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专题 05 平面解析几何
1．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知圆 ，过点(1，2)的直线被该圆所截得的弦的长度的最
小值为
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】圆 化为 ，所以圆心 坐标为 ，半径为 ，
设 ，当过点 的直线和直线 垂直时，圆心到过点 的直线的距离最大，所求的弦长最短，
此时
根据弦长公式得最小值为 .
故选：B．
【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.
2．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】在平面内，A，B是两个定点，C是动点，若 ，则点C的轨迹为
A．圆 B．椭圆 C．抛物线 D．直线
【答案】A
【解析】设 ，以AB中点为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则： ，设 ，可得： ，
从而： ，
结合题意可得： ，
整理可得： ，
即点C的轨迹是以AB中点为圆心， 为半径的圆.
故选：A．
【点睛】本题主要考查平面向量及其数量积的坐标运算，轨迹方程的求解等知识，意在考查学生的转化
能力和计算求解能力.
3．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】点 到直线 距离的最大值为
A．1 B． C． D．2
【答案】B
【解析】由 可知直线过定点 ，设 ，
当直线 与 垂直时，点 到直线 距离最大，
即为 .
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质
是解题的关键，属于基础题.
4．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】若过点(2,1)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x−y−3=0的距离为
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由于圆上的点 在第一象限，若圆心不在第一象限，
则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，设圆心的坐标为 ，则圆的半径为 ，
圆的标准方程为 .
由题意可得 ，
可得 ，解得 或 ，
所以圆心的坐标为 或 ，
圆心 到直线 距离均为 ；
的
圆心 到直线 的距离均为
圆心到直线 的距离均为 ；
所以，圆心到直线 的距离为 .
故选：B．
的
【点睛】本题考查圆心到直线距离 计算，求出圆的方程是解题的关键，考查计算能力，属于中等题.
5．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设O为坐标原点，直线x=2与抛物线C： 交于D，E两点，
若OD⊥OE，则C的焦点坐标为
A．( ，0) B．( ，0) C．(1，0) D．(2，0)
【答案】B
【解析】因为直线 与抛物线 交于 两点，且 ，
根据抛物线的对称性可以确定 ，所以 ，代入抛物线方程 ，求得 ，所以其焦点坐标为 ，
故选：B．
【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，
点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.
6．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】设 是双曲线 的两个焦点， 为坐标原点，点 在
上且 ，则 的面积为
A． B．3 C． D．2
【答案】B
【解析】由已知，不妨设 ，
则 ，因为 ，
所以点 在以 为直径的圆上，
即 是以P为直角顶点的直角三角形，
故 ，
即 ，又 ，
所以 ，
解得 ，所以
故选：B
【点晴】本题考查双曲线中焦点三角形面积的计算问题，涉及到双曲线的定义，考查学生的数学运算能
力，是一道中档题.7．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】设O为坐标原点，直线x=a与双曲线C： =l(a>0，b>0)的两条渐
近线分别交于D，E两点．若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【解析】 ， 双曲线的渐近线方程是 ，
直线 与双曲线 的两条渐近线分别交于 ， 两点
不妨设 为在第一象限， 在第四象限，
联立 ，解得 ，
故 ，
联立 ，解得 ，
故 ，
，
面积为： ，
双曲线 ，
其焦距为 ，
当且仅当 取等号，
的焦距的最小值： .
故选：B．【点睛】本题主要考查了求双曲线焦距的最值问题，解题关键是掌握双曲线渐近线的定义和均值不等
式求最值方法，在使用均值不等式求最值时，要检验等号是否成立，考查了分析能力和计算能力，属
于中档题.
8．【2020年高考天津】设双曲线 的方程为 ，过抛物线 的焦点和点
的直线为 ．若 的一条渐近线与 平行，另一条渐近线与 垂直，则双曲线 的方程为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由题可知，抛物线的焦点为 ，所以直线 的方程为 ，即直线的斜率为 ，
又双曲线的渐近线的方程为 ，所以 ， ，因为 ，解得
．
故选： ．
【点睛】本题主要考查抛物线的简单几何性质，双曲线的几何性质，以及直线与直线的位置关系的应用，
属于基础题．
9．【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点 ，则其圆心到原点的距离的最小值为
A． 4 B． 5
C． 6 D． 7
【答案】A
【解析】设圆心 ，则 ，
化简得 ，
所以圆心 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，所以 ，所以 ，
当且仅当 在线段 上时取得等号，
故选：A．
【点睛】本题考查了圆的标准方程，属于基础题.
10．【2020年高考北京】设抛物线的顶点为 ，焦点为 ，准线为 ． 是抛物线上异于 的一点，过
作 于 ，则线段 的垂直平分线
A. 经过点 B. 经过点
C. 平行于直线 D. 垂直于直线
【答案】B
【解析】如图所示： ．
因为线段 的垂直平分线上的点到 的距离相等，又点 在抛物线上，根据定义可知，，所以线段 的垂直平分线经过点 .
