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专题 08 解三角形
目录一览
2023真题展现
考向一 三角形中的几何运算
考向二 正弦定理
真题考查解读
近年真题对比
考向一 正弦定理
考向二 解三角形
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 三角形中的几何运算
1．（2023•新高考Ⅱ•第17题）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知△ABC面积为√3，
D为BC的中点，且AD＝1．
π
（1）若∠ADC= ，求tanB；
3
（2）若b2+c2＝8，求b，c．
√3
解：（1）D为BC中点，S =√3，则S = ，
ΔABC ΔACD 2
过A作AE⊥BC，垂足为E，如图所示：
1 √3 1 √3 √3
△ADE中，DE= ，AE= ，S = ⋅ CD= ，解得CD＝2，
2 2 ΔACD 2 2 2
5
∴BD＝2，BE= ，
2
√3
AE 2 √3
故tanB= = = ；
BE 5 5
2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】→ 1 → → → 1
（2）AD= (AB+AC)，AD2= (c2+b2+2bccosA)，
2 4
1
AD＝1，b2+c2＝8，则1= (8+2bccosA)，∴bccosA＝﹣2①，
4
1
S = bcsinA=√3，即bcsin A=2√3②，
ΔABC 2
2π
由①②解得 tan A=-√3，∴A= ，∴bc＝4，
3
又b2+c2＝8，
∴b＝c＝2．
考向二 正弦定理
2．（2023•新高考Ⅰ•第17题）已知在△ABC中，A+B＝3C，2sin（A﹣C）＝sinB．
（1）求sinA；
（2）设AB＝5，求AB边上的高．
3√10
【答案】（1） ；（2）6．
10
π
解：（1）∵A+B＝3C，A+B+C＝ ，∴4C＝ ，∴C= ，
4
∵2sin（A﹣C）＝sinB，∴2sin（A π﹣C）＝si π n[ ﹣（A+C）]＝sin（A+C），
∴2sinAcosC﹣2cosAsinC＝sinAcosC+cosAsinC，∴sinAcosC＝3cosAsinC，
π
√2 √2 1
∴ sin A=3× cosA，∴sinA＝3cosA，即cosA = sinA，
2 2 3
1 9
又∵sin2A+cos2A＝1，∴sin2A+ sin2A=1，解得sin2A=
，
9 10
又∵A （0， ），∴sinA＞0，
3√10
∴sinA
∈= π
；
10
3√10 1 √10
（2）由（1）可知sinA= ，cosA= sinA= ，
10 3 10
3√10 √2 √10 √2 2√5
∴sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC= × + × = ，
10 2 10 2 5
AB AC BC 5
= = = =
∴sinC sinB sin A π 5√2，
sin
4
2√5 3√10
∴AC＝5√2sinB＝5√2× =2√10，BC＝5√2×sin A=5√2× =3√5，
5 10
1 1
设AB边上的高为h，则 AB⋅h= ×AC×BC×sinC，
2 2
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】5 1 √2
∴ h= ×2√10×3√5× ，解得h＝6，
2 2 2
即AB边上的高为6．
【命题意图】
考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、用正余弦定理解三角形、三角恒等变换等．
【考查要点】
解三角形是高考必考内容．考查正余弦定理和三角形面积公式．借助正余弦定理和三角形面积公式以
及恒等变形公式进行边角转换和化简，求边长、角度、面积等．
【得分要点】
1．正弦定理和余弦定理
定理 正弦定理 余弦定理
内容 a b c a2＝b2+c2﹣2bccosA
= = =2R
sinA sinB sinC
b2＝a2+c2﹣2accosB
（R是△ABC外接圆半径）
c2＝a2+b2﹣2abcosC
变形 a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC b2+c2-a2
cosA=
形式 a b c 2bc
sinA= ，sinB= ，sinC=
2R 2R 2R a2+c2-b2
cosB=
a：b：c＝sinA：sinB：sinC 2ac
asinB＝bsinA，bsinC＝csinB， a2+b2-c2
cosC=
2ab
asin C＝csinA
解决 已知两角和任一边，求另一角和其他两 已知三边，求各角；
三角 条边； 已知两边和它们的夹角
形的 已知两边和其中一边的对角，求另一边 求第三边和其他两角
问题 和其他两角
2．三角形面积公式
1
（1）S= a•h（h 表示边a上的高）．
2 a a
1 1 1
（2）S= absinC= acsinB= bcsinA．
2 2 2
1
（3）S= r（a+b+c）（r为内切圆半径）．
2
3．解三角形常用结论
名称 公式 变形
内角和定理 A+B+C＝ A B π C
+ = -
2 2 2 2
π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】2A+2B＝2 ﹣2C
余弦定理 a2＝b2+c2﹣2bccosA b2+πc2-a2
cosA=
b2＝a2+c2﹣2accosB 2bc
c2＝a2+b2﹣2abcosC a2+c2-b2
cosB=
2ac
a2+b2-c2
cosC=
2ab
正弦定理 a b c a
= = =2R a＝2RsinA，sinA=
sin A sinB sinC 2R
R为△ABC的外接圆半径 b
b＝2RsinB，sinB=
2R
c
c＝2RsinC，sinC=
2R
射影定理 acosB+bcosA＝c
acosC+ccosA＝b
bcosC+ccosB＝a
面积公式 1 1 1 2S
S = ah = bh = ch sinA= △
△ 2 a 2 b 2 c bc
1 1 1 2S
S △ = 2 absinC= 2 acsinB= 2 bcsinA sinB＝ △
ac
1
S △ = 2 （a+b+c）r sinC= 2S △
ab
（r为△ABC内切圆半径）
考向一 正弦定理
3．（2021•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2＝ac，点D在边AC上，
BDsin∠ABC＝asinC．
（1）证明：BD＝b；
（2）若AD＝2DC，求cos∠ABC．
解：（1）证明：由正弦定理知， ，
∴b＝2Rsin∠ABC，c＝2Rsin∠ACB，
∵b2＝ac，∴b•2Rsin∠ABC＝a•2Rsin∠ACB，
即bsin∠ABC＝asinC，
∵BDsin∠ABC＝asinC，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴BD＝b；
（2）法一：由（1）知BD＝b，
∵AD＝2DC，∴AD＝ ，DC＝ ，
在△ABD中，由余弦定理知，cos∠BDA＝ ＝ ＝ ，
在△CBD中，由余弦定理知，cos∠BDC＝ ＝ ＝ ，
∵∠BDA+∠BDC＝ ，
∴cos∠BDA+cos∠BDC＝0，
π
即 ＝0，
得11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c＝ ，
在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝ ＝ ，
当c＝3a时，cos∠ABC＝ ＞1（舍）；
当c＝ 时，cos∠ABC＝ ；
综上所述，cos∠ABC＝ ．
法二：∵点D在边AC上且AD＝2DC，
∴ ，
∴ ，
而由（1）知BD＝b，
∴ ，
即3b＝c•cos∠ABD+2a•cos∠CBD，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】由余弦定理知： ，
∴11b2＝3c2+6a2，
∵b2＝ac，
∴3c2﹣11ac+6a2＝0，
∴c＝3a或c＝ ，
在△ABC中，由余弦定理知，cos∠ABC＝ ＝ ，
当c＝3a时，cos∠ABC＝ ＞1（舍）；
当c＝ 时，cos∠ABC＝ ；
综上所述，cos∠ABC＝ ．
法三：在△BCD中，由正弦定理可知asinC＝BDsin∠BDC＝bsin∠BDC，
而由题意可知ac＝b² asinC＝bsin∠ABC，
于是sin∠BDC＝sin∠ABC，从而∠BDC＝∠ABC或∠BDC+∠ABC＝ ．
⇒
π
若∠BDC＝∠ABC，则△CBD∽△CAB，于是CB²＝CD•CA a²＝ a：b：c＝1： ：3，
无法构成三角形，不合题意．
⇒ ⇒
若∠BDC+∠ABC＝ ，则∠ADB＝∠ABC △ABD∽△ACB，
π ⇒
于是AB²＝AD•AC c²＝ a：b：c＝3： ：2，满足题意，
⇒ ⇒
因此由余弦定理可得cos∠ABC＝ ＝ ．
