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2022年天津市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
2．（3分）（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
3．（3分）（2022•天津）将290000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.29×106 B．2.9×105 C．29×104 D．290×103
4．（3分）（2022•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作
是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．（3分）（2022•天津）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（
）
A． B． C． D．
6．（3分）（2022•天津）估计 的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
7．（3分）（2022•天津）计算 + 的结果是（ ）
第1页（共28页）A．1 B． C．a+2 D．
8．（3分）（2022•天津）若点A（x ，2），B（x ，﹣1），C（x ，4）都在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
则x ，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 1 3
9．（3分）（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x ＝1，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
C．x ＝1，x ＝﹣3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
10．（3分）（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且
AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）
A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）
11．（3分）（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕
点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（
）
A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
12．（3分）（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有
下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
第2页（共28页）其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2022•天津）计算m•m7的结果等于 ．
14．（3分）（2022•天津）计算（ +1）（ ﹣1）的结果等于 ．
15．（3分）（2022•天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色
外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
16．（3分）（2022•天津）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的
值可以是 （写出一个即可）．
17．（3分）（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F
为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
18．（3分）（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及
∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段EF的长等于 ；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证
明） ．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
第3页（共28页）19．（8分）（2022•天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ．
20．（8分）（2022•天津）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分
学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 ，图①中m的值为 ；
（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
21．（10分）（2022•天津）已知AB为 O的直径，AB＝6，C为 O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为 的中点，⊙求∠CAB的大小和AC的⊙长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为 O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作 O的切线，
与AC的延长线相交于点F，求⊙FD的长． ⊙
第4页（共28页）22．（10分）（2022•天津）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直
线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的
高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
23．（10分）（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情
境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生