故选：B.
【点睛】本题主要考查抛物线的定义的应用，属于基础题.
11．【2020年高考浙江】已知点O(0，0)，A(–2，0)，B(2，0)．设点P满足|PA|–|PB|=2，且P为函数
图象上的点，则|OP|=
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因为 ，所以点 在以 为焦点，实轴长为 ，焦距为 的双曲线的右
支上，由 可得， ，即双曲线的右支方程为 ，而点 还
在函数 的图象上，所以，
由 ，解得 ，即 ．
故选：D.
【点睛】本题主要考查双曲线的定义的应用，以及二次曲线的位置关系的应用，意在考查学生的数学运
算能力，属于基础题．
12．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知曲线 .
A．若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上
B．若m=n>0，则C是圆，其半径为
C．若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为
D．若m=0，n>0，则C是两条直线【答案】ACD
【解析】对于A，若 ，则 可化为 ，
因为 ，所以 ，
即曲线 表示焦点在 轴上的椭圆，故A正确；
对于B，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示圆心在原点，半径为 的圆，故B不正确；
对于C，若 ，则 可化为 ，
此时曲线 表示双曲线，
由 可得 ，故C正确；
对于D，若 ，则 可化为 ，
，此时曲线 表示平行于 轴的两条直线，故D正确；
故选：ACD.
【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学
运算的核心素养.
13．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】设双曲线C: (a>0,b>0)的一条渐近线为y= x，则C的离心
率为_________．【答案】
【解析】由双曲线方程 可得其焦点在 轴上，
因为其一条渐近线为 ，
所以 ， .
故答案为：
【点睛】本题考查的是有关双曲线性质，利用渐近线方程与离心率关系是解题的关键，要注意判断焦点
所在位置，属于基础题.
14．【2020年高考天津】已知直线 和圆 相交于 两点．若
，则 的值为_________．
【答案】5
【解析】因为圆心 到直线 的距离 ，
由 可得 ，解得 ．
故答案为： ．
【点睛】本题主要考查圆的弦长问题，涉及圆的标准方程和点到直线的距离公式，属于基础题．
15．【2020年高考北京】已知双曲线 ，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其
渐近线的距离是_________．
【答案】 ；
【解析】在双曲线 中， ， ，则 ，则双曲线 的右焦点坐标为，
双曲线 的渐近线方程为 ，即 ，
所以，双曲线 的焦点到其渐近线的距离为 .
故答案为： ； .
【点睛】本题考查根据双曲线的标准方程求双曲线的焦点坐标以及焦点到渐近线的距离，考查计算能
力，属于基础题.
16．【2020年高考浙江】已知直线 与圆 和圆 均相切，则
_______，b=_______．
【答案】 ；
【解析】由题意， 到直线的距离等于半径，即 ， ，
所以 ，所以 (舍)或者 ，
解得 .
故答案为：
【点晴】本题主要考查直线与圆的位置关系，考查学生的数学运算能力，是一道基础题.
17．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系 xOy中，若双曲线 的一条渐近线方程为
，则该双曲线的离心率是 ▲ ．【答案】
【解析】双曲线 ，故 .由于双曲线的一条渐近线方程为 ，即
，所以 ，所以双曲线的离心率为 .
故答案为：
【点睛】本小题主要考查双曲线的渐近线，考查双曲线离心率的求法，属于基础题.
18．【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为 的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则
=________．
【答案】
【解析】∵抛物线的方程为 ，∴抛物线的焦点F坐标为 ，
又∵直线AB过焦点F且斜率为 ，∴直线AB的方程为：
代入抛物线方程消去y并化简得 ，
解法一：解得
所以
解法二：
设 ，则 ,过 分别作准线 的垂线，设垂足分别为 如图所示.
故答案为：
【点睛】本题考查抛物线焦点弦长，涉及利用抛物线的定义进行转化，弦长公式，属基础题.
19．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知 ，A，B是圆C： 上的
两个动点，满足 ，则△PAB面积的最大值是 ▲ ．
【答案】
【解析】
设圆心 到直线 距离为 ，则
所以
令 (负值舍去)
当 时， ；当 时， ，因此当 时， 取最大值，即 取最大值为，
故答案为：
【点睛】本题考查垂径定理、利用导数求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.
20．【2020年高考全国Ⅰ卷文数】已知A、B分别为椭圆E： (a>1)的左、右顶点，G为E的上
顶点， ，P为直线x=6上的动点，PA与E的另一交点为C，PB与E的另一交点为D．
(1)求E的方程；
(2)证明：直线CD过定点.
【解析】(1)由题设得 ．
则 ， ．由 得 ，即 ．
所以 的方程为 ．
(2)设 ．
若 ，设直线 的方程为 ，由题意可知 ．
由于直线 的方程为 ，所以 ．
直线 的方程为 ，所以 ．
可得 ．
由于 ，故 ，可得 ，
即 ．①
将 代入 得 ．
所以 ．代入①式得 ．
解得 (舍去)， ．
故直线 的方程为 ，即直线 过定点 ．
若 ，则直线 的方程为 ，过点 ．
综上，直线 过定点 ．
【点睛】本题主要考查了椭圆的简单性质及方程思想，还考查了计算能力及转化思想、推理论证能力，
属于难题.