4．（2021•新高考Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C所对的边长为a，b，c，b＝a+1，c＝a+2．
（1）若2sinC＝3sinA，求△ABC的面积；
（2）是否存在正整数a，使得△ABC为钝角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．
解：（1）∵2sinC＝3sinA，
∴根据正弦定理可得2c＝3a，
∵b＝a+1，c＝a+2，
∴a＝4，b＝5，c＝6，
在△ABC中，运用余弦定理可得 ，
∵sin2C+cos2C＝1，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴sinC＝ ，
∴ ＝ ．
（2）∵c＞b＞a，
∴△ABC为钝角三角形时，角C必为钝角，
＝ ，
∴a2﹣2a﹣3＜0，
∵a＞0，
∴0＜a＜3，
∵三角形的任意两边之和大于第三边，
∴a+b＞c，即a+a+1＞a+2，即a＞1，
∴1＜a＜3，
∵a为正整数，
∴a＝2．
考向二 解三角形
5．（2022•新高考Ⅰ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ＝ ．
（1）若C＝ ，求B；
（2）求 的最小值．
解：（1）∵ ＝ ，1+cos2B＝2cos2B≠0，cosB≠0．
∴ ＝ ＝ ，
化为：cosAcosB＝sinAsinB+sinB，
∴cos（B+A）＝sinB，
∴﹣cosC＝sinB，C＝ ，
∴sinB＝ ，
∵0＜B＜ ，∴B＝ ．
（2）由（1）可得：﹣cosC＝sinB＞0，∴cosC＜0，C （ ， ），
∈ π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴C为钝角，B，A都为锐角，B＝C﹣ ．
sinA＝sin（B+C）＝sin（2C﹣ ）＝﹣cos2C，
＝ ＝ ＝ ＝
＝ +4sin2C﹣5≥2 ﹣5＝4 ﹣5，当且仅当sinC＝ 时取等号．
∴ 的最小值为4 ﹣5．
6．（2022•新高考Ⅱ）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长的三个正
三角形的面积依次为S ，S ，S ．已知S ﹣S +S ＝ ，sinB＝ ．
1 2 3 1 2 3
（1）求△ABC的面积；
（2）若sinAsinC＝ ，求b．
解：（1）S ＝ a2sin60°＝ a2，
1
S ＝ b2sin60°＝ b2，
2
S ＝ c2sin60°＝ c2，
3
∵S ﹣S +S ＝ a2﹣ b2+ c2＝ ，
1 2 3
解得：a2﹣b2+c2＝2，
∵sinB＝ ，a2﹣b2+c2＝2＞0，即cosB＞0，
∴cosB＝ ，
∴cosB＝ ＝ ，
解得：ac＝ ，
S△ABC ＝ acsinB＝ ．
∴△ABC的面积为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由正弦定理得： ＝ ＝ ，
∴a＝ ，c＝ ，
由（1）得ac＝ ，
∴ac＝ • ＝
已知，sinB＝ ，sinAsinC＝ ，
解得：b＝ ．
本专题是高考常考内容，结合往年命题规律，解三角形的题目多以解答题的形式出现，分值为10分。
一．正弦定理（共7小题）
1 ． （ 2023• 淮 北 二 模 ） 已 知 △ ABC 的 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为 ，sinB＝1+cosC，点D为边BC的中点，求AD的长．
【解答】解：（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，
即 ．
由余弦定理可得 ，
又A （0， ），所以 ．
（2）因为sinB＝1+cosC，
∈ π
所以 ，
即 ，
又0＜B＜ ，则 ，所以 ．
π
所以a＝b， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
所以a＝b＝2．
在△ACD中，由余弦定理可得 ，
即 ．
2．（2023•西固区校级二模）若△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，满足sin2A﹣sin2B﹣sin2C
＝sinBsinC．
（1）求角A；
（2）若a＝6，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）△ABC中，因为sin2A﹣sin2B﹣sin2C＝sinBsinC，
由正弦定理得a2﹣b2﹣c2＝bc，
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA，
由①②解得cosA＝﹣ ，
又A （0， ），所以A＝ ；
∈ π
（2）由a＝6，sinA＝sin ＝ ，
根据正弦定理得 ＝ ＝ ＝ ＝4 ，
所以b＝4 sinB，c＝4 sinC＝4 sin（ ﹣B）＝6cosB﹣2 sinB，
所以a+b+c＝6+4 sinB+（6cosB﹣2 sinB）＝6+2 sinB+6cosB＝6+4 sin（B+ ）；
又0＜B＜ ，所以 ，所以 ，
所以△ABC周长的取值范围为（12，6+4 ]．
3．（2023•小店区校级模拟）在三角形 ABC中，内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，a＝2b，且
．
（1）求角C；
（2）E为三角形ABC所在平面内的一点， 且 ，求线段CE的长．
【解答】解：（1）由a＝2b，得sinA＝2sinB，
又 ，∴2sinCsinB＝sinAcos（C﹣ ）＝2sinBcos（C﹣ ）．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴sinC＝cos（C﹣ ）＝ cosC+ sinC，
∴tanC＝ ，所以C＝60°．
（2）设AE与BC交于M，由 ，知M为BC的中点，
∵a＝2b，∴MC＝CA，∴△AMC是等边三角形，∴∠AMC＝60°，
∴∠EMC＝120°，
又∵ ，∴AM＝1＝MC＝ME，
在△MEC中，由余弦定理有EC2＝ME2+CM2﹣2MC×ME×cos∠CME＝1+1+1＝3，
∴CE＝ ．
4．（2023•山西模拟）如图，在四边形ABCD中，已知∠ABC＝ ，∠BDC＝ ，AB＝BC＝7 ．
（1）若BD＝5 ，求AD的长；
（2）求△ABD面积的最大值．
【解答】解：（1）在△BCD中，由余弦定理，得BC2＝BD2+DC2﹣2BD⋅DC⋅cos∠BDC，
∴ ，整理得 ，
解得 或 （舍去），
∴ ，
而 ，故 ，
∴ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 在 △ ABD 中 ， AD2 ＝ AB2+BD2﹣ 2AB⋅ BD⋅ cos∠ ABD ＝
，
∴ ；
（2）设 ，则在△BCD中， ，
则 ，
所 以 ＝
，
当 ，即 时，△ABD面积取到最大值 ．
5．（2023•河南模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知5bsinA＝3atanB，D是AC边上
一点，AD＝2DC，BD＝2．
（1）求cosB；
（2）求 的最大值．
【解答】解：（1）由正弦定理及5bsinA＝3atanB知，5sinBsinA＝3sinAtanB，
因为sinA＞0，所以5sinB＝3tanB，
所以cosB＝ ＝ ．
（2）因为AD＝2DC，所以 ＝ + ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ + ，
又BD＝2，
所以 2＝（ + ）2＝ 2+ • + 2＝ c2+ ca• + a2＝4，整理得5c2+12ac+20a2＝
180，
所以12ac＝180﹣（5c2+20a2）≤180﹣2 c• a＝180﹣20ac，
所以ac≤ ，当且仅当 c＝ a，即c＝2a＝ 时，等号成立，
所以 ＝accosB＝ ac≤ × ＝ ，
故 的最大值为 ．
6．（2023•武昌区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝2，2AD＝3CD．
（Ⅰ）求B；
（Ⅱ）求△ABC的面积．
【解答】解：（Ⅰ）∵ ，
∴acos ＝asin ＝bsinA，
∴由正弦定理可得sinAsin ＝sinBsinA＝2sin cos sinA，
∵A，B （0， ），可得 （0， ），sinA＞0，
∈ π ∈
∴cos ＝ ，可得 ＝ ，
∴可得B＝ ．
（Ⅱ）∵BD平分∠ABC交AC于点D，且BD＝2，2AD＝3CD，即 ＝ ，即3a＝2c，①
∴ ＝ ＝ ，可得tanA＝ ，可得sinA＝ ，
∴在△ABD中，由正弦定理 ，可得AD＝ ＝ ＝ ，可得
CD＝ ，
∴可得b＝AD+CD＝ ，
∴在△ABC中，由余弦定理可b2＝a2+c2﹣2accosB，得（ ）2＝a2+c2+ac，②
∴由①②解得a＝ ，c＝5，