公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀
速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图
象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对
应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/km 0.5 1.6
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 km；
第5页（共28页）②小琪从超市返回学生公寓的速度为 km/min；
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 min．
（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．
24．（10分）（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A
（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的
直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第
一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试
用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3 ，则t的值可以是 （请直接写出两个不同
的值即可）．
25．（10分）（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴
相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得
第6页（共28页）最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的
负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
第7页（共28页）2022年天津市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的）
1．（3分）（2022•天津）计算（﹣3）+（﹣2）的结果等于（ ）
A．﹣5 B．﹣1 C．5 D．1
【分析】原式利用同号两数相加的法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝﹣（3+2）
＝﹣5，
故选：A．
【点评】此题考查了有理数的加法，熟练掌握有理数加法法则是解本题的关键．
2．（3分）（2022•天津）tan45°的值等于（ ）
A．2 B．1 C． D．
【分析】根据特殊角的三角函数值，进行计算即可解答．
【解答】解：tan45°的值等于1，
故选：B．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键．
3．（3分）（2022•天津）将290000用科学记数法表示应为（ ）
A．0.29×106 B．2.9×105 C．29×104 D．290×103
【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据
此判断即可．
【解答】解：290000＝2.9×105．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，
确定a与n的值是解题的关键．
4．（3分）（2022•天津）在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作
是轴对称图形的是（ ）
第8页（共28页）A． B． C． D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫
做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可．
【解答】解：选项A、C、B不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的
部分能够互相重合，所以不是轴对称图形，
选项D能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，
所以是轴对称图形，
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折
叠后可重合．
5．（3分）（2022•天津）如图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（
）
A． B． C． D．
【分析】根据主视图是从物体的正面看得到的视图解答即可．
【解答】解：从正面看底层是两个正方形，左边是三个正方形，
则立体图形的主视图是A中的图形，
故选：A．
【点评】本题考查的是几何体的三视图，掌握主视图是从物体的正面看得到的视图是解题
的关键．
6．（3分）（2022•天津）估计 的值在（ ）
A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间
第9页（共28页）【分析】估算确定出所求数的范围即可．
【解答】解：∵25＜29＜36，
∴5＜ ＜6，即5和6之间，
故选：C．
【点评】此题考查了估算无理数的大小，以及算术平方根，熟练掌握估算的方法是解本题
的关键．
7．（3分）（2022•天津）计算 + 的结果是（ ）
A．1 B． C．a+2 D．
【分析】按同分母分式的加减法法则计算即可．
【解答】解：原式＝
＝
＝1．
故选：A．
【点评】本题考查了分式的加减，掌握同分母分式的加减法法则是解决本题的关键．
8．（3分）（2022•天津）若点A（x ，2），B（x ，﹣1），C（x ，4）都在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
则x ，x ，x 的大小关系是（ ）
1 2 3
A．x ＜x ＜x B．x ＜x ＜x C．x ＜x ＜x D．x ＜x ＜x
1 2 3 2 3 1 1 3 2 2 1 3
【分析】根据函数解析式算出三个点的横坐标，再比较大小．
【解答】解：点A（x ，2），B（x ，﹣1），C（x ，4）都在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
∴x ＝ ＝4，x ＝ ＝﹣8，x ＝ ＝2．
1 2 3
∴x ＜x ＜x ，
2 3 1
故选：B．
【点评】本题考查反比例函数图象点的坐标特征，根据函数解析式求出三个点的横坐标是
求解本题的关键．