21．【2020年高考全国Ⅱ卷文数】已知椭圆C ： (a>b>0)的右焦点F与抛物线C 的焦点重合，
1 2
C 的中心与C 的顶点重合．过F且与x轴垂直的直线交C 于A，B两点，交C 于C，D两点，且|CD|
1 2 1 2
= |AB|．
(1)求C 的离心率；
1
(2)若C 的四个顶点到C 的准线距离之和为12，求C 与C 的标准方程．
1 2 1 2
【解析】(1)由已知可设 的方程为 ，其中 .
不妨设 在第一象限，由题设得 的纵坐标分别为 ， ； 的纵坐标分别为 ，
，故 ， .
由 得 ，即 ，解得 (舍去)， .
所以 的离心率为 .(2)由(1)知 ， ，故 .所以 的四个顶点坐标分别为 ， ，
， ， 的准线为 .
由已知得 ，即 .
所以 的标准方程为 ， 的标准方程为 .
【点睛】本题考查了求椭圆的离心率，考查了求椭圆和抛物线的标准方程，考查了椭圆的四个顶点的
坐标以及抛物线的准线方程，考查了数学运算能力.
22．【2020年高考全国Ⅲ卷文数】已知椭圆 的离心率为 ， ， 分别为
的左、右顶点．
(1)求 的方程；
(2)若点 在 上，点 在直线 上，且 ， ，求 的面积．
【解析】(1)由题设可得 ，得 ，
所以 的方程为 .
(2)设 ，根据对称性可设 ，由题意知 ，
由已知可得 ，直线BP的方程为 ，所以 ， ，
因为 ，所以 ，将 代入 的方程，解得 或 .
由直线BP的方程得 或8.
所以点 的坐标分别为 .，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，故 的面
积为 .
，直线 的方程为 ，点 到直线 的距离为 ，故 的
面积为 .
综上， 的面积为 .
【点睛】本题主要考查了求椭圆标准方程和求三角形面积问题，解题关键是掌握椭圆的离心率定义和
数形结合求三角形面积，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.
23．【2020年高考北京】已知椭圆 过点 ，且 ．
(Ⅰ)求椭圆C的方程：
(Ⅱ)过点 的直线l交椭圆C于点 ,直线 分别交直线 于点 ．求 的
值．
【解析】 (1)设椭圆方程为： ，由题意可得：
，解得： ，
故椭圆方程为： .(2)设 ， ，直线 的方程为： ，
与椭圆方程 联立可得： ，
即： ，
则： .
直线MA的方程为： ，
令 可得： ，
同理可得： .
很明显 ，且： ，注意到：
，
而：
，
故 .
从而 .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；
(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
24．【2020年高考浙江】如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点A是椭圆 与抛
物线 的交点，过点A的直线l交椭圆 于点B，交抛物线 于点M(B，M不同于A)．
(Ⅰ)若 ，求抛物线 的焦点坐标；
(Ⅱ)若存在不过原点的直线l使M为线段AB的中点，求p的最大值．
【解析】(Ⅰ)由 得 的焦点坐标是 ．
(Ⅱ)由题意可设直线 ，点 ．
将直线 的方程代入椭圆 得 ，
所以点 的纵坐标 ．
将直线 的方程代入抛物线 得 ，
所以 ，解得 ，
因此 ．
由 得 ，所以当 ， 时， 取到最大值 ．
【点晴】本题主要考查直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用，涉及到求函数的最值，考查学生的数
学运算能力，是一道有一定难度的题.
25．【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆 的左、右焦点分别为F ，
1
F，点A在椭圆E上且在第一象限内，AF⊥FF，直线AF 与椭圆E相交于另一点B．
2 2 1 2 1
(1)求 的周长；
(2)在x轴上任取一点P，直线AP与椭圆E的右准线相交于点Q，求 的最小值；
(3)设点M在椭圆E上，记 与 的面积分别为S，S，若 ，求点M的坐标．
1 2
【解析】(1)椭圆 的长轴长为 ，短轴长为 ，焦距为 ，
则 .
所以 的周长为 .
(2)椭圆 的右准线为 .
设 ，
则 ，
在 时取等号.所以 的最小值为 .
(3)因为椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆 上且在第一象限内， ，
则 .
所以直线
设 ，因为 ，所以点 到直线 距离等于点 到直线 距离的3倍.
由此得 ，
则 或 .
由 得 ，此方程无解；
由 得 ，所以 或 .
代入直线 ，对应分别得 或 .
因此点 的坐标为 或 .
