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专题 4.13 分式方程含参问题必考六大类型（60 题）
【人教版】
【类型1 已知分式方程的解求参·10题】...............................................................................................................1
【类型2 已知分式方程解的正负情况确定参数取值范围·10题】.......................................................................4
【类型3 已知分式方程的增根求参·10题】...........................................................................................................9
【类型4 已知分式方程无解求参·10题】.............................................................................................................13
【类型5 已知分式方程的整数解求参·10题】.....................................................................................................17
【类型6 已知分式方程的解与不等式组的解综合求参·10题】.........................................................................23
【类型1 已知分式方程的解求参·10题】
k 1
1．（2023秋•新乡期末）已知关于y的方程 − =3的解为y＝1，则实数k的值为（ ）
2−y y−2
A．﹣3 B．3 C．﹣2 D．2
k 1
【分析】把y＝1代入关于y的方程 − =3得关于k的方程，解方程即可．
2−y y−2
k 1
【解答】解：把y＝1代入关于y的方程 − =3得：
2−y y−2
k 1
− =3，
2−1 1−2
k+1＝3，
解得：k＝2，
故选：D．
x 2
2．（2024春•兴仁市校级月考）若方程 = 有一个根是x＝1，则m的值是（ ）
x2+m x−3m
1 1 1 1
A． B．− C．− D．−
5 4 2 5
【分析】把x＝1代入已知方程，列出关于m的新分式方程，通过解该方程即可求得m的值．注意分式
方程需要验根．
【解答】解：依题意，得1 2
= ，
1+m 1−3m
所以1﹣3m＝2+2m，
1
解得，m=− ．
5
1
经检验，m=− 符合题意．
5
故选：D．
a 1
3．（2024•中山市校级一模）已知关于x的方程 = 的解是x＝1，则a的值为（ ）
2a−x 3
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
【分析】将x＝1代入方程，即可求a的值．
a 1
【解答】解：∵关于x的方程 = 的解是x＝1，
2a−x 3
a 1
∴ = ，
2a−1 3
解得a＝﹣1，
经检验a＝﹣1是方程的解．
故选：C．
2 a
4．（2024春•文峰区期末）分式方程 + =2的解为x＝2，则a的值为（ ）
x x+1
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】把x＝2代入原方程，关于然后解a的方程即可．
2 a
【解答】解：把x＝2代入原方程 + =2，
x x+1
a
得：1+ =2，
3
解得：a＝3．
故选：C．
a 1
5．（2024•鞍山模拟）已知关于x的方程 = 的解是x＝﹣2，则a的值为（ ）
2a−x 4
A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣2
a 1 a 1
【分析】将x＝﹣2代入 = 得， = ，然后解分式方程即可．
2a−x 4 2a+2 4a 1 a 1
【解答】解：将x＝﹣2代入 = 得， = ，
2a−x 4 2a+2 4
∴2a＝a+1，
解得a＝1，
经检验，当a＝1时，2a+2≠0，
∴a＝1是原分式方程的解，
故选：B．
1 1
6．（2023春•榆树市期末）已知关于x的方程 = 有解x＝2，则a的值为 1 ．
ax−3 a−x
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，把x＝2代入整式方程计算即可求出a的值．
【解答】解：去分母得：a﹣x＝ax﹣3，
把x＝2代入得：a﹣2＝2a﹣3，
解得：a＝1，
故答案为：1
1+m
7．（2023秋•成都期末）关于x的方程 =2的解是x＝2，则m＝ 1 ．
x−1
【分析】依据题意，把分式方程转化为整式方程，再将x＝2代入求解可得．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：1+m＝2x﹣2，
将x＝2代入，得：1+m＝2×2﹣2，
解得m＝1，
故答案为：1．
2ax 2 1
8．（2023秋•利通区期末）若关于x的方程 = 的解为x＝1，则a的值是 − ．
a−x 3 2
【分析】将方程的解代入原方程，然后按照解分式方程的步骤进行计算求解，注意分式方程的结果要进
行检验．
2a 2
【解答】解：把x＝1代入到原方程，可得： = ，
a−1 3
方程两边同时乘以3（a﹣1），得：6a＝2（a﹣1），
