文档内容
专题 14 抛物线
目录一览
2023真题展现
考向一 直线与抛物线
真题考查解读
近年真题对比
考向一 抛物线的性质
考向二 直线与抛物线
命题规律解密
名校模拟探源
易错易混速记/二级结论速记
考向一 直线与抛物线
1．（多选）（2023•新高考Ⅱ•第10题）设O为坐标原点，直线y=-√3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p
＞0）的焦点，且与C交于M，N两点，l为C的准线，则（ ）
A．p＝2
8
B．|MN|=
3
C．以MN为直径的圆与l相切
D．△OMN为等腰三角形
【答案】AC
p
解：直线y=-√3（x﹣1）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，可得 =1，所以p＝2，
2
所以A正确；
抛物线方程为：y2＝4x，与C交于M，N两点，
直线方程代入抛物线方程可得：3x2﹣10x+3＝0，
10
x +x = ，
M N 3
16
所以|MN|＝x +x +p= ，所以B不正确；
M N 3
5 5 8
M，N的中点的横坐标： ，中点到抛物线的准线的距离为：1+ = ，
3 3 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以以MN为直径的圆与l相切，所以C正确；
3x2﹣10x+3＝0，
1 2√3
不妨可得x ＝3，x = ，y ＝﹣2√3，x = ，
M N 3 M N 3
√1 12 √13 16
|OM|=√9+12=√21，|ON|= + = ，|MN|= ，
9 9 3 3
所以△OMN不是等腰三角形，所以D不正确．
【命题意图】
考查抛物线的定义、标准方程、几何性质、直线与抛物线．考查运算求解能力、逻辑推导能力、分析
问题与解决问题的能力、数形结合思想、化归与转化思想．
【考查要点】
抛物线的定义、方程、性质是高考常考内容，以小题出现，常规题，难度中等．
【得分要点】
一、抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线
的焦点，直线l叫做抛物线的准线．
注：①在抛物线定义中，若去掉条件“l不经过点F”，点的轨迹还是抛物线吗？
不一定是，若点F在直线l上，点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线．
②定义的实质可归纳为“一动三定”
一个动点M；一个定点F(抛物线的焦点)；一条定直线(抛物线的准线)；一个定值(点M到点F的距离
与它到定直线l的距离之比等于1)．
二、抛物线的方程及简单几何性质
类型 y2＝2px(p>0) y2＝－2px(p>0) x2＝2py(p>0) x2＝－2py(p>0)
图象
焦点 F F F F
准线 x＝－ x＝ y＝－ y＝
范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R x∈R，y≥0 x∈R，y≤0
性质
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
离心率 e＝1
开口方向 向右 向左 向上 向下
三、直线与抛物线的位置关系
设直线l：y＝kx＋m，抛物线：y2＝2px(p>0)，将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2＋
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，当 Δ > 0 时，直线与抛物线相交，有两个交点；
当 Δ ＝ 0 时，直线与抛物线相切，有一个交点；
当 Δ < 0 时，直线与抛物线相离，没有公共点．
(2)若k＝0，直线与抛物线有一个交点，此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合．
注：(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件．
(2)研究直线与抛物线的关系时要注意直线斜率不存在的情况．
四、弦长问题
过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点的直线交抛物线于A(x，y)，B(x，y)两点，那么线段AB叫做焦点弦，
1 1 2 2
如图：设AB是过抛物线y2＝2px(p>0)焦点F的弦，若A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝x ＋ x ＋ p .
1 1 2 2 1 2
注：(1)x·x＝.
1 2
(2)y·y＝－p2.
1 2
(3)|AB|＝x＋x＋p＝ (α是直线AB的倾斜角)．
1 2
(4)＋＝为定值(F是抛物线的焦点)．
（5）求弦长问题的方法
①一般弦长：|AB|＝|x－x|，或|AB|＝|y－y|.
1 2 1 2
②焦点弦长：设过焦点的弦的端点为A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝x＋x＋p.
1 1 2 2 1 2
考向一 抛物线的性质
2．（多选）（2022•新高考Ⅱ）已知O为坐标原点，过抛物线C：y2＝2px（p＞0）焦点F的直线与C交于
A，B两点，其中A在第一象限，点M（p，0）．若|AF|＝|AM|，则（ ）
A．直线AB的斜率为2 B．|OB|＝|OF|
C．|AB|＞4|OF| D．∠OAM+∠OBM＜180°
【解答】解：如图，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∵F（ ，0），M（p，0），且|AF|＝|AM|，∴A（ ， ），
由抛物线焦点弦的性质可得 ，则 ，则B（ ，﹣ ），
∴ ，故A正确；
，|OF|＝ ，|OB|≠|OF|，故B错误；
|AB|＝ ＞2p＝4|OF|，故C正确；
， ， ， ，|OM|＝p，
∵|OA|2+|AM|2＞|OM|2，|OB|2+|BM|2＞|OM|2，
∴∠OAM，∠OBM均为锐角，可得∠OAM+∠OBM＜180°，故D正确．
故选：ACD．
3．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点到直线y＝x+1的距离为 ，则p＝（ ）
A．1 B．2 C．2 D．4
【解答】解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点（ ，0）到直线y＝x+1的距离为 ，
可得 ，解得p＝2．
故选：B．
4．（2021•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，P为C上一点，PF与
x轴垂直，Q为x轴上一点，且PQ⊥OP．若|FQ|＝6，则C的准线方程为 ．
【解答】解：法一：由题意，不妨设P在第一象限，则P（ ，p），k ＝2，PQ⊥OP．
OP
所以k ＝﹣ ，所以PQ的方程为：y﹣p＝﹣ （x﹣ ），
PQ
y＝0时，x＝ ，
|FQ|＝6，所以 ，解得p＝3，
所以抛物线的准线方程为：x＝﹣ ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】法二：根据射影定理，可得|PF|2＝|FO||FQ|，可得p2＝ ，解得p＝3，
因此，抛物线的准线方程为：x＝﹣ ．
故答案为：x＝﹣ ．
考向二 直线与抛物线
5.（多选）（2022•新高考Ⅰ）已知O为坐标原点，点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，过点B
（0，﹣1）的直线交C于P，Q两点，则（ ）
A．C的准线为y＝﹣1 B．直线AB与C相切
C．|OP|•|OQ|＞|OA|2 D．|BP|•|BQ|＞|BA|2
【解答】解：∵点A（1，1）在抛物线C：x2＝2py（p＞0）上，
∴2p＝1，解得 ，
∴抛物线C的方程为x2＝y，准线方程为 ，选项A错误；
由于A（1，1），B（0，﹣1），则 ，直线AB的方程为y＝2x﹣1，
联立 ，可得x2﹣2x+1＝0，解得x＝1，故直线AB与抛物线C相切，选项B正确；
根据对称性及选项B的分析，不妨设过点B的直线方程为y＝kx﹣1（k＞2），与抛物线在第一象限交于
P（x ，y ），Q（x ，y ），
1 1 2 2
联 立 ， 消 去 y 并 整 理 可 得 x2﹣ kx+1 ＝ 0 ， 则 x +x ＝ k ， x x ＝ 1 ，
1 2 1 2
，
， 由 于
等号在x ＝x ＝y ＝y ＝1时才能取到，故等号不成立，选项C正确；
1 2 1 2
＝
，选项D正确．
故选：BCD．