∴S△ABC ＝ acsinB＝ ＝ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】7．（2023•润州区校级二模）在① ；② ；③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足_____．
（1）求角A的大小；
（2）若D为线段CB延长线上的一点，且 ，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）若选择①，∵ ．
∴ ，
∵sinC≠0，
∴ ，
即 ，
∵A （0， ）∴ ；
若选∈择②，π∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ，
∵A （0， ）∴ ；
若选∈择③，π∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
又∵B （0， ），
∴sinB≠0，
∈ π
∴ ，
∵A （0， ），
∈ π
∴ ；
（2）设BD＝x，AB＝y，∠ABD＝ ，
在△ABC中，用余弦定理可得AC2＝
θ
BC2+BA2﹣2BC⋅BA⋅cos∠ABC，
即12＝4x2+y2﹣2×2xycos（ ﹣ ）①，
π θ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】又∵在△ABC中，BC2＝AC2+AB2﹣2AC⋅AB⋅cos∠CAB，
即 ．即4x2＝y2﹣6y+12，即 ②，
在△ABD中，用余弦定理可得AD2＝BD2+BA2﹣2BD⋅BA⋅cos∠ABD，
即3＝x2+y2﹣2xycos ③，③×2+①可得6x2+3y2＝18，
θ
将②式代入上式可得y＝2，x＝1， ．
二．余弦定理（共4小题）
8．（2023•蒙城县校级三模）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且cos2C﹣cos2A＝
sinAsinB﹣sin2B．
（1）求∠C的大小；
（2）已知a+b＝4，求△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（1）∵cos2C﹣cos2A＝ sinA•sinB﹣sin2B，
∴1﹣sin2C﹣（1﹣sin2A）＝ sinA•sinB﹣sin2B，
∴sin2A﹣sin2C＝ sinA•sinB﹣sin2B，
∴a2+b2﹣c2＝ ab，
∴cosC＝ ＝ ＝ ，
∵C （0， ），∴∠C＝ ．
（2）∈∵a+bπ≥2 ，∴4≥2 ，∴ab≤4，
当且仅当a＝b＝2时取等号，∴（ab） ＝4，
max
∴△ABC面积的最大值为 ×4×sin ＝ ．
9．（2023•广西模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知 ．
（1）证明：A＝B．
（2）若D为BC的中点，从①AD＝4，② ，③CD＝2这三个条件中选取两个作为条件证明
另外一个成立．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】（1）证明：因为 ，
由余弦定理可得 ，
即 ，又由正弦定理 ，得cosA＝cosB，
角A，B为△ABC中内角，所以A＝B．
（2）△ABC中，A＝B，D为BC的中点，如图所示，
①② ③，
⇒
已知AD＝4， ，求证CD＝2．
证明：AC＝2CD，△ACD中， ，
解得CD＝2．
①③ ②，
⇒
已知AD＝4，CD＝2，求证 ．
证明：AC＝2CD＝4，所以△ACD中， ．
②③ ①，
⇒
已知 ，CD＝2，求证：AD＝4．
证明：AC＝2CD＝4，
在△ACD中，由余弦定理， ，
所以AD＝4．
10．（2023•东风区校级模拟）已知△ABC的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．a＝2 ，b＝2，且
cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0．
（1）求A；
（2）设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：（1）因为 cosA（ccosB+bcosC）+asinA＝0，
由正弦定理可得： cosA（sinCcosB+sinBcosC）+sinAsinA＝0，
可得： cosAsin（B+C）+sin2A＝0，
在△ABC中，sin（B+C）＝sinA≠0，
所以可得 cosA+sinA＝0，
即tanA＝﹣ ，而A为三角形的内角，
所以可得A＝ ；
（2）在△ABC中由余弦定理可得：a2＝b2+c2﹣2bccosA，
π
因为a＝2 ，b＝2，
所以28＝4+c2﹣2×2c•（﹣ ），解得：c＝4或c＝﹣6（舍），
所以c＝4，
再由余弦定理可得a2+b2﹣c2＝2bacosC，可得cosC＝ ，
在Rt△ABD中，CD＝ ＝ ＝ ，
所以可得CD＝ ，
S△ABD ＝ S△ABC ＝ • AB•ACsin∠BAC＝＝ •4•2• ＝ ；
所以△ABD的面积为 ．
11．（2023•泸县校级模拟）已知△ABC 的角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足（b﹣a）
（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC．
（1）求A；
（2）从下列条件中：①a＝ ；②S△ABC ＝ 中任选一个作为已知条件，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）因为（b﹣a）（sinB+sinA）＝（b﹣c）sinC，
由正弦定理得（b﹣a）（b+a）＝（b﹣c）c，即b2+c2﹣a2＝bc﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（2
分）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】由余弦定理得 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（4分）
所以 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）
（2）选择① ．由正弦定理 ，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（6
分）
即 △ ABC 周 长 ＝ ＝
﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
∵ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
即△ABC周长的取值范围 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
选择② ．，得 ，得bc＝4．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（7
分）
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣bc＝（b+c）2﹣3bc＝（b+c）2﹣12，﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（9分）
即△ABC周长 ，
∵ ，当且仅当b＝c＝2时等号成立．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（11分）
∴
即△ABC周长的取值范围[6，+∞）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
三．三角形中的几何计算（共10小题）
12．（2023•西城区一模）如图，在△ABC中，∠A＝ ，AC＝ ，CD平分∠ACB交AB于点D，CD
＝ ．
（Ⅰ）求∠ADC的值；
（Ⅱ）求△BCD的面积．
【解答】解：（Ⅰ）在△ADC中，由正弦定理可得， ，
则 ＝ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵ ，
∴ ；
（Ⅱ）由（I）可知， ，
∵CD平分∠ACB交AB于点D，
∴ ，
∴ ，
∴△ABC为等腰三角形，
∴ ＝ ，
∵sin∠ACD＝ ＝ ，
∴△BCD的面积为 ＝ × ＝ ．
13．（2023•武功县校级模拟）在△ABC中，是A，B，C所对应的分边别为a，b，c，且满足asinB＝
bsin2A．
（1）求∠A；
（2）若a＝2，△ABC的面积为 ，求三角形的周长．
【解答】解：（1）因为asinB＝bsin2A，由正弦定理可知： ，
则 ，所以sin2A＝sinA，即2cosA＝1，
又因为0＜A＜ ，所以 ；
π
（2）因为 ，所以bc＝8，
又由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA得， ，
所以b2+c2＝12，又由 ，
所以△ABC的周长为： ．
14．（2023•全国三模）已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且 ．
（1）求角C；
