文档内容
专题八 《解三角形》讲义
知识梳理 . 解三角形
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式
(1)S ＝ah(h 为边a上的高)；
ABC a a
(2)S△ ＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
ABC
(3)S△＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型一 . 正弦定理
考点 1 . 基本量运算
π
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=√3，C= ，则A＝
3
π
．
6
√3
【解答】解：由正弦定理得 a c asinC 2 1
= ∴sinA= = =
sinA sinC c √3 2
π 5π
∴A= 或
6 6
∵a＜c
π
故答案为：
65 3
2．在△ABC中，cosA= ，sinB= ，a＝20，则b的值为 1 3 ．
13 5
5 12
【解答】解：∵在△ABC中，cosA= ，∴sinA=√1−cos2B= ．
13 13
a b
由正弦定理可得： = ，
sinA sinB
3
20×
asinB 5
∴b= = = 13．
sinA 12
13
故答案为：13．
√6 π
3．在△ABC中，b=3√2，cosA= ，B=A+ ．
3 2
（1）求a的值；
（2）求cos2C的值．
√6 √3
【解答】解：（1）∵cosA= ，0＜A＜ ，∴sinA= ，
3 3
π
π √6
∴sinB＝sin（A+ ）＝cosA= ，
2 3
a b 3√2
= = =
由正弦定理得：sinA sinB √6 3√3，∴a＝3；
3
π π
（2）∵B＝A+ ，∴ ＜B＜ ，
2 2
π
√6 √3
又∵sinB= ，∴cosB=− ，
3 3
2√2
∴cosC＝﹣cos（A+B）＝﹣（cosAcosB﹣sinAsinB）＝sinAsinB﹣cosAcosB= ，
3
7
∴cos2C＝2cos2C﹣1= ．
9
考点 2 . 边角互化
1 ． △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知
√3(acosC−ccosA)=b，B=60°，则A的大小为 75 ° ．
【解答】解：∵√3(acosC−ccosA)=b，B=60°，
∴由正弦定理可得：√3（sinAcosC﹣sinCcosA）＝sinB，可得：√3sin（A﹣C）＝sinB√3
= ，
2
1
∴sin（A﹣C）= ，
2
∵A+C＝120°，
又∵0°＜A＜120°，0°＜C＜120°，可得：﹣120°＜A﹣C＜120°，
∴A﹣C＝30°，
∴解得：A＝75°．
故答案为：75°．
2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则
cosB＝（ ）
2 3 4
A． B． C． D．0
3 4 5
【解答】解：∵2a＝3b，
∴根据正弦定理得2sinA＝3sinB，且A＝2B，
∴2sin2B＝4sinBcosB＝3sinB，且sinB≠0，
3
∴cosB= ．
4
故选：B．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA−√3acosB＝2b−√3
c，则A＝（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
3 4 6 3
【解答】解：∵bsinA−√3acosB＝2b−√3c，
∴由正弦定理可得：sinBsinA−√3sinAcosB＝2sinB−√3sinC，
∴sinBsinA−√3sinAcosB＝2sinB−√3sinC＝2sinB−√3（sinAcosB+cosAsinB），
∴sinBsinA＝2sinB−√3cosAsinB，
又∵sinB≠0，
∴sinA+√3cosA＝2，
π π π
∴2sin（A+ ）＝2，可得A+ = +2k ，k Z，
3 3 2
π ∈
又A （0， ），
∈ ππ
∴A= ．
6
故选：C．
考点 3 . 内角和应用
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a
＝2，c=√2，则C＝（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
【解答】解：sinB＝sin（A+C）＝sinAcosC+cosAsinC，
∵sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，
∴sinAcosC+cosAsinC+sinAsinC﹣sinAcosC＝0，
∴cosAsinC+sinAsinC＝0，
∵sinC≠0，
∴cosA＝﹣sinA，
∴tanA＝﹣1，
π
∵ ＜A＜ ，
2
π
3π
∴A= ，
4
c a
由正弦定理可得 = ，
sinC sinA
csinA
∴sinC= ，
a
∵a＝2，c=√2，
√2
√2×
∴sinC csinA 2 1，
= = =
a 2 2
∵a＞c，
π
∴C= ，
6
故选：B．
2．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，acosc+√3asinC−b−c=0，