1
解得：a=− ，
2
1
经检验：a=− 是分式方程的解，
21
∴a的值是− ，
2
1
故答案为：− ．
2
m+4 3x
9．（2024春•未央区月考）若关于x的分式方程 = +2的解为x＝4，则m的值为 1 0 ．
x−3 x−3
【分析】先解该分式方程得，
【解答】解：两边都乘以x﹣3，得
m+4＝3x+2x﹣6，
m+10
解得x= ，
5
m+10
由题意得 = 4，
5
解得m＝10，
故答案为：10．
2mx+3 4 19
10．（2024春•秦安县校级月考）已知关于x的方程 = 的解是x＝1，则m的值是 − ．
m−x 5 6
【分析】根据方程的解的定义，把x＝1代入原方程，原方程左右两边相等，从而原方程转化为含有m
的新方程，解此新方程可以求得m的值．
2m+3 4
【解答】解：把x＝1代入原方程得， =
m−1 5
去分母得，10m+15＝4m﹣4
19
解得，m=− ．
6
【类型2 已知分式方程解的正负情况确定参数取值范围·10题】
2x−1 m
1．（2023秋•巩义市期末）若关于x的分式方程 =3− 的解为负数，则m的取值范围是 m ＜
x+1 x+1
4 且 m ≠ 3 ． ．
【分析】首先求出关于x的分式方程的解，然后根据解为负数，求出m的取值范围即可．
2x−1 m
【解答】解： =3−
x+1 x+1
去分母得：2x﹣1＝3（x+1）﹣m，
去括号得：2x﹣1＝3x+3﹣m，
合并同类项得：﹣x＝4﹣m，解得：x＝m﹣4，
∵m﹣4＜0，
∴m＜4，
∵x+1≠0，即x≠﹣1，
∴m﹣4≠﹣1，
∴m≠3，
∴m的取值范围：m＜4且m≠3．
故答案为：m＜4且m≠3．
1−m 2
2．（2024春•太平区期末）已知关于 x的分式方程 −2= 的解是非负数，则m的取值范围是
x−1 1−x
m ≤ 5 且 m ≠ 3 ．
【分析】首先去分母得整式方程，然后求出整式方程的解结合方程的解为非负数分母不等于 0讨论m的
取值范围．
【解答】解：去分母得：1﹣m﹣2（x﹣1）＝﹣2，
化简得：2x＝5﹣m，
5−m
∴x= ，
2
∵分式方程的解为非负数，
5−m
∴ ≥0，
2
∴m≤5，
5−m
又x= ≠1，
2
∴m≠3，
故答案为：m≤5且m≠3．
x−m 2m
3．（2024•鼓楼区校级模拟）关于x的方程 − =2的解为正数，则m的取值范围是 m ＞﹣ 2
x−1 1−x
且 m ≠﹣ 1 ．
【分析】先将分式方程转化为整式方程，求出整式方程的解，由分式方程的解为正数以及增根确定m的
取值范围．
x−m 2m
【解答】解：关于x的分式方程 − =2化为整式方程得，x﹣m+2m＝2（x﹣1），
x−1 1−x
解得x＝m+2，由于分式方程的解为正数，
所以m+2＞0，即m＞﹣2，
而分式方程的增根为x＝1，
当x＝1时，m＝﹣1，
所以m的取值范围为m＞﹣2且m≠﹣1，
故答案为：m＞﹣2且m≠﹣1．
m−1 1−y
4．（2024春•温江区校级期中）若关于y的分式方程 =2+ 的解为负数，则所有满足条件的非
y+1 y+1
负整数m的值之和为 3 ．
【分析】解分式方程，根据“解为负数”和分母不能为0以及m为非负整数确定m的可能值，求它们的
和即可．
【解答】解：去分母，得m﹣1＝2（y+1）+1﹣y，
去括号，得m﹣1＝2y+2+1﹣y，
移项、合并同类项，得y＝m﹣4，
∵y＜0，即m﹣4＜0，解得m＜4，
∵y+1≠0，即m﹣4≠﹣1，解得m≠3．
综上，m＜4且m≠3且m为非负整数，
∴m＝2，1，0，
2+1+0＝3，
∴所有满足条件的非负整数m的值之和为3．
故答案为：3．
x a
5．（2024•双塔区校级开学）若关于x的分式方程 −3= 的解为正数，则a的取值范围为 a ＜
x−5 x−5
15 且 a ≠ 5 ．
【分析】先将分式方程化为整式方程，再解出方程的解，然后根据“解为正数”列出不等式求解即可．
x a
【解答】解： −3= ，
x−5 x−5
两边都乘以x﹣5，得
x﹣3（x﹣5）＝a，
15−a
解得x= ，
2
∵解为正数，15−a
∴ ＞0，
2
∴a＜15．
15−a
∵ ≠5，
2
∴a≠5，
∴a＜15且a≠5．
故答案为：a＜15且a≠5．
x k
6．（2024春•西华县校级期中）分式方程 −2= 的解大于1时，k的取值范围是 k ＜ 5 且 k ≠ 3
x−3 x−3
．
【分析】解分式方程得到x＝6﹣k，根据解大于1得出k的取值范围，再考虑分式方程有意义时k≠3即
可得出结果．
【解答】解：分式方程整理得：x﹣2（x﹣3）＝k，
解得：x＝6﹣k，
∵分式方程的解大于1，
∴6﹣k＞1，
解得k＜5，
要使分式有意义x≠3，即6﹣k≠3，解得k≠3，
故答案为：k＜5且k≠3．
k−1 x
7．（2024春•蚌埠期末）已知关于x的分式方程 =2− 的解为正数，则k的取值范围是 k ＞﹣
x−5 5−x
9 且 k ≠ 6 ．
【分析】先求解分式方程，用含k的代数式表示x，根据方程的解为正数，得不等式，求解即可．
【解答】解：去分母，得k﹣1＝2（x﹣5）+x，
k+9
解得x= ．
3
∵分式方程的解为正数，
k+9 k+9
∴ ＞0且x ≠5．
3 3
解得k＞﹣9 且k≠6．
故答案为：k＞﹣9 且k≠6．x+m 2m
8．（2024春•江都区月考）关于x的分式方程 + =−1的解是正数，则m的取值范围是 m ＞
x−2 2−x
﹣ 2 且 m ≠ 2 ．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程的解为正数，确定出m的范围即可．
【解答】解：去分母得：x+m﹣2m＝﹣（x﹣2），
m
解得：x= +1，
2
m