（2）若c＝2，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：（1）因为 ，
所以由正弦定理得 ．
因为B＝ ﹣A﹣C，
所以sinB＝sin（ ﹣A﹣C）＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
π
所以 π ．
因为A （0， ），
所以sinA≠0，
∈ π
所以 ，即 ．
所以 ，
即 ．
又C （0， ），
∈ π
所以 ．
（2）因为△ABC的面积为 ，所以 ．
由①知 ，所以ab＝4①．
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC，
又c＝2，所以a2+b2＝8②．
由①②解得a＝b＝2．
故△ABC的周长为a+b+c＝6．
15 ． （ 2023• 船 营 区 校 级 模 拟 ） 在 ① ； ② ； ③
这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题．
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足____．
（1）求角C；
（2）若△ABC的面积为 的中点为D，求BD的最小值．
【解答】解：（1）选① ，由正弦定理可得：
，
又因为0＜B＜ ，可得 ，
π
即 ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为 ，所以 ，
所以 ，解得 ，
选②由题意得： ，
，
∵C （0， ），∴ ，
∈ π
选③ ，
由正弦定理可得：
，
，
，又C （0， ），
∈ π
∴C＝ ；
（2） ，
解得ab＝32，
由余弦定理可得：
，
∴BD≥4，
当且仅当 时，即a＝4，b＝8取等号，
∴BD的最小值为4．
16．（2023•甘肃模拟）在△ABC中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，asin（B+C）＝（b﹣c）
sinB+csinC．
（1）求A；
（2）若D在BC上，a＝2，且AD⊥BC，求AD的最大值．
【解答】解：（1）由asin（B+C）＝（b﹣c）sinB+csinC，得asinA＝（b﹣c）sinB+csinC，
由正弦定理，得a2＝（b﹣c）b+c2＝b2+c2﹣bc．
由余弦定理，得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】又A （0， ），所以 ；
（2）因为a2＝b2+c2﹣2bccosA＝b2+c2﹣bc≥2bc﹣bc＝bc，
∈ π
所以bc≤4，当且仅当b＝c＝2时取等号，
又 ，a＝2，
所以 ，
故AD的最大值为 ．
17．（2023•安徽模拟）如图，在 Rt△ABC 中，AB⊥AC，D，E 分别为边 CA，CB 上一点，
．
（1）若 ，求AB的长；
（2）若∠ADE＝∠BED，求BE的长．
【解答】解：（1） ，在三角形BDE中，BE2＝BD2+DE2﹣2BD•DEcos∠EDB，
可得28＝BD2+64﹣2BD× ，解得BD＝6 或BD＝2 （舍去因为此时BD＜AD），
在Rt△ABD中，AB＝ ＝ ＝2 ．
（2）设∠ADB＝ ，cos ＝ ，BD＝4cos ，∠ADE＝∠BED，可得∠DEB＝ + ，∠EBD＝
α α α α
＝ ，
在△DBE中， ，即 ，
可得6sin（ ）＝ ，整理可得 ，
令t＝ ＝2sin（ ） [﹣2，2]，
∈
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】化简可得t2﹣1＝t，解得t＝ ，即sin（ + ）＝ ，
α
BE＝ ＝ ＝4 ﹣4．
18．（2023•涪城区校级模拟）在① acosB﹣bcosA＝c﹣b，② tanA+tanB+tanC﹣ tanBtanC＝0，
③△ABC的面积为 a（bsinB+csinC﹣asinA），这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以
解答．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且_____．
（1）求角A；
（2）若a＝8，△ABC的内切圆半径为 ，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）若选①，则由正弦定理得sinAcosB﹣sinBcosA＝sinC﹣sinB，
∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sin（A+B）﹣sinB，
∴sinAcosB﹣sinBcosA＝sinAcosB+cosAsinB﹣sinB，
∴2cosAsinB＝sinB，∵sinB≠0，∴cosA＝ ，
∵A （0， ），∴A＝ ；
若选∈②，∵πtanA+tanB+tanC﹣ tanBtanC＝0，
∴tanC＝ ＝﹣tan（A+B）＝﹣
∴ tanB＝tanAtanB，∴tanA＝ ，A （0， ），∴A＝ ；
∈ π
若选③，∵△ABC的面积为 a（bsinB+csinC﹣asinA），
∴ bcsinA＝ a（bsinB+csinC﹣asinA），
∴b2+c2﹣a2＝bc，∴cosA＝ ＝ ，
A （0， ），∴A＝ ；
∈ π
（2）∵△ABC的内切圆半径为 ，∴ （a+b+c）• ＝ bcsinA，
∴（b+c+8）• ＝ bc，∴b+c+8＝ bc，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】且b2+c2﹣2bc• ＝64，即（b+c）2﹣3bc＝64，
∴（ bc﹣8）2﹣3bc＝64，∴bc＝44，
∴S△ABC ＝ ×44× ＝11 ．
19．（2023•邯郸二模）已知条件：① 2a＝b+2ccosB；② ；③
．
从三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答．
问题：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足：____．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，∠ABC与∠BAC的平分线交于点I，求△ABI周长的最大值．
【解答】解：（1）选择条件①，2a＝b+2ccosB，
在△ABC中，由余弦定理得 ，
整理得a2+b2﹣c2＝ab，则 ，
又C （0， ），所以 ；
选择∈条件②π， ，
于是 ，
由正弦定理得 ，
因为sinA≠0，则 ，即 ，
因为A+B+C＝ ，因此 ，即 ，
π
又C （0， ），所以 ；
∈ π
选择条件③， ，
则 ，
所以 ，
则 ，又C （0， ），
∈ π
即有 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ；
（2）由（1）知， ，有 ，
而∠BAC与∠ABC的平分线交于点I，
即有 ，于是 ，
设∠ABI＝ ，则 ，且 ，
θ
在△ABI中，由正弦定理得 ，
所以 ，AI＝4sin ，
θ
所以△ABI的周长为
＝
＝ ，由 ，得 ，
则当 ，即 时，△ABI的周长取得最大值 ，
所以△ABI周长的最大值为 ．
20．（2023•资阳模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bsinB﹣csinC＝a．
（1）证明：
（2）若 ， ，求△ABC的面积．
【解答】（1）证明：因为bsinB﹣csinC＝a，所以sin2B﹣sin2C＝sinA，
所以sinBsin（A+C）﹣sinCsin（A+B）＝sinA，
所以sinB（sinAcosC+cosAsinC）﹣sinC（sinAcosB+cosAsinB）＝sinA，
即sinBsinAcosC﹣sinCsinAcosB＝sinA，
因为在△ABC中A、B、C （0， ），所以sinA≠0，
∈ π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】即sinBcosC﹣sinCcosB＝1，
故sin（B﹣C）＝1，即 ；
（2）解：由（1）可知 ，
因为 ，所以 ．则 ， ，
由正弦定理可知 ．则b＝4sinB．c＝4sinC，
故△ABC的面积 ．
21．（2023•湖北模拟）如图，在平面四边形ABCD中，AB⊥AD， ，AB＝1．
（1）若 ，求△ABC的面积；
（2）若 ， ，求tan∠CAD．
【解答】解：（1）因为 ，AB＝1， ，
由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2×AB×BC×cos∠ABC，
所以7＝1+BC2+BC，即BC2+BC﹣6＝0，解得BC＝2，
所以 ．
（2）设∠CAD＝ ，
θ
在△ACD中，由正弦定理得 ，所以 ①，
在△ABC中， ， ，
则 ，即 ②
由①②得： ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
整理得 ，所以 ．
四．解三角形（共39小题）