则A＝（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6【解答】解：已知等式利用正弦定理化简得：sinAcosC+√3sinAsinC﹣sinB﹣sinC＝0，
∴sinAcosC+√3sinAsinC﹣sin（A+C）﹣sinC＝0，即sinAcosC+√3sinAsinC﹣sinAcosC﹣
cosAsinC﹣sinC＝0，
∴√3sinAsinC﹣cosAsinC﹣sinC＝0，
∵sinC≠0，
sinA √3
∴√3sinA＝cosA+1，即 = ，
1+cosA 3
A sinA √3
∴tan = = ，
2 1+cosA 3
A π π
∴ = ，即A= ．
2 6 3
故选：B．
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b．c，已知cos（A﹣C）+cosB＝1，（2cosB
π
﹣1）a+2bcosA＝0，则C＝ ．
6
【解答】解：由B＝ ﹣（A+C），可得cosB＝﹣cos（A+C），
∴cos（A﹣C）+cosBπ＝cos（A﹣C）﹣cos（A+C）＝2sinAsinC＝1，
1
∴sinAsinC= ，…①
2
又∵（2cosB﹣1）a+2bcosA＝0，可得：2acosB+2bcosA＝a，
∴由正弦定理可得：2sinAcosB+2sinBcosA＝sinA，可得：sinA＝2sinC，…②
1
∴①②联解可得，sin2C= ，
4
∵0＜C＜ ，
1π
∴sinC= ，
2
∵a＝2c，即a＞c，得C为锐角，
π
∴C= ．
6
π
故答案为： ．
6
题型二 . 余弦定理
1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），则A＝（ ）
3π π π π
A． B． C． D．
4 3 4 6
【解答】解：∵b＝c，
∴a2＝b2+c2﹣2bccosA＝2b2﹣2b2cosA＝2b2（1﹣cosA），
∵a2＝2b2（1﹣sinA），
∴1﹣cosA＝1﹣sinA，
则sinA＝cosA，即tanA＝1，
π
即A= ，
4
故选：C．
3cosA a
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知 = ，且a2﹣c2＝
cosC c
2b，则b＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3cosA a
【解答】解： = ，即为
cosC c
3ccosA＝acosC，
b2+c2−a2 a2+b2−c2
即有3c• =a• ，
2bc 2ab
1
即有a2﹣c2= b2，
2
1
又a2﹣c2＝2b，则2b= b2，
2
解得b＝4．
故选：A．
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，sinC=√2sinA，
则（ ）
A．a＝b
B．a＜b
C．a＞b
D．a与b的大小关系不能确定
【解答】解：因为C＝120°，sinC=√2sinA，所以由正弦定理可得：c=√2a，
a2+b2−c2 1 a2+b2−2a2
由余弦定理cosC= ，可得：− = ，整理可得：a2﹣b2＝ab＞0，
2ab 2 2ab
可得a2＞b2，
可得a＞b．
故选：C．
4．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC＝3cosAsinC且a2
﹣c2＝2b，则b＝ 4
【解答】解：∵sinAcosC＝3cosAsinC，
a2+b2−c2 b2+c2−a2
∴a× =3c× ，
2ab 2bc
∴2c2＝2a2﹣b2，
∵a2﹣c2＝2b，
∴b2＝4b，
∵b≠0，
∴b＝4．
故答案为：4．
A b+c
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2 = ，则△ABC是（
2 2c
）
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形
D．等腰直角三角形
A b+c A
【解答】解：∵cos2 = ，2cos2 −1＝cosA，
2 2c 2
b
∴cosA= ，
c
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．题型三 . 高、中点、角平分线问题
π 1
1．在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA等于（ ）
4 3
3√10 √10 √10 3√10
A． B． C．− D．−
10 10 10 10
【解答】解：设△ABC中角A、B、C、对应的边分别为a、b、c，AD⊥BC于D，令
∠DAC＝ ，
θ
π 1 1
∵在△ABC中，B= ，BC边上的高AD＝h= BC= a，
4 3 3
1 2
∴BD＝AD= a，CD= a，
3 3
a
AD 3 √5 2√5
在Rt△ADC中，cos = = = ，故sin = ，
AC √ 1 2a 5 5
( a) 2+( ) 2
θ 3 3 θ
π π π √2 √5 √2 2√5 √10
∴cosA＝cos（ + ）＝cos cos ﹣sin sin = × − × =− ．
4 4 4 2 5 2 5 10
θ θ θ
故选：C．
π