【点睛】本题考查了椭圆的定义，直线与椭圆相交问题、点到直线距离公式的运用，熟悉运用公式以
及根据 推出 是解答本题的关键.26．【2020年新高考全国Ⅰ卷】已知椭圆C： 的离心率为 ，且过点A(2，1)．
(1)求C的方程：
(2)点M，N在C上，且AM⊥AN，AD⊥MN，D为垂足．证明：存在定点Q，使得|DQ|为定值．
【解析】(1)由题设得 ， ，解得 ， ．
所以 的方程为 ．
(2)设 ， ．
若直线 与 轴不垂直，设直线 的方程为 ，
代入 得 ．
于是 ．①
由 知 ，故 ，
可得 ．
将①代入上式可得 ．
整理得 ．
因为 不在直线 上，所以 ，故 ， ．
于是 的方程为 .
所以直线 过点 .
若直线 与 轴垂直，可得 .
由 得 .又 ，可得 .解得 (舍去)， .
此时直线 过点 .
令 为 的中点，即 .
若 与 不重合，则由题设知 是 的斜边，故 .
若 与 重合，则 .
综上，存在点 ，使得 为定值.
【点睛】本题考查椭圆的标准方程和性质，圆锥曲线中的定点定值问题，关键是第二问中证明直线
MN经过定点，并求得定点的坐标,属综合题，难度较大.
27．【2020年新高考全国Ⅱ卷】已知椭圆C： 过点M(2，3),点A为其左顶点，且
AM的斜率为 ，
(1)求C的方程；
(2)点N为椭圆上任意一点，求△AMN的面积的最大值.
【解析】(1)由题意可知直线AM的方程为： ，即 .
当y=0时，解得 ，所以a=4，
椭圆 过点M(2，3)，可得 ，
解得b2=12.
所以C的方程： .
(2)设与直线AM平行的直线方程为： ，如图所示，当直线与椭圆相切时，与AM距离比较远的直线与椭圆的切点为N，此时△AMN的面积取
得最大值.
联立直线方程 与椭圆方程 ，
可得： ，
化简可得： ，
所以 ，即m2=64，解得m=±8，
与AM距离比较远的直线方程： ，
直线AM方程为： ，
点N到直线AM的距离即两平行线之间的距离，
利用平行线之间的距离公式可得： ，
由两点之间距离公式可得 .
所以△AMN的面积的最大值： .
【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：
(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、
三角形的面积等问题．
28．【2020年高考天津】已知椭圆 的一个顶点为 ，右焦点为 ，且
，其中 为原点．
(Ⅰ)求椭圆的方程；
(Ⅱ)已知点 满足 ，点 在椭圆上( 异于椭圆的顶点)，直线 与以 为圆心的圆相切
于点 ，且 为线段 的中点．求直线 的方程．
【解析】(Ⅰ)由已知可得 ．记半焦距为 ，由 可得 ．又由 ，
可得 ．所以，椭圆的方程为 ．
(Ⅱ)因为直线 与以 为圆心的圆相切于点 ，所以 ．依题意，直线 和直线 的斜
率均存在．设直线 的方程为 ．由方程组 消去 ，可得
，解得 ，或 .依题意，可得点 的坐标为 ．
因为 为线段 的中点，点 的坐标为 ，所以点 的坐标为 ．由
，得点 的坐标为 ，故直线 的斜率为 ，即 ．又因为，所以 ，整理得 ，解得 ，或 ．
所以，直线 的方程为 ，或 ．
1．【山西省太原市第五中学2020届高三下学期6月月考数学】若双曲线 的一条渐近
线与直线 垂直，则此双曲线的实轴长为
A．18 B．9 C．6 D．3
【答案】A
【解析】双曲线 的渐近线方程为 ，
因为双曲线 的一条渐近线与直线 垂直，
所以 ，
解得 ，
所以此双曲线的实轴长为18.
故选A．
【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质以及直线的位置关系，还考查了运算求解的能力，属于基础题.
2．【四川省资阳市2019-2020学年高三上学期第二次诊断考试数学】圆 上到直
线 的距离为 的点共有
A． 1个 B． 2个 C． 3个 D． 4个
【答案】C【解析】圆 可化为 ,
所以圆心为 ,半径 为2,
圆心 到直线 的距离为: ,
所以 ,
所以圆 上到直线 的距离为 的点共有3个.
故选:C
【点睛】本题考查了由圆的方程求圆心坐标和半径,考查了点到直线的距离公式,属于基础题.
3．【安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高三第二次阶段性素质测试数学】
直线 与圆 位置关系是
A． 相离 B． 相切
C． 相交且过圆心 D． 相交但不过圆心
【答案】D
【解析】由圆的方程 ，化成标准式为 得到圆心坐
标为 ，半径 ，
圆心到直线 的距离 ，
直线与圆的位置关系是相交但不过圆心．
故选： ．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：圆的标准方程，点到直线的距离公式，以及
点与直线的位置关系，直线与圆的位置关系可以用 与 的大小来判断：当 时，直线与圆相加；
当 时，直线与圆相切；当 时，直线与圆相离．
4．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】已知O为坐标原点，抛物线E：( )的焦点为F，过焦点F的直线交E于A，B两点，若 的外接圆圆心为Q，Q到
抛物线E的准线的距离为 ，则
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】由题意知，抛物线E： ( )的焦点为 ，准线为 ，
Q在线段 的垂直平分线上，故Q的纵坐标为 ，
所以 ，
所以 .
