BE＝BF，△EBF为等腰三角形，
∵CF＝CB，
∴△BCF为等腰三角形，
则∠BCF＝∠EBF，
∴∠DCE＝∠BCF，CE为△BCD和∠BCD的平分线，
由角平分线定理，可得 ， ，
∵EF＝4EC，
∴ ＝5，
∵AB＝AD+ED+EB＝22，
∴5ED+ED+5ED＝22，
解得ED＝2，
∵ ，
∴4CE2＝5ED2，EC＝ ，
如图2中，过点E作ET⊥CD于T，CJ⊥DE于J．
∵CD＝CE，CJ⊥DE，
∴DJ＝JE＝1，CJ＝ ＝ ＝2，
∵ •DE•CJ＝ •CD•ET，
∴ET＝ ＝ ，
∴DT＝ ＝ ＝ ，
由△AMD∽△ETD，可得 ＝ ，
∴ ＝ ，
∴DM＝2 ，
∴TM＝DM+DT＝2 + ＝ ，
∴EM＝ ＝ ＝4 ，如图2，过点M作AE的平行线分别交FD、EF于点G、H，
∵M为AF边的中点，
∴点G、H是FD、EF的中点，
∵EF＝4EC，
∴EH＝2EC，
∴MD＝2CD，MH＝3ED，
∵GH＝ ED，
∴MG＝ ED，
∵△MNG∽△END，
∴ ＝ ， ＝ ，MN＝ ME，
∴MN＝ ．
【点评】（1）此题主要考查了翻折变换（折叠问题），要熟练掌握，解答此题的关键是要明
确：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对
应边和对应角相等．
（2）此题还考查了等腰三角形的性质和应用，考查了分类讨论思想的应用，要熟练掌握，解
答此题的关键是要明确：①等腰三角形的两腰相等．②等腰三角形的两个底角相等．③等
腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合．
30．（2012•淮安）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B A C的平
1 1 1
分线A B 折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，点B 与点
1 2 n n n n+1 n
C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线AB 折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB 折叠，
1 1
剪掉重复部分；将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，此时点B 与点C重合．
1 1 1 2 1
探究发现
（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ 是 （填
“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞
∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B
与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ∠ B ＝ n ∠ C ．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此
三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的
三个角均是此三角形的好角．
【分析】（1）在小丽展示的情形二中，如图3，根据三角形的外角定理、折叠的性质推知∠B
＝2∠C；
（2）根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知∠A A B ＝∠C+∠A B C＝2∠C；
1 2 2 2 2
根据四边形的外角定理知∠BAC+2∠B﹣2C＝180°①，根据三角形ABC的内角和定理知
∠BAC+∠B+∠C＝180°②，由①②可以求得∠B＝3∠C；
利用数学归纳法，根据小丽展示的三种情形得出结论：∠B＝n∠C；
（3）利用（2）的结论知∠B＝n∠C，∠BAC是△ABC的好角，∠C＝n∠A，∠ABC是△ABC
的好角，∠A＝n∠B，∠BCA是△ABC的好角；然后三角形内角和定理可以求得另外两个角
的度数可以是4、172；8、168；16、160；44、132；88°、88°．
【解答】解：（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是△ABC的好角；
理由如下：小丽展示的情形二中，如图3，
∵沿∠BAC的平分线AB 折叠，
1
∴∠B＝∠AA B ；
1 1
又∵将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，此时点B 与点C重合，
1 1 1 2 1
∴∠A B C＝∠C；
1 1
∵∠AA B ＝∠C+∠A B C（外角定理），
1 1 1 1
∴∠B＝2∠C，∠BAC是△ABC的好角．
故答案是：是；（2）∠B＝3∠C；如图所示，在△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分；将
1
余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，剪掉重复部分，将余下部分沿∠B A C的平分线A B
1 1 1 2 2 2 2 3
折叠，点B 与点C重合，则∠BAC是△ABC的好角．
2
证明如下：∵根据折叠的性质知，∠B＝∠AA B ，∠C＝∠A B C，∠A B C＝∠A A B ，
1 1 2 2 1 1 1 2 2
∴根据三角形的外角定理知，∠A A B ＝∠C+∠A B C＝2∠C；
1 2 2 2 2
∵根据四边形的外角定理知，∠BAC+∠B+∠AA B ﹣∠A B C＝∠BAC+2∠B﹣2∠C＝180°，
1 1 1 1
根据三角形ABC的内角和定理知，∠BAC+∠B+∠C＝180°，
∴∠B＝3∠C；
由小丽展示的情形一知，当∠B＝∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形二知，当∠B＝2∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
由小丽展示的情形三知，当∠B＝3∠C时，∠BAC是△ABC的好角；
故若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系
为∠B＝n∠C；
（3）由（2）知设∠A＝4°，
∵∠B是好角，
∴∠B＝4n°；
∵∠A是好角，
∴∠C＝m∠B＝4mn°，其中m、n为正整数得4+4n+4mn＝180
∴如果一个三角形的最小角是4°，三角形另外两个角的度数是4、172；8、168；16、160；44、
132；88°、88°．
【点评】本题考查了翻折变换（折叠问题）．解答此题时，充分利用了三角形内角和定理、
三角形外角定理以及折叠的性质．难度较大．