2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC= ，b=√7，c＝
3
2，D为BC的中点．
（Ⅰ）求cos∠BAC的值；
（Ⅱ）求AD的值．
【解答】（本题满分为12分）
c 2 √3 √3
解：（I）法1：由正弦定理得sinC= sinB= × = ⋯（1分）
b √7 2 √7
π
又∵在△ABC中，b＞c，∴C＜B，∴0＜C＜ ⋯（2分）
2√ 3 2
∴cosC=√1−sin2C= 1− = ⋯（3分）
7 √7
∴cos∠BAC＝cos（ ﹣B﹣C）＝﹣cos（B+C）…（4分）
＝﹣（cosBcosC﹣siπnBsinC）…（5分）
√3 √3 1 2 √7
= × − × = ⋯（6分）
2 √7 2 √7 14
法2：在△ABC中，由余弦定理得AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BCcos∠ABC…（1分）
1
∴7=4+a2−2×2×a×
，…（2分）
2
∴（a﹣3）（a+1）＝0解得a＝3（a＝﹣1已舍去），…（4分）
AB2+AC2−BC2
∴cos∠BAC= ⋯（5分）
2AB⋅AC
4+7−9 √7
= = ．…（6分）
2×2×√7 14
→ 1 → →
（II）法1：∵AD= (AB+AC)⋯（8分）
2
→ 1 → → 1 → → → →
∴AD2= (AB+AC) 2= (AB2+AC2+2AB⋅AC)⋯（10分）
4 4
1 √7 13
= (4+7+2×2×√7× )= ⋯（11分）
4 14 4
√13
∴AD= ．…（12分）
2
法2：在△ABC中，由余弦定理得BC2＝AB2+AC2﹣2AB•ACcos∠BAC…（7分）
√7
=4+7−2×2×√7× =9，…（8分）
14
∴BC＝3，
3
∴BD= ⋯（9分）
2
在△ABD中，由余弦定理得 AD2＝AB2+BD2﹣2AB•BD•cos∠ABD，…（10分）
9 3 1 13
=4+ −2×2× × = ，…（11分）
4 2 2 4
√13
∴AD= ，…（12分）
2
1
法3：设E为AC的中点，连结DE，则 DE= AB=1，…（7分）
21 1
AE= AC= √7⋯（8分）
2 2
在△ADE中，由余弦定理得AD2＝AE2+DE2﹣2AE•DE•cos∠AED，…（9分）
7 √7 √7 13
= +1+2× ×1× =
4 2 14 4
，…（11分）
√13
∴AD= ．…（12分）
2
3．已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为
15
．
8
【解答】解：∵AD是△ABC的内角A的平分线，且∠BAC＝120°，
∴∠BAD＝∠CAD＝60°，
∵S△ABD +S△CAD ＝S△ABC ，
1 1 1
∴ AB•ADsin∠ABD+ AC•ADsin∠CAD= AB•ACsin∠BAC，
2 2 2
1 √3 1 √3 1 √3
即 ×3AD× + ×5AD× = ×3×5× ，
2 2 2 2 2 2
15
解得：AD= ，
8
15
故答案为：
8
题型四 . 周长、面积问题
3√3
1．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为 ，b＝3，B
42π
= ．则△ABC是（ ）
3
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
3√3 2π
【解答】解：∵△ABC面积为 ，b＝3，B= ，
4 3
1 3√3 1 √3 3√3
∴ acsinB= ，即 ac× = ，
2 4 2 2 4
整理得：ac＝3，①
由余弦定理得：b2＝a2+c2﹣2accosB，即9＝a2+c2+ac＝（a+c）2﹣ac＝（a+c）2﹣3，
整理得：a+c＝2√3，②
联立①②，解得：a＝c=√3，
则△ABC为等腰三角形，
故选：C．
1
2．（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是 ，AB＝1，BC=√2，则AC＝（ ）
2
A．5 B．√5 C．2 D．1
1
【解答】解：∵钝角三角形ABC的面积是 ，AB＝c＝1，BC＝a=√2，
2
1 1 √2
∴S= acsinB= ，即sinB= ，
2 2 2
√2
当B为钝角时，cosB=−√1−sin2B=− ，
2
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2+2＝5，即AC=√5，
√2
当B为锐角时，cosB=√1−sin2B= ，
2
利用余弦定理得：AC2＝AB2+BC2﹣2AB•BC•cosB＝1+2﹣2＝1，即AC＝1，
此时AB2+AC2＝BC2，即△ABC为直角三角形，不合题意，舍去，
则AC=√5．
故选：B．
3．（2018•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝2√3
4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为 ．
3
【解答】解：△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．
bsinC+csinB＝4asinBsinC，
利用正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB＝4sinAsinBsinC，
