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专题 9.8 解析几何综合练
题号 一 二 三 四 总分
得分
练习建议用时：120分钟 满分：150分
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每个小题绐岀的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2023年重庆市普通高中学业水平合格性考试模拟（一）数学试题）已知圆C的一条
直径的两个端点是分别是 和 ，则圆的标准方程是（ ）
A．
B．
C．
【答案】C
【分析】根据条件求出圆心与半径写出圆的方程.
【详解】因为圆C的一条直径的两个端点是分别是 和 ，
所以圆心为 ，直径为 ，
所以圆的标准方程是 .
故选：C.
2．（2021秋·高三课时练习）已知圆 与圆 关于直线 对称，则
圆 的方程是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设所求圆的圆心 ，根据点关于直线的对称得到关于 的方程，解出即可.
【详解】将圆 化成标准形式得 ，
所以已知圆的圆心为 ，半径 ，
因为圆 与圆 关于直线 对称，
所以圆 的圆心 与点 关于直线 对称，半径也为1，
设 可得 ，解得 ，所以 ，圆 的方程是 ，
故选：B
3．（2021秋·高三课时练习）直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，而且它的斜率是直线
的斜率的相反数，则（ ）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】D
【分析】根据已知表示出直线mx+ny+3=0的截距以及斜率，即可得出答案.
【详解】因为直线mx+ny+3=0在y轴上的截距为-3，
所以，0-3n+3=0，解得 .
因为直线 的斜率为 ，
由已知可得，直线mx+ny+3=0的斜率为 ，即 .
所以 .
故选：D.
4．（2023秋·河南平顶山·高三统考期末）已知双曲线C： 的焦点到渐近线
的距离为 ，直线l与C相交于A，B两点，若线段 的中点为 ，则直线l的斜率
为（ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】先利用题目条件求出双曲线的标准方程，然后利用点差法即可求出直线 的斜率.
【详解】因为双曲线的标准方程为 ，
所以它的一个焦点为 ，一条渐近线方程为 ，
所以焦点到渐近线的距离 ，化简得 ，解得 ，
所以双曲线的标准方程为 ，
设 ，所以 ①， ②，
①-②得， ，
化简得 ③，因为线段 的中点为 ，所以 ，
代入③，整理得 ，
显然 ，所以直线 的斜率 .
故选：B
5．（2023·河南开封·校考模拟预测）已知椭圆 ， ， 分别是 的
左顶点和上顶点， 是 的左焦点，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的性质结合锐角三角函数，在 和 在求出 ，
的正切值，由两角差的正切公式求出 的正切值，结合题目条件得 ， 的关系，
即求出椭圆的离心率.
【详解】由题意作出图形，如下图所示：
可知： ， ， ，
在 中可得： ，
在 中可得： ，
所以
化简得：
因为 ，所以 ①，又 ，所以①整理可得： ，
即 ，解得 ，
又 ，所以 ，
故选：C.
6．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考阶段练习）已知抛物线 上一
点 到其焦点的距离为5，双曲线 的左顶点为A，若双曲线的一条
渐近线与直线AM平行，则实数a的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 得抛物线方程， 在抛物线上求得 坐标，再根据双曲线一条渐近线
与直线 平行可得答案.
【详解】根据题意，抛物线 上一点 到其焦点的距离为5，
则点 到抛物线的准线 的距离也为5，即 ，解得 ，
所以抛物线的方程为 ，则 ，所以 ，即M的坐标为 ，
又双曲线 的左顶点 ，一条渐近线为 ，
而 ，由双曲线的一条渐近线与直线 平行，则有 ，解得 .
故选：A
7．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知双曲线C的离心率为 ，焦点为
，点A在C上，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线离心率可得 ，根据双曲线定义推出 ，利用
余弦定理即可求得答案.
【详解】由题意双曲线C的离心率为 ，焦点为F、F，点A在C上，
1 2故不妨设 为左、右焦点，由 可知A在双曲线右支上，
则 ，故 ，
由于双曲线C的离心率为 ，则 ，即 ，
在 中，
，
故选：B
8．（2023·安徽六安·安徽省舒城中学校考模拟预测）已知椭圆 的左右焦点分别
为 与 ，点 在直线 ： 上． 当 取最大值时，比 的值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由米勒最大张角定理确定P点位置，利用正弦定理计算即可.
【详解】补充：米勒最大张角定理，已知点AB是∠MON的边ON上两定点，点P为边
OM上一动点，则当且仅当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时，∠APB最大.
证明：如下图所示，当三角形ABP的外接圆与边OM相切于点P时(圆心为Q)，取OM上
任一点 ，连接 交圆Q于C，显然∠APB=∠ACB≥∠ ，当且仅当
重合时∠ 取得最大值.