9．（3分）（2022•天津）方程x2+4x+3＝0的两个根为（ ）
A．x ＝1，x ＝3 B．x ＝﹣1，x ＝3
1 2 1 2
第10页（共28页）C．x ＝1，x ＝﹣3 D．x ＝﹣1，x ＝﹣3
1 2 1 2
【分析】根据解一元二次方程﹣因式分解法，进行计算即可解答．
【解答】解：x2+4x+3＝0，
（x+3）（x+1）＝0，
x+3＝0或x+1＝0，
x ＝﹣3，x ＝﹣1，
1 2
故选：D．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟练掌握解一元二次方程﹣因式分解
法是解题的关键．
10．（3分）（2022•天津）如图，△OAB的顶点O（0，0），顶点A，B分别在第一、四象限，且
AB⊥x轴，若AB＝6，OA＝OB＝5，则点A的坐标是（ ）
A．（5，4） B．（3，4） C．（5，3） D．（4，3）
【分析】根据等腰三角形的性质求出AC，根据勾股定理求出OC，根据坐标与图形性质写
出点A的坐标．
【解答】解：设AB与x轴交于点C，
∵OA＝OB，OC⊥AB，AB＝6，
∴AC＝ AB＝3，
由勾股定理得：OC＝ ＝ ＝4，
∴点A的坐标为（4，3），
故选：D．
第11页（共28页）【点评】本题考查的是等腰三角形的性质、坐标与图形性质，掌握等腰三角形的三线合一
是解题的关键．
11．（3分）（2022•天津）如图，在△ABC中，AB＝AC，若M是BC边上任意一点，将△ABM绕
点A逆时针旋转得到△ACN，点M的对应点为点N，连接MN，则下列结论一定正确的是（
）
A．AB＝AN B．AB∥NC C．∠AMN＝∠ACN D．MN⊥AC
【分析】根据旋转变换的性质、等边三角形的性质、平行线的性质判断即可．
【解答】解：A、∵AB＝AC，
∴AB＞AM，
由旋转的性质可知，AN＝AM，
∴AB＞AN，故本选项结论错误，不符合题意；
B、当△ABC为等边三角形时，AB∥NC，除此之外，AB与NC不平行，故本选项结论错误，
不符合题意；
C、由旋转的性质可知，∠BAC＝∠MAN，∠ABC＝∠ACN，
∵AM＝AN，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠AMN，
∴∠AMN＝∠ACN，本选项结论正确，符合题意；
D、只有当点M为BC的中点时，∠BAM＝∠CAM＝∠CAN，才有MN⊥AC，故本选项结论
错误，不符合题意；
故选：C．
第12页（共28页）【点评】本题考查的是旋转变换、等腰三角形的性质、平行线的判定，掌握旋转变换的性质
是解题的关键．
12．（3分）（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，0＜a＜c）经过点（1，0），有
下列结论：
①2a+b＜0；
②当x＞1时，y随x的增大而增大；
③关于x的方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根．
其中，正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0）、结合题意判断①；根据抛物线的对称性判
断②；根据一元二次方程根的判别式判断③．
【解答】解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点（1，0），
∴a+b+c＝0，
∵a＜c，
∴a+b+a＜0，即2a+b＜0，本小题结论正确；
②∵a+b+c＝0，0＜a＜c，
∴b＜0，
∴对称轴x＝﹣ ＞1，
∴当1＜x＜﹣ 时，y随x的增大而减小，本小题结论错误；
③∵a+b+c＝0，
∴b+c＝﹣a，
对于方程ax2+bx+（b+c）＝0，Δ＝b2﹣4×a×（b+c）＝b2+4a2＞0，
∴方程ax2+bx+（b+c）＝0有两个不相等的实数根，本小题结论正确；
故选：C．
【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系、一元二次方程根的判别式、抛物线与x
轴的交点，熟记二次函数的对称轴、增减性以及一元二次方程根的判别式是解题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
13．（3分）（2022•天津）计算m•m7的结果等于 m 8 ．
【分析】直接利用同底数幂的乘法运算法则计算得出答案．
第13页（共28页）【解答】解：m•m7＝m8．
故答案为：m8．
【点评】此题主要考查了同底数幂的乘法，正确掌握相关运算法则是解题关键．
14．（3分）（2022•天津）计算（ +1）（ ﹣1）的结果等于 1 8 ．
【分析】根据平方差公式即可求出答案．
【解答】解：原式＝（ ）2﹣12
＝19﹣1
＝18，
故答案为：18．
【点评】本题考查平方差公式与二次根式的混合运算，解题的关键是熟练运用平方差公式，
本题属于基础题型．
15．（3分）（2022•天津）不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，这些球除颜色
外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ．
【分析】用绿球的个数除以球的总数即可．
【解答】解：∵不透明袋子中装有9个球，其中有7个绿球、2个白球，
∴从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率是 ，
故答案为： ．
【点评】此题主要考查了概率公式，关键是掌握概率的求法：如果一个事件有n种可能，而
且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝ ．
16．（3分）（2022•天津）若一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，则b的
值可以是 1 （写出一个即可）．
【分析】根据一次函数的图象可知b＞0即可．
【解答】解：∵一次函数y＝x+b（b是常数）的图象经过第一、二、三象限，
∴b＞0，
可取b＝1，
故答案为：1．
【点评】本题考查了一次函数图象与系数的关系，熟练掌握一次函数的图象是解题的关键．
第14页（共28页）17．（3分）（2022•天津）如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB＝60°，E为AB的中点，F
为CE的中点，AF与DE相交于点G，则GF的长等于 ．
【分析】如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于M，
连接FB，先证明FH是△CDE的中位线，得FH＝1，再证明△AEG≌△FHG（AAS），得AG
＝FG，在Rt△CBM中计算BM和CM的长，再证明BF是中位线，可得BF和AN的长，由
勾股定理可得AF的长，从而得结论．
