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第 5 章生活中的轴对称（压轴 30 题专练）
一．选择题（共10小题）
1．（2021•远安县二模）如图是一个台球桌面的示意图，图中四个角上的阴影部分分别表示四个
入球孔．若一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），则该球最后将落入的
球袋是（ ）
A．1号袋 B．2号袋 C．3号袋 D．4号袋
2．（2020•浙江自主招生）如图，五边形ABCDE中，∠BAE＝120°，∠B＝∠E＝90°，AB＝BC
＝1，AE＝DE＝2，在BC、DE上分别找一点M、N，使△AMN的周长最小，则△AMN的周
长最小值为（ ）
A． B． C． D．5
3．（2017•启东市校级自主招生）如图：将一个矩形纸片ABCD，沿着BE折叠，使C、D点分
别落在点C ，D 处．若∠C BA＝50°，则∠ABE的度数为（ ）
1 1 1
A．15° B．20° C．25° D．30°
4．（2015•莆田）数学兴趣小组开展以下折纸活动：
（1）对折矩形ABCD，使AD和BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；
（2）再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段
BN．观察，探究可以得到∠ABM的度数是（ ）
A．25° B．30° C．36° D．45°
5．（2020•河北模拟）如图a是长方形纸带，∠DEF＝20°，将纸带沿EF折叠成图b，再沿BF折
叠成图c，则图c中的∠CFE的度数是（ ）
A．110° B．120° C．140° D．150°
6．（2019•滨海新区模拟）如图，AD平分∠BAC，AB＝AC，连接BC，交AD于点E，下列说法
正确的有（ ）
①∠BAC＝∠ACB；②S四边形ABDC ＝AD•CE；③AB2+CD2＝AC2+BD2；④AB﹣BD＝AC﹣
CD．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
7．（2019•站前区校级三模）有一张矩形纸片ABCD，AB＝2.5，AD＝1.5，将纸片折叠，使AD
边落在AB边上，折痕为AE，再将△AED以DE为折痕向右折叠，AE与BC交于点F（如图），
则CF的长为（ ）
A．1 B．1 C． D．
8．（2018•桐梓县二模）如图，正方形ABCD的边长为4，点E是AB边上的一点，将△BCE沿
着CE折叠至△FCE，若CF、CE恰好与正方形ABCD的中心为圆心的 O相切，则折痕CE
的长为（ ）
⊙A． B．5 C． D．以上都不对
9．（2017•洪山区模拟）在矩形纸片ABCD中，AB＝3，AD＝5．如图所示，折叠纸片，使点A
落在BC边上的A′处，折痕为PQ，当点A′在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移
动，若限定点P、Q分别在线段AB、AD边上移动，则点A′在BC边上可移动的最大距离为
（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（2016•卢龙县一模）图①是一块边长为1，周长记为P 的正三角形纸板，沿图①的底边剪
1
去一块边长为 的正三角形纸板后得到图②，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三角形
纸板（即其边长为前一块被剪掉如图正三角形纸板边长的 ）后，得图③，④，…，记第n
（n≥3）块纸板的周长为P
n
，则P
n
﹣P
n﹣1
的值为（ ）
A． B． C． D．
二．填空题（共10小题）
11．（2020•泰安一模）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折
痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝ ，则矩形ABCD的周长是 ．12．（2020•浙江自主招生）如图，图1是一块边长为1，面积记为S 的正三角形纸板，沿图1的
1
底边剪去一块边长为 的正三角形纸板后得到图2，然后沿同一底边依次剪去一块更小的正三
角形纸板（即其边长为前一块被剪掉正三角形纸板边长的 ）后，得图3，图4，…，记第n
（n≥3）块纸板的面积为S ，则S ＝ ．
n n
13．（2020•浙江自主招生）如图，将边长为3+ 的等边△ABC折叠，折痕为DE，点B与点F