由分式方程的解为正数，得到 +1＞0，且m≠2，
2
解得：m＞﹣2且m≠2，
故答案为：m＞﹣2且m≠2．
x−1 x m
9．（2024春•萍乡期末）当m ＜ 1 且 m ≠﹣ 3 时，关于x的分式方程 − = 的解
x+2 x−1 (x+2)(x−1)
为正数．
【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是正数”建立不等式求a的取值范围．
【解答】解：去分母得：（x﹣1）2﹣x（x+2）＝m，
即：﹣4x＝m﹣1，
1−m
则x= ，
4
1−m
根据题意得： ＞0，
4
解得：m＜1．
1−m 1−m
+2≠0且 −1≠0，
4 4
解得：m≠9且m≠﹣3．
∴m＜1且m≠﹣3．
故答案为：＜1且m≠﹣3．
m−3 4
10．（2024春•上蔡县月考）已知关于x的分式方程 −1= 的解大于﹣1，则m的取值范围是（
5−x x−5
）
A．m＜5且m≠1 B．m＜5且m≠﹣1 C．m＞1 D．m＜1且m≠﹣1
【分析】先按照解分式方程的一般步骤解关于 x的分式方程，求出x，然后根据分式方程的解大于﹣1
且分式方程的分母不能为0，列出不等式组，解不等式组，求出m的取值范围即可．m−3 4
【解答】解： −1= ，
5−x x−5
m﹣3﹣（5﹣x）＝﹣4，
m﹣3﹣5+x＝﹣4，
x＝3+5﹣4﹣m
x＝4﹣m，
m−3 4
∵关于x的分式方程 −1= 的解大于﹣1且5﹣x≠0，
5−x x−5
{ 4−m＞−1① )
∴ ，
5−(4−m)≠0②
由①得：﹣m＞﹣5，
m＜5，
由②得：5﹣4+m≠0，
m≠﹣1，
∴m的取值范围是：m＜5且m≠﹣1，
故选：B．
【类型3 已知分式方程的增根求参·10题】
2k−1 2+k
1．（2024春•广陵区期末）关于x的分式方程 + =3有增根，则k的值为 3 ．
x−2 2−x
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x
的值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：2k﹣1﹣k﹣2＝3（x﹣2），
∴k﹣3＝3（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：k＝3．
故答案为：3．
1 m 2
2．（2024•游仙区模拟）当m＝ 6 时，解分式方程 + = 会出现增根．
3 3(2x−1) 2x−1
1 m 2
【分析】分式方程的增根使分式中分母为 0，所以分式方程 + = 会出现增根只能是
3 3(2x−1) 2x−1
1 1
x= ，增根不符合原分式方程，但是适合分式方程去分母后的整式方程，于是将x= 代入该分式方程
2 2
去分母后的整式方程中即可求出m的值．1 m 2
【解答】解：分式方程 + = 会出现增根，
3 3(2x−1) 2x−1
1
则2x﹣1＝0即x= ，
2
1 m 2
+ = ，
3 3(2x−1) 2x−1
去分母得，2x﹣1+m＝6，
1
将x= 代入得m＝6，
2
即当m＝6时，原分式方程会出现增根．
故答案为：6．
x 3a
3．（2024春•汝州市期末）若关于x的方程 + =3a有增根，则a的值为 1 ．
x−3 3−x
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分
母x﹣3＝0，得到x＝3，然后代入化为整式方程的方程算出m的值．
【解答】解：方程两边都乘x﹣3，
得x﹣3a＝3a（x﹣3）
∵原方程有增根，
∴最简公分母x﹣3＝0，
解得x＝3，
当x＝3时，a＝1，
故a的值是1，
故答案为：1．
kx x−4
4．（2024春•杭州月考）已知关于x的方程 = +1有增根，则k的值是 3 ．
x+2 x+2
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x+2＝0，据此求出x的
值，代入整式方程求出k的值即可．
【解答】解：去分母，得：kx＝x﹣4+x+2，
∴kx＝2x﹣2，
由分式方程有增根，得到x+2＝0，即x＝﹣2，
把x＝﹣2代入整式方程，可得：k＝3．
故答案为：3．ax−3 3
5．（2024•武侯区校级开学）若关于x的方程 = +2有增根，那么a的值为 0 ．
2−x x−2
【分析】首先把所给的分式方程化为整式方程，然后根据分式方程有增根，得到x﹣2＝0，据此求出x
的值，代入整式方程求出a的值即可．
【解答】解：去分母，得：3﹣ax＝3+2（x﹣2），
由分式方程有增根，得到x﹣2＝0，即x＝2，
把x＝2代入整式方程，可得：a＝0．
故答案为：0．
x+m 3m
6．（2024春•丰泽区期末）若关于x的分式方程 + =2有增根，则m的值为 1 ．
x−2 2−x
【分析】先解出方程的根为x＝4﹣2m，由题意可知x＝2，即可得4﹣2m＝2，解出m即可．
【解答】解：方程两边同时乘以x﹣2，得
x+m﹣3m＝2（x﹣2），
解得：x＝4﹣2m，
∵分式方程有增根，
∴x＝2，
∴4﹣2m＝2，
∴m＝1，
故答案为1．
2x a
7．（2024春•金牛区期末）若关于x的分式方程 −1= 有增根，则a的值是 2 ．
x−1 x−1
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．所以应先确定增根的可能值，让最简公分
母x﹣1＝0，得到x＝1，然后代入化为整式方程的方程算出a的值．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣1，得：2x﹣x+1＝a，
∵分式方程有增根，
∴x﹣1＝0，即x＝1，