根据近几年考题推测考查内容抛物线的定义、方程、性质，以小题出现，常规题，难度中等．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】一．抛物线的标准方程（共1小题）
1．（2023•道里区校级二模）已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），则此抛物线
的标准方程为 ．
【解答】解：抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，且过点（﹣3，3），
设抛物线y2＝﹣2px，可得9＝6p，所以2p＝3，
所以抛物线的标准方程y2＝﹣3x．
故答案为：y2＝﹣3x．
二．抛物线的性质（共39小题）
2．（2023•海淀区一模）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，则|PF|＝
（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：∵抛物线方程为y2＝4x，
∴ ，又点P在该抛物线上，且P的横坐标为4，
∴|PF|＝ ＝5．
故选：D．
3．（2023•润州区校级二模）图1是世界上单口径最大、灵敏度最高的射电望远镜“中国天眼”——500m
口径抛物面射电望远镜，反射面的主体是一个抛物面（抛物线绕其对称轴旋转所形成的曲面称为抛物
面），其边缘距离底部的落差约为 156.25米，它的一个轴截面是一个开口向上的抛物线 C的一部分，
放入如图2所示的平面直角坐标系xOy内，已知该抛物线上点P到底部水平线（x轴）距离为125m，则
点P到该抛物线焦点F的距离为（ ）
A．225m B．275m C．300m D．350m
【解答】解：令抛物线方程为x2＝2py且p＞0，
由题设，（250，156.25）在抛物线上，
则312.5p＝2502，解得 ，
又P（x ，y ）且y ＝125，
P P P
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则P到该抛物线焦点F的距离为 米．
故选：A．
4．（2023•郑州模拟）抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光
线平行于抛物线的对称轴，反之，平行于抛物线对称轴的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线
经过该抛物线的焦点．已知抛物线C：x2＝2py（p＞0），一条平行于y轴的光线，经过点A（1，4），
射向抛物线C的B处，经过抛物线C的反射，经过抛物线C的焦点F，若|AB|+|BF|＝5，则抛物线C的
准线方程是（ ）
A． B．y＝﹣1 C．y＝﹣2 D．y＝﹣4
【解答】解：由题意可知，抛物线的准线方程为 ，
根据抛物线的定义可知，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离相等，
所以 ，得p＝2，
所以抛物线的准线方程为y＝﹣1．
故选：B．
5．（2023•红山区模拟）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，点M（x ，y ），N
1 1
（x ，y ）在抛物线C上，若（y ﹣2y ）（y +2y ）＝48，则 ＝（ ）
2 2 1 2 1 2
A．4 B．2 C． D．
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F到准线的距离为4，
则p＝4，C：y2＝8x，
依题意， ，而 ， ，
故8x ﹣32x ＝48，即8x +16＝32x +64，则x +2＝4（x +2），
1 2 1 2 1 2
故 ．
故选：A．
6．（2023•河南模拟）设F为抛物线 的焦点，点 P在抛物线上，点 Q在准线l上，满足
PQ∥x轴．若|PQ|＝|QF|，则|PF|＝（ ）
A．2 B． C．3 D．
【解答】解：依题意有|PQ|＝|QF|＝|PF|，则△PQF为等边三角形，
又PQ∥x轴，所以|PF|＝|PQ|＝4|OF|＝2．
故选：A．
7．（2023•四川模拟）抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线x﹣y+3＝0与C交于A，B两点，则△ABF的面
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】积为（ ）
A．4 B．8 C．12 D．16
【解答】解：∵抛物线C：x2＝4y的焦点F为（0，1），
又易知直线x﹣y+3＝0与y轴交点P为（0，3），
联立 ，可得x2﹣4x﹣12＝0，
解得x ＝﹣2，x ＝6，
1 2
∴△ABF的面积为 ＝ ＝8，
故选：B．
8．（2023•乌鲁木齐三模）“米”是象形字．数学探究课上，某同学用抛物线 C ：y2＝﹣2px（p＞0）和
1
C ：y2＝2px（p＞0）构造了一个类似“米”字型的图案，如图所示，若抛物线 C ，C 的焦点分别为
2 1 2
F ，F ，点P在抛物线C 上，过点P作x轴的平行线交抛物线C 于点Q，若PF ＝3PQ＝6，则p＝（
1 2 1 2 1
）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：因为3PQ＝6，即PQ＝2，
由抛物线的对称性知x ＝﹣1，
P
由抛物线定义可知， ，
即 ，解得p＝10，
故选：D．
9．（2023•平罗县校级模拟）已知抛物线C：y2＝20x的焦点为F，抛物线C上有一动点P，Q（6，5），
则|PF|+|PQ|的最小值为（ ）
A．10 B．16 C．11 D．26
【解答】解：设抛物线C的准线为l，作PT⊥l于T，由抛物线的定义知|PF|＝|PT|，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以，当P，Q，T三点共线时，|PF|+|PQ|有最小值，最小值为 ．
故选：C．
10．（2023•新疆模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上任意一点到焦点F的距离比到y轴的距离大1，则
抛物线的标准方程为（ ）
A．y2＝x B．y2＝2x C．y2＝4x D．y2＝8x
【解答】解：抛物线的准线方程为x＝− ，根据抛物线的定义可知，
抛物线C上任意一点到准线的距离比到y轴的距离大1，则 ＝1，所以，p＝2，
因此，抛物线C的方程为y2＝4x．
故选：C．
11．（2023•河南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的准线为l，且点A（4，4）在抛物线上，则点A到准
线l的距离为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【解答】解：由题意知16＝8p，
所以p＝2，
所以抛物线方程为y2＝4x，则抛物线的准线l为x＝﹣1，
所以点A到抛物线准线的距离为4﹣（﹣1）＝5．
故选：A．
12．（2023•海淀区校级三模）已知抛物线y＝ax2（a＞0），焦点F到准线的距离为1，若点M在抛物线上，
且|MF|＝5，则点M的纵坐标为 ．
【解答】解：抛物线的标准方程为 ，其焦点为 ，准线方程为 ，
由抛物线的焦点F到准线的距离为1，得 ，可得 ，
所以，抛物线的标准方程为x2＝2y，其准线方程为 ，
设点M（x ，y ），由抛物线的定义可得 ，解得 ．
0 0
故答案为： ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】13．（2023•3月份模拟）已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，则点
M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ．
【解答】解：已知点M为抛物线y2＝8x上的动点，点N为圆x2+（y﹣4）2＝5上的动点，
由题意可得圆x2+（y﹣4）2＝5的圆心坐标为（0，4），半径为 ，抛物线y2＝8x的焦点坐标为F
（2，0），
过M作MQ垂直y轴交y轴于点Q，
由抛物线的定义可得|MQ|+|MN|＝|MF|+|MN|﹣2 ＝ ＝
，
当且仅当A、M、N、F共线时取等号，
则点M到y轴的距离与点M到点N的距离之和最小值为 ．
故答案为： ．
14．（2023•兴国县模拟）已知过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（1，0）的直线与抛物线C交于A，