故选A．
【点睛】本题主要考查了抛物线的标准方程，抛物线的简单几何性质，属于容易题.
5．【山西省长治市2020届高三下学期5月质量检测数学】双曲线 的焦距为
，且其渐近线与圆 相切，则双曲线 的方程为
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】圆 的圆心坐标为 ，设渐近线方程为 ，即 ，
由渐近线与圆 相切，得 ，
， ，
则双曲线 的方程为 .
故选D．
【点睛】本题主要考查了求双曲线的方程，涉及了直线与圆位置关系的应用，属于中档题.
6．【山西省太原市第五中学2020届高三下学期3月摸底数学】若过椭圆 内一点 的弦被
该点平分，则该弦所在的直线方程为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设弦的两端点为 ， ， ， ， 为 中点， ， 在椭圆上， ，
，
两式相减得： ，
， ，
可得： ，则 ，且过点 ，有 ，
整理得 ．
故选C．
【点睛】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查点差法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．
7．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】已知抛物线 的焦
点为F，抛物线上一点的M的纵坐标 ，则 是 的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】抛物线 的 ，焦点为 .设 ，当 时，根据抛物线的定
义可知 ，即 .由于 在抛物线 上，所以 ，解得
或 .
所以 是 的充分不必要条件.
故选A．
【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查抛物线的定义，属于中档题.
8．【2020届安徽省池州市高三上学期期末考试数学】过点 的直线与圆 相交于A，B两点，
则 (其中O为坐标原点)面积的最大值为
A． B． C．1 D．2
【答案】B【解析】如图所示，过O作 ，垂足为M，
设 ，则 ，所以 的面积
当且仅当 时，取等号.
故选:B
9．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】已知双曲线 的左、右焦点分
别为 ， ，双曲线的左支上有 ， 两点使得 .若 的周长与 的周长之比
是 ，则双曲线的离心率是
A． B． C．2 D．
【答案】D
【解析】设 ，则由 ，得 .由于 ， ，
所以 ， .则 的周长为 ，的周长为 .
根据题意得 ，得 ，
又因为 ，
所以 ，代入 ，可得 .
故选D．
【点睛】此题考查双曲线的简单性质的应用，直线与双曲线的位置关系的应用，属于中档题.
10．【2020届四川省成都市石室中学高三下学期5月月考数学】已知抛物线 的焦点为 ，直线
过 且与抛物线交于 ， 两点，过 作抛物线准线的垂线，垂足为 ， 的角平分线与抛
物线的准线交于点 ，线段 的中点为 ．若 ，
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【解析】如图，由题得 , ,所以 .
所以 ,所以 ,所以 ,
所以 ，
所以 ,即点P是MN的中点，
所以 .
故选B．
【点睛】本题主要考查抛物线的定义和几何性质，考查直线和抛物线的位置关系，意在考查学生对这
些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．【安徽省马鞍山市第二中学2019-2020学年高三第二次阶段性素质测试数学】
已知圆 ，圆 ， 分别为圆 上的点，
为 轴上的动点，则 的最小值为
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】如图所示，圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 ，半径为1，
圆 的圆心坐标为 ,，半径为3，
由图象可知，当 三点共线时， 取得最小值，
且 的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径之和，
即 ，
故选D．【点睛】本题主要考查了圆的对称圆的方程的求解，以及两个圆的位置关系的应用，其中解答中合理利
用两个圆的位置关系是解答本题的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于基础题．
12．【安徽省合肥一中、安庆一中等六校教育研究会2020届高三上学期第一次素质测试数学】已知椭圆
的右焦点为 ，短轴的一个端点为 ，直线 与椭圆相交于
、 两点.若 ，点 到直线 的距离不小于 ，则椭圆离心率的取值范围为
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】设椭圆的左焦点为 ， 为短轴的上端点，连接 ，如下图所示：由椭圆的对称性可知， 关于原点对称，则 ，
又 ， 四边形 为平行四边形，
，
又 ，解得： ，
点 到直线 距离： ，
解得： ，即 ，
， .
故选C．
13．【江西省吉安市泰和中学2019-2020学年高三11月质量检测-数学试题】已知双曲线E：－＝1(a>0，
b>0)的右顶点为A，O为坐标原点，A为OM的中点，若以AM为直径的圆与E的渐近线相切，则双曲
线E的离心率等于
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】由题意知，双曲线E的右顶点为A(a，0)，渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0.
由A为OM的中点，可知M(2a，0)．
故以AM为直径的圆的圆心的坐标为，
半径r＝|AM|＝.
