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专题 08 解三角形
目录一览
2023真题展现
考向一 三角形中的几何运算
考向二 正弦定理
真题考查解读
近年真题对比
考向一 正弦定理
考向二 解三角形
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 三角形中的几何运算
1．（2023•新高考Ⅱ•第17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为√3，
D为BC的中点，且AD＝1．
π
（1）若∠ADC= ，求tanB；
3
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
考向二 正弦定理
2．（2023•新高考Ⅰ•第17题）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
【命题意图】
考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、用正余弦定理解三角形、三角恒等变换等．
【考查要点】
解三角形是高考必考内容．考查正余弦定理和三角形面积公式．借助正余弦定理和三角形面积公式以
及恒等变形公式进行边角转换和化简，求边长、角度、面积等．
【得分要点】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a b c a2＝b2+c2﹣2bccosA
= = =2R
sin A sinB sinC
b2＝a2+c2﹣2accosB
（R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC b2+c2-a2
cosA=
形式 a b c 2bc
sinA= ，sinB= ，sinC=
2R 2R 2R a2+c2-b2
cosB=
a：b：c＝sinA：sinB：sinC 2ac
asinB＝bsinA，bsinC＝csinB， a2+b2-c2
cosC=
2ab
asin C＝csinA
解决 已知两角和任一边，求另一角和其他两 已知三边，求各角；
三角 条边； 已知两边和它们的夹角
形的 已知两边和其中一边的对角，求另一边 求第三边和其他两角
问题 和其他两角
2．三角形面积公式
1
（1）S= a•h（h 表示边a上的高）．
2 a a
1 1 1
（2）S= absinC= acsinB= bcsinA．
2 2 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1
（3）S= r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
2
3．解三角形常用结论
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝ A B π C
+ = -
2 2 2 2
π
2A+2B＝2 ﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2+πc2-a2
cosA=
b2＝a2+c2﹣2accosB 2bc
c2＝a2+b2﹣2abcosC
a2+c2-b2
cosB=
2ac
a2+b2-c2
cosC=
2ab
正弦定理 a b c a
= = =2R a＝2RsinA，sinA=
sinA sinB sinC 2R
R为△ABC的外接圆半径 b
b＝2RsinB，sinB=
2R
c
c＝2RsinC，sinC=
2R
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式 1 1 1 2S
S = ah = bh = ch sinA= △
△ 2 a 2 b 2 c bc
1 1 1 2S
S △ = 2 absinC= 2 acsinB= 2 bcsinA sinB＝ △
ac
1
S △ = 2 （a+b+c）r sinC= 2S △
ab
（r为△ABC内切圆半径）
考向一 正弦定理
3．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，
BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
考向二 解三角形
5．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ＝ ．
（1）若C＝ ，求B；
（2）求 的最小值．
6．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正
三角形的面积依次为S ，S ，S ．已知S ﹣S +S ＝ ，sinB＝ ．
1 2 3 1 2 3
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝ ，求b．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
一．正弦定理（共7小题）
1 ． （ 2023• 淮 北 二 模 ） 已 知 △ ABC 的 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为 ，sinB＝1+cosC，点D为边BC的中点，求AD的长．
2．（2023•西固区校级二模）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A﹣sin2B﹣sin2C
＝sinBsinC．
（1）求角A；
（2）若a＝6，求△ABC周长的取值范围．
3．（2023•小店区校级模拟）在三角形 ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝2b，且
．
（1）求角C；
（2）E为三角形ABC所在平面内的一点， 且 ，求线段CE的长．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】4．（2023•山西模拟）如图，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝ ，∠BDC＝ ，AB＝BC＝7 ．
（1）若BD＝5 ，求AD的长；
（2）求△ABD面积的最大值．
5．（2023•河南模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知5bsinA＝3atanB，D是AC边上
一点，AD＝2DC，BD＝2．
（1）求cosB；
（2）求 的最大值．
6．（2023•武昌区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝2，2AD＝3CD．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023•润州区校级二模）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求角A的大小；
（2）若D为线段CB延长线上的一点，且 ，求△ABC的面积．
二．余弦定理（共4小题）
8．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝
sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，② ，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明
另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
10．（2023•东风区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2 ，b＝2，且
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
11．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（b﹣a）
（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝ ；②S△ABC ＝ 中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