如图所示，由题意易得 ，根据米勒最大张角定理可知：当 的外接圆与直
线 相切于P时，此时夹角 最大，设其圆心 ，则 ，解之得 或
，由圆的性质知： ，
显然 时 ，张角最大为60°，
而此时 则 .
故选：D
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选
项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的
得0分
9．（浙江省新阵地教育联盟2022-2023学年高二下学期第一次联考数学试题）已知圆的方
程为 ，下列结论正确的是（ ）
A．该圆的面积为 B．点 在该圆内
C．该圆与圆 相离 D．直线 与该圆相切
【答案】BD
【分析】首先将圆的方程写为标准方程，得出圆心坐标和半径，对于A，根据圆的面积公
式即可判断；对于B，将点 代入 ，判断与 的大小，即可得出结论；对
于C，求出两圆心之间的距离，判断是否大于两圆半径之和；对于D，根据点到直线的距
离公式，求出圆心到直线的距离是否等于半径，即可判断．
【详解】 ，可知圆心为 ，半径 ；
对于A：由圆的半径 ，得该圆的面积为 ，故A错误；
对于B：因为 ，所以点 在该圆内，故B正确；
对于C：圆 的圆心为 ，半径为1，因为两圆心距离为 ，且 ，所以两圆相交，故C错误；
对于D：圆心 到直线 的距离 ，
所以直线 与该圆相切，故D正确，
故选：BD．
10．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）定义：以双曲线的实轴为虚轴，虚轴为
实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线，以下关于共轭双曲线的结论正确的有（ ）
A．与 共轭的双曲线是
B．互为共轭的双曲线渐近线不相同
C．互为共轭的双曲线的离心率为 ，则
D．互为共轭的双曲线的4个焦点在同一圆上
【答案】CD
【分析】根据共轭双曲线的定义可判断A；分别求得互为共轭的双曲线的渐近线判断B；
根据双曲线离心率定义可得 ，即 ，即可结合基本不等式推得
，判断C；求得四个焦点坐标，即可判断D.
【详解】对于A，根据共轭双曲线的定义可知，与 共轭的双曲线是
，A错误；
对于B， 的渐近线方程为 ，
的渐近线方程也为 ，二者相同，B错误；
对于C，由题意可得 ，
故 ，
由于 ，故 ，即 ，
当且仅当 时等号成立，C正确；
对于D， 的焦点坐标为 ，其共轭双曲线 的焦点坐标为 ，
显然这4个焦点在以原点为圆心， 为半径的圆上，D正确，
故选：CD
11．（2023秋·广东·高三华南师大附中校考期末）已知曲线 ，则（ ）
A．若 ，则曲线C是圆，其半径为2
B．若 ，则曲线C是椭圆，其焦点在y轴上
C．若线C过点 ，则C是双曲线
D．若 ，则曲线C不表示任何图形
【答案】BC
【分析】对于A，曲线 可化为 ，表示圆，可求半径，判断A;
对于B， 时，曲线 可化为 ， 可判断表示椭圆，判断B;
对于C，将点 ， ，代入曲线 ： ，求得曲线方程，
判断C; 对于D，可举特例进行说明，判断D.
【详解】对于A， 时，曲线 可化为 ，其半径为 ，故A错误；
对于B， 时，曲线 可化为 表示的是椭圆，而 ，
所以其焦点在 轴上，故B正确；
对于C，将点 ， ，代入曲线 ： ，
有 ， ，所以曲线 是双曲线，故C正确；
对于D，若 ， ，满足条件，此时曲线 ： ，表示两条直线，
故D错误，
故选： .
12．（2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知正方形ABCD四边所在直线
与x轴的交点分别为 ，则正方形ABCD四边所在直线中过点 的直线的斜率可以是（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】ABD
【分析】假设 所在的直线过点 ，分类讨论 所在的直线所过的点，结合图象分
析运算.
【详解】因为选项斜率均为正值，不妨假设 所在的直线过点 ，
设直线 的倾斜角为 ，斜率为 ，
①若 所在的直线过点 ，如图，可得 ，
因为 ，即 ，则 ；
②若 所在的直线过点 ，如图，可得 ，
因为 ，即 ，则 ；
③若 所在的直线过点 ，如图，可得 ，
因为 ，即 ，则 ；综上所述： 的可能值为 .
故选：ABD.
【点睛】关键点睛：假设 所在的直线过点 ，分类讨论 所在的直线所过的点，
数形结合处理问题.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共计20分.
13．（2022秋·高三课时练习）已知实数 满足 ，则直线 过定点
_____.
【答案】
【分析】根据题意化简直线方程为 ，联立方程组 ，即可求
解.