又双曲线的渐近线与圆相切，
所以圆心到渐近线的距离等于圆的半径，即＝，
整理得 ＝3b，即c＝3，从而得e2＝，所以e＝.
14．【2020届河北省张家口市高三上学期期末教学质量监测数学】已知双曲线
,点 为原点，以 为直径的圆 与圆
相交于点 .若 ，则双曲线 的渐近线方程为
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】因为点 为原点，所以以 为直径的圆 ： ，
即圆 ： ，
因为圆 ，即圆 ，
故直线
设直线 与 轴的交点为 ，
则 ，
因为 ，所以 ，
在 中，可得 ，
即 ，
解得： ，所以双曲线的渐近线为
故选:B．
15．【上海市交大附中2019-2020学年高三下学期期中数学】若双曲线 的焦距为6，则该双曲
线的虚轴长为_____.
【答案】
【解析】由题得 .
所以双曲线的虚轴长为 .
故答案为 .
【点睛】本题主要考查双曲线的简单几何性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础
题.
16．【2020届河南省三门峡市高三上学期第一次大练习】斜率为1的直线 过抛物线 的
焦点 ，若 与圆 相切，则 等于______.
【答案】2或18
【解析】抛物线 的焦点 ,所以直线
因为 与圆 相切，
所以 或18.
故答案为：2或18.
17．【福建省厦门市湖滨中学2020届高三上学期期中考试数学】若点 为圆 的弦
的中点，则弦 所在直线方程为___________.【答案】
【解析】因为 为圆 的弦 的中点，所以圆心坐标为 ，
， 所在直线方程为 ，化简为 ，
故答案为 .
18．【山西省太原市第五中学2020届高三下学期6月月考数学】若顶点在原点的抛物线经过三个点
， ， 中的2个点，则满足要求的抛物线的标准方程有_______________________．
【答案】 或
【解析】设抛物线的标准方程为： ，
当 时， ，此时， ，点 在抛物线上.
设抛物线的标准方程为： ，
当 时， ，此时， ，点 在抛物线上.
故答案为 或 .
【点睛】本题考查抛物线标准方程的求法，考查待定系数法，考查计算能力，属于基础题.
19．【山东省实验中学2020届高三6月模拟考试数学试题】以抛物线 的焦点为圆心，且与抛物线
的准线相切的圆的方程为______________.
【答案】
【解析】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，焦点到准线的距离为 ，
所以圆的圆心为 ，半径为 ，故圆的标准方程为 .故答案为：
【点睛】本小题主要考查抛物线性质，考查圆的方程的求法，属于中档题.
20．【重庆市江津中学、实验中学等七校2020届高三下学期6月联考(三诊)数学】已知圆C的方程为
，过直线l： ( )上任意一点作圆C的切线，若切线长的最
小值为 ，则直线l的斜率为______.
【答案】
【解析】设切线长最小时直线上对应的点为 ，则 ，
又 ，因为切线长的最小值为 ，
故 ，解得 ，故直线 的斜率为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系中的最值问题，此类问题一般转化为圆心到几何对象的距离问
题，本题属于基础题.
21．【山西省阳泉市2020届高三下学期第二次质量调研数学】已知抛物线 的方程为 ，其
焦点为 ， 为过焦点 的抛物线 的弦，过 ， 分别作抛物线的切线 ， ，设 ， 相交于
点 ．则 __________．
【答案】0
【解析】设 ，因为 ，所以设AB的方程为 ，代入抛物线方程 ，得 ，
从而 ，
由 ，得 ，则 ，
则 ，
因此 ，即 ，
所以 .
【点睛】本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题.
22．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】已知抛物线 的焦点为 ，过点
的直线 与抛物线相交于 、 两点，且 ，若 是直线 上的一个动点， ，
则 的最小值为_______.
【答案】
【解析】因为直线 过点 ，所以设直线 的方程为 ，
联立方程组 ，得 ，则 ，
根据抛物线的定义可知 ，解得 ，
取 ( 时所得结果一致)，则直线 的方程为 ，设点 关于直线 的对称点为 ，
根据垂直平分性，可列出方程组 ， ,即 ，
此时线段 与直线 的交点即为使得 取得最小值的点，
因为 ，所以最小距离为 ，
故答案为： .
【点睛】本题考查抛物线中的最值问题，考查直线与抛物线相交以及抛物线的定义，考查点关于直线
的对称点的求法，考查两点间距离公式，考查计算能力，体现了综合性，是难题.
23．【湘赣粤2020届高三(6月)大联考】设抛物线 的焦点为F，过焦点F作直线 轴，交抛
物线于M、 两点，再过F点作直线 使得 其中O是坐标原点)，交抛物线于A、B两点，
则三角形 的面积是___________.
【答案】
【解析】作图如下：
由抛物线方程知： ， ，则 ， ， ，
则直线 的方程为 ，由 得： ，设 ， ，由韦达定理知： .