22．（2023•凯里市校级一模）在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，满足sin（B﹣C）＝1，
且（bcosC﹣ccosB）tanA＝ a．
（1）求A的大小；
（2）若a＝ ，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为（bcosC﹣ccosB）tanA＝ a，由正弦定理可得（sinBcosC﹣sinCcosB）tanA＝
sinA，
即sin（B﹣C）tanA＝ sinA，
因为sinA≠0，
所以cosA＝ ，而A （0， ），
∈ π
所以A＝ ；
（2）因为sin（B﹣C）＝1，在△ABC中，可得B﹣C＝ ，即B＝ +C，
而B+C＝ ，解得B＝ ，C＝ ，
π π
由正弦定理可得 ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ＝ ，
所以S△ABC ＝ bcsinA＝ •6sin sin • ＝ sin cos ＝ sin ＝ ．
23．（2023•沙坪坝区校级模拟）在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 ＝ ．
（1）求 的值；
（2）若△ABC的面积为1，求边a的最小值．
【解答】解：（1）由于 ＝ ，则acosB+bcosA＝2b，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】由射影定理acosB+bcosA＝c，于是c＝2b，
故 ＝ ；
（2）由（1）知c＝2b，又 ，则b2sinA＝1，
由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA＝5b2﹣4b2cosA＝ ，
于是5＝a2sinA+4cosA＝ ，
故a4≥9，解得 ，当且仅当 取等号，
故边a的最小值 ．
24．（2023•梅河口市校级模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，分别以a，b，c为边长
的三个正三角形的面积依次为S ，S ，S ，已知 ．
1 2 3
（1）求△ABC的面积；
（2）若 ，求c．
【解答】解：（1）由题意得 ， ， ，
则 ，即a2﹣c2+b2＝4，
由余弦定理得 ，
整理得abcosC＝2，则cosC＞0，
又 ，
则 ，
所以 ，
则 ；
（2）由正弦定理得 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 或 （舍去），
所以 ．
25．（2023•新疆模拟）已知a，b，c分别为△ABC 内角A，B，C的对边，若△ABC 满足cos2A+2sin2
＝1，a＝ ，b＝2 ．
（1）求角A；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）因为cos2A+2sin2 ＝1，所以cos2A+2sin2 ＝1，
所以（2cos2A﹣1）+（1+cosA）＝1，即2cos2A+cosA﹣1＝0，
所以（2cosA﹣1）（cosA+1）＝0，解得 或cosA＝﹣1，
又A （0， ），所以cosA＝ ，即 ．
∈ π
（2）由正弦定理得， ，所以 ，解得sinB＝1，
因为B （0， ），所以 ，
所以 ∈ π ，
所以△ABC的面积 ．
26 ． （ 2023• 莆 田 模 拟 ） △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
．
（1）求A；
（2）若 ，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
【解答】解：（1）∵ ，
∴在△ABC中，由正弦定理得 ，
则 ，
又A （0， ），则sinA≠0，
∈ π
∴ ，即 ，解得 ；
（2）∵△ABC的面积 ，即 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】在 △ ABC 中 ， 由 余 弦 定 理 得 ， 即
，解得b+c＝3，
∴△ABC的周长为 ．
27．（2023•岳麓区校级模拟）已知△ABC 中角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，且满足
2csinAcosB+2bsinAcosC＝ a，c＞a．
（1）求角A；
（2）若b＝2，△ABC的面积2 ，D是BC边上的点，且 ，求AD．
【解答】解：（1）∵2csinAcosB+2bsinAcosC＝ a，
∴在△ABC中，由正弦定理得2sinCsinAcosB+2sinBsinAcosC＝ sinA，
∵A （0， ），即sinA≠0，
∈ π
∴sinCcosB+cosCsinB＝sin（B+C）＝ ，
又A+B+C＝ ，则sinA＝ ，
∵c＞a，即C＞A，
π
∴A＝ ；
（2）由（1）得A＝ ，
∵△ABC的面积2 ，b＝2，
∴S△ABC ＝ bcsinA＝2 ，解得c＝4，
∵D是BC边上的点，且 ，
∴ ＝ + ＝ + （ ﹣ ）＝ + ，
∴ 2＝（ + ）2＝ 2+ 2+ • ＝ + ＝ ，
∴AD＝ ．
28．（2023•广陵区校级模拟）如图，四边形ABCD中，已知BC＝1，AC2＝AB2+AB+1．
（1）若△ABC的面积为 ，求△ABC的周长；
（2）若AB＝3，∠ADB＝60°，∠BCD＝120°，求∠BDC的值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：（1）在△ABC中， ，
因为0°＜B＜180°，所以B＝120°，
由 ，得AB＝4，
∴AC2＝AB2+AB+1＝16+4+1＝21，即 ，
∴ ，即△ABC的周长为 ；
（2）设∠BDC＝ ，则∠DBC＝60°﹣ ，∠ABD＝60°+ ，∠BAD＝60°﹣ ，
θ θ θ θ
在△ABD中，由 ，得 ，
在△BCD中，由 ，得 ，
∴ ，即4sin sin（60°﹣ ）＝1，
∴sin（2 +30°）＝1，
θ θ
∵0°＜ ＜60°，∴30°＜2 +30°＜150°，
θ
∴2 +30°＝90°，解得 ＝30°，即∠BDC的值为30°．
θ θ
29 ． （ 2023• 深 圳 模 拟 ） 已 知 a 、 b 、 c 分 别 为 △ ABC 三 内 角 A 、 B 、 C 所 对 的 边 ， 且
θ θ
．
（1）求A；
（2）若c2＝4a2﹣4b2，且 ，求c的值．
【解答】解：（1）因为 ，由正弦定理得：
，
由A+B+C＝ B＝ ﹣（A+C），
所以sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+sinCcosA，
π⇒ π
所以 ，
所以 ，
又因为0＜C＜ sinC≠0，
π⇒
所以 ，所以 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由（1）以及余弦定理变形式得：
即b2+c2﹣a2＝bc，
由 ，
解得 或 （舍去），
所以 ，c＝2．
30．（2023•桐城市校级二模）已知△ABC满足2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinC﹣sin2B．
（1）试问：角B是否可能为直角？请说明理由；
（2）若△ABC为锐角三角形，求 的取值范围．
【解答】解：（1）假设角B为直角，由三角形内角关系可知 ，
所以sinA＝cosC，sinC＝cosA，
因为2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinC﹣sin2B，
所以2cosAcosA＝2sinAcosA﹣1，
所以1+cos2A＝sin2A﹣1，所以 ，
显然 ，所以矛盾，故假设不成立，
所以角B不可能为直角．
（2）因为2sinCsin（B﹣A）＝2sinAsinC﹣sin2B，
所以2sinCsinBcosA﹣2sinCcosBsinA＝2sinAsinC﹣sin2B，
由正弦定理，得2bccosA﹣2accosB＝2ac﹣b2，
由余弦定理化简，得3b2＝2ac+2a2，
因为△ABC为锐角三角形，
所以
令 ，则有 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 的取值范围为 ．
31．（2023•南京三模）已知 ＝（sin x，cos x）， ＝（cos x， cos x），其中 ＞0，函数f（x）
ω ω ω ω ω
＝ •（ ﹣ ）的最小正周期为
（1）求函数f（x）的单调递增区间：
π
（2）在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足f（ ）＝ ，求 的取值范围．
【解答】解：（1）因为 ＝（sin x，cos x）， ＝（cos x， cos x），
ω ω ω ω
所以函数f（x）＝ •（ ﹣ ）
＝ • ﹣
＝sin xcos x+ cos2 x﹣ （sin2 x+cos2 x）
ω ω ω ω ω
＝ sin2 x+ （1+cos2 x）﹣
ω ω
＝ sin2 x+ cos2 x
ω ω
＝sin（2 x+ ），
ω