B两点（A在第一象限），以AB为直径的圆E与抛物线C的准线相切于点D．若 ，O
为坐标原点，则△AOB的面积为（ ）
A． B． C． D．4
【解答】解：依题意， ＝1，可得p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x．
依题意可知DE与抛物线的准线x＝﹣1垂直，
在直角三角形ABD中，|AD|＝ |BD|，
则∠BAD＝ ，∠ABD＝∠DEB＝∠AFx＝ ，
所以直线AB的方程为y＝ （x﹣1），
由 ，消去y并化简得3x2﹣10x+3＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易得Δ＞0，x +x ＝ ，
A B
则|AB|＝x +x +p＝ +2＝ ，
A B
原点（0，0）到直线 x﹣y﹣ ＝0的距离d＝ ，
所以S△AOB ＝ |AB|•d＝ × × ＝ ．
故选：B．
15．（2023•重庆模拟）已知点P为抛物线y2＝2px（p＞0）上一动点，点Q为圆C：（x+1）2+（y﹣4）2
＝1上一动点，点F为抛物线的焦点，点P到y轴的距离为d，若|PQ|+d的最小值为2，则p＝（ ）
A． B．p＝1 C．p＝2 D．p＝4
【解答】解：画出图形，如图所示：
易知圆C：（x+1）2+（y﹣4）2＝1的圆心C（﹣1，4），半径r＝1，
抛物线焦点 ，准线方程 ，
由抛物线的定义可知：点P到y轴的距离d＝|PF|﹣ ，
所以|PQ|+d＝|PQ|+|PF|﹣ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由图可知：当C，Q，P，F共线，且P，Q在线段CF之间时，PQ+PF最短，
而|CF|＝ ，故有|PQ|+|PF|﹣ ＝|CF|﹣r﹣ ＝2，
即 ，解得：p＝4．
故选：D．
16．（2023•武昌区校级模拟）已知抛物线 和 ，若C 和C 有且仅有两条公
1 2
切线l 和l ，l 和C 、C 分别相切于M，N点，l 与C 、C 分别相切于P，Q两点，则线段PQ与MN（
1 2 1 1 2 2 1 2
）
A．总是互相垂直 B．总是互相平分
C．总是互相垂直且平分 D．上述说法均不正确
【解答】解：抛物线 ＝（x+1）2﹣1， ，
两曲线分别是y＝x2经过平移、对称变换得到的，则两曲线的大小与形状相同，且具有中心对称性，
∵l 和l 是它们的公切线，l 和C 、C 分别相切于M，N两点，l 和C 、C 分别相切于P，Q两点，
1 2 1 1 2 2 1 2
∴M，N关于对称中心对称，P，Q关于对称中心对称，线段PQ与MN互相平分．
故选：B．
17．（2023•武汉模拟）设抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，P是抛物线上位于第一象限内的一点，过
P作l的垂线，垂足为Q，若直线QF的倾斜角为120°，则|PF|＝（ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【解答】解：设准线与x轴的交点为M，
由题意可知，F（ ，0），准线l方程为x＝﹣ ，
在Rt△QMF中，∠QFM＝60°，|MF|＝3，
∴|QF|＝6，
∵PQ垂直于准线l，∴∠PQF＝∠QFM＝60°，
由抛物线的性质可知，|PQ|＝|PF|，
∴△PQF为等边三角形，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴|PF|＝|QF|＝6．
故选：B．
18．（2023•晋中二模）设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，点M在C上，点N在准线l上且MN平行于x轴，
若|NF|＝|MN|，则|MF|＝（ ）
A． B．1 C． D．4
【解答】解：根据题意可得p＝2，
∴抛物线焦点F为（1，0），准线l为x＝﹣1，
设准线l与x轴的交点为E，如图所示，
由题知MN⊥l，由抛物线的定义可知|MN|＝|MF|，
因为|NF|＝|MN|，所以△MNF是正三角形，
则在Rt△NEF中，因为MN∥EF，
所以∠EFN＝∠MNF＝60°，
所以|MF|＝|NF|＝2|EF|＝2p＝4．
故选：D．
19．（2023•湖北模拟）在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A，B是其准线上
的两个动点，且FA⊥FB，线段FA，FB分别与抛物线C交于P，Q两点，记△PQF的面积为S ，△ABF
1
的面积为S ，当 时，|AB|＝ ．
2
【解答】解：设l ：x＝ky+m，P（x ，y ）、Q（x ，y ），
PQ 1 1 2 2
联立直线PQ与抛物线方程得y2﹣4ky﹣4m＝0，
则y
1
+y
2
＝4k，y 1⋅y
2
＝﹣4m
由FA⊥FB可得： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】即（x ﹣1）（x ﹣1）＝﹣y y ，化简得m2﹣6m+1＝4k2，
1 2 1 2
又 ，则 ，同理 ，
可得y y ＝ ＝﹣4，
A B
而 ，
即 ，所以m＝ ，k2＝
所以|AB|＝|y ﹣y |＝| + |＝| |＝| |＝ ．
A B
故答案为： ．
20．（2023•包河区模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的交点，过F作两条互相垂直的直线l ，l ，直线l
1 2 1
与C交A，B两点，直线l 与C交于D，E两点，则|AB|+|DE|的最小值为 ．
2
【解答】解：如图所示，l ⊥l ，直线l 与C交于点A，B，直线l 与C交于点D，E，
1 2 1 2
要使|AB|+|DE|最小，则A与D，B，E关于x轴对称，即直线DE的斜率为1，
又直线l 过点（1，0），则直线l 的方程为：y＝x﹣1，
2 2
联立方程组 ，整理可得：y2﹣4y﹣4＝0，设D（x ，y ），E（x ，y ），
1 1 2 2
所以y +y ＝4，y y ＝﹣4，则|DE|＝ ＝ ，
1 2 1 2
所以|AB|+|DE|的最小值为2|DE|＝16，
故答案为：16．
21．（2023•天山区校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，其准线与x轴的交点为K，过点F的直
线与抛物线C相交于A，B两点，若|AF|﹣|BF|＝ ，则 |＝ ．
【解答】解：由对称性，不妨设A在第一象限，
设 ＝∠AFx，由
θ
由角平分线定理 ．
故答案为：2．
22．（2023•龙岗区校级一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，PF交C于
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】M，N两点，且满足 ，则|NF|＝ ．
【解答】解：抛物线C：y2＝4x，则 ，准线方程为x＝﹣1，
由于 ，所以F是MP的中点，
设P（﹣1，t），而F（1，0），所以M（3，﹣t），
将M点坐标代入抛物线方程得t2＝12，不妨设 ，则 ．
设 ，由于M，N，F三点共线，
所以 ，整理得 ，
解得 舍去），所以 ，
所以 ．
故答案为： ．
23．（2023•江西模拟）用于加热水和食物的太阳灶应用了抛物线的光学性质：一束平行于抛物线对称轴
的光线，经过抛物面（抛物线绕它的对称轴旋转所得到的曲而叫抛物面）的反射后，集中于它的焦点．
用一过抛物线对称轴的平面截抛物面，将所截得的抛物线C放在平面直角坐标系中，对称轴与x轴重合，
顶点与原点重合，如图，若抛物线C的方程为y2＝8x，平行于x轴的光线从点M（12，2）射出，经过
C上的点A反射后，再从C上的另一点B射出，则|MB|＝（ ）
A．6 B．8 C． D．29
【解答】解：由M（12，2），可得A的纵坐标为2，设A（m，2），则4＝8m，解得 ，
由题意反射光线经过抛物线y2＝8x的焦点（2，0），
所以直线AB的方程为 ，整理可得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由 ，消去y整理得2x2﹣17x+8＝0，解得 ，x ＝8，
2
则 ，所以B（8，﹣8），所以 ．
故选：C．
24．（2023•平江县校级模拟）已知抛物线C：y2＝4x，焦点为F，点M是抛物线C上的动点，过点F作直
线（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0的垂线，垂足为P，则|MF|+|MP|的最小值为（ ）
A． B． C．5 D．3
【解答】解：∵抛物线C的方程为y2＝4x，
∴F（1，0），抛物线C的准线方程为x＝﹣1，