将x＝1代入2x﹣x+1＝a，得：a＝2，
故答案为：2．
2x m
8．（2024秋•桂阳县校级月考）分式方程 −2= 有增根，则m的值为 6 ．
x−1 (x−1)(x+2)
【分析】方程两边都乘以最简公分母（x﹣1）（x+2）把分式方程化为整式方程，再根据分式方程的增
根是使最简公分母等于0的未知数的值，求出增根，然后代入进行计算即可得解．【解答】解：方程两边都乘以（x﹣1）（x+2）得，
2x（x+2）﹣2（x﹣1）（x+2）＝m，
2x2+4x﹣2x2﹣2x+4＝m，
m＝2x+4，
∵分式方程有增根，
∴（x﹣1）（x+2）＝0，
∴x﹣1＝0，x+2＝0，
解得x ＝1，x ＝﹣2，
1 2
当x ＝1时，m＝2x+4＝2+4＝6，
1
当x ＝﹣2时，m＝2x+4＝﹣4+4＝0，此时方程无解，不符合题意．
2
所以m的值为6，
故答案为：6．
k k−x
9．（2024秋•新华区校级月考）若解分式方程 = −3产生增根，则k的值为 1 ．
x−2 2−x
【分析】先解分式方程，再根据分式方程的增根的定义解决此题．
【解答】解：去分母，得k＝x﹣k﹣3（x﹣2），
去括号，得k＝x﹣k﹣3x+6，
移项，得﹣x+3x＝﹣k+6﹣k，
合并同类项，得2x＝6﹣2k，
x的系数化为1，得x＝3﹣k，
k k−x
∵分式方程 = −3产生增根，
x−2 2−x
∴3﹣k＝2，
∴k＝1，
故答案为：1．
1−x m
10．（2024•台儿庄区一模）若关于x的分式方程 = −2有增根，则m的值是 1 ．
x−2 2−x
【分析】先把分式方程去分母变为整式方程，然后把x＝2代入计算，即可求出m的值．
1−x m
【解答】解：∵ = −2，
x−2 2−x
去分母，得：1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2）；
∵分式方程有增根，∴x＝2，
把x＝2代入1﹣x＝﹣m﹣2（x﹣2），
则1﹣2＝﹣m﹣2（2﹣2），
解得：m＝1；
故答案为：1．
【类型4 已知分式方程无解求参·10题】
x m−1
1．（2024秋•平谷区校级月考）若关于x的分式方程 = 无解，则m的值为 4 ．
x−3 x−3
【分析】先根据解分式方程的方法求出x＝m﹣1，由分式方程无解，可得x﹣3＝0，得出x＝3，则m﹣1
＝3，由此即可得出m的值．
x m−1
【解答】解： = ，
x−3 x−3
方程两边同乘（x﹣3），得x＝m﹣1，
∵分式方程无解，
∴x﹣3＝0，
∴x＝3，
∴m﹣1＝3，
∴m＝4．
故答案为：4．
mx−1 1 2
2．（2024秋•新邵县期中）若关于x的分式方程 + =1无解，则m的值是 1 或 ．
x−3 3−x 3
【分析】本题考查了分式方程的无解问题，先把分式方程化为整式方程得到（m﹣1）x＝﹣1，由于关
mx−1 1
于x的分式方程 + =1无解，分两种情况可求得m．
x−3 3−x
mx−1 1
【解答】解： + =1
x−3 3−x
去分母，得mx﹣1﹣1＝x﹣3，
（m﹣1）x＝﹣1．
∵关于x的分式方程无解，
当m﹣1＝0时，原方程无解，
∴m＝1，
∵最简公分母x﹣3＝0，∴x＝3，
2
当x＝3时，得m= ，
3
2
综上m的值为1或 ．
3
2
故答案为：1或 ．
3
2 mx
3．（2024秋•昆明期中）已知关于x的分式方程 = −2无解，则m的值为 ± 2
1−x x−1
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，整理后根据一元一次方程无解条件求出m的值；由分式方程
无解求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
2 mx
【解答】解： = −2，
1−x x−1
整理得：（m﹣2）x＝﹣4，
由分式方程无解，得到x﹣1＝0，即x＝1，
当x＝1时，m﹣2＝﹣4，解得m＝﹣2；
当m﹣2＝0时，分式方程无解，解得m＝2，
故m的值为±2．
故答案为：±2．
2 a
4．（2024秋•昌平区期中）关于x的方程 =1+ （a为常数）无解，则a＝ 2 ．
x−1 x−1
【分析】解分式方程，当x取增根时求出a的值即可．
【解答】解：去分母，得2＝x﹣1+a，
移项、合并同类项，得x＝3﹣a，
x＝1是原分式方程的增根，即3﹣a＝1，
解得a＝2，
∴当a＝2时，原分式方程无解．
故答案为：2．
2 ax
5．（2023秋•莘县期末）若关于x的方程 = +1无解，则a的值是 ﹣ 1 或 2 ． ．
x−1 x−1
【分析】根据分式方程的解的定义解决此题．
2 ax
【解答】解： = +1，
x−1 x−1去分母，得2＝ax+x﹣1．
移项，得ax+x＝2+1．
合并同类项，得（a+1）x＝3．
2 ax
∵关于x的方程 = +1无解，
x−1 x−1
3
∴a+1＝0或 =1．
a+1
∴a＝﹣1或a＝2．
故答案为：﹣1或2．
2kx−1 2+k 3
6．（2024春•郫都区校级期中）关于x的分式方程 + =3无解，则k的值为 1 或 ．
x−2 2−x 2
【分析】根据解分式方程的步骤进行解答．
2kx−1 2+k
【解答】解： + =3，
x−2 2−x
2kx−1 2+k
− =3，
x−2 x−2
2kx−1−2−k
−3＝0，
x−2
2kx−1−2−k−3x+6
=0，
x−2
∵分式方程无解，
∴分式的分母为0，
即x﹣2＝0，
∴x＝2，
2kx﹣1﹣2﹣k﹣3x+6＝0，
4 k﹣k﹣6+3＝0，
解得：k＝1，
∵（2k﹣3）x﹣k+3＝0，
∴2k﹣3＝0，
2
解得：k= ．
3
3
故答案为：1或 ．
2x mx