因为f（x）的最小正周期为T＝ ＝ ，所以 ＝1；
π ω
所以f（x）＝sin（2x+ ）．
令2k ﹣ ≤2x+ ≤2k + ，k Z，
π π ∈
解得k ﹣ ≤x≤k + ，k Z，
π π ∈
所以函数f（x）的单调递增区间为[k ﹣ ，k + ]，k Z．
π π ∈
（2）在锐角△ABC中，f（ ）＝sin（A+ ）＝ ，
因为A （0， ），所以A+ （ ， ），所以A+ ＝ ，解得A＝ ，
∈ ∈
所以 ＝ ＝ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，解得 ＜B＜ ，
所以sinB （ ，1），所以 （ ， ），
∈ ∈
即 的取值范围是（ ， ）．
32．（2023•晋中二模）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，其中 ，且满足
．
（1）求△ABC的外接圆半径；
（2）若∠B的平分线BD交AC于点D，且 ，求△ABC的面积．
【解答】解：（1） ，
由正弦定理，得 ，则a2+c2﹣b2＝ac，
即 ，
因为0＜B＜ ，
π
所以 ，
设△ABC的外接圆半径为R，由正弦定理知 ，
所以△ABC的外接圆半径为 ；
（2）由BD平分∠ABC，得S△ABC ＝S△ABD +S△BCD ，
则 ，即ac＝a+c，
在△ABC中，由余弦定理可得 ，
又 ，
则a2+c2﹣ac＝18，
联立 ，可得a2c2﹣3ac﹣18＝0，解得ac＝6（ac＝﹣3舍去），
故 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】33．（2023•麒麟区校级模拟）在锐角△ABC中，角A，B，C，的对边分别为a，b，c，从条件①：
，条件②： ，条件③：2acosA﹣bcosC＝ccosB这三个条件中选
择一个作为已知条件．
（1）求角A的大小；
（2）若a＝2，求△ABC周长的取值范围．
【解答】解：（1）选条件①：因为 ，所以 ，即 ，
又因为△ABC为锐角三角形，所以 ，
∵ ，所以 ；
选 条 件 ② ： 因 为 ， 所 以 ， 所 以
，
又因为 ，所以 ；
选条件③：由正弦定理可得2sinAcosA﹣sinBcosC＝sinCcosB，
即2sinAcosA＝sinBcosC+sinCcosB＝sin（B+C）＝sinA，
又因为sinA≠0，所以 ，
∵ ，所以 ；
（2）
＝ ，
∵ ，∴ ，
所以 ，即 ，
又a＝2，
∴△ABC周长的取值范围为（2+2 ，6]．
34．（2023•龙华区校级模拟）在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且满足
．
（1）求tanAtanB的值；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）若cosAcosB＝ ，c＝6，求△ABC的面积S．
【解答】解：（1）由 ，可得 ，
因为tanA•tanB＞0，
所以tanA•tanB＝2．
（2）由（1）知tanA•tanB＝2，
所以 ，
又因为cosAcosB＝ ，
所以 ，
所以 ，
即 ，所以sinC＝ ，
根据正弦定理可得： ＝ ，
解得 ，
所以 ，
．
35．（2023•徐州模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b，a，c成等比数列，且
．
（1）求B；
（2）若b＝4，延长BC至D，使△ABD的面积为 ，求sin∠ADC．
【解答】解：（1）由b，a，c成等比数列可知，a2＝bc，
由正弦定理，可得sin2A＝sinBsinC，
又cosA＝cos[ ﹣（B+C）]＝﹣cos（B+C），
π
∴ ，
即 ，又A （0， ），即sinA＞0，
∈ π
∴ ，∴ 或 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】由b，a，c成等比数列可知，A不为最大角，故 ．
∴ ，
又B，C （0， ），∴﹣ ＜B﹣C＜ ，
∈ π π π
∴B﹣C＝0，故 ．
（2）由（1）及b＝4可知，△ABC是边长为4的正三角形，
过A作AE⊥BC垂足为E，则 ，
∴ ，
∴BD＝5，∴CD＝1．
在△ACD中，由余弦定理，得
＝ ，
在△ABD中，由正弦定理，得 ．
36．（2023•保定三模）在△ABC 中，BC＝10， ，△ABC 内有一点 M，且 BM⊥CM，
．
（1）若 ，求△ABC的面积；
（2）若AC＝14．求BM的长．
【解答】解：（1）在 Rt△BMC中，BM＝ CM，则∠MBC＝ ，∠BCM＝ ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为BC＝10，则BM＝5 ，
在△ABM中，∠ABM＝ ，∠AMB＝ ，
则∠BAM＝ ，
所以 ，即 ，解得AB＝15，
则 ＝ ．
（2）在△ABC中， ，
即196＝AB2+100﹣10AB，即AB2﹣10AB﹣96＝0，解得AB＝16或AB＝﹣6（舍去），
设∠CBM＝ ，则 ，
θ
在△ABM中， ，即 ，
则 ，即 ，
，
则BM＝BC ．
37．（2023•招远市模拟）在△ABC中，AB＝4，D为AB中点， ．
（1）若BC＝3，求△ABC的面积；
（2）若∠BAC＝2∠ACD，求AC的长．
【解答】解：（1）在△BCD中， ，
由余弦定理可知 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为0＜B＜ ，所以 ，
π
所以 ；
（2）在△ACD中，设∠ACD＝ ，∠BAC＝2 ，
θ θ
则由正弦定理 ，
即 ，得 ，∵ （0， ），所以 ，
θ∈ π
，
所以∠ADC＝ ﹣ ﹣2 ，
π θ θ
所以 ，
由正弦定理得： ，即 ．
38．（2023•祁东县校级模拟）如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，过点A作
AD⊥AB，交线段BC于点D，且AD＝DC，a＝3，bsinC＝asinA﹣bsinB﹣csinC．
（1）求∠BAC；
（2）求△ABC的面积．
【解答】解：（1）∵bsinC＝asinA﹣bsinB﹣csinC，
∴由正弦定理得bc＝a2﹣b2﹣c2，即b2+c2﹣a2＝﹣bc，
∴由余弦定理， ，
又∵∠BAC （0， ），
∈ π
∴ ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）∵AD⊥AB，∴ ，
由第（1）问， ，∴ ，
又∵AD＝DC，∴ ，
∴在△ABC中，由正弦定理得 ，
∴ ，
又∵ ，∴ ，
∴△ABC的面积 ．
39．（2023•定远县校级二模）设函数 ，若锐角△ABC的内角A，B，C
的对边分别为a，b，c，△ABC外接圆的半径为R，acosB﹣bcosA＝R．
（1）若f（A）＝1，求B；
（2）求 的取值范围．
【 解 答 】 解 ： （ 1 ） 由 题 意 得 ＝
＝ ，
f（A）＝1，
则 ，
又 ，
所以 ，解得 ，
，
则a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC，
由acosB﹣bcosA＝R，有2RsinAcosB﹣2RsinBcosA＝R，得 ，
因为A， ，所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
故 ．
（2）由（1）知， ，
所以 ，
因为 ，即 ，所以 ，
则 ＝
， ， 有
，
所以 ，
所以 的取值范围为（﹣1，0）．
40 ． （ 2023• 乌 鲁 木 齐 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求∠B大小；
（2）若△ABC为锐角三角形，且a＝2，求△ABC面积的取值范围．
【解答】解：（1）由余弦定理得 ，即 ，
再由正弦定理得 ，
∴ ，
∵sinA≠0，
∴ ，
又B （0， ），
∈ π
∴ ；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由正弦定理得 即， ，
而 ，
由△ABC为锐角三角形，
∴ 且 ，则 ，
∴ ，即S△ABC （1，2）．
∈
41．（2023•青羊区校级模拟）如图，在△ABC中， ，点D在AB延长线上，且 ．
（1）求 ；
（2）若△ABC面积为 ，求CD．
【解答】解：（1）因为 ，设 ，则AB＝AC＝t，
由余弦定理得 ，因为A （0， ），
∈ π
所以 ，
在△ACD中，由正弦定理得 ，
在△BCD中，由正弦定理得 ，
因为 ，所以 ，
整理得 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由 得 ，
由（1）得 ，所以t＝2，
在△BCD中， ，
由余弦定理得： ＝
．
42．（2023•朝阳区二模）在△ABC中，a＝4，b＝5， ．
（1）求△ABC的面积；
（2）求c及sinA的值．
【解答】解：（1）由 且0＜C＜ ，则 ，
π
所以 ．
（2）由c2＝a2+b2﹣2abcosC＝16+25﹣5＝36，则c＝6，
而 ，则 ．
43．（2023•浙江模拟）在△ABC中，∠A＝90°，点D在BC边上，在平面ABC内，过D作DF⊥BC且DF