∵方程（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0可化为y﹣1＝（1﹣a）（x﹣2），
∴（a﹣1）x+y﹣2a+1＝0过定点B（2，1），
设P（x，y），设F，B的中点为A，则 ，
因为FP⊥BP，P为垂足，
∴ ，所以 ，
即点P的轨迹为以A为圆心，半径为 的圆，
过点M作准线x＝﹣1的垂线，垂足为M ，则|MM |＝|MF|，
1 1
∴|MF|+|MP|＝|MM |+|MP|，
1
又 ，当且仅当M，P，A三点共线且P在M，A之间时等号成立，
∴ ，
过点A作准线x＝﹣1的垂线，垂足为A ，
1
则 ，当且仅当A ，M，A三点共线时等号成立，
1
∴ ，当且仅当A ，M，P，A四点共线且P在M，A之间时等号成立，
1
所以|MF|+|MP|的最小值为 ，
故选：A．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】25．（2023•张家口三模）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F的直线l交抛物线C于A，B两点，若|
AF|＝ |BF|＝ ，则 ＝（ ）
λ λ λ
A．1 B． C．3 D．4
【解答】解：如图，过A作AA 准线于A ，过B作BB 准线于B ，
1 1 1 1
由抛物线C：y2＝3x的焦点 ，准线方程为 ，
由抛物线的定义可得 ，
所以 ，代入抛物线方程得 ，
若 ，直线AB的斜率为 ，
则直线AB方程为 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】联立 ，得16x2﹣40x+9＝0，
则 ，所以 ，
则 ；
若 ，直线AB的斜率为 ，
则直线AB方程为 ，即 ，
联立 ，得16x2﹣40x+9＝0，
则 ，所以 ，
则 ；
综上， ＝3．
故选：C．
λ
26．（2023•商丘三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，焦点为F，过点F的直线与
抛物线交于P（x ，y ），Q（x ，y ）两点，点P在l上的射影为P ，则下列结论错误的是（ ）
1 1 2 2 1
A．若x +x ＝5，则|PQ|＝7
1 2
B．以PQ为直径的圆与准线l相切
C．设M（0，1），则|PM|+|PP |≥
1
D．过点M（0，1）与抛物线C有且仅有一个公共点的直线至多有2条
【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线为l：x＝﹣1，
所以 ，即p＝2，
所以抛物线C的方程为y2＝4x，焦点F（1，0），
若直线的斜率存在，设y＝k（x﹣1），由 ，消去y，整理得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，
所以 ，x x ＝1，
1 2
对于A选项：若x +x ＝5，则|PQ|＝x +x +2＝7，故A选项正确；
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B选项：取PQ的中点N，N在l上的投影为N′，Q在l的投影为Q′，
根 据 抛 物 线 的 性 质 |PP | ＝ |PF| ， |QQ′ | ＝ |QF| ， NN′ 为 梯 形 的 中 位 线 ， 故
1
，故B选项正确；
对于C选项：M（0，1）， ，故C选项正确；
对于D选项：过M（0，1）且与抛物线相切的直线有两条，过M（0，1）且与x轴平行的直线与抛物线
相交有且有一个交点，所以至多有三条，故D选项错误．
故选：D．
27．（2023•徐汇区校级三模）已知抛物线C：x2＝﹣2py（p＞0）的焦点F与 的一个焦点重合，
过焦点F的直线与C交于A，B两不同点，抛物线C在A，B两点处的切线相交于点M，且M的横坐标
为4，则弦长|AB|＝（ ）
A．16 B．26 C．14 D．24
【解答】解：由题意可得，F（0，﹣2），则p＝4，抛物线C的方程为x2＝﹣8y．
设直线AB的方程为y＝kx﹣2，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
其中y ＝﹣ ，y ＝﹣ ，由y＝﹣ ，得y′＝﹣ ．
1 2
∴在点A处的切线方程为y﹣y ＝﹣ （x﹣x ），化简得y＝﹣ x+ ，①
1 1
同理可得在点B处的切线为y＝﹣ x+ ，②
联立①②得x ＝ ，由M的横坐标为4，得x +x ＝8．
M 1 2
将AB的方程代入抛物线方程，可得x2+8kx﹣16＝0．
∴x +x ＝﹣8k＝8，得k＝﹣1．
1 2
∴y +y ＝k（x +x ）﹣4＝﹣1×8﹣4＝﹣12．
1 2 1 2
得|AB|＝p﹣（y +y ）＝4﹣（﹣12）＝16．
1 2
故选：A．
28．（2023•琼海校级模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）上的点 到其焦点的距离为4，则p
＝（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：因为点 在y2＝2px（p＞0）上，所以4p＝2pm，得到m＝2，
又点 到其焦点的距离为4，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】根据抛物线定义知 ，得到p＝4，
故选：D．
29．（2023•沙坪坝区校级二模）已知抛物线y2＝4x的准线过双曲线 的左焦
点，点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，若P到抛物线焦点的距离为5，则双曲线的方程为
（ ）
A． B．
C．x2﹣y2＝2 D．2x2﹣2y2＝1
【解答】解：由题意知，抛物线y2＝4x的准线方程为x＝﹣1，
所以双曲线的左焦点坐标为（﹣1，0），所以双曲线的c＝1．
又因为点P为双曲线的渐近线和抛物线的一个公共点，
若P到抛物线焦点的距离为5，所以x +1＝5，所以x ＝4，
P P
代入抛物线方程即可得P（4，4）．
因为P（4，4）在双曲线的渐近线方程 上，所以a＝b，
又因为双曲线中，c2＝a2+b2，所以 ，
所以双曲线的方程为：2x2﹣2y2＝1．
故选：D．
30．（2023•浙江模拟）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l过焦点F与C交于A，B两点，以AB为
直径的圆与y轴交于D，E两点，且 ，则直线l的斜率为（ ）
A． B．±1 C．±2 D．
【解答】解：设|AB|＝2r（2r≥4），AB的中点为M，MN⊥y轴于点N，过A，B作准线x＝﹣1的垂线，
垂足分别为A ，B ，如图所示．
1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由抛物线的定义知2（|MN|+1）＝|AA |+|BB |＝|AF|+|BF|＝|AB|＝2r，
1 1
则|MN|＝r﹣1，所以 ，即16r2﹣50r+25＝0，
解得 或 （舍去），故M的横坐标为 ．
设直线l：y＝k（x﹣1），A（x ，y ），B（x ，y ），将y＝k（x﹣1）代人y2＝4x，
1 1 2 2
得k2x2﹣（2k2+4）x+k2＝0，则 ，解得k＝±2．
故选：C．
31．（2023•香洲区校级模拟）首钢滑雪大跳台是冬奥史上第一座与工业旧址结合再利用的竞赛场馆，它
的设计创造性地融入了敦煌壁画中飞天的元素，建筑外形优美流畅，飘逸灵动，被形象地称为雪飞天．
中国选手谷爱凌和苏翊鸣分别在此摘得女子自由式滑雪大跳台和男子单板滑雪大跳台比赛的金牌．雪飞
天的助滑道可以看成一个线段PQ和一段圆弧 组成，如图所示．假设圆弧 所在圆的方程为C：
（x+25）2+（y﹣2）2＝162，若某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，起
跳后的飞行轨迹是一个对称轴在y轴上的抛物线的一部分，如下图所示，则该抛物线的轨迹方程为（
）
A．y2＝﹣32（x﹣1） B．
C．x2＝﹣32（y﹣1） D．x2＝﹣36y+4
【解答】解：∵某运动员在起跳点M以倾斜角为45o且与圆C相切的直线方向起跳，
∴k ＝﹣1，∴直线CM所在的方程为：y﹣2＝﹣（x+25），
CM
代入（x+25）2+（y﹣2）2＝162，解得 或 （舍），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴点M的坐标为（﹣16，﹣7）．
设抛物线方程为：y＝ax2+c，则y′＝2ax|
x＝﹣16
＝﹣32a＝1，∴ ，
又 ，解得c＝1，