三．三角形中的几何计算（共10小题）
12．（2023•西城区一模）如图，在△ABC中，∠A＝ ，AC＝ ，CD平分∠ACB交AB于点D，CD
＝ ．
（Ⅰ）求∠ADC的值；
（Ⅱ）求△BCD的面积．
13．（2023•武功县校级模拟）在△ABC中，是A，B，C所对应的分边别为a，b，c，且满足asinB＝
bsin2A．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1）求∠A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为 ，求三角形的周长．
14．（2023•全国三模）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且 ．
（1）求角C；
（2）若c＝2，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
15 ． （ 2023• 船 营 区 校 级 模 拟 ） 在 ① ； ② ； ③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为 的中点为D，求BD的最小值．
16．（2023•甘肃模拟）在△ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，asin（B+C）＝（b﹣c）
sinB+csinC．
（1）求A；
（2）若D在BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】17．（2023•安徽模拟）如图，在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，D，E 分别为边 CA，CB 上一点，
．
（1）若 ，求AB的长；
（2）若∠ADE＝∠BED，求BE的长．
18．（2023•涪城区校级模拟）在① acosB﹣bcosA＝c﹣b，② tanA+tanB+tanC﹣ tanBtanC＝0，
③△ABC的面积为 a（bsinB+csinC﹣asinA），这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以
解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．
（1）求角A；
（2）若a＝8，△ABC的内切圆半径为 ，求△ABC的面积．
19．（2023•邯郸二模）已知条件：① 2a＝b+2ccosB；② ；③
．
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】20．（2023•资阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinB﹣csinC＝a．
（1）证明：
（2）若 ， ，求△ABC的面积．
21．（2023•湖北模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD， ，AB＝1．
（1）若 ，求△ABC的面积；
（2）若 ， ，求tan∠CAD．
四．解三角形（共39小题）
22．（2023•凯里市校级一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sin（B﹣C）＝1，
且（bcosC﹣ccosB）tanA＝ a．
（1）求A的大小；
（2）若a＝ ，求△ABC的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ＝ ．
（1）求 的值；
（2）若△ABC的面积为1，求边a的最小值．
24．（2023•梅河口市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长
的三个正三角形的面积依次为S ，S ，S ，已知 ．
1 2 3
（1）求△ABC的面积；
（2）若 ，求c．
25．（2023•新疆模拟）已知a，b，c分别为△ABC 内角A，B，C的对边，若△ABC 满足cos2A+2sin2
＝1，a＝ ，b＝2 ．
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】26 ． （ 2023• 莆 田 模 拟 ） △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
．
（1）求A；
（2）若 ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
27．（2023•岳麓区校级模拟）已知△ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
2csinAcosB+2bsinAcosC＝ a，c＞a．
（1）求角A；
（2）若b＝2，△ABC的面积2 ，D是BC边上的点，且 ，求AD．
28．（2023•广陵区校级模拟）如图，四边形ABCD中，已知BC＝1，AC2＝AB2+AB+1．
（1）若△ABC的面积为 ，求△ABC的周长；
（2）若AB＝3，∠ADB＝60°，∠BCD＝120°，求∠BDC的值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】29 ． （ 2023• 深 圳 模 拟 ） 已 知 a 、 b 、 c 分 别 为 △ ABC 三 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 ， 且
．
（1）求A；
（2）若c2＝4a2﹣4b2，且 ，求c的值．
30．（2023•桐城市校级二模）已知△ABC满足2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinC﹣sin2B．
（1）试问：角B是否可能为直角？请说明理由；
（2）若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
31．（2023•南京三模）已知 ＝（sin x，cos x）， ＝（cos x， cos x），其中 ＞0，函数f（x）
ω ω ω ω ω
＝ •（ ﹣ ）的最小正周期为
（1）求函数f（x）的单调递增区间：
π
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足f（ ）＝ ，求 的取值范围．
32．（2023•晋中二模）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 ，且满足
．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）若∠B的平分线BD交AC于点D，且 ，求△ABC的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】33．（2023•麒麟区校级模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：
，条件②： ，条件③：2acosA﹣bcosC＝ccosB这三个条件中选
择一个作为已知条件．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．
34．（2023•龙华区校级模拟）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足
．
（1）求tanAtanB的值；
（2）若cosAcosB＝ ，c＝6，求△ABC的面积S．
35．（2023•徐州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，a，c成等比数列，且
．
（1）求B；
（2）若b＝4，延长BC至D，使△ABD的面积为 ，求sin∠ADC．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】36．（2023•保定三模）在△ABC 中，BC＝10， ，△ABC 内有一点 M，且 BM⊥CM，
．
（1）若 ，求△ABC的面积；
（2）若AC＝14．求BM的长．
37．（2023•招远市模拟）在△ABC中，AB＝4，D为AB中点， ．
（1）若BC＝3，求△ABC的面积；