＝AC．
（1）若D为BC的中点，且△ABC的面积等于△CDF面积的 倍，求∠ABC；
（2）若∠ABC＝30°，且CD＝3BD，求tan∠CFB．
【解答】解：（1）在△ABC中，∠A＝90°，所以 ．
因为DF⊥BC，所以 ．
因为△ABC的面积等于△CDF的面积的 倍，所以 ，
因为DF＝AC，所以 ，因为D为BC的中点，所以 ．
在直角△ABC中，因为 ，所以∠ABC＝45°，
（2）设AC＝k，因为∠A＝90°，∠ABC＝30°，CD＝3BD，DF＝AC，
∴DF＝k， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为DF⊥BC，所以 ，
所以tan∠CFB＝tan（∠CFD+∠BFD）＝ ．
44．（2023•陈仓区模拟）记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， ， ．
（1）求△ABC的面积；
（2）若 ，求b．
【解答】解：（1）∵ ，
∴sinBcosA＝（c2﹣1）sinAcosB＝c2sinAcosB﹣sinAcosB，
即sinBcosA+sinAcosB＝c2sinAcosB，
∴sin（A+B）＝sinC＝c2sinAcosB，
由正弦定理得：c＝ac2cosB，即accosB＝1，
∴cosB＞0，
∴ ，则 ，
∴ ；
（2）由（1）知： ；
由正弦定理知： ，则 ，
∴ ，
又 ，
∴ ．
45．（2023•重庆模拟）在锐角△ABC中，a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，外接圆周长
为 ，且2（b﹣ccosA）＝a．
（1）求c；
（2）记△ABC的面积为S，求S的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】【解答】解：（1）因为外接圆周长为 ，
则有 ，解得 ，
由正弦定理可得：2sinB﹣2sinCcosA＝sinA，
又2sinB＝2sin（A+C）＝2sinAcosC+2cosAsinC，
∴2sinAcosC＝sinA，
又sinA≠0，
∴ ， ，
∴ ，
由正弦定理可知：c＝2RsinC＝3．
（2） ， ，
由正弦定理得： ，
∴ ＝ ＝
＝ ＝ ，
∵△ABC是锐角三角形，
∴ ，
∴ ， ，
则 ．
46．（2023•青岛二模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，2a﹣c＝2bcosC．
（1）求B；
（2）若点D为边BC的中点，点E，F分别在边AB，AC上， ，b＝c＝2．设∠BDE＝ ，将
△DEF的面积S表示为 的函数，并求S的取值范围．
α
α
【解答】解：（1）因为2a﹣c＝2bcosC，所以 ，
即a2+c2﹣b2＝ac，所以 ，
因为B （0， ），所以 ；
∈ π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）由 ，及b＝c＝2，可知△ABC为等边三角形，
又因为 ，∠BDE＝ ，所以 ，
α
在△BDE中，∠BED＝ ﹣ ，由正弦定理 ，
α
在△CDF 中，∠CFD＝ ，由正弦定理 ，所以 S＝ × ×sin ＝
α
， ，
因 为 ＝
＝ ， 所 以 ， 所 以 S 的 取 值 范 围 为
．
47．（2023•威海一模）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ．
（1）求B；
（2）若a＝3， ，求△ABC的面积．
【解答】解：（1）由 ，得 ，即 ，
所以 ，
由正弦定理得 ，
因为0＜C＜ ，sinC≠0，
π
所以 ，
因为0＜B＜ ，
π
所以 ；
（2）在△ABC中，因为 ，a＝3， ，由余弦定理，得 ，即c2﹣3c﹣
54＝0，解得c＝9或c＝﹣6（舍去），
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
即△ABC的面积为 ．
48．（2023•鼓楼区校级模拟）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，且△ABC的
面积 ．
（1）求C；
（2）若△ABC内一点P满足AP＝AC，BP＝CP，求∠PAC．
【解答】解：（1）由余弦定理得 ，又因为S＝ bcsinA，
所以sinA＝cosA，所以tanA＝1，
因为A （0， ），所以 ，由正弦定理得 ，
∈ π
因为 所以 ，因为C （0， ），所以 ；
∈ π
（2）由（1）知 ，所以 ，
所以b＝a，设∠PAC＝ ，因为AP＝AC，所以 ，
θ
因为 ，所以 ，
因为在△APC中AP＝AC，所以 ，
因为在△BPC中BP＝CP，所以BC＝2PCcos ＝a，
即PC＝ ，所以 ＝2asin ，即 ，即 ，
因为∠PAC＝ （0， ），所以 ．
θ∈
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】49．（2023•沙坪坝区校级模拟）已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，
．
（1）求A；
（2）若△ABC的面积为 ，求 ．
【解答】解：（1）因为 ，由正弦定理得： ，
因为sinB＞0，
所以 ， ，即 ，
又A （0， ），
∈ π
所以 ．
（2）由 及余弦定理知， ，①
由面积公式： ，
整理得：2a2＝bc，②
结合①②可得 ，
即得 ，
则 ，
所以 ．
50．（2023•日照一模）已知△ABC中，a，b，c是角A，B，C所对的边，asin ＝bsinA，且a＝1．
（1）求B；
（2）若AC＝BC，在△ABC的边AB，AC上分别取D，E两点，使△ADE沿线段DE折叠到平面BCE后，
顶点A正好落在边BC（设为点P）上，求此情况下AD的最小值．
【解答】解：（1）由正弦定理及asin ＝bsinA，
知sinAsin ＝sinBsinA，
因为sinA≠0，
所以sin ＝sinB，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】即cos ＝sinB＝2sin cos ，
因为B （0， ），
∈ π
所以 （0， ），
∈
所以cos ≠0，
所以sin ＝ ，
解得B＝ ．
，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝BC＝AC＝1，
设AD＝m，
∴BD＝1﹣m，
由题意，DP＝AD＝m，
在△DBP中，由余弦定理得DP2＝DB2+BP2﹣2DB⋅BPcos60°，
∴m2＝（1﹣m）2+BP2 ，
∴m2＝1﹣2m+m2+BP2﹣BP+m⋅BP，
设BP＝x，0⩽x⩽1，
∴ ，
设t＝2﹣x，∴t [1，2]，
∈
∴ ，
当且仅当 ，即 时取等号，
∴AD的最小值为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】51．（2023•香洲区校级模拟）如图所示，在四边形ABCD中，AB＝BC＝CD＝2，AD＝2 ．
（1）证明 cosA﹣cosC为定值并求出这个定值；
（2）记△ABD 与△BCD的面积分别为S 和S ，求 + 的最大值．
1 2
【解答】解：（1）证明：在△ABD 中，由余弦定理得 BD2＝AB2+AD2﹣2AB⋅AD⋅cosA＝4+8﹣
，
在△BCD中，由余弦定理得BD2＝CB2+CD2﹣2CB⋅CD⋅cosC＝4+4﹣8cosC＝8﹣8cosC，
所以 ，即 ，
所以无论BD多长， ．
（2） ，
，
则
＝ ，
配方得 ，当 时， + 取到最大值为 ．
52．（2023•驻马店二模）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且5cos2B﹣14cosB＝7．
（1）求sinB的值；
（2）若a＝5，c＝2，D是线段AC上的一点，求BD的最小值．
【解答】解：（1）因为5cos2B﹣14cosB＝7，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以5（2cos2B﹣1）﹣14cosB﹣7＝0，
所以5cos2B﹣7cosB﹣6＝0，
即（5cosB+3）（cosB﹣2）＝0，解得 ．
因为0＜B＜ ，所以 ．
（2）由余弦π定理可得b2＝a2+c2﹣2accosB＝41，则 ．
设△ABC的边AC上的高为h．
∵△ABC的面积S＝ ＝ ，
∴ ＝ ，
解得h＝ ，
∵B是锐角，∴当BD⊥AC时，垂足在边AC上，即BD的最小值是 ．
53．（2023•乌鲁木齐模拟）在△ABC中，边a，b，c所对的角分别为A，B，C，a＝3，c2＝b2﹣3b+9．
（1）求角C的大小；
（2）若 ，求边c．
【解答】解：（1）因为a＝3，c2＝b2﹣3b+9，所以 ；
因为0＜C＜ ，所以 ．
π
（2）因为 ，所以 ；
因为 ，所以 ，即sin2A＝1；
因为0＜A＜ ，所以 ，所以 ．
54．（2023•河南模拟）在△ABC中，B≠C，sinB+sinC＝cosB+cosC．
π
（1）求A；