∴该抛物线的轨迹方程为 ．
故选：C．
32．（2023•武功县校级模拟）已知点F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F且倾斜角为60°的直
线交抛物线C于A，B两点，若|FA|•|FB|＝3，则p＝ ．
【解答】解：由题意知F（ ，0），AB的方程为y＝ （x﹣ ），代入C的方程，得3x2﹣5px+
＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），则x +x ＝ ，x x ＝ ；
1 1 2 2 1 2 1 2
因为|FA|＝ +x
1
，|FB|＝ +x
2
，且|FA|⋅|FB|＝3，
所以（ +x ）（ +x ）＝3，整理得以 + •（x +x ）+x x ＝3，
1 2 1 2 1 2
所以 + • + ＝3，结合p＞0，解得p＝ ．
故答案为： ．
33．（2023•招远市模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，点D（p，0），过点F的直线交C于
M，N两点，直线MD垂直x轴，|MF|＝3，则|NF|＝ ．
【解答】解：由题意得 ，因为直线MD垂直于x轴，D（p，0），准线方程为 ，
所以M点的横坐标为p，设M（x ，y ），N（x ，y ），
1 1 2 2
根据抛物线的定义知 ，解得p＝2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则C：y2＝4x，则F（1，0），可设直线MN的方程为x﹣1＝my，
联立抛物线方程有 可得y2﹣4my﹣4＝0，
Δ＝16m2+16＞0，y y ＝﹣4，则 ，
1 2
则32x ＝16，解得 ，则 ．
2
故答案为： ．
34．（2023•武昌区校级模拟）已知直线l与抛物线C：y2＝4x交于A，B两点（与坐标原点O均不重合），
且OA⊥OB，抛物线的焦点为F，记△AOB、△AOF、△BOF的面积分别为S ，S ，S ，若满足S ＝
1 2 3 1
6S +3S ，则直线l的方程为 ．
2 3
【解答】解：由已知可设直线OA方程为y＝kx，又OA⊥OB，OB方程为 ，
由 ，解得 ，
由 ，解得B（4k2，﹣4k），
， ，
令y＝0，得x＝4，∴直线l与x轴交点M（4，0），
，
．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
∵S ＝6S +3S ，
1 2 3
∴ ，解得 ，
，
∴直线l的方程 ，即 或 ．
35．（2023•保定三模）设O为坐标原点，点A（2，4），B在抛物线y2＝2px（p＞0）上，F为焦点，M
是线段BF上的点，且 ，则当直线OM的斜率最大时，点F到OM的距离为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：∵A（2，4）在抛物线y2＝2px（p＞0）上，∴p＝2，则抛物线方程为y2＝8x，
求得 F（2，0），设M（x ，y ），当y ＜0时，k ＜0，当y ＞0时，k ＞0．
0 0 0 OM 0 OM
则要求直线OM的斜率的最大值，有y ＞0．
0
设B（m，n），∵ ，∴（x ﹣m，y ﹣n）＝2（2﹣x ，﹣y ），
0 0 0 0
则 ，∵B在抛物线上，∴n2＝8m，得9 ＝8（3x ﹣4），
0
即 ，
∵y ＞0，∴ ＝ ，
0
当且仅当 ，即 时等号成立，
故直线OM的斜率的最大值为 ，此时直线OM的方程为 ，
则点F到OM的距离为 ．
故选：D．
36．（2023•湖北模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过点F的直线与该抛物线交于A，B两点，
的中点纵坐标为 ，则p＝ ．
【解答】解：设过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点F的直线交抛物线于A（x ，y ）、B（x ，y ）两点，
1 1 2 2
AB的中点纵坐标为y ＝ ，
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】抛物线的焦点为F（ ，0），直线l的斜率不为零，可设直线l的方程：x＝my+ ，
由 ，得（y ﹣y ）（y +y ）＝2p（x ﹣x ），
1 2 1 2 1 2
所以 ＝ ＝ ＝ ＝ ，
所以直线l的方程为x＝ y+ ，
所以AB中点的横坐标为x ＝ × + ＝ ，
0
所以|AB|＝x +x +p＝2x +p＝2× +p＝5 ，
1 2 0
2p2﹣5 p+4＝0，解得p＝2 或p＝ ．
故答案为：2 或 ．
37．（多选）（2023•道里区校级四模）已知A，B是抛物线C：y2＝6x上的两动点，F是抛物线的焦点，
下列说法正确的是（ ）
A．直线AB过焦点F时，以AB为直径的圆与C的准线相切
B．直线AB过焦点F时，|AB|的最小值为6
C．若坐标原点为O，且OA⊥OB，则直线AB过定点（3，0）
D．若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，则直线AQ与抛物线相
切
【解答】解：∵抛物线C方程为：y2＝6x，
∴2p＝6，∴p＝3，∴ ＝ ，
∴焦点F（ ，P），准线l为：x＝ ，
对A，B，D选项，∵直线AB过焦点F，
∴设直线AB方程为x＝my+ ，
设A（x ，y ），B（x ，y ），AB的中点P为（x ，y ），
1 1 2 2 0 0
联立 ，可得y2﹣6my﹣9＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
∴ ，
∴|AB|＝x +x +p＝6m2+3+3＝6（m2+1）≥6，（当且仅当m＝0时取等），∴B选项正确；
1 2
又P到准线l的距离d＝ ＝ ＝3（m2+1）＝ |AB|，
∴以AB为直径的圆与C的准线相切，∴A选项正确；
若直线AB过焦点F，AB中点为P，过P向抛物线的准线作垂线，垂足为Q，
则Q（ ，3m），∴ ＝ ，
又 ，∴3m＝ ，
∴ ＝ ，
对y2＝6x两边关于x求导可得：2yy′＝6，∴ ，
抛物线C：y2＝6x在A（x ，y ）处的切线斜率为 ＝k ，
1 1 AQ
∴直线AQ与抛物线相切，∴D选项正确；
对C选项，设AB直线为x＝my+t，（t≠0），
联立 ，可得y2﹣6my﹣6t＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则 ，∴ ，
又OA⊥OB，∴ ，
即（x ，y ）•（x ，y ）＝0，
1 1 2 2
∴x x +y y ＝0，
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴t2﹣6t＝0，又t≠0，
∴t＝6，∴AB直线为x＝my+6，
∴直线AB过定点（6，0），∴C选项错误．
故选：ABD．
38．（2023•河南模拟）已知点P（1，a）（a＞1）在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，过P作圆（x﹣1）
2+y2＝1的两条切线，分别交C于A，B两点，且直线AB的斜率为﹣1，若F为C的焦点，点M（x，
y）为C上的动点，点N是C的准线与坐标轴的交点，则 的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
【解答】解：由题意可知，过P所作圆的两条切线关于直线x＝1对称，所以k +k ＝0．
PA PB
设A（x ，y ），B（x ，y ），P（x ，y ），则 ，
1 1 2 2 P P
同理可得 ， ，则 ，
得 ，所以y +y ＝﹣2y ，
1 2 P
由 ，得y ＝p．
P
将（1，p）代入抛物线C的方程，得p2＝2p，解得p＝2，
故抛物线C的方程为y2＝4x．
设∠MNF＝ ，作MM 垂直准线于M ，
1 1
由抛物线的性
θ
质可得|MM
1
|＝|MF|，
所以 ，
当cos 最小时， 的值最大，
所以当直线MN与抛物线C相切时， 最大，即cos 最小．
θ
由题意可得N（﹣1，0），
θ θ
设切线MN的方程为x＝my﹣1，
联立方程组 消去x，得y2﹣4my+4＝0，
由Δ＝16m2﹣16＝0，可得m＝±1，
将m＝±1代入y2﹣4my+4＝0，可得y＝±2，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以x＝1，即M的坐标为（1，±2），所以 ，|MM |＝1﹣（﹣1）＝2，所以
1
的最大值为 ．
故选：A．
39．（2023•达州模拟）点A（x ，y ）（x ＞1，y ＜0），B，C均在抛物线y2＝4x上，若直线AB，AC分