7．（2024•江都区二模）若关于x的分式方程 = +1无解，则m的值为 0 或 2 ．
x+1 2x+2
【分析】将分式方程化为整式方程，分式方程无解，也就是分式方程有增根或整式方程无解两种情况，
分别进行计算即可．
x mx
【解答】解：关于x的分式方程 = +1化为整式方程得，
x+1 2x+2
2x＝mx+2（x+1），
即mx＝﹣2，
由于分式方程无解，
所以m＝0或者分式方程有增根x＝﹣1，
当x＝﹣1时，﹣m＝﹣2，
解得m＝2，
综上所述，m得值为0或2，
故答案为：0或2．
2 mx 5
8．（2024•凉州区二模）若关于x的分式方程 + = 无解，则m的值为 1 0 或﹣ 4 或 3 ．
x−2 x2−4 x+2
【分析】分式方程无解的情况有两种：（1）原方程存在增根；（2）原方程约去分母后，整式方程无
解．
【解答】解：（1）x＝﹣2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝5（x﹣2），即2×（﹣2+2）﹣2m＝5×（﹣2﹣2），
解得m＝10；
（2）x＝2为原方程的增根，
此时有2（x+2）+mx＝5（x﹣2），即2×（2+2）+2m＝5×（2﹣2），
解得m＝﹣4．
（3）方程两边都乘（x+2）（x﹣2），
得2（x+2）+mx＝5（x﹣2），
化简得：（m﹣3）x＝﹣14．
当m＝3时，整式方程无解．
综上所述，当m＝10或m＝﹣4或m＝3时，原方程无解．
故答案为：10或﹣4或3．
ax a+1 1
9．（2024春•江都区校级月考）已知关于x的方程 =3− 无解，则a的值为 − 或 3 ．
x−5 x−5 6【分析】根据题意可得x＝5，然后把x的值代入整式方程中进行计算即可解答．
ax a+1
【解答】解： =3− ，
x−5 x−5
ax＝3（x﹣5）﹣（a+1），即（a﹣3）x＝﹣16﹣a，
ax a+1
∵关于x的方程 =3− 无解，
x−5 x−5
∴x﹣5＝0，
把x＝5代入ax＝3（x﹣5）﹣（a+1），中可得：
1
a=− ，
6
由方程无解，得到a﹣3＝0，即a＝3．
1
故答案为：− 或3．
6
x mx−2 16
10．（2024春•海曙区期末）若关于x的分式方程 =1+ 无解，则m的值为 ﹣ 3 或 − 或
x−3 9−x2 3
2
− ．
3
【分析】将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解确定出x的值，代入整式方程计算即可求
出m的值．
【解答】解：去分母得：（m+3）x＝﹣7，
当m+3＝0，即m＝﹣3时，方程无解；
当m+3≠0，即m≠﹣3时，
由分式方程无解，得到（x+3）（x﹣3）＝0，即x＝±3，
把x＝±（3分）别代入整式方程得：3（m+3）＝﹣7或﹣3（m+3）＝﹣7，
16 2
解得：m=− 或m=− ，
3 3
16 2
综上，m的值为﹣3或− 或− ．
3 3
16 2
故答案为：﹣3或− 或− ．
3 3
【类型5 已知分式方程的整数解求参·10题】
mx x
1．（2024秋•栾城区期中）若分式方程 =3− 的解为正整数，则整数m的值为 ﹣ 1 ．
1−x x−1
【分析】先解含有字母参数m的分式方程，求出x，再根据分式方程的解为正整数，列出关于m的方程，解方程求出m，再判断m＝1时分式方程有无意义，从而求出答案即可．
mx x
【解答】解： =3− ，
1−x x−1
﹣mx＝3（x﹣1）﹣x，
﹣mx＝3x﹣3﹣x，
﹣mx＝2x﹣3，
2x+mx＝3，
（2+m）x＝3，
3
x= ，
2+m
mx x
∵分式方程 =3− 的解为正整数，
1−x x−1
∴2+m＝1或3，
解得：m＝﹣1或1，
∵当m＝1时，x﹣1＝0，分式无意义，
∴m≠1，
∴整数m的值为﹣1，
故答案为：﹣1．
x−4 mx
2．（2024•丰城市校级开学）若关于x的分式方程 = 有正整数解，则整数m为 0 ．
x−1 x−1
4
【分析】解分式方程，得x= ，因为分式方程有正整数解，进而可得整数m的值．
1−m
【解答】解：去括号得x﹣4＝mx，
4
解得x= ，
1−m
4
∵方程有正整数解，即x= ＞0且x≠1，
1−m
∴1﹣m＞0，即m＜1，且为整数，
4
∴当m＝0时，x= =4，符合题意；
1−0
∴m＝0，
故答案为：0．
2 m
3．（2024春•瑶海区校级期末）已知关于x的分式方程 − =0的解是整数，则整数m的值是 1 ，
x x−13 ， 4 ．
2
【分析】先解此方程得x=− ，再根据题意讨论、求解出符合题意的m．
m−2
2 m
【解答】解：解分式方程 − =0得，
x x−1
2
x=− ，
m−2
2
当m＝0时，x=− =1；
0−2
2
当m＝1时，x=− =2；
1−2
2
当m＝3时，x=− =−2；
3−2
2
当m＝4时，x=− =−1，
4−2
∵x≠0且x≠1，
∴整数m的值是1，3，4，
故答案为：1，3，4．
x mx
4．（2024•牡丹江）若分式方程 =3− 的解为正整数，则整数m的值为 ﹣ 1 ．
x−1 1−x
【分析】表示出方程的解，由解是正整数，确定出整数m的值即可．
x mx
【解答】解： =3− ，
x−1 1−x
x mx
化简得： =3+ ，
x−1 x−1
去分母得：x＝3（x﹣1）+mx，
移项合并得：（2+m）x＝3，
3
解得：x= ，
2+m
由方程的解是正整数，得到x为正整数，即2+m＝1或2+m＝3，
解得：m＝﹣1或m＝1（舍去，会使得分式无意义）．
故答案为：﹣1．
ax 14
5．（2024春•永春县校级期中）若整数a使得关于x的分式方程 =1− 的解为正整数，则所有符
x−2 2−x
合条件的整数a的值之和为 3 1 ．12