（2）若在△ABC内（不包括边界）有一点M，满足CM＝2MA＝2MB，且∠AMC＝90°，求tan∠ACB．
【解答】解：（1）因为sinB+sinC＝cosB+cosC，
所以sinB﹣cosB＝cosC﹣sinC，
所以 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】又0＜B，C＜ ，则 ，
π
故 或 ，
又因为 不合题意，
故 ，
所以 ，
所以 ．
（2）由（1）知， ，
设∠ACM＝ ，又MA＝MB，则∠MAB＝∠MBA＝ ，
θ θ
设∠ACB＝ ，则 ，如图，
φ
在△MBC中，由正弦定理得 ，
又因为MC＝2MB，
所以2sin（ ﹣ ）＝cos（ + ），
即2（sin cos ﹣cos sin ）＝cos cos ﹣sin sin ①，
φ θ φ θ
φ θ φ θ φ θ φ θ
由MC＝2AM，∠AMC＝90°得， ， ，
代入①式整理得， ，则 ．
故 ．
55．（2023•锦江区校级模拟）已知a，b，c分别为锐角△ABC内角A，B，C的对边，c2﹣a2＝ab．
（1）证明：C＝2A；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）求 的取值范围．
【解答】解：（1）证明：∵c2﹣a2＝ab，
∴c2＝a2+ab，
由余弦定理得c2＝a2+b2﹣2abcosC＝a2+ab，
整理得b2﹣2abcosC＝ab，
即b﹣2acosC＝a，
由正弦定理得sinB﹣2sinAcosC＝sinA，
即sin（A+C）﹣2sinAcosC＝sinA，
∴sinCcosA﹣sinAcosC＝sinA，
∴sin（C﹣A）＝sinA，
∵A，C为锐角三角形的内角，
∴C﹣A＝A或C﹣A+A＝ （舍），
故C＝2A．
π
（2）∵b﹣2acosC＝a，
∴ ，
∵△ABC为锐角三角形，3A+B＝ ，C＝2A，
π
∴ ， ，
∴ ．
∵ ，
∴ ，1＜2cosC+1＜2，
∴ ，
即 的取值范围是 ．
56．（2023•北流市模拟）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别a，b，c，且bcosA+acosB＝2ccosA．
（1）求角A的值；
（2）已知D在边BC上，且BD＝3DC，AD＝3，求△ABC的面积的最大值．
【解答】解：（1）△ABC中，bcosA+acosB＝2ccosA，
由正弦定理得sinBcosA+sinAcosB＝2sinCcosA，
所以sin（A+B）＝2sinCcosA，
因为A+B+C＝ ，所以sin（A+B）＝sinC，
所以sinC＝2sinCcosA，
π
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】又因为C是△ABC的内角，所以sinC≠0，所以cosA＝ ；
又因为A是△ABC的内角，所以A＝ ．
（2）因为 ，所以 ，所以 ；
所以9＝ + + • ，
即9＝ c2+ b2+ bc，
由基本不等式得：9≥ bc+ bc＝ bc，当且仅当b＝ ，c＝4 时等号成立；
所以△ABC面积的最大值为 ×16× ＝4 ．
57．（2023•湖北模拟）在△ABC中，AB＝9，点D在边BC上，AD＝7．
（1）若 ，求BD的值，
（2）若 ，且点D是边BC的中点，求AC的值．
【解答】解：（1）在△ABD中，由余弦定理得AD2＝AB2+BD2﹣2AB⋅BD⋅cosB，
所以 ，解得BD＝8或BD＝4，
经检验均符合要求；
（2）在△ABD中，过D作AB的平行线交AC于E，
因为点D是边BC的中点，所以点E为AC的中点，
在△AED中， ，
又∠BAC+∠AED＝ ，所以 ，
π
由余弦定理得 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 或 （舍去），
故 ．
58 ． （ 2023• 河 南 模 拟 ） 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， 且
．
（1）求角C；
（2）若c＝4，△ABC的面积为 ，求a，b．
【解答】解：（1） ，
则由正弦定理可得， ，
则 ，
，
所以 ，
因为0＜A＜ ，
所以sinA＞0，
π
所以 ，故 ，
因为0＜C＜ ， ，
π
所以 ，即 ；
（2） ，
所以ab＝16，
又由余弦定理c2＝a2+b2﹣2abcosC，c＝4，即a2+b2﹣ab＝16，
所以a2+b2＝32，所以（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝0，
所以a＝b＝4．
59．（2023•河北模拟）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且acosAcos（C﹣B）﹣asin2A＝
bsinAsinC﹣a．
（1）求A；
（2）已知△ABC的外接圆半径为4，若b+ c有最大值，求实数 的取值范围．
【解答】解：（1）因为acosAcos（C﹣B）﹣asin2A＝bsinAsinC﹣a，
λ λ
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】由正弦定理可得sinAcosAcos（C﹣B）﹣sin3A＝sinBsinAsinC﹣sinA，
因为A （0， ），则sinA≠0，可得cosAcos（C﹣B）﹣sin2A＝sinBsinC﹣1，
则sinB∈sinC＝cπosAcos（C﹣B）+（1﹣sin2A）＝cosAcos（C﹣B）+cos2A
＝cosA[cos（C﹣B）+cosA]＝cosA[cos（C﹣B）﹣cos（C+B）]
＝2cosAsinBsinC，
又因为B，C （0， ），则sinB，sinC≠0，整理得 ，
∈ π
且A （0， ），所以 ．
∈ π
（2）由正弦定理 ，可得b＝8sinB，c＝8sinC，
因为 ，则 ，
则
＝ ，
①若8 +4＞0，即 时，则 ，
λ
其中 ，
当 ，即 时，b+ c取到最大值，符合题意；
λ
②若8 +4＝0，即 时，则 在 上单调递减，无最值，不符合题意；
λ
③若8 +4＜0，即 时，则 ，
λ
其中 ，
当 ，即 时，b+ c取到最大值
λ
注意到 ，则 ，
可得 ，解得 ＜﹣2；
λ
综上所述：实数 的取值范围为 ．
60．（2023•佛山二λ模）已知△ABC为锐角三角形，且cosA+sinB＝ （sinA+cosB）．
（1）若C＝ ，求A；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）已知点D在边AC上，且AD＝BD＝2，求CD的取值范围．
【解答】解：（1）∵C＝ ，又cosA+sinB＝ （sinA+cosB），
∴cosA+sin（ ﹣A）＝ sinA+ cos（ ﹣A），
∴cosA+ cosA+ sinA＝ sinA+ （ cosA+ sinA），
∴ ，
∴tanA＝1，又A （0， ），∴A＝ ；
（2）∵cosA+sin∈B＝ π（sinA+cosB），
∴ sinA﹣cosA＝sinB﹣ cosB，
∴2sin（A﹣ ）＝2sin（B﹣ ），
∴A﹣ ＝B﹣ 或A﹣ +B﹣ ＝ ，
π
∴A＝B﹣ 或A+B＝ （舍），
又AD＝BD＝2，∴∠A＝∠ABD，∴∠CBD＝ ，
在△BCD中，由正弦定理可得 ，
∴ ，∴|CD|＝ ，
又sinC＝sin（ ﹣2B），又△ABC为锐角三角形，
'∴ ，∴B （ ， ），
∈
∴ （ ， ），
∈
∴sinC＝sin（ ﹣2B） （ ，1），
∈
∴|CD|＝ （1，2）．
∈
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】1.正、余弦定理
在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则
定理 正弦定理 余弦定理
a2＝ b 2 ＋ c 2 － 2 bc cos __A；
公式 ＝＝＝2R b2＝ c 2 ＋ a 2 － 2 ca cos __B；
c2＝ a 2 ＋ b 2 － 2 ab cos __C
(1)a＝2Rsin A，b＝ 2 R sin __B，c＝ 2 R sin __C；
(2)sin A＝，sin B＝，sin C＝； cos A＝；
常见
(3)a∶b∶c＝sin__ A ∶ sin __ B ∶ sin __C； cos B＝；
变形
(4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝ cos C＝
csin A
2.S ＝absin C＝bcsin A＝acsin B＝＝(a＋b＋c)·r(r是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R，r.
△ABC
3.在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：
A为锐角 A为钝角或直角
图形
关系式 a＝bsin A bsin Ab a≤b
解的个数 一解 两解 一解 一解 无解
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