弦 是焦点弦， ，
又点 到直线 的距离为 ，
三角形 的面积为 .
故答案为 .
【点睛】本题考查抛物线中的三角形面积的求解问题，涉及到抛物线焦点弦长公式的应用；解题关键
是能够通过焦点弦长公式和点到直线距离公式求得三角形的底和高，进而求得结果.
24．【河北省承德第一中学2020届高三上学期第三次月考数学】已知抛物线 ，点F
为抛物线C的焦点，点 在抛物线C上，且 ，过点F作斜率为 的直
线l与抛物线C交于P，Q两点.
(1)求抛物线C的方程；
(2)求△APQ面积的取值范围.
【解析】(1)点A到准线距离为： ，到焦点距离 ，
所以 ， ，
(2)将 代入抛物线， ，
设直线 ，设 ，联立方程：恒成立， ，
连接AF，则
当 时， 有最小值为
当 时， 有最大值为
所以答案 为.
25．【江西省临川二中、临川二中实验学校2020届高三上学期第三次月考数学】
x2 y2
E: + =1(a>b>0),F 、F
a2 b2 1 2 B 、B F B F B
已知椭圆 为其左右焦点， 1 2为其上下顶点，四边形 1 1 2 2
的面积为2.点P为椭圆E上任意一点，以P为圆心的圆(记为圆P )总经过坐标原点 O .
A A
(1)求椭圆E的长轴 1 2的最小值，并确定此时椭圆E的方程；
(2)对于(1)中确定的椭圆E，若给定圆 F 1: (x+1) 2 +y2 =3 ，则圆P和圆 F 1的公共弦 MN 的长是否为
|MN|
定值？如果是，求 的值；如果不是，请说明理由.
F B F B 2bc,∴2bc=2
【解析】(1)依题意四边形 1 1 2 2的面积为 ，
因为长轴
A
1
A
2
=2a=2√b2 +c2 ≥2√2bc=2√2
，当且仅当
b=c=1
时取“=”，此时
a=√2
，x2
+y2 =1.
故长轴 A 1 A 2的最小值为 2√2 ，椭圆E的方程为 2
x2 x2
0 +y2 =1⇒ y2 =1− 0.
(2)设点 P(x 0 ,y 0 ) 为椭圆E上任意一点，则 2 0 0 2
(x−x ) 2 +(y−y ) 2 =x2 +y2 ⇒x2 +y2 −2x x−2y y=0
圆P的方程为： 0 0 0 0 0 0 ，
F (x+1) 2 +y2 =3⇒x2 +y2 +2x−2=0
圆 1的方程为： ，
(x +1)x+y y−1=0
两式作差得公共弦方程为： 0 0 ，
|x +2| |x +2| |x +2|
= 0 = 0 = 0 =√2
√(x
0
+1) 2 +y2
0
√
(x +1) 2 +1−
1
x2
√1
x2 +2x +2
d 0 2 0 2 0 0
所以弦心距 ，
|MN|=2√3−d 2 =2 F
则弦长 ，所以圆 1和动圆P的公共弦长为定值2.
26．【四川省宜宾市第四中学高2020届一诊模拟考试】已知椭圆 的左、右焦点
分别是 ， 是其左、右顶点，点 是椭圆 上任一点，且 的周长为6，若
面积的最大值为 .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若过点 且斜率不为0的直线交椭圆 于 两个不同点，证明：直线 于 的交点在一
条定直线上.
【解析】(1)由题意得椭圆 的方程为 ；
(2)由(1)得 ， ， ，
设直线 的方程为 ， ， ，
由 ，得 ，
， ，
，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
，
，
，
直线 与 的交点在直线 上.
27．【天津市南开区南开中学2019-2020学年高三下学期第五次月考数学】已知椭圆
，以椭圆的顶点为顶点的四边形的面积为 ，且该四边形内切圆的半径
为 .(1)求椭圆的方程；
(2)设 是过椭圆中心的任意一条弦，直线 是线段 的垂直平分线，若 是直线 与椭圆的一个
交点，求 面积的最小值.
【解析】(1)
∴椭圆的标准方程为 .
(2)当 不在坐标轴上时，设直线 的方程为： ，设 ， ，
， ，
同理： ， ，
∴ ，
∵
(当且仅当 ，即 进“=”成立)，
∴ ，
当直线 与坐标轴生重合时，易得 ，
∵ ，
∴当且仅当 时， 面积的最小值为 .【点睛】本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交中三角形面积问题，本题中由于直线是过
原点的，因此可设出直线方程后代入椭圆方程求出交点坐标，得出弦长．否则一般用设而不求的思想
方法求解．
28．【辽宁省葫芦岛市2020届高三5月联合考试数学】已知椭圆 的左、右焦
点分别为 ， ，离心率为 ，点 在椭圆 上且位于第一象限，直线 与 轴的交点为 ，
的周长为4.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)是否存在直线 与椭圆的另一个交点为 ，使得 ，若存在，求出 的方程，
若不存在，说明理由.