【分析】先根据分式方程的分母x﹣2≠0求出x≠2，再根据等式的性质求出方程的解为x= ，再根
a−1
据方程的解是正整数和a为整数求出a﹣1的值，再求出a的值，最后求出整数a的和即可．
ax 14
【解答】解：分式方程 =1− 的分母x﹣2≠0，即x≠2，
x−2 2−x
ax 14
=1− ，
x−2 2−x
去分母，得ax＝x﹣2+14，
ax﹣x＝﹣2+14，
（a﹣1）x＝12，
12
x= ，
a−1
ax 14
∵整数a使得关于x的分式方程 =1− 的解为正整数，
x−2 2−x
∴a﹣1的值是12或1或6或2或3或4，
∵x≠2，
∴a﹣1≠6
∴a﹣1的值是12或1或2或3或4，
∴a为13或2或3或4或5，
和为13+2+3+4+5＝27．
故答案为：27．
a 10−x
6．（2024•龙泉驿区模拟）若正整数a使得关于x的分式方程2+ = 有正整数解，那么符合条
x−4 x−4
件的所有正整数a的个数有 4 个．
【分析】解分式方程，根据其解的条件求出a的取值范围，从而确定a的所有可能值．
18−a
【解答】解：解分式方程，得x= ，
3
∵x为正整数，
18−a
∴ ＞0，解得0＜a＜18，
3
18−a
∵x﹣4≠0，即 ≠4，解得a≠6．
3
∴a＝15，12，9，3，
∴符合条件的所有正整数a的个数有4个．故答案为：4．
kx 3
7．（2024春•锡山区期中）若关于x的方程 −1= 的解为整数解，则满足条件的负整数k的值是
x+1 x+1
﹣ 1 ．
【分析】根据分式方程的解以及整数解的定义可求出相应的k的值，再根据分式方程增根的定义进一步
确定k的取值，再由负整数解的意义进行解答即可．
kx 3
【解答】解：将关于x的方程 −1= 的两边都乘以x+1，得
x+1 x+1
kx﹣x﹣1＝3，
4
解得x= ，
k−1
由于分式方程的解为整数，
∴k﹣1＝±1或k﹣1＝±2或k﹣1＝±4，
解得k＝2或k＝0或k＝3或k＝﹣1或＝5或k＝﹣3，
由于分式方程的增根为x＝﹣1，
当x＝﹣1时，即k﹣1＝﹣4，
解得k＝﹣3，
因此k≠﹣3，
∴k为负整数且k≠﹣3，
∴k＝﹣1．
故答案为：﹣1．
6−ax x
8．（2024•齐河县模拟）若整数a既使得关于x的分式方程 −2= 有整数解，又使得关于x，y
1−x x−1
{ ax−y=1 )
的方程组 的解为正数，则a＝ 5 ．
8x−2y=−1
【分析】先解分式方程得x关于a的代数式，根据分式方程有整数解和不能为增根，求出a的取值，再
解方程组，根据方程组的解为正数，列出a的不等式组求得a的取值范围，进而综合求得a的取值个
数．
6−ax x
【解答】解：解方程 −2= 得，
1−x x−1
4
x= ，
a−3
∵分式方程有整数解，且x≠1，∴a﹣3＝﹣4或﹣2或﹣1或1或2或4，且a≠7，
∴a＝﹣1或1或2或4或5，
{ ax−y=1 )
解方程组 得，
8x−2y=−1
3
{x= )
2a−8
，
a+8
y=
2a−8
∵方程组的解为正数，
{2a−8＞0)
∴ ，
a+8＞0
解得a＞4，
综上，a＝5．
故答案为：5．
x m−2
9．（2024春•中江县月考）已知﹣2≤m≤6，若关于x的分式方程 + =−1有正整数解，则整数
x−2 2−x
m的值是 2 或 6 ．
【分析】根据分式方程的解法，分式方程的增根进行解答即可．
【解答】解：方程两边都乘以x﹣2得，
x﹣m+2＝2﹣x，
m
解得x= ，
2
而分式方程的增根为x＝2，
当x＝2时，m＝4，
因此m≠4，
x m−2
又因为﹣2≤m≤6，若关于x的分式方程 + =−1有正整数解，
x−2 2−x
所以m＝2或6．
故答案为：2或6．
10．（2023 秋•城口县期末）若三角形三边长分别为 3，4，|a|，且 a 满足关于 x 的分式方程
x+a x
−4= 有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 8 ．
x−1 1−x
【分析】根据构成三角形的三条边之间的关系列一元一次不等式组并求其解集，解分式方程，根据其解的情况确定a的可能值并求它们的和即可．
{|a|＜3+4①)
【解答】解：根据题意，得 ，
|a|＞4−3②
解不等式①，得﹣7＜a＜7，
解不等式②，得a＞1或a＜﹣1，
∴原不等式组的解集为﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7．
a+4
解分式方程，得x= ，
2
a+4
∵ ≥0，
2
∴a+4≥0，
∴a≥﹣4；
∵x＝1是原分式方程的增根，
∴a≠﹣2．
∵﹣7＜a＜﹣1或1＜a＜7，
∴﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，
综上，﹣3＜a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≥0，且a+4≠2，
∴0≤a+4＜3或5＜a+4＜11，且a+4是2的整数倍，且a+4≠2，
∴a+4＝0、6、8或10，
∴a＝﹣4、2、4或6，
﹣4+2+4+6＝8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是8，
故答案为：8．
【类型6 已知分式方程的解与不等式组的解综合求参·10题】
{x−1
+
x
＜
3
)
1．（2024秋•沙坪坝区校级期中）若关于x的一元一次不等式组 4 3 2 有且仅有3个偶数解，且
4x+3≥a
ay−2 20
关于y的分式方程 =2+ 的解为非负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是 ﹣ 1 3 ．
3−y y−3