重合，EF和DF分别交AC于点M、N，DF⊥AB，垂足为D，AD＝1，则重叠部分的面积为
．
14．（2019•南阳二模）如图，把矩形纸条ABCD沿EF、GH同时折叠，B、C两点恰好落在AD
边的P点处，若∠FPH＝90°，PF＝8，PH＝6，则矩形ABCD的边BC长为 ．
15．（2022•哈尔滨模拟）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，将它的一个锐角翻折，
使该锐角顶点落在其对边的中点D处，折痕交另一直角边于E，交斜边于F，则△CDE的周
长为 ．
16．（2021春•江夏区校级月考）若x＞0，y＞0，且x+y＝12．则 的最小值是
．
17．（2021•滨江区三模）如图，将正方形纸片ABCD折叠，使点B落在CD边上一点E（不与点
C，D重合），压平后得到折痕MN．设AB＝2，当 时，则 ＝ ．若
（n为整数），则 ＝ ．（用含n的式子表示）18．（2020秋•饶平县校级期中）如图，已知：∠MON＝30°，点A 、A 、A …在射线ON上，点
1 2 3
B 、B 、B …在射线OM上，△A B A 、△A B A 、△A B A …均为等边三角形，若OA ＝2，
1 2 3 1 1 2 2 2 3 3 3 4 1
则△A B A 的边长为 ．
6 6 7
19．在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，将其沿对角线BD折叠，顶点C的对应位置为G（如图
1），BG交AD于E；再折叠，使点D落在点A处，折痕MN交AD于F，交DG于M，交BD
于N，展开后得图2，则折痕MN的长为 ．
20．（2017•准格尔旗一模）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝8，E为CD边的中点，点P、
Q为BC边上两个动点，且PQ＝2，当BP＝ 时，四边形APQE的周长最小．
三．解答题（共10小题）
21．（2013•广东模拟）如图，折叠矩形ABCD的一边AD，使D点落在BC边上点F处，已知折痕AE＝ cm，且tan∠EFC＝ ．求矩形ABCD的周长．
22．（2013•青羊区一模）如图，△ABC中AB＝AC，BC＝6，点P从点B出发沿射线BA移动，
同时，点Q从点C出发沿线段AC的延长线移动，已知点P、Q移动的速度相同，PQ与直线
BC相交于点D．
（1）如图①，当点P为AB的中点时，求CD的长；
（2）如图②，过点P作直线BC的垂线垂足为E，当点P、Q在移动的过程中，线段BE、
DE、CD中是否存在长度保持不变的线段？请说明理由．
23．（2013•绍兴模拟）如图1，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，
求AD的长．
小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换如图1．她分别以AB、AC为对称轴，画
出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，得到四
边形AEGF是正方形．设AD＝x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．
（1）请你帮小萍求出x的值．
（2）参考小萍的思路，探究并解答新问题：
如图2，在△ABC中，∠BAC＝30°，AD⊥BC于D，AD＝4．请你按照小萍的方法画图，得到
四边形AEGF，求△BGC的周长．（画图所用字母与图1中的字母对应）24．（2012•赤峰）阅读材料：
（1）对于任意两个数a、b的大小比较，有下面的方法：
当a﹣b＞0时，一定有a＞b；
当a﹣b＝0时，一定有a＝b；
当a﹣b＜0时，一定有a＜b．
反过来也成立．因此，我们把这种比较两个数大小的方法叫做“求差法”．
（2）对于比较两个正数a、b的大小时，我们还可以用它们的平方进行比较：
∵a2﹣b2＝（a+b）（a﹣b），a+b＞0
∴（a2﹣b2）与（a﹣b）的符号相同
当a2﹣b2＞0时，a﹣b＞0，得a＞b
当a2﹣b2＝0时，a﹣b＝0，得a＝b
当a2﹣b2＜0时，a﹣b＜0，得a＜b
解决下列实际问题：
（1）课堂上，老师让同学们制作几种几何体，张丽同学用了3张A4纸，7张B5纸；李明同
学用了2张A4纸，8张B5纸．设每张A4纸的面积为x，每张B5纸的面积为y，且x＞y，张
丽同学的用纸总面积为W ，李明同学的用纸总面积为W ．回答下列问题：
1 2
①W ＝ （用x、y的式子表示）
1