【详解】由实数 满足 ，可得 ,
代入直线方程 ，可得 ，
联立方程组 ，解得 ，
所以直线 过定点 .
故答案为： .
14．（2023春·江西景德镇·高一景德镇一中校考期中）如图，一个光学装置由有公共焦点
的椭圆C与双曲线 构成，一光线从左焦点 发出，依次经过 与C的反射，又回
到点 .，历时m秒；若将装置中的 去掉，则该光线从点 发出，经过C两次反射后又
回到点 历时n秒，若 的离心率为C的离心率的4倍，则 _____________.【答案】 /0.375
【分析】由离心率比求得长半轴与实半轴的比，根据椭圆与双曲线的定义求两种装置中光
线路程之比即得．
【详解】设椭圆长轴长为 ，双曲线实轴长为 ，焦距 ，
由 ，
依次经过 与C的反射，又回到点F，则有 ， ，
1
两式相减得 ，
将装置中的 去掉，则有 ，
所以
故答案为： ．
15．（2023春·贵州遵义·高二遵义市南白中学校考阶段练习）已知抛物线
的焦点为 ，直线 过 与 交于A，B两点，过点A，B分别作抛物线
准线的垂线，垂足分别为 ， ，则 的大小为____.
【答案】 /
【分析】联立直线 与抛物线 的方程，利用设而不求的方法求得 ，进而得到
的大小.
【详解】抛物线 的焦点为 ，
设直线 的方程为 ，
令 ，则 ，又 ，整理得 ，
则 ，
又 ， ，
则 ，则
故答案为：
16．（2023春·上海徐汇·高三上海市徐汇中学校考期中）已知圆的方程为
，该圆过点 的最长弦和最短弦分别为 和 ，则四边形
的面积为______．
【答案】
【分析】根据给定条件，求出过定点的圆的最长、最短弦长，再求出四边形面积作答.
【详解】依题意，圆 的圆心 ，半径 ，
点 与圆心 的距离 ，
则点 在圆内，过点 及圆心的直线与圆相交，得最长弦长 ，
当 时， 最短，过 的最短的弦长
，
所以四边形 的面积 .
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共计70分．解答时应写出文字说明、证明过程
或演算步骤.
17．（2022秋·高二课时练习）已知两直线(1)若直线 与 可组成三角形，求实数 满足的条件；
(2)设 ，若直线 过 与 的交点 ，且点 到直线 的距离等于1，求直线 的方程.
【答案】(1) 且 且
(2) 或
【分析】（1）先求得 的交点 ，根据三线不共点和任意两直线不平行，列出不等
式，即可求解；
（2）根据题意，当直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，结合点到直线的
距离公式，列出方程求得 的值；当直线 的斜率不存在，直线 的方程为 ，验证符
合题意，进而得到答案.
【详解】（1）解：由方程组 ，解得 ，所以 的交点为 ，
①当直线 过 与 的交点 时，不能构成三角形，
所以 ，解得 ；
②当直线 分别与 平行时，不能构成三角形，
则 ， ，
所以 且 .
综上可得，实数 满足的条件 且 且 .
（2）解：若直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，即 ，
因为点 到直线 的距离为1，可得 ，解得 ，
即所求直线 的方程为 ；
若直线 的斜率不存在，即直线 的方程为 ，
因为点 到直线 的距离为1，所以直线 也满足题意
故所求的直线 的方程为 或 .
18．（2023·全国·高三对口高考）已知抛物线 的焦点为F，过点 的直线l
与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D．
(1)证明：点F在直线 上；
(2)设 ，求 的内切圆M的方程．
【答案】(1)证明见解析.(2)圆M的方程为： .
【分析】（1）利用斜率相等即可证得结果；
（2）利用向量数量积和内切圆的性质即可求得结果.
【详解】（1）设 ， ，已知点A关于x轴的对称点为D，
则点D的坐标为 ，由 ，可得
整理可得 ，即 .
则 ，
由 ，可知点F在直线 上.
（2）由 ，可得 ，即可得 ，
由于A，B在抛物线上， ，所以 ，
不妨设A，B在x轴上方，则 ，可知AB的直线方程为 ，
而 ，故 ，
则DB的直线方程为 ，由于x轴是 的角平分线，可知内切圆的圆心必
然在x轴上，
故设圆心坐标为 ，由于角平分线上的点到角的两边距离相等，
则 ，解得 或 （舍），则可得 ，
的内切圆M的方程为 .19．（2022秋·高三课时练习）已知点N(1，2)，过点N的直线交双曲线 于A，B
两点，且 ．
(1)求直线AB的方程；
(2)若过点N的直线交双曲线于C，D两点，且 ，那么A，B，C，D四点是否共
圆？为什么？
【答案】(1)y＝x＋1
(2)四点共圆，原因见解析
【分析】（1）设直线 的方程为 ，代入双曲线方程，设 ，
，根据 得 是 的中点，利用韦达定理求出 可得直线 的
方程为；
（2）直线 的方程代入双曲线方程解得 可得 ， 坐标，根据 得 垂直
，求出 所在直线方程代入双曲线方程，令 ， 及 中点
，根据韦达定理得弦长 及 ， 可
得 四点共圆.