【分析】先分别求出不等式组中每个不等式的解集，再根据该不等式组有且仅有3个偶数解，由此解得
−12
a的取值范围，再求出分式方程的解y= ，并根据该分式方程的解为非负整数，a为整数得a+2＝﹣
a+21，﹣2，﹣3，﹣6，﹣12，由此求出a的值，再结合﹣9＜a＜﹣5可得出所有满足条件的整数a的值，
进而即可得出答案．
x−1 x 3
【解答】解：由不等式 + ＜ ，解得：x＜3，
4 3 2
a−3
由不等式4a+3≥a，解得：x≥ ，
4
∵关于x的一元一次不等式组有且仅有3个偶数解，
∴该不等式的解集为：﹣2≤x＜3，
a−3
∴−3＜ ≤−2，
4
解得：﹣9＜a＜﹣5，
ay−2 20 −12
由分式方程 =2+ ，解得：y= ，
3−y y−3 a+2
∵该分式方程的解为非负整数，a为整数，
∴a+2＝﹣1，﹣2，﹣3，﹣6，﹣12，
则a＝﹣3，﹣4，﹣5，﹣8，﹣14，
∴﹣9＜a＜﹣5，
∴a＝﹣5，﹣8，
∴所有满足条件的整数a的值之和是：（﹣5）+（﹣8）＝﹣13．
故答案为：﹣13．
{3x−a＞1
)
2．（2024秋•重庆期中）关于x的不等式组 3x−2 有解且最多有3个整数解，且关于y的分式方程
≤5
2
a+5 8
+ =2有非负整数解，则所有满足条件的整数a的值之和是 2 1 ．
y−3 3−y
【分析】根据题目的条件确定a的取值范围即可求解．
{3x−a＞1①
)
【解答】解：解不等式组 3x−2 ，
≤5②
2
a+1
解不等式①得：x＞ ，
3
解不等式②得：x≤4，
∵不等式组最多只有3个整数解，a+1
∴1＜ ＜4，
3
∴3＜a＜11，
a+5 8 a+3
分式方程 + =2得：y = ，
y−3 3−y 2
∵原分式方程有非负整数解，
a+3 a+3
∴ ≥0，且 ≠3，
2 2
解得：a≥﹣3，且a≠3，
满足条件的a值有：5，7，9．
∴满足条件的a值的和为21．
故答案为：21．
a−x 8
3．（2024秋•大渡口区校级期中）若关于 x的方程 +3= 有正整数解，且关于 x的不等式组
x−3 3−x
{2(x+2)≤9+3x)
有且只有3个整数解，则符合条件的所有整数a的和为 ﹣ 4 ．
8x+17＜a
【分析】分别解方程和不等式，根据题意确定a的取值范围，列出所有符合条件的a的值，求它们的和
即可．
a−x 8 1−a
【解答】解：方程 +3= 的解为x= ，
x−3 3−x 2
1−a
{ ＞0)
2
根据题意，得 ，解得a＜1，a为奇数且a≠﹣5．
1−a
≠3
2
{2(x+2)≤9+3x) a−17
∵不等式 的解集为﹣5≤x＜ ，且只有3个整数解，
8x+17＜a 8
a−17
∴﹣3＜ ≤−2，解得﹣7＜a≤1．
8
综上：﹣7＜a＜1，a为奇数且a≠﹣5，
∴a＝﹣3，﹣1．
∵﹣3﹣1＝﹣4，
∴符合条件的所有整数a的和为﹣4
故答案为：﹣4．{x−8＜4x+4
)
4．（2024秋•重庆期中）若关于x的一元一次不等式组 m 有且只有3个整数解，且关于y的
x＜
6
2y−m y−4
分式方程 − =1的解为整数，则符合条件的所有整数m的和为 ﹣ 8 ．
y−1 1−y
【分析】根据一元一次不等式的整数解的个数确定m的取值范围，再根据分式方程的解是整数以及增根
的定义，进一步确定m的值即可．
{x−8＜4x+4
)
【解答】解：∵不等式x﹣8＜4x+4的解集为x＞﹣4，而关于x的一元一次不等式组 m 有
x＜
6
且只有3个整数解，
m
∴﹣1＜ ≤0，
6
即﹣6＜m≤0，
2y−m y−4
将关于y的分式方程 − =1的两边都乘以y﹣1，得
y−1 1−y
2y﹣m+y﹣4＝y﹣1，
m+3
解得y= ，
2
2y−m y−4 m+3
∵关于y的分式方程 − =1的解为整数，即y= 是整数，
y−1 1−y 2
∴m为奇数，
又∵分式方程的增根是y＝1，
m+3
当y＝1时，即 =1，
2
解得m＝﹣1，
∴m≠﹣1，
∵﹣6＜m≤0，
∴m可以为﹣5，﹣3，
∴符合条件的所有整数m的和为﹣5﹣3＝﹣8．
故答案为：﹣8．
{ x−1≤2 )
5．（2024秋•沙坪坝区校级期中）若实数a使关于x的不等式组 有且仅有三个整数
5x−2a＞6(1−x)a 2y−1
解，且使关于y的分式方程3− = 的解为正数，则所有满足条件的整数 a的值之和 ﹣ 6
1−y y−1
．
【分析】解不等式组，根据原不等式组有且仅有三个整数解求出a的取值范围；解分式方程，根据原分
式方程的解为正数求出a的取值范围，从而求出整数a的可能值并求和即可．
2a+6
【解答】解：解不等式组，得 ＜x≤3，
11
∵原不等式组有且仅有三个整数解，
2a+6
∴0≤ ＜1，
11
5
∴﹣3≤a＜ ；
2
解分式方程，得y＝2﹣a，
∵原分式方程的解为正数，
∴2﹣a＞0，
∴a＜2，
∵y＝1是原分式方程的增根，
∴y≠1，即2﹣a≠1，
∴a≠1．
综上，﹣3≤a＜2且a≠1，
∵a为整数，
∴a＝﹣3，﹣2，﹣1，0，
（﹣3）+（﹣2）+（﹣1）+0＝﹣6，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣6．
故答案为：﹣6．
{ x−5 +1≤ x+1 )
6．（2024秋•渝北区期中）若数a使关于x的不等式组 2 3 至少有5个整数解，关于y的
5x−2a＞2x+a
a−3 2
分式方程 − =2有非负整数解，则满足条件的所有整数a之和是 7 ．
y−1 1−y
【分析】解不等式，根据整数解的个数判断a的取值范围，解分式方程，用含a的式子表示y，检验增
根的情况，再根据解的非负性，确定a的范围，然后根据方程的整数解，确定符合条件的整数 a，相加
即可．{ x−5 +1≤ x+1 ① )