W ＝ （用x、y的式子表示）
2
②请你分析谁用的纸面积最大．
（2）如图1所示，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，已知A、B到l的距离分别是3km、4km（即AC＝3km，BE＝4km），AB＝xkm，现设计两种方案：
方案一：如图2所示，AP⊥l于点P，泵站修建在点P处，该方案中管道长度a ＝AB+AP．
1
方案二：如图3所示，点A′与点A关于l对称，A′B与l相交于点P，泵站修建在点P处，
该方案中管道长度a ＝AP+BP．
2
①在方案一中，a ＝ km（用含x的式子表示）；
1
②在方案二中，a ＝ km（用含x的式子表示）；
2
③请你分析要使铺设的输气管道较短，应选择方案一还是方案二．
25．（2016秋•和平区期中）如图，已知Rt△ABC，∠ACB＝90°，AD平分∠BAC与BC交于D
点，M、N分别在线段AD、AC上的动点，连接MN、MC，当MN+MC最小时，画出M、N的
位置．已知△ABC的面积为12cm2，AB＝6cm，求MN+MC的最小值．
26．（2013•武汉模拟）已知△ABC中，点E为边AB的中点，将△AEC沿CE所在的直线折叠得
△A′EC，BF∥AC，交直线A′C于F．
（1）若∠ACB＝90°，∠A＝30°，求证：AC＝CF+BF．
（2）若∠ACB为任意角，在图（2）图（3）的情况下分别写出AC、CF、BF之间关系，并证
明图（3）结论．
（3）如图（4），若∠ACB＝120°，BF＝6，BC＝4，则AC的长为 ．27．（2013•杭州模拟）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝4cm，DC＝
6cm，试求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此
题．请按照她的思路回答下列问题：
（1）小萍分别以AB、AC所在的直线为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的
对称点分别为点E、F，延长EB、FC相交于G点．试帮她证明四边形AEGF是正方形；
（2）联系（1）的结论，试求出AD的长．
28．（2016•贵阳模拟）（1）数学课上，老师出了一道题，如图①，Rt△ABC中，∠C＝90°，
，求证：∠B＝30°，请你完成证明过程．
（2）如图②，四边形ABCD是一张边长为2的正方形纸片，E、F分别为AB、CD的中点，
沿过点D的折痕将纸片翻折，使点A落在EF上的点A′处，折痕交AE于点G，请运用（1）中的结论求∠ADG的度数和AG的长．
（3）若矩形纸片ABCD按如图③所示的方式折叠，B、D两点恰好重合于一点O（如图④），
当AB＝6，求EF的长．
29．（2013•南岗区校级一模）等腰△ABC中，CA＝CB，点D为边AB上一点，沿CD折叠
△CAD得到△CFD，边CF交边AB于点E，CD＝CE，连接BF．
（1）求证：FD＝FB．
（2）连接AF交CD的延长线于点M，连接ME交线段DF于点N，若EF＝4EC，AB＝22，求
MN的长．
30．（2012•淮安）阅读理解
如图1，△ABC中，沿∠BAC的平分线AB 折叠，剪掉重复部分；将余下部分沿∠B A C的平
1 1 1
分线A B 折叠，剪掉重复部分；…；将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，点B 与点
1 2 n n n n+1 n
C重合，无论折叠多少次，只要最后一次恰好重合，∠BAC是△ABC的好角．
小丽展示了确定∠BAC是△ABC的好角的两种情形．情形一：如图2，沿等腰三角形ABC顶
角∠BAC的平分线AB 折叠，点B与点C重合；情形二：如图3，沿∠BAC的平分线AB 折叠，
1 1
剪掉重复部分；将余下部分沿∠B A C的平分线A B 折叠，此时点B 与点C重合．
1 1 1 2 1
探究发现（1）△ABC中，∠B＝2∠C，经过两次折叠，∠BAC是不是△ABC的好角？ （填
“是”或“不是”）．
（2）小丽经过三次折叠发现了∠BAC是△ABC的好角，请探究∠B与∠C（不妨设∠B＞
∠C）之间的等量关系．根据以上内容猜想：若经过n次折叠∠BAC是△ABC的好角，则∠B
与∠C（不妨设∠B＞∠C）之间的等量关系为 ．
应用提升
（3）小丽找到一个三角形，三个角分别为15°、60°、105°，发现60°和105°的两个角都是此
三角形的好角．
请你完成，如果一个三角形的最小角是4°，试求出三角形另外两个角的度数，使该三角形的
三个角均是此三角形的好角．