【解析】(1) 的周长为4，故 ，
所以 .
设椭圆的半焦距为 ，所以 ，可得 ，
又 ，得 .
所以椭圆 的标准方程为 .
(2)由题意得 ，所以 .
设 ， ，所以 ，所以 ①.设直线 ，联立方程组 得 ，
恒成立.
所以 ②， ③，
由①②③得 .
因为点 在第一象限，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
【点睛】本题考查了椭圆方程，根据面积关系求直线方程，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.
29．【2020届河南省郑州市高三第二次质量预测文科数学试题】已知椭圆 的短
轴长为 ，离心率为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)直线 平行于直线 ，且与椭圆 交于 两个不同的点，若 为钝角，求直线 在
轴上的截距 的取值范围．
【解析】(1)由题意可得 ，所以 ，
，解得 ，所以椭圆 的标准方程为 ．
(2)由于直线 平行于直线 ，即 ，设直线 在 轴上的截距为 ，
所以 的方程为 ．
联立 ，得 ，
因为直线 与椭圆 交于 两个不同的点，
所以 ，解得 ．
设 ， ，则 ， ．
因为 为钝角等价于 ，且 ，
所以
，即 ，且 ，
所以直线 在 轴上的截距 的取值范围： ．
因为直线 在 轴上的截距 ，
所以 的取值范围是： ．
30．【广东省深圳市高级中学2020届高三下学期5月适应性考试数学】已知椭圆C： ()的左､右焦点分别为 ､ ，点 满足： ，且 .
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)过点 的直线l与C交于 ， 不同的两点，且 ，问在x轴上是否
存在定点N，使得直线 ， 与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形.若存在，求
定点N的坐标；若不存在，请说明理由.
【解析】(1)因为 ，所以点P在椭圆C上，
将 代入 ，得 ①，
设椭圆C焦距为 ，则 ，所以 ，从而 ②，
由①②解得 ， ，
所以椭圆C的方程为 ；
(2)显然直线l的斜率存在且不为0，设直线l： ，
联立 消去y整理得 .
由 ，得 ，
则 ， ，
假设存在点 ，因为直线 ， 与y轴围成的三角形始终为底边在y轴上的等腰三角形，所
以 .设 ，则
，
即 ，所以 ，
化简得： ，
解得 .
故在x轴上存在定点 ，使得直线 ， 与y轴围成的三角形始终在底边为y轴上的等腰三
角形.
【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，考查了直线与椭圆的位置关系的应用，考查了椭圆中存在性
问题的探究，考查了数学运算能力.
31．【四川省棠湖中学2020届高三一诊模拟考试数学】已知椭圆 的两个焦点分别为 ，
长轴长为 ．
(1)求椭圆 的标准方程及离心率；
(2)过点 的直线 与椭圆 交于 ， 两点，若点 满足 ，求证：由点
构成的曲线 关于直线 对称．
【解析】(1)由已知，得 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以椭圆 的标准方程为 ，离心率 .
(2)设 ， ， ，
①直线 与 轴垂直时，点 的坐标分别为 ， ．
因为 ， ， ，
所以 ．
所以 ，即点 与原点重合;
②当直线 与 轴不垂直时，设直线 的方程为 ，
由 得 ，
．
所以 ，
则 ，
因为 ， ， ，
所以 ．
所以 ， ．
， ，
消去 ，得 ．综上，点 构成的曲线 的方程为 .
对于曲线 的任意一点 ，
它关于直线 的对称点为 ．
把 的坐标代入曲线 的方程的左端：
．
所以点 也在曲线 上．
所以由点 构成的曲线 关于直线 对称.
32．【广西南宁市第三中学2019-2020学年高三期末大联考】在平面直角坐标系 中,点 满足
方程 .
(1)求点 的轨迹 的方程；
(2)作曲线 关于 轴对称的曲线,记为 ,在曲线 上任取一点 ,过点 作曲线 的切线 ,若
切线 与曲线 交于 , 两点,过点 , 分别作曲线 的切线 , ,证明： , 的交点必在曲线 上.
【解析】(1)由 ,
两边平方并化简 ,得 ,即 ,
所以点M的轨迹C的方程为 .(2)依题可设点 , ,
曲线C切于点P的切线l的斜率为 ,
切线l的方程为 ,
整理得
依题可知曲线 ,
联立方程组 , ,
设 , ,所以 , .(*)
设曲线 上点 处的切线斜率为 ,
切线方程为 ,整理得 ,
同理可得曲线 上点 处的切线方程为 ,
联立方程组 , ,又由(*)式得 ,则 , 的交点坐标为 ,
满足曲线 的方程 .
即 , 的交点必在曲线 上.
【点睛】本题考查化简曲线方程,考查直线与圆锥曲线的关系,涉及相交利用韦达定理灵活应用,同时也
考查了利用导数的几何意义求解切线的问题,属于难题.