【详解】（1）由题意知直线 的斜率存在,
设直线 ： ，代入 ，
得 (*)，
设 ， ，则 是方程(*)的两根，
∴ 且 ，
∵ ，∴ 是 的中点，∴ ，∴ ，解得 ，
∴直线 的方程为 ；
（2）共圆，理由如下，
将 代入方程(*)得 ，解得 或 ，
∴ ， ，∵ ，∴ 垂直 ，
∴ 所在直线方程为 ，即 ，
代入双曲线方程整理得 ，
令 ， 及 中点 ，则 ， ，
∴ ， ，即 ，
，
所以 ， ，
即 到 的距离相等，∴ 四点共圆.
20．（2023春·上海黄浦·高三上海市大同中学校考期中）已知 是椭圆 上一
个动点， 是椭圆的左焦点，若 的最大值和最小值分别为 和 .
(1)求椭圆 的标准方程；
(2) 是 轴正半轴上的一点，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意列出方程组，解之即可求解；（2）设 ，根据两点间距离公式和二次函数的图像与性质即可求解.
【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
所以椭圆的标准方程为 .
（2）设 ，
则
当 时，
当 时， ，
所以 .
21．（2023秋·贵州铜仁·高三统考期末）在平面直角坐标系 中，已知圆
.设圆 与 轴相切，与圆 外切，且圆心 在直线
上.
(1)求圆 的标准方程；
(2)设垂直于 的直线 与圆 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的方程.
【答案】(1)
(2) 或 ．
【分析】（1）由题意求出圆 ，圆 的圆心和半径，由两圆外切，可得 ，即
可求出答案.
（2）由 ，可求出圆心O 到直线l的距离，再由点到直线的距离公式代入求解即
1
可.
【详解】（1）圆 ： ，则圆 的标准方程为 ，
即圆 的圆心坐标为 ，半径为 ，
因为圆 与x轴相切，与圆O 外切，则圆心 ， ，
1
则圆 的半径为 ，
则 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ；
（2）由（1）知O（﹣6，1），则 ，
2
所以直线l的斜率为 ，
设直线l的方程为 ，
因为 ，则圆心O 到直线l的距离 ，
1
所以 ，解得 或 ，
所以直线l的方程为 或 ．
22．（2021秋·广东深圳·高三深圳中学校考期中）已知椭圆 的右焦
点是 ，过点F的直线交椭圆C于A，B两点，若线段AB中点Q的坐标为
．
(1)求椭圆C的方程；
(2)已知 是椭圆C的下顶点，如果直线y=kx+1（k≠0）交椭圆C于不同的两点M，
N，且M，N都在以P为圆心的圆上，求k的值；
(3)过点 作一条非水平直线交椭圆C于R、S两点，若A，B为椭圆的左右顶点，记
直线AR、BS的斜率分别为k、k，则 是否为定值，若是，求出该定值，若不是，请说
1 2
明理由．
【答案】(1)
(2)(3) 为定值 ，理由见解析.
【分析】（1）由点差法可得 结合 ，解方程组可得 、 的值，从而可
得椭圆C的方程；
（2）依题意可知点P在线段MN的垂直平分线上，则可得线段MN的垂直平分线方程为
，再由线段MN的中点 在此直线上，代入解方程即可求得k的值；
（3）设直线 的方程为 ，联立椭圆方程可得 ，
，则 ，代入计算即可得结果.
【详解】（1）设 ， ，直线AB的斜率显然存在，则 ，
因为线段AB中点Q的坐标为 ，所以 ， ，
直线AB的斜率 ，
A，B两点在椭圆椭圆C上，
所以 ， ，两式相减得
，
即 ，
所以 ，整理得 ，①
又 且 ，②
由①②可解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 .
（2）由 得 ，
则 ， ， ，
设M，N中点为 ，则 ， ，
因为M，N都在以P为圆心的圆上，所以 ，则点P在线段MN的垂直平分线上，
依题意 ，所以线段MN的垂直平分线方程为 ，
M，N中点为 在此直线上，
所以有 ，即 ，解得 .
所以k的值为 .
（3）依题意有 ， ， ，
设直线 的方程为 ，
由 得 ，
则 ， ，
，
所以 为定值 .
