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专题八 《解三角形》讲义
知识梳理 . 解三角形
1．正弦定理
＝＝＝2R(R为△ABC外接圆的半径)．
2．余弦定理
a2＝b2＋c2－2bccos A；
b2＝c2＋a2－2cacos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
3．三角形的面积公式
(1)S ＝ah(h 为边a上的高)；
ABC a a
(2)S△ ＝absin C＝bcsin A＝acsin B；
ABC
(3)S△＝r(a＋b＋c)(r为三角形的内切圆半径)．
题型一 . 正弦定理
考点 1 . 基本量运算
π
1．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若a=1，c=√3，C= ，则A＝
3
．
5 3
2．在△ABC中，cosA= ，sinB= ，a＝20，则b的值为 ．
13 5
√6 π
3．在△ABC中，b=3√2，cosA= ，B=A+ ．
3 2
（1）求a的值；
（2）求cos2C的值．
考点 2 . 边角互化
1 ． △ ABC 的 内 角 A ， B ， C 的 对 边 分 别 为 a ， b ， c ， 已 知√3(acosC−ccosA)=b，B=60°，则A的大小为 ．
2．已知△ABC的三个内角A，B，C的对边边长分别为a，b，c，若2a＝3b，A＝2B，则
cosB＝（ ）
2 3 4
A． B． C． D．0
3 4 5
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知bsinA−√3acosB＝2b−√3
c，则A＝（ ）
π π π 2π
A． B． C． D．
3 4 6 3
考点 3 . 内角和应用
1．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinB+sinA（sinC﹣cosC）＝0，a
＝2，c=√2，则C＝（ ）
π π π π
A． B． C． D．
12 6 4 3
2．已知a、b、c分别为△ABC的三内角A、B、C的对边，acosc+√3asinC−b−c=0，
则A＝（ ）
π π π π
A． B． C． D．
2 3 4 6
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b．c，已知cos（A﹣C）+cosB＝1，（2cosB
﹣1）a+2bcosA＝0，则C＝ ．
题型二 . 余弦定理
1．△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝c，a2＝2b2（1﹣sinA），
则A＝（ ）
3π π π π
A． B． C． D．
4 3 4 6
3cosA a
2．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知 = ，且a2﹣c2＝
cosC c
2b，则b＝（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，若C＝120°，sinC=√2sinA，
则（ ）
A．a＝b
B．a＜bC．a＞b
D．a与b的大小关系不能确定
4．在△ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已知sinAcosC＝3cosAsinC且a2
﹣c2＝2b，则b＝
A b+c
5．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且cos2 = ，则△ABC是（
2 2c
）
A．直角三角形
B．等腰三角形或直角三角形
C．正三角形
D．等腰直角三角形
题型三 . 高、中点、角平分线问题
π 1
1．在△ABC中，B= ，BC边上的高等于 BC，则cosA等于（ ）
4 3
3√10 √10 √10 3√10
A． B． C．− D．−
10 10 10 10
π
2．已知在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若∠ABC= ，b=√7，c＝
3
2，D为BC的中点．
（Ⅰ）求cos∠BAC的值；
（Ⅱ）求AD的值．
3．已知AD是△ABC的内角A的平分线，AB＝3，AC＝5，∠BAC＝120°，则AD长为
．
题型四 . 周长、面积问题3√3 2π
1．△ABC内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若△ABC面积为 ，b＝3，B= ．
4 3
则△ABC是（ ）
A．等边三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等腰三角形或直角三角形
1
2．（2014•新课标Ⅱ）钝角三角形ABC的面积是 ，AB＝1，BC=√2，则AC＝（ ）
2
A．5 B．√5 C．2 D．1
3．（2018•新课标Ⅰ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinC+csinB＝
4asinBsinC，b2+c2﹣a2＝8，则△ABC的面积为 ．
4．（2016•新课标Ⅰ）△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 2cosC
（acosB+bcosA）＝c．
（Ⅰ）求C；
3√3
（Ⅱ）若c=√7，△ABC的面积为 ，求△ABC的周长．
2
5．（2017•新课标Ⅱ）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin（A+C）＝
B
8sin2 ．
2
（1）求cosB；