由于0＜B＜ ，0＜C＜ ，
所以sinBsinCπ≠0， π
1
所以sinA= ，
2
π 5π
则A= 或
6 6
由于b2+c2﹣a2＝8，
b2+c2−a2
则：cosA= ，
2bc
π √3 8
①当A= 时， = ，
6 2 2bc
8√3
解得bc= ，
3
1 2√3
所以S = bcsinA= ．
△ABC 2 3
5π √3 8
②当A= 时，− = ，
6 2 2bc
8√3
解得bc=− （不合题意），舍去．
3
2√3
故：S = ．
△ABC 3
2√3
故答案为： ．
3
4．（2016•新课标Ⅰ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC
（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
3√3
（Ⅱ）若c=√7，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
2
【解答】解：（Ⅰ）∵在△ABC中，0＜C＜ ，∴sinC≠0
已知等式利用正弦定理化简得：2cosC（sinAπcosB+sinBcosA）＝sinC，整理得：2cosCsin（A+B）＝sinC，
即2cosCsin（ ﹣（A+B））＝sinC
2cosCsinC＝siπnC
1
∴cosC= ，
2
π
∴C= ；
3
1
（Ⅱ）由余弦定理得7＝a2+b2﹣2ab• ，
2
∴（a+b）2﹣3ab＝7，
1 √3 3√3
∵S= absinC= ab= ，
2 4 2
∴ab＝6，
∴（a+b）2﹣18＝7，
∴a+b＝5，
∴△ABC的周长为5+√7．
5．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝
B
8sin2 ．
2
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．
B
【解答】解：（1）sin（A+C）＝8sin2 ，
2
∴sinB＝4（1﹣cosB），
∵sin2B+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B＝1，
∴16（1﹣cosB）2+cos2B﹣1＝0，
∴16（cosB﹣1）2+（cosB﹣1）（cosB+1）＝0，
∴（17cosB﹣15）（cosB﹣1）＝0，
15
∴cosB= ；
17
8
（2）由（1）可知sinB= ，
171
∵S△ABC =
2
ac•sinB＝2，
17
∴ac= ，
2
17 15
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+c2﹣2× ×
2 17
＝a2+c2﹣15＝（a+c）2﹣2ac﹣15＝36﹣17﹣15＝4，
∴b＝2．
题型五 . 最值、取值范围问题
考点 1 . 最值问题
1．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且
（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 √3 ．
【解答】解：因为：（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC
（2+b）（a﹣b）＝（c﹣b）c
⇒2a﹣2b+ab﹣b2＝c2﹣bc，
⇒又因为：a＝2，
b2+c2−a2 1 π
所以：a2−b2=c2−bc⇒b2+c2−a2=bc⇒cosA= = ⇒A= ，
2bc 2 3
1 √3
△ABC面积S= bcsinA= bc，
2 4
而b2+c2﹣a2＝bc
b2+c2﹣bc＝a2
⇒b2+c2﹣bc＝4
⇒bc≤4
⇒ 1 √3
所以：S= bcsinA= bc≤√3，即△ABC面积的最大值为√3．
2 4
故答案为：√3．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b，若△ABC的面积
为S=√3c，则ab的最小值为（ ）
A．56 B．48 C．36 D．28
a b c
【解答】解：由正弦定理，有 = = = 2R，又2c•cosB＝2a+b，
sinA sinB sinC
可得：2sinC•cosB＝2sinA+sinB，由A+B+C＝ ，得sin A＝sin（B+C），
则2sinC•cosπB＝2sin（B+C）+sinB，即2sinB•cosC+sinB＝0，
1
又0＜B＜ ，sinB＞0，得cosC=− ，
2
π
2π
因为0＜C＜ ，得C= ，
3
π
1 √3 1
则△ABC的面积为S△ =
2
absinC =
4
ab=√3c，即c =
4
ab，
1
由余弦定理，得c2＝a2+b2﹣2ab cosC，化简，得a2+b2+ab= a2b2，
16
由于：a2+b2≥2ab，当仅当a＝b时取等号，
1
可得：2ab+ab≤ a2b2，即ab≥48，故ab的最小值是48．
16
故选：B．
3．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+√2b=2c，则cosC的最小值为
√6−√2
．
4
【解答】解：∵在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，a+√2b=2c，
a2+2b2+2√2ab
∴c2= ，
4
a2+2b2+2√2ab