0 0 0 0
别经过两定点（﹣1，0），M（1，4），则BC经过定点N．直线BC，MN分别交x轴于D，E，O为原
点，记|OD|＝a，|DE|＝b，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，由题易知直线AB，AC斜率均存在，
设直线AB方程为 ，
由 ，消x得 ，即 ，
由韦达定理得 ，所以 ，代入y2＝4x，得到 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设直线方程为 ，
由 ，消x得 ，
即 ，由韦达定理得 ，
所以 ，又因为 ，所以 ，
代入y2＝4x，得到 ，所以 ，
所以直线BC的斜率为 ，
所以BC的方程为 ，
即
所以 ，即 ，
故直线BC过定点N（1，1），令y＝0，得到 ，所以 ，
所以 ，又因为 x ＞1，y ＜0，所以
0 0
，
所 以 ， 又 |OD| ＝ a ， |DE| ＝ b ， 所 以
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，
又 由 柯 西 不 等 式 知
，
当且仅当 ，即 时，取等号，
所以 ，即 ．
故选：D．
40．（2023•鲤城区校级模拟）已知抛物线y2＝4x的焦点为F，过点F的直线l交抛物线于A，B两点，以
线段AB为直径的圆交y轴于M，N两点，设线段AB的中点为P，O为坐标原点，则sin∠PMN的最小
值为 ．
【解答】解：由y2＝4x得F（1，0），由题意知直线l的斜率不为0，
所以设直线l的方程为x＝my+1，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，消去x得y2﹣4my﹣4＝0，
则由韦达定理得 ，所以 ，
所以|AB|＝x +x +p＝4m2+4，所以|PM|＝ ＝2m2+2，
1 2
又P点到y轴的距离d＝ ＝2m2+1，
所以sin∠PMN＝ ＝ ＝1﹣ ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以当m＝0时，sin∠PMN取得最小值 ．
故答案为： ．
三．直线与抛物线的综合（共20小题）
41．（2023•遂宁模拟）已知定点D（2，0），直线l：y＝k（x+2）（k＞0）与抛物线y2＝4x交于两点A，
B，若∠ADB＝90°，则|AB|＝（ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解答】解：设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
联立 ，
由题意得Δ＞0，故 ，
则 ，
又 ，
则x x ﹣2（x +x ）+y y +4＝0，即 ，解得 ，
1 2 1 2 1 2
则 ，
则 ．
故选：C．
42．（2023•贵州模拟）已知抛物线C：y2＝8x的焦点为F，过F的直线l与抛物线C交于A，B两点，若A
（1，2 ），则|AB|＝（ ）
A．9 B．7 C．6 D．5
【解答】解：由题意直线l的斜率必存在，
抛物线C：y2＝8x的焦点为F（2，0），设直线l：y＝k（x﹣2），
则 ，得k2x2﹣（4k2+8）x+4k2＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
则x +x ＝ ，x x ＝4，
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又A（1，2 ），则x ＝1，x ＝4，k2＝8，
1 2
|AB|＝ • ＝3×3＝9．
故选：A．
43．（2023•黄州区校级三模）抛物线C：y2＝2px的准线与x轴交于点M，过C的焦点F作斜率为2的直
线交C于A、B两点，则tan∠AMB＝（ ）
A． B． C． D．不存在
【解答】解：抛物线C：y2＝2px的焦点F（ ，0），M（﹣ ，0），可知AB方程y＝2（x﹣ ），
AB的方程与y2＝2px联立，消去y可得4x2﹣6px+p2＝0，
可得x＝ 或 ，
∴A（ ， ），B（ ， ），
∴k ＝ ＝ ，k ＝﹣ ，
AM BM
∴tan∠AMB＝ ＝ ＝4 ．
故选：C．
44．（2023•深圳模拟）已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，直线l：y＝k（x+1）与C交于A，B两点（A
在B的左边），则4|AF|+|BF|的最小值是（ ）
A．10 B．9 C．8 D．5
【解答】解：由题知C的焦点，F（1，0），准线为x＝﹣1，如图，作AM⊥准线，BN⊥准线，l：y＝k
（x+1）过定点（﹣1，0），
设A（x ，y ），B（x ，y ），联立 ，
1 1 2 2
得k2（x2+2x+1）﹣4x＝0，即k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
又∵|AF|＝|AM|＝x +1，|BF|＝|BN|＝x +1，
1 2
∴ ，
当且仅当4x ＝x 时取等，
1 2
故选：B．
45．（2023•万州区校级模拟）过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F，作倾斜角为 的直线l交C于A，
B两点，交C的准线于点M，若 （O为坐标原点），则线段AB的长度为（ ）
A．8 B．16 C．24 D．32
【解答】解：抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点F（ ，0），作倾斜角为 的直线l：y＝ （x﹣
），
抛物线的准线方程为x＝﹣ ，可得M（﹣ ， ），
又 ，可得 ＝ ，解得p＝4，
，消去y可得x2﹣28x+4＝0，
设A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
可得x +x ＝28，
1 2
所以|AB|＝x +x +p＝28+4＝32．
1 2
故选：D．
46．（2023•茂名二模）已知抛物线y2＝6x的焦点为F，准线为l，过F的直线与抛物线交于点A、B，与直
线l交于点D，若 且 ，则 ＝ ．
【解答】解：设准线与x轴的交点为K，作AA ⊥l，BB ⊥l，垂足分别为A ，B ，
1 λ1 1 1
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则BB ∥FK∥AA ．根据抛物线定义知|BB |＝|BF|，|AA |＝|AF|，
1 1 1 1
又若 ，且 ，
因为BB ∥FK∥AA ，设|BF|＝m，
1 1
则 ，∴ ，又p＝3，解得m＝2，∴|AF|＝ |FB|＝2 ，
所以|BA|＝2+2 ，
λ λ
因为BB ∥FK∥AA ，
1 λ 1
所以 ，∴ ，解得 ＝3．
故答案为：3．
λ
47．（2023•昆明一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，经过抛物线上一点P，作斜率为 的直线交C
的准线于点Q，R为准线上异于Q的一点，当∠PQR＝∠PQF时，|PF|＝ ．
【解答】解：不妨令R为过P点垂直于准线的垂足，
又∠PQR＝∠PQF，即QF为∠FQR角平分线，Q是斜率为 的直线与抛物线准线的交点，则P在第一
象限内，
而PR⊥QR，且|PR|＝|PF|，根据角平分线性质知：PF⊥QF，如上图示，
令 且m＞0，则直线PQ为 ，令x＝﹣1，则 ，
由 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】整理可得3m3﹣8m2+12m﹣32＝（m2+4）（3m﹣8）＝0，则 ，
故 ．
故答案为： ．
48．（2023•江西二模）2022北京冬奥会顺利召开，滑雪健将谷爱凌以2金1银的优秀成绩书写了自己的
传奇，现在她从某斜坡上滑下，滑过一高度不计的滑板后落在另一斜坡上，若滑板与水平地面夹角的正
切值为 ，斜坡与水平地面夹角的正切值为 ，那么她最后落在斜坡上速度与水平地面夹角的正切值为
（ ）（不计空气阻力和摩擦力）
A．3 B． C． D．4
【解答】解：由已知，谷爱凌在空中滑过的轨迹为抛物线，
以该抛物线的顶点为原点，过顶点与水平方向平行的直线为x轴，抛物线的对称轴所在直线为y轴，建
立平面直角坐标系如图，
设该抛物线方程为x2＝﹣2py（p＞0），即 （p＞0），
设滑板处的起跳点为 ，落地点为 ，其中x ＞0，x ＜0，
1 2
由导数的物理意义和几何意义，A，B两点处的速度方向与抛物线在A，B两点处切线平行，
∵ （p＞0），
∴ （p＞0），
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴起跳点A处切线斜率 （x ＞0，p＞0），