（2）若a+c＝6，△ABC的面积为2，求b．题型五 . 最值、取值范围问题
考点 1 . 最值问题
1．（2014•新课标Ⅰ）已知a，b，c分别为△ABC的三个内角A，B，C的对边，a＝2且
（2+b）（sinA﹣sinB）＝（c﹣b）sinC，则△ABC面积的最大值为 ．
2．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2ccosB＝2a+b，若△ABC的面积
为S=√3c，则ab的最小值为（ ）
A．56 B．48 C．36 D．28
3. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a+√2b=2c，则cosC的最小值为
．
4．（2011•新课标）在△ABC 中，B＝60°，AC=√3，则 AB+2BC 的最大值为
．
3
5．设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且acosB﹣bcosA= c，则tan
5
（A﹣B）的最大值为（ ）
3 1 3 3
A． B． C． D．
5 3 8 4
考点 2 . 取值范围问题
1．已知a，b，c是△ABC中角A，B，C的对边，a＝4，b （4，6），sin2A＝sinC，则c
的取值范围为 ． ∈
a
2．在锐角三角形ABC中，角A，B，C分别对应边a，b，c，若A＝2B，则 的取值范围是
b
．
3．已知a，b，c分别为锐角△ABC的三个内角A，B，C的对边，若a＝2，且sin2B＝sinA
（sinA+sinC），则△ABC的周长的取值范围为 ．
4．在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足b2﹣a2＝ac，则
1 1
− 的取值范围为 ．
tanA tanB
5．已知△ABC 的周长为 6，且 cos2B+2sinAsinC＝1，则 → → 的取值范围是
BA⋅BC
．题型六 . 解三角形解答题
π
1．已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，A= ，___且b=√2，
3
请从①b2+√2ac＝a2+c2，②acosB＝bsinA，③sinB+cosB=√2这三个条件中任选一个
补充在横线上，求出此时△ABC的面积．
2．已知△ABC的外接圆半径为R，a，b，c分别是角A，B，C的对边，b＝2且bsinB﹣
asinA＝2R（sinB﹣sinC）sinC．
（1）求角A；
√7
（2）若AD是BC边上的中线AD= ，求△ABC的面积．
2
3．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，（3b﹣c）cosA＝acosC．
（1）求cosA；
（2）若a=√3，求△ABC的面积S的最大值．
4．已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，满足 sin2A+sin2B﹣sin2C
=−√3sinAsinB．
（1）求角C的大小；
（2）若c＝2，求√3a+b的取值范围．
课后作业 . 解三角形
1．下列命题中，正确的是（ ）
A．在△ABC中，A＞B，则sinA＞sinB
B．在锐角△ABC中，不等式sinA＞cosB恒成立
C．在△ABC中，若acosA＝bcosB，则△ABC必是等腰直角三角形
D．在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，则△ABC必是等边三角形
2．△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，2asinA＝（2b+c）sinB+（2c+b）sin
C．且sinB+sinC＝1，则△ABC是（ ）
A．等腰钝角三角形 B．等腰直角三角形
C．钝角三角形 D．直角三角形
1
3．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知asinA﹣bsinB＝4csinC，cosA=−
4
b
，则 =（ ）
c
A．6 B．5 C．4 D．31
4．△ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，M在边AB上，且AM= AB，b
3
2√7 2sinA−sinB c
＝2，CM= ， = ，则S△ABC ＝（ ）
3 sin2B b
3√3 8√3
A． B．√3 C．2√3 D．
4 3
5．在△ABC中，B＝120°，AB=√2，A的角平分线AD=√3，则AC＝（ ）
A．2 B．√5 C．√6 D．√7
6．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosC，bcosB，ccosA成等差数
列，若a+c＝4，则AC边上中线长的最小值 ．
asinC
7．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 =√3c．
1−cosA
（1）若a＝2，求△ABC外接圆的半径；
（2）若b+c＝10，S△ABC ＝4√3，求a的值．
8．已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，（a﹣2b）cosC+ccosA＝0．
（1）求角C；
（2）若c=2√3，求△ABC的周长的最大值．
A+B
9．△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c且2sin2 =1+cos2C
2
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）若c=√3，求△ABC的面积S的取值范围．