【解答】解： 2 3 ，
5x−2a＞2x+a②
解不等式①，得：x≤11，
解不等式②，得：x＞a，
∵不等式组至少有五个整数解，
∴a＜7，
a−3 2
− =2，
y−1 1−y
a−3 2
+ =2
y−1 y−1
a﹣3+2＝2（y﹣1），
a﹣1＝2y﹣2，
a+1
y= ，
2
∵y﹣1≠0，
∴y≠1，
a+1
∴ ≠1，
2
∴a≠1，
∵y≥0，
a+1
∴ ≥0，
2
∴a≥﹣1，
∴﹣1≤a＜7且a≠1，a为整数，
a+1
∵ 为整数，
2
∴a可以取﹣1，3，5，
∴所有整数a之和为：﹣1+3+5＝7，
故答案为：7．
{7x+10＜5(x+4)
)
7．（2024秋•沙坪坝区校级期中）若关于 x的一元一次不等式组 x+a 至少有2个整数
x≥
33 a
解，且关于y的分式方程3− = 的解为正整数，则所有满足条件的整数 a的绝对值之和为
3−y y−3
9 ．
【分析】解不等式组，根据不等式组至少有2个整数解求出a的取值范围；解分式方程，根据分式方程
的解为正整数及增根求出a的取值范围，从而求得a的所有可能值，将它们的绝对值相加即可．
a
【解答】解：解不等式组，得 ≤x＜5，
2
∵原不等式组至少有2个整数解，
a
∴ ≤3，
2
∴a≤6；
a
解分式方程，得y= +2，
3
∵原分式方程的解为正数，
a
∴ + 2＞0，
3
∴a＞﹣6，
∴﹣6＜a≤6，
∵原分式方程的解为整数，
∴a＝﹣3，0，3，6，
∵y＝3是原分式方程的增根，
a
∴ + 2≠3，
3
∴a≠3，
∴a＝﹣3，0，6，
|﹣3|+|0|+|6|＝9，
∴所有满足条件的整数a的绝对值之和为9．
故答案为：9．
7−x
{2x+1≥ )
2
8．（2024秋•北碚区校级期中）若实数k使关于x的不等式组 有解且至多有三个整数解，
k−2
x−1＜
210 ky−6
且使关于y的分式方程 + =2有整数解，则满足条件的所有整数k的和为 3 ．
y−2 2−y
k
【分析】先根据解一元一次不等式组的方法求出不等式组的解集为1≤x＜ ，再根据不等式组
2
7−x
{2x+1≥ )
2 k
有解且至多有三个整数解，可得出1＜ ≤4，即2＜k≤8，由此得出k的值．再根据解
k−2 2
x−1＜
2
20 10 ky−6
分式方程的方法求出 y= ，由关于y的分式方程 + =2有整数解，且y≠2，由此得出
2+k y−2 2−y
20
k≠8，把k＝3或4或5或6或7代入y= 判断，进而得出答案．
2+k
7−x
{2x+1≥ ①)
2
【解答】解： ，
k−2
x−1＜ ②
2
解不等式①，得x≥1，
k
解不等式②，得x＜ ，
2
k
∴不等式组解集为1≤x＜ ，
2
7−x
{2x+1≥ )
2
∵不等式组 有解且至多有三个整数解，
k−2
x−1＜
2
k
∴1＜ ≤4，即2＜k≤8，
2
∴k＝3或4或5或6或7或8．
10 ky−6
由分式方程 + =2，
y−2 2−y
去分母，得10﹣ky+6＝2（y﹣2），
去括号，得10﹣ky+6＝2y﹣4移项，得2y+ky＝10+6+4，
合并同类项，得（2+k）y＝20，
20
∴y= ，
2+k
10 ky−6
∵关于y的分式方程 + =2有整数解，且y≠2，
y−2 2−y
∴k≠8，
∴k＝3或4或5或6或7，
20 20
当k＝3时，y= = =4，符合题意；
2+3 5
20 20 10
当k＝4时，y= = = ，不符合题意；
2+4 6 3
20 20
当k＝5时，y= = ，不符合题意；
2+5 7
20 20 5
当k＝6时，y= = = ，不符合题意，
2+6 8 2
20 20
当k＝7时，y= = ，不符合题意，
2+7 9
∴满足条件的整数k只有3．
故答案为：3．
10x−4
{ ≤x+2)
7
9．（2024 秋•大足区期中）如果关于 x 的不等式组 无解，且关于 y 的分式方程
3a+9
x＞
2
3 y a−9
− =1的解为非负整数，则符合条件的所有整数a的和为 1 3 ．
y−2 2−y
【分析】解不等式组，根据其无解，求出a的取值范围；解分式方程，根据其解为非负整数，求出a的
取值范围，从而确定a的可能值并求出它们的和即可．
3a+9
【解答】解：解不等式组，得 ＜x≤6，
2
3a+9
若原不等式组无解，则 ≥6，
2
解得a≥1；7−a
解分式方程，得y= ，
2
∵y为非负数，
7−a
∴ ≥0，
2
∴a≤7，
又∵y﹣2≠0，即
7−a
∴y≠2，即 ≠2，
2
∴a≠3，
∴1≤a≤7且a≠3，
∵y为整数，
∴a＝1，5，7，
1+5+7＝13，
∴符合条件的所有整数a的和为13．
故答案为：13．
{x+1
≥
x−1
+1)
10．（2024•沙坪坝区校级一模）若关于x的一元一次不等式组 2 6 有解且至多有3个整数
3x−a≤x+1
y+4 a+2y
解，且关于y的分式方程 + =−3有整数解，则所有满足条件的整数a的值之和为 6 ．
y−1 1−y
【分析】根据关于x的一元一次不等式组的解的情况求出a的取值范围，根据关于y的方程的解的情况
求出a的取值情况，然后求出满足条件的a的值，即可得出答案．
{ x≥1 )
【解答】解：解不等式组，得 a+1 ，
x≤
2
∵不等式组有解且最多有3个整数解，
a+1
∴1≤ ＜4，
2
解得：1≤a＜7，
∴整数a为：1，2，3，4，5，6，
y+4 a+2y a−1
解分式方程 + =−3，得y= ，
y−1 1−y 2
∵分式方程有整数解，a−1 a−1
∴ 是整数，且 ≠1，
2 2
∴整数a为：1，5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是1+5＝6．
故答案为：6．