a2+b2−
∴cosC a2+b2−c2 4
= =
2ab 2ab
3 b2
a2+
4 2 √2
= −
2ab 4
√3 1
2 a2 ⋅ b2
4 2 √2 √6−√2．
≥ − =
2ab 4 4
3 1
当且仅当
a2= b2
时，取等号，
4 2
√6−√2
∴cosC的最小值为 ．
4
√6−√2
故答案为： ．
4
4．（2011•新课标）在△ABC中，B＝60°，AC=√3，则AB+2BC的最大值为 2√7 ．【解答】解：设AB＝cAC＝bBC＝a
由余弦定理
a2+c2−b2
cosB=
2ac
所以a2+c2﹣ac＝b2＝3
设c+2a＝m
代入上式得
7a2﹣5am+m2﹣3＝0
△＝84﹣3m2≥0 故m≤2√7
5√7 4√7
当m＝2√7时，此时a= ，c= 符合题意
7 7
因此最大值为2√7
另解：因为B＝60°，A+B+C＝180°，所以A+C＝120°，
由正弦定理，有
AB BC AC √3
= = = =2，
sinC sinA sinB sin60°
所以AB＝2sinC，BC＝2sinA．
所以AB+2BC＝2sinC+4sinA＝2sin（120°﹣A）+4sinA
＝2（sin120°cosA﹣cos120°sinA）+4sinA
=√3cosA+5sinA
√3 5
＝2√7sin（A+ ），（其中sin = ，cos = ）
2√7 2√7
φ φ φ
所以AB+2BC的最大值为2√7．
故答案为：2√7
3
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA= c，则tan
5
（A﹣B）的最大值为（ ）
3 1 3 3
A． B． C． D．
5 3 8 4
3
【解答】解：∵acosB﹣bcosA= c，
5
3
∴结合正弦定理，得sinAcosB﹣sinBcosA= sinC，
5
∵C＝ ﹣（A+B），得sinC＝sin（A+B），
π3
∴sinAcosB﹣sinBcosA= （sinAcosB+cosAsinB），
5
整理，得sinAcosB＝4sinBcosA，同除以cosAcosB，得tanA＝4tanB，
tanA−tanB 3tanB 3
= = =
由此可得tan（A﹣B） 1+tanAtanB 1+4tan2B 1 ，
+4tanB
tanB
∵A、B是三角形内角，且tanA与tanB同号，
∴A、B都是锐角，即tanA＞0，tanB＞0，
1 √ 1
∵ +4tanB≥2 ⋅4tanB=4，
tanB tanB
3 3
= ≤ 1 1
∴tan（A﹣B） 1 4，当且仅当 =4tanB，即tanB= 时，tan（A﹣
+4tanB tanB 2
tanB
3
B）的最大值为 ．
4
故选：D．
考点 2 . 取值范围问题
1．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b （4，6），sin2A＝sinC，则c
的取值范围为 （ 4√2 ， 2√10）． ． ∈
4 c c
【解答】解：由正弦定理得， = = ，
sinA sinC sin2A
故c＝8cosA，
因为16＝b2+c2﹣2bccosA，
所以16﹣b2＝64cos2A﹣16bcos2A，
因为b≠4，
16−b2 4+b
所以cos2A= = ，
16(4−b) 16
4+b
所以c2＝64cos2A＝64× =4（4+b） （32，40），
16
∈
故4√2＜c＜2√10．
故答案为：（4√2，2√10）．
a
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，若A＝2B，则 的取值范围是
b(√2，√3) ．
【解答】解：锐角三角形ABC中，A＝2B，C＝ ﹣3B，
π
π
{ 0＜B＜
2
π π π
所以 0＜2B＜ ，解得 ＜B＜ ，
2 6 4
π
0＜π−3B＜
2
a sinA
由正弦定理得 = = 2cosB （√2，√3）．
b sinB
∈
故答案为：（√2，√3）．
3．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，且sin2B＝sinA
（sinA+sinC），则△ABC的周长的取值范围为 （ 4+ 2√2 ， 6+ 2√3） ．
【解答】解：因为a＝2，且sin2B＝sinA（sinA+sinC），
所以由正弦定理可得b2＝a2+ac，
c2+b2−a2 c2+ac c+a
由余弦定理可得cosA= = = ，
2bc 2bc 2b
c−a {c+a=2bcosA
同理可得：cosB= ，即 ，
2b c−a=2acosB
消去c，可得2a＝2bcosA﹣2acosB，
由正弦定理可得2sinA＝2sinBcosA﹣2sinAcosB，即2sinA＝2sin（B﹣A），可得B＝2A，
a b 2 b
由正弦定理 = ，可得 = ，可得b＝4cosA，
sinA sinB sinA sin2A
因为△ABC为锐角三角形，且A+B+C＝ ，
π π π π
所以0＜2A＜ ，即 ＜A＜ ，
2 6 4
√2 √3
所以 ＜cosA＜ ，即2√2＜b＜2√3．
2 2
又因为a＝2，即b2＝4+2c，
b2−4 1
所以△ABC的周长为a+b+c＝2+b+ = b2+b，
2 2
由二次函数性质可得，△ABC的周长的取值范围为：（4+2√2，6+2√3）．
故答案为：（4+2√2，6+2√3）．