1
又∵起跳点A处速度方向与滑板平行，
∴ （x ＞0，p＞0），
1
∴解得 ，
∴ ，
设 点处的速度与水平地面夹角的正切值为t（t＞0），
同理有 （x ＜0，p＞0，t＞0），
2
解得 ，
又∵A点处滑板高度不计，
∴直线AB的斜率的绝对值（易知k ＞0），即斜坡与水平地面夹角的正切值，
AB
∴ ，即9t2﹣24t﹣20＝0，
解得 （舍）或 ，
∴谷爱凌最后落在斜坡上速度与水平夹角的正切值为 ．
故选：B．
49．（2023•陈仓区模拟）已知点F为抛物线C：y2＝8x的焦点，过点F作两条互相垂直的直线l ，l ，直
1 2
线l 与C交于A，B两点，直线l 与C交于D，E两点，则 的最小值为（ ）
1 2
A．64 B．54 C．50 D．48
【解答】解：抛物线C：y2＝8x的焦点F（2，0），
因为l ⊥l ，所以直线l ，l 斜率存在，且均不为0．
1 2 1 2
由题意可设直线l 的方程为y＝k（x﹣2），A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 1 2 2
直线l 的方程与抛物线方程联立 消去y整理得k2x2﹣4（k2+2）x+4k2＝0，
1
所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，
因为l ⊥l ，所以将|AB|中的k替换为﹣ ，可得|DE|＝8+8k2，
1 2
所以 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
故 的最小值是50．
故选：C．
50．（2023•河南三模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P是C上异于原点O的任意一点，线段PF
的中点为M，则以F为圆心且与直线OM相切的圆的面积最大值为（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意，作图如下：
π
设P（t2，2t）（不妨令t＞0），由已知可得F（1，0），则 ，所以直线OM的方程为
，
设 ，则 （当且仅当 t＝1 时取“＝”），所以点 F 到直线 OM 的距离为
，
即圆F的半径最大值为 ，面积最大值为 ．
故选：B．
51．（2023•汉滨区校级模拟）已知抛物线x2＝4y的焦点为F，准线为l，过点F且倾斜角为30°的直线交
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】抛物线于点M（M在第一象限），MN⊥l，垂足为N，直线NF交x轴于点D，则|FD|＝（ ）
A．2 B． C．4 D．
【解答】解：由已知可得，F（0，1），|OF|＝1．
如图所示，过点F作FA⊥MN，垂足为A．
由题得∠AFM＝30°，所以∠NMF＝60°．
根据抛物线的定义可知|MF|＝|MN|，
所以△MNF是等边三角形．
因为MN∥OF，
所以∠OFD＝∠MNF＝60°．
在Rt△OFD中， ．
故选：A．
52．（2023•佛山模拟）已知圆的方程为x2+y2＝1，抛物线的方程为y2＝ x，则两曲线的公共切线的其中
一条方程为 ．
【解答】解：设两曲线的公共切线的其中一条公切线与抛物线y2＝ x切于点P（x ， ），
0
又对y2＝ x两边关于x求导可得：2yy′＝ ，∴y′＝ ，
∴P处的导数为 ＝ ，
∴P处的公切线方程为y﹣ ＝ （x﹣x ），
0
即 x﹣ y+ x ＝0，又该切线与圆x2+y2＝1相切，
0
∴d＝ ＝1＝r，
解得x ＝2，
0
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴两曲线的公共切线的其中一条方程为 x﹣ y+ ＝0，
即x﹣ y+2＝0，
由对称性可知：两曲线的公共切线的另外一条方程为x+ y+2＝0，
故答案为：x﹣ y+2＝0或x+ y+2＝0．
53．（2023•江西模拟）已知抛物线y2＝4x，圆E：（x﹣4）2+y2＝12，设O为坐标原点，过圆心E的直线
与圆E交于点A，B，直线OA，OB分别交抛物线C于点P，Q（点P，Q不与点O重合）．记△OAB的
面积为S ，△OPQ的面积为S ，则 的最大值 ．
1 2
【解答】解：设过圆心E的直线的方程为x＝my+4，A（x ，y ），B（x ，y ），
1 1 2 2
由 ，消去x得（m2+1）y2﹣12＝0，
∴y y ＝﹣ ，
1 2
直线OA的方程为y＝ x，与抛物线联立解得P的横坐标为x＝ ，
同理可得Q的横坐标为x＝ ，
∴ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ ＝ ，
当m＝0时， 有最大值，最大值为 ．
故答案为： ．
54．（2023•池州模拟）已知抛物线E：y2＝4x的焦点为F，过定点（2，0）的直线与抛物线交于A，B两
点，AF与E的另一个交点为C，BF与E的另一个交点为D，则|AC|+2|BD|的最小值为 ．
【解答】解：抛物线的焦点F（1，0），准线方程为x＝﹣1，
设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），D（x ，y ），
1 1 2 2 3 3 4 4
设AC直线为x＝ty+1，联立y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣4＝0，∴y y ＝﹣4，得y ＝ ，
1 3 3
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】同理得y ＝ ，
4
又∵x x ＝ ＝1，即x ＝ ，
1 3 3
同理得x ＝ ，
4
设AB直线为x＝my+2，联立y2＝4x，消去x得y2﹣4ty﹣8＝0，∴y y ＝﹣8，得y ＝ ，
1 2 3
则x x ＝ ＝ ＝4，即x ＝ ，则x ＝
1 2 2 4
由抛物线的定义知，|AC|＝x +1+x +1＝x +x +2，
1 3 1 3
|BD|＝x +1+x +1＝x +x +2，
2 4 2 4
则|AC|+2|BD|＝x +x +2+2（x +x +2）＝x +x +2+2x +2x +4）＝x +x +2x +2x +6
1 3 2 4 1 3 2 4 1 3 2 4
＝x + +2× +2× +6＝6+ + ≥6+2 ＝6+2 ＝6+3 ，
1
当且仅当 ＝ ，即x ＝ 时，取等号，
1
∴|AC|+2|BD|的最小值为3 +6
故答案为：3 +6．
55．（2023•万州区校级模拟）已知点F为抛物线y2＝4x的焦点，A（﹣1，0），点M为抛物线上一动点，
当 最小时，点 M恰好在以 A，F为焦点的双曲线 C上，则双曲线 C的渐近线斜率的平方是
（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：点F为抛物线y2＝4x的焦点，A（﹣1，0），点M为抛物线上一动点，
由抛物线的对称性，不妨设M为抛物线第一象限内点故点M作MB垂直于抛物线的准线于点B，
由抛物线的定义知|MF|＝|MB|，易知MB∥x轴，可得∠MAF＝∠BMA，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ ，
当∠MAF取得最大值时， 取得最小值，此时AM与抛物线y2＝4x相切，
设直线AM方程为：y＝k（x+1），联立 ，
整理得k2x2+（2k2﹣4）x+k2＝0，其中Δ＝﹣16k2+16＝0，解得：k＝±1，
由M为抛物线第一象限内点，则k＝1，
则x2+（2﹣4）x+1＝0，解得：x＝1，此时y2＝4，即y＝2或y＝﹣2，
所以点M的坐标且M（1，2），设双曲线的实轴长为2a，
可得，双曲线的左焦点为A（﹣1，0），右焦点为F（1，0），
则 ，
∴ ，又c＝1，则 ，
故渐近线斜率的平方为 ．
故选：B．
56．（2023•江西模拟）已知斜率为k的直线l过抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，且与抛物线C交于
A，B两点，抛物线C的准线上一点M（﹣1，﹣1）满足 ，则|AB|＝（ ）
A． B． C．5 D．6
【解答】解：由题意知，抛物线C的准线为x＝﹣1，即 ，得p＝2，所以抛物线C的方程为y2＝
4x，其焦点为F（1，0）．
因为直线l过抛物线的焦点F（1，0），所以直线l的方程为y＝k（x﹣1）．
因为 ，所以M在以AB为直径的圆上．
设点A（x ，y ），B（x ，y ），联立方程组 两式相减可得 ．
1 1 2 2
设AB的中点为Q（x ，y ），则 ．因为点Q（x ，y ）在直线l上，