（2）若∠BAC＝2∠ACD，求AC的长．
38．（2023•祁东县校级模拟）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，过点A作
AD⊥AB，交线段BC于点D，且AD＝DC，a＝3，bsinC＝asinA﹣bsinB﹣csinC．
（1）求∠BAC；
（2）求△ABC的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】39．（2023•定远县校级二模）设函数 ，若锐角△ABC的内角A，B，C
的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，acosB﹣bcosA＝R．
（1）若f（A）＝1，求B；
（2）求 的取值范围．
40 ． （ 2023• 乌 鲁 木 齐 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求∠B大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围．
41．（2023•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中， ，点D在AB延长线上，且 ．
（1）求 ；
（2）若△ABC面积为 ，求CD．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】42．（2023•朝阳区二模）在△ABC中，a＝4，b＝5， ．
（1）求△ABC的面积；
（2）求c及sinA的值．
43．（2023•浙江模拟）在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上，在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF
＝AC．
（1）若D为BC的中点，且△ABC的面积等于△CDF面积的 倍，求∠ABC；
（2）若∠ABC＝30°，且CD＝3BD，求tan∠CFB．
44．（2023•陈仓区模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ．
（1）求△ABC的面积；
（2）若 ，求b．
45．（2023•重庆模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，外接圆周长
为 ，且2（b﹣ccosA）＝a．
（1）求c；
（2）记△ABC的面积为S，求S的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】46．（2023•青岛二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a﹣c＝2bcosC．
（1）求B；
（2）若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上， ，b＝c＝2．设∠BDE＝ ，将
△DEF的面积S表示为 的函数，并求S的取值范围．
α
α
47．（2023•威海一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B；
（2）若a＝3， ，求△ABC的面积．
48．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且△ABC的
面积 ．
（1）求C；
（2）若△ABC内一点P满足AP＝AC，BP＝CP，求∠PAC．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】49．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为 ，求 ．
50．（2023•日照一模）已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，asin ＝bsinA，且a＝1．
（1）求B；
（2）若AC＝BC，在△ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使△ADE沿线段DE折叠到平面BCE后，
顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求此情况下AD的最小值．
51．（2023•香洲区校级模拟）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，AD＝2 ．
（1）证明 cosA﹣cosC为定值并求出这个定值；
（2）记△ABD 与△BCD的面积分别为S 和S ，求 + 的最大值．
1 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】52．（2023•驻马店二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且5cos2B﹣14cosB＝7．
（1）求sinB的值；
（2）若a＝5，c＝2，D是线段AC上的一点，求BD的最小值．
53．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，a＝3，c2＝b2﹣3b+9．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求边c．
54．（2023•河南模拟）在△ABC中，B≠C，sinB+sinC＝cosB+cosC．
（1）求A；
（2）若在△ABC内（不包括边界）有一点M，满足CM＝2MA＝2MB，且∠AMC＝90°，求tan∠ACB．
55．（2023•锦江区校级模拟）已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，c2﹣a2＝ab．
（1）证明：C＝2A；
（2）求 的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】56．（2023•北流市模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且bcosA+acosB＝2ccosA．
（1）求角A的值；
（2）已知D在边BC上，且BD＝3DC，AD＝3，求△ABC的面积的最大值．
57．（2023•湖北模拟）在△ABC中，AB＝9，点D在边BC上，AD＝7．
（1）若 ，求BD的值，
（2）若 ，且点D是边BC的中点，求AC的值．
58 ． （ 2023• 河 南 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求角C；
（2）若c＝4，△ABC的面积为 ，求a，b．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】59．（2023•河北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosAcos（C﹣B）﹣asin2A＝
bsinAsinC﹣a．
（1）求A；
（2）已知△ABC的外接圆半径为4，若b+ c有最大值，求实数 的取值范围．
λ λ
60．（2023•佛山二模）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝ （sinA+cosB）．
（1）若C＝ ，求A；
（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝ 2 R sin __C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； cos A＝；
常见
(3)a∶b∶c＝sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C； cos B＝；
变形
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝ cos C＝
csin A
2.S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
△ABC
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】