4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则1 1 2√3
− 的取值范围为 （ 1 ， ） ．
tanA tanB 3
【解答】解：∵b2﹣a2＝ac，
∴b2＝a2+c2﹣2accosB＝a2+ac，
∴c＝2acosB+a，
∴sinC＝2sinAcosB+sinA，
∵sinC＝sin（A+B）＝sinAcosB+cosAsinB，
∴sinA＝cosAsinB﹣sinAcosB＝sin（B﹣A），
∵三角形ABC为锐角三角形，
∴A＝B﹣A，
∴B＝2A，
∴C＝ ﹣3A，
π
π
{ 0＜2A＜
2
∴
π
0＜π−3A＜
2
π π π π
∴A （ ， ），B （ ， ）
6 4 3 2
∈ ∈
1 1 sin(B−A) 1
∴ − = = ，
tanA tanB sinBsinA sinB
π π
∵B （ ， ）
3 2
∈
√3
∴sinB （ ，1），
2
∈
1 2√3
∴ ， ），
sinB 3
∈
1 1 2√3
∴ − 的范围为（1， ），
tanA tanB 3
2√3
故答案为：（1， ）
3
→ →
5．已知△ABC 的周长为 6，且 cos2B+2sinAsinC＝1，则 BA⋅BC 的取值范围是 [2 ，
27−9√5
） ．
2【解答】解：由cos2B+2sinAsinC＝1，得2sinAsinC＝1﹣cos2B＝2sin2B，
利用正弦定理可得b2＝ac，
又a+b+c＝6，
a+c 6−b
∴b=√ac≤ = ，从而0＜b≤2．
2 2
再由|a﹣c|＜b，得（a﹣c）2＜b2，（a+c）2﹣4ac＜b2，
∴（6﹣b）2﹣4b2＜b2，得b2+3b﹣9＞0，
3√5−3
又b＞0，解得b＞ ，
2
3√5−3
∴ ＜b≤2，
2
a2+c2−b2
∵cosB= ，
2ac
→ → a2+c2−b2 (a+c) 2−2ac−b2 (6−b) 2−3b2
∴ BA⋅BC=ac• cosB= = = =−（ b+3 ）
2 2 2
2+27．
→ → 27−9√5
则2≤BA⋅BC＜ ．
2
→ → 27−9√5
∴
BA⋅BC
的取值范围是[2，
2
）．
27−9√5
故答案为：[2， ）．
2
题型六 . 解三角形解答题
π
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A= ，___且b=√2，
3
请从①b2+√2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个
补充在横线上，求出此时△ABC的面积．
【解答】解：情形一：若选择①b2+√2ac=a2+c2，
a2+c2−b2 √2ac √2
由余弦定理cosB= = = ，
2ac 2ac 2
π
因为B （0， ），所以B= ；
4
∈ π
情形二：若选择②acosB＝bsinA，则sinAcosB＝sinBsinA，
因为sinA≠0，所以sinB＝cosB，π
因为B （0， ），所以B= ；
4
∈ π
π
情形三：若选择③sinB+cosB=√2，则√2sin(B+ )=√2，
4
π
所以sin(B+ )=1，
4
π π 5π π π π
因为B （0， ），所以B+ ∈( ， )，所以B+ = ，所以B= ；
4 4 4 4 2 4
∈ π
π
√2⋅sin
a b bsinA 3
由正弦定理 = ，得a= = =√3，
sinA sinB sinB √2
2
π π π π 5π
因为A= ，B= ，所以C=π− − = ，
3 4 3 4 12
5π π π π π π π √6+√2
所以sinC=sin =sin( + )=sin cos +cos sin = ，
12 4 6 4 6 4 6 4
1 1 √6+√2 3+√3
所以S = absinC= ×√3×√2× = ．
△ABC 2 2 4 4
3+√3
故答案为：S= ．
4
2．已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2且bsinB﹣
asinA＝2R（sinB﹣sinC）sinC．
（1）求角A；
√7
（2）若AD是BC边上的中线AD= ，求△ABC的面积．
2
b c
【解答】解：（1）∵由正弦定理 = =2R，可得b＝2RsinB，c＝2RsinC，
sinB sinC
∴由已知可得：bsinB﹣asinA＝（b﹣c）sinC，
∴b2﹣a2＝c（b﹣c）＝bc﹣c2，即b2+c2﹣a2＝bc，
b2+c2−a2 bc 1
∴由余弦定理可得cosA= = = ，
2bc 2bc 2
∵A （0， ），
∈π π
∴A= ．
3
√7
（2）∵BC边上的中线AD= ，b＝2，
2又A → D= 1
2
(A → B+A → C)，两边平方，可得： A → D 2=
4
1 （ A → B2+A → C2+2A → B⋅A → C ），
7 1 π
∴ = （c2+22+2×c×2×cos ），整理可得：c2+2c﹣3＝0，解得c＝1，或﹣3（舍去），
4 4 3
1 1 √3 √3
∴S△ABC =
2
bcsinA=
2
×2×1×
2
=
2
．
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（3b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求cosA；