0 0 0 0
所以 ，所以点 是以AB为直径的圆的圆心．
由抛物线的定义知，圆Q的半径 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，解得k＝﹣2，
所以弦长 ．
故选：C．
57．（2023•包河区校级模拟）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，直线l：x＝5，点A，B分别是抛物线
C、直线l上的动点，若点B在某个位置时，仅存在唯一的点A使得|AF|＝|AB|，则满足条件的所有|AB|
的值为 ．
【解答】解：设A（x，y），易知抛物线C：x2＝4y焦点为F（0，1），B为直线l：x＝5上的动点，
设B（5，a），
∴|AF|＝ ，|PQ|＝ ，
∵|AF|＝|AB|，∴（y﹣1）2+x2＝（y﹣a）2+（x﹣5）2，
∴y2﹣2y+1+x2＝y2﹣2ay+a2+x2﹣10x+25，
∴﹣2y+1＝﹣2ay+a2﹣10x+25，a2﹣2ay+2y﹣10x+24＝0，x2＝4y，即y＝ 代入，
可得a2−2a× +2× −10y+24＝0，
∴a2− −10x+24＝0 2a2−ax2+x2−20x+48＝0，
∴（1﹣a）x2﹣20x+2a2+48＝0⇒ ，
①当a＝1时，可得−20x+50＝0，解得x＝ ，
由x2＝4y，得y＝ ＝ ＝ ，
此时方程只有一个解，满足题意，
∴|AB|＝ ＝ ＝ ，
②当a≠1时，Δ＝0，Δ＝（﹣20）2﹣4（1﹣a）（2a2+48）＝400﹣4（1﹣a）（2a2+48）＝0，
解得a＝﹣1，代入（1﹣a）x2﹣20x+2a2+48＝0，可得2x2﹣20x+50＝0，
求得x＝5 y＝ ，可得|AB|＝ ＝ ＝ ，
⇒
综上所述，|AB|的值为 或 ．
故答案为： 或 ．
58．（多选）（2023•皇姑区校级模拟）已知抛物线E：y2＝2px的焦点为F（1，0），过点（2，0）的直
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】线交E于A，B两点，点C在抛物线E上，则下列说法正确的是（ ）
A．|CF|的最小值为1
B．△ABF的周长的最小值为
C．若|CA|＝|CB|，则 的最小值为32
D．若过A，B分别作抛物线E的切线，两切线相交于点D，则点D在抛物线E的准线上
【解答】解：∵抛物线的焦点为F（1，0），∴p＝2，
即抛物线E：y2＝4x，
由题意，设直线AB方程为：x＝my+2，设A（x ，y ），B（x ，y ），C（x ，y ），
1 1 2 2 3 3
对于A：由抛物线定义知： ，∵x ≥0，∴|CF|＝x +1≥1，故A正确；
3 3
对于B：联立 ，消去x整理得y2﹣4my﹣8＝0，则y +y ＝4m，y y ＝﹣8，
1 2 1 2
∴△ABF的周长
＝ ＝
＝ ，
令t＝m2≥0，则 ，
易知函数y＝t在[0，+∞）上单调递增，函数y＝t2+3t+2的对称轴为 ，
故其在[0，+∞）上单调递增，∴函数 在[0，+∞）上单调递增，
从而 在[0，+∞）上单调递增，
∴当t＝0即m＝0时，C△ABF 有最小值 ，
即直线AB为x＝2，△ABF的周长有最小值为 ，故B正确；
对于C：∵|CA|＝|CB|，∴点C在AB的垂直平分线上，记AB的中点为H，则CH⊥AB，
∴ ，
由选项B知， ，
∴当t＝0时，|AB|取到最小值 ，
则 的最小值为 ，故C错误；
对于D：联立 ，得y2﹣4my﹣8＝0，则y +y ＝4m，y y ＝﹣8，
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设过点A的切线方程为 ，
联立 ，整理得 ，
由 ＝0，可得 ，
则过点A的切线方程分别可化为： ，
同理可得过点B的切线斜率为 ，过点B的切线方程为： ，
联立方程 ，解得 ，
即D（﹣2，2m），
∴两条切线的交点D在直线x＝﹣2上，不在准线x＝﹣1上，故D错误．
故选：AB．
59．（2023•浙江模拟）已知抛物线C：x2＝2y，直线l与抛物线C交于A，B两点，过A，B分别作抛物线
C的切线是l ，l 若l ⊥l ，且l 与l 交于点M，则△MAB的面积的最小值为 ．
1 2 1 2 1 2
【解答】解：抛物线的方程为x2＝2y，即y＝ x2，所以y'＝x，
设A（x ，y ），B（x ，y ），则y ＝ x 2，y ＝ x 2，
1 1 2 2 1 1 2 2
所以切线方程l ：y﹣ x 2＝x （x﹣x ），l ：y﹣ x 2＝x （x﹣x ），，
1 1 1 1 2 2 2 2
由于l ⊥l ，所以x •x ＝﹣1，
1 2 1 2
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由题意可设直线l方程为y＝kx+m，抛物线方程联立 ，得x2﹣2kx﹣2m＝0，
所以Δ＝（﹣2k）2+8m＝4k2+8m＞0，则x +x ＝2k，x x ＝﹣2m＝﹣1，即m＝ ，
1 2 1 2
即l：y＝kx+ ，
联立方程 ，∴ 得 ，即M（k，﹣ ），
M 点到直线 l 的距离 d＝ ＝ ，|AB|＝ • ＝2
（1+k2），
所以S△MAB ＝ |AB|•d＝ •2（1+k2）• ＝（1+k2） ≥1．
当k＝0时，△MAB面积取得最小值1．
故答案为：1．
60．（多选）（2023•杭州一模）设F为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点，过点F的直线l与抛物线C交
于A（x ，y ）B（x ，y ）两点，过B作与x轴平行的直线，和过点F且与AB垂直的直线交于点N，
1 1 2 2
AN与x轴交于点M，则（ ）
A．x x +y y 为定值
1 2 1 2
B．当直线l的斜率为1时，△OAB的面积为 （其中O为坐标原点）
C．若Q为C的准线上任意一点，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列
D．点M到直线FN的距离为
C．设Q（﹣ ，m），利用斜率计算公式可得k ，k ，k ，计算2k ﹣k ﹣k ，进而判断出正误．
QF QA QB QF QA QB
D．过点M作MH⊥FN，垂足为H，利用相似的性质可得 ＝ ， ＝ ，进而得出|
MH|，即可判断出正误．
【解答】解：A．F（ ，0），设直线l的方程为ty＝x﹣ ，
联立 ，化为y2﹣2pty﹣p2＝0，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴y y ＝﹣p2，y +y ＝2pt，
1 2 1 2
∵4p2x x ＝ ＝p4，∴x x ＝ ，
1 2 1 2
∴x x +y y ＝﹣ p2为定值，因此A正确．
1 2 1 2
B．当直线l的斜率为1时，直线l的方程为y＝x﹣ ，
代入椭圆方程可得：x2﹣3px+ ＝0，
∴x +x ＝3p，∴|AB|＝x +x +p＝4p，
1 2 1 2
点O到直线l的距离d＝ ＝ ，
∴△OAB的面积为 ×4p× ＝ p2，因此B不正确．
C．设Q（﹣ ，m），则k ＝ ＝﹣ ，k ＝ ＝ ，k ＝ ，
QF QA QB
∴2k ﹣k ﹣k ＝﹣ ﹣ ﹣ ，
QF QA QB
通分后分子＝﹣2[m（ +p2）（ +p2）+p（py ﹣pm）（ +p2）+p（py ﹣pm）（ +p2）]
1 2
＝﹣2[mp4+mp2（ + ）+mp4+p2（y +y p2﹣m ﹣mp2）+p2（ y +y p2﹣m ﹣mp2）]
1 1 2 2
＝0，则直线QA，QF，QB的斜率成等差数列，因此C正确．
D．如图所示，过点M作MH⊥FN，垂足为H，∵ ＝ ，∴ ＝ ，
又 ＝ ，∴ ＝ ，∴|MH|＝ ＝ ＝ ＝
，因此D正确．
故选：ACD．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】抛物线常用结论：
如图：抛物线y2＝2px(p>0)焦点弦AB，设A(x，y)、B(x，y)，AB的中点E，准线为l.
1 1 2 2
(1)焦半径问题：①焦半径：|AF|＝|AD|＝x＋，|BF|＝|BC|＝x＋ (随焦点位置变动而改变)；
1 2
②焦点弦：|AB|＝x＋x＋p＝ (其中，α为直线AB的倾斜角)；③＋＝；
1 2
(2)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x·x＝，y·y＝－p2 (随焦点动而变)； 图4
1 2 1 2
(3)其他结论：①S ＝(其中，α为直线AB的倾斜角)； ②以AB为直径的圆必与准线相切于点H．
△OAB
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