（2）若a=√3，求△ABC的面积S的最大值．
b2+c2−a2 a2+b2−c2
【解答】解：（1）由余弦定理可得（3b﹣c）• =a• ，
2bc 2ab
2
整理得b2+c2﹣a2= bc，
3
2
bc
则cosA b2+c2−a2 3 1；
= = =
2bc 2bc 3
b2+c2−a2 b2+c2−3 1 2
（2）由余弦定理cosA= = = ，即b2+c2＝3+ bc，
2bc 2bc 3 3
2 9
因为3+ bc＝b2+c2≥2bc，所以bc≤ ，当且仅当b＝c时取“＝”
3 4
1 2√2
因为cosA= ，则sinA=
3 3
1 1 9 2√2 3
则S= bcsinA≤ × × = √2．
2 2 4 3 4
4．已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 sin2A+sin2B﹣sin2C
=−√3sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求√3a+b的取值范围．
【解答】解：（1）由题可得a2+b2−c2=−√3ab，a2+b2−c2 −√3ab √3
所以cosC= = =− ，
2ab 2ab 2
5π
∵C （0， ），∴C= ，
6
∈ π
c
（2）由正弦定理得2R= =4，
sinC
∴a+b=2R(√3sinA+sinB)，
π π
=2R[√3sinA+sin( −A)]=4sin(A+ )，
6 6
π π π π
∵A∈(0， )，∴A+ ∈( ， )，
6 6 6 3
π 1 √3
∴sin(A+ )∈( ， )，
6 2 2
∴a+b∈(2，2√3)．
课后作业 . 解三角形
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
【解答】解：对于A，由A＞B，可得：a＞b，利用正弦定理可得：sinA＞sinB，正确；
π π π π
对于 B，在锐角△ABC中，A，B （0， ），∵A+B＞ ，∴ ＞A＞ −B＞0，
2 2 2 2
∈
π
∴sinA＞sin（ −B）＝cosB，因此不等式sinA＞cosB恒成立，正确
2
对于C，在△ABC中，由acosA＝bcosB，利用正弦定理可得：sinAcosA＝sinBcosB，
∴sin2A＝sin2B，
∵A，B （0， ），
∴2A＝2∈B或2Aπ＝2 ﹣2B，
ππ
∴A＝B或A+B= ，
2
∴△ABC是等腰三角形或直角三角形，因此是假命题，C错误．
对于D，由于B＝600，b2＝ac，由余弦定理可得：b2＝ac＝a2+c2﹣ac，可得（a﹣c）2＝0，解得a＝c，可得A＝C＝B＝60°，故正确．
故选：ABD．
2．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sin
C．且sinB+sinC＝1，则△ABC是（ ）
A．等腰钝角三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
【解答】解：由已知，根据正弦定理得2a2＝（2b+c）b+（2c+b）c，
即a2＝b2+c2+bc．
由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccos A，
1
故cos A=− ，
2
∵0＜A＜ ，
∴A＝120π°．
方法一 由（1）得sin2A＝sin2B+sin2C+sin Bsin C，
又A＝120°，
3
∴sin2B+sin2C+sin Bsin C= ，
4
∵sin B+sin C＝1，
∴sin C＝1﹣sin B．
3
∴sin2B+（1﹣sin B）2+sin B（1﹣sin B）= ，
4
1 1 1
即sin2B﹣sin B+ =0．解得sin B= ．故sin C= ．
4 2 2
∴B＝C＝30°．
所以，△ABC是等腰的钝角三角形．
方法二∵A＝120°，
∴B+C＝60°，则C＝60°﹣B，
∴sin B+sin C＝sin B+sin（60°﹣B）
√3 1
＝sin B+ cos B− sin B
2 2
1 √3
= sin B+ cos B＝sin（B+60°）＝1，
2 2
∴B＝30°，C＝30°．∴△ABC是等腰的钝角三角形．
故选：A．
1
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=−
4
b
，则 =（ ）
c
A．6 B．5 C．4 D．3
【解答】解：∵△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
1
asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=− ，
4
∴由正弦定理得：
{
a2−b2=4c2
b2+c2−a2 1，
cosA= =−
2bc 4
1
解得3c2= bc，
2
b
∴ = 6．
c
故选：A．
1
4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AM= AB，b
3
2√7 2sinA−sinB c
＝2，CM=
3
，
sin2B
=
b
，则S△ABC ＝（ ）
3√3 8√3
A． B．√3 C．2√3 D．
4 3
2sinA−sinB c
【解答】解：△ABC中， = ，
sin2B b
2sinA−sinB sinC
∴ = ，
sin2B sinB
∴2sinCcosB＝2sinA﹣sinB，
∴2sinCcosB＝2（sinBcosC+cosBsinC）﹣sinB，
1
∴cosC= ，
2
又C （0°，180°），
∈∴C＝60°；
→ 1 →
又 AM= AB，
3
→ → → → 1 → → 1 → → 2 → 1 →
∴CM=CA+AM=CA+ AB=CA+ （ ）= CA+ CB，
CB−CA
3 3 3 3
→ → →
∴3CM=2CA+CB ，
→ → → → →
∴9CM 2＝4CA 2 +CB 2+4CA • CB ；
∴28＝16+a2+4a，
解得a＝2或a＝﹣6（不合题意，舍去），
1
∴△ABC的面积为S△ABC= ×2×2sin60°=√3．
2
故选：B．
5．在△ABC中，B＝120°，AB=√2，A的角平分线AD=√3，则AC＝（ ）
A．2 B．√5 C．√6 D．√7
AB AD
【解答】解：由题意以及正弦定理可知： = ，∠ADB＝45°，
sin∠ADB sin∠B
1
A＝180°﹣120°﹣45°，可得A＝30°，则C＝30°，三角形ABC是等腰三角形，
2
AC＝2√2sin60°=√6．
故选：C．
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数
列，若a+c＝4，则AC边上中线长的最小值 √3 ．
【解答】解：∵acosC，bcosB，ccosA成等差数列，
∴2bcosB＝ccosA+acosC，利用正弦定理得：2sinBcosB﹣sinCcosA＝sinAcosC，
整理得：2sinBcosB＝sin（A+C），即2sinBcosB＝sinB，
1
∵sinB≠0，∴cosB= ，
2π
则B= ．如图：设AC边上的中点为E
3
b b
在△BAE中，由余弦定理得：BE2＝c2+（ ）2﹣2c（ ）cosA，
2 2
b2+c2−a2
又cosA= ，a2+c2﹣b2＝ac代入上式，并整理得：
2bc
a+c
16−( ) 2
BE2 a2+c2+ac (a+c) 2−ac 16−ac 2 3，当a＝c＝2时取到”＝”，
= = = ≥ =
4 4 4 4
所以AC边上中线长的最小值为√3．
故答案为：√3．
asinC
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =√3c．
1−cosA
（1）若a＝2，求△ABC外接圆的半径；
（2）若b+c＝10，S△ABC ＝4√3，求a的值．
sinAsinC
【解答】解：（1）由正弦定理可得： =√3sinC，
1−cosA
∵sinC≠0，
∴sinA=√3（1﹣cosA），
π π √3
∴sinA+√3cosA＝2sin（A+ ）=√3，可得：sin（A+ ）= ，
3 3 2
π π 4π
∵A+ （ ， ），
3 3 3
∈
π 2π π
∴A+ = ，可得：A= ，
3 3 3
a 2 4√3
= = =
∵2R sinA √3 3 ，
2
2√3
∴△ABC的外接圆的半径为 ．
3
1 √3
（2）∵S△ABC ＝4√3=
2
bcsinA=
4
bc，∴bc＝16，
√ π
∴a= b2+c2−2bccos =√(b+c) 2−2bc−bc=2√13．
3
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a﹣2b）cosC+ccosA＝0．
（1）求角C；
（2）若c=2√3，求△ABC的周长的最大值．
【解答】解：（1）根据正弦定理，由已知得：（sinA﹣2sinB）cosC+sinCcosA＝0，
即sinAcosC+sinCcosA＝2sinBcosC，
∴sin（A+C）＝2sinBcosC，
∵A+C＝ ﹣B，∴sin（A+C）＝sin（ ﹣B）＝sinB＞0，
π 1 π
∴sinB＝2sinBcosC，从而cosC= ．
2
π
∵C （0， ），∴C= ．
3
∈ π
a2+b2−c2 1
（2）由（1）和余弦定理得cosC= = ，即a2+b2﹣12＝ab，
2ab 2
a+b
∴(a+b) 2−12=3ab≤3( ) 2 ，
2
即（a+b）2≤48（当且仅当a=b=2√3时等号成立）．
所以，△ABC周长的最大值为4√3+c=6√3．
A+B
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且2sin2 =1+cos2C
2
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=√3，求△ABC的面积S的取值范围．
A+B
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，2sin2 =1+cos2C，
2
∴1﹣cos（A+B）＝2cos2C，
又cos（A+B）＝cos（ ﹣C）＝﹣cosC，
π 1
∴2cos2C﹣cosC﹣1＝0，解得cosC=− 或1，
2
1 2π
∵0＜C＜ ，∴cosC=− ，则C= ；
2 3
π
2π
（Ⅱ）∵C= ，c=√3，
3∴由余弦定理得，c2＝a2+b2﹣2abcosC，
1
3＝a2+b2﹣2ab（− ），解得3＝a2+b2+ab，
2
∴3﹣ab＝a2+b2≥2ab，解得ab≤1，当且仅当a＝b时取等号，
1 √3 √3
∴△ABC的面积S= absinC= ab≤ ，
2 4 4
√3
∴△ABC的面积S的取值范围是（0， ]．
4