【解答】解：如图，过点F作FH∥CD，交DE于H，过点C作CM⊥AB，交AB的延长线于
M，连接FB，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝CD＝BC＝2，AB∥CD，
∴FH∥AB，
∴∠FHG＝∠AEG，
∵F是CE的中点，FH∥CD，
∴H是DE的中点，
∴FH是△CDE的中位线，
∴FH＝ CD＝1，
∵E是AB的中点，
∴AE＝BE＝1，
∴AE＝FH，
∵∠AGE＝∠FGH，
∴△AEG≌△FHG（AAS），
第15页（共28页）∴AG＝FG，
∵AD∥BC，
∴∠CBM＝∠DAB＝60°，
Rt△CBM中，∠BCM＝30°，
∴BM＝ BC＝1，CM＝ ＝ ，
∴BE＝BM，
∵F是CE的中点，
∴FB是△CEM的中位线，
∴BF＝ CM＝ ，FB∥CM，
∴∠EBF＝∠M＝90°，
Rt△AFB中，由勾股定理得：AF＝ ＝ ＝ ，
∴GF＝ AF＝ ．
故答案为： ．
【点评】此题考查的是正方形的性质，三角形中位线定理，全等三角形的判定与性质，掌握
其性质定理是解决此题的关键．
18．（3分）（2022•天津）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，圆上的点A，B，C及
∠DPF的一边上的点E，F均在格点上．
（Ⅰ）线段EF的长等于 ；
（Ⅱ）若点M，N分别在射线PD，PF上，满足∠MBN＝90°且BM＝BN．请用无刻度的直尺，
在如图所示的网格中，画出点M，N，并简要说明点M，N的位置是如何找到的（不要求证
明） 连接 AC ，与网格线交于点 O ，取格点 Q ，连接 EQ 交 PD 于点 M ，连接 BM 交 O 于
点 ，连接 GO ，延长 GO 交 O 于点 H ，连接 BH ，延长 BH 交 PF 于点 N ，则点 M ， ⊙ N 即为
所⊙求 ． ⊙
第16页（共28页）【分析】（Ⅰ）利用勾股定理求解即可；
（Ⅱ）连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交 O于点
，连接GO，延长GO交 O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，⊙N即为所
⊙求（证明△BQM≌△BFN⊙，可得结论）．
【解答】解：（Ⅰ）EF＝ ＝ ．
故答案为： ；
（Ⅱ）如图，点M，N即为所求．
步骤：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交 O于
点 ，连接GO，延长GO交 O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，⊙N即为
所⊙求． ⊙
故答案为：连接AC，与网格线交于点O，取格点Q，连接EQ交PD于点M，连接BM交
O于点 ，连接GO，延长GO交 O于点H，连接BH，延长BH交PF于点N，则点M，N
⊙即为所求⊙ ⊙
【点评】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和
性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）
第17页（共28页）19．（8分）（2022•天津）解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答．
（Ⅰ）解不等式①，得 x ≥﹣ 1 ；
（Ⅱ）解不等式②，得 x ≤ 2 ；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为 ﹣ 1 ≤ x ≤ 2 ．
【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、
大大小小找不到确定不等式组的解集．
【解答】解：（Ⅰ）解不等式①，得x≥﹣1；
（Ⅱ）解不等式②，得x≤2；
（Ⅲ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：
（Ⅳ）原不等式组的解集为﹣1≤x≤2，
故答案为：x≥﹣1，x≤2，﹣1≤x≤2．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知
“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．（8分）（2022•天津）在读书节活动中，某校为了解学生参加活动的情况，随机调查了部分
学生每人参加活动的项数．根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．
请根据相关信息，解答下列问题：
第18页（共28页）（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为 4 0 ，图①中m的值为 1 0 ；
（Ⅱ）求统计的这组项数数据的平均数、众数和中位数．
【分析】（Ⅰ）根据1项的人数和所占的百分比，求出调查的学生总人数，用4项的人数除
以总人数，即可得出m的值；
（Ⅱ）根据加权平均数的公式可以计算出平均数；根据众数的定义：一组数据中出现次数
最多的数据叫做众数，中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果
数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数，即可求出众数与中位数．
【解答】解：（Ⅰ）本次接受调查的学生人数为：13÷32.5%＝40（人），
m%＝ ×100%＝10%，即m＝10；
故答案为：40，10；
（Ⅱ）这组项数数据的平均数是： ×（1×13+2×18+3×5+4×4）＝2（项）；
∵2出现了18次，出现的次数最多，
∴众数是2项；
把这些数从小到大排列，中位数是第25、26个数的平均数，
则中位数是 ＝2（项）．
【点评】本题考查的是条形统计图，平均数，众数，中位数，以及样本估计总体．读懂统计图，
从统计图中得到必要的信息，掌握众数、中位数的定义是解决问题的关键，条形统计图能
清楚地表示出每个项目的数据．
21．（10分）（2022•天津）已知AB为 O的直径，AB＝6，C为 O上一点，连接CA，CB．
（Ⅰ）如图①，若C为 的中点，⊙求∠CAB的大小和AC的⊙长；
（Ⅱ）如图②，若AC＝2，OD为 O的半径，且OD⊥CB，垂足为E，过点D作 O的切线，
与AC的延长线相交于点F，求⊙FD的长． ⊙
第19页（共28页）【分析】（Ⅰ）根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，∠CAB＝∠CBA，进而求出∠CAB，根据
余弦的定义求出AC；
（Ⅱ）根据切线的性质得到OD⊥DF，证明四边形FCED为矩形，根据矩形的性质得到FD
＝EC，根据勾股定理求出BC，根据垂径定理解答即可．
【解答】解：（Ⅰ）∵AB为 O的直径，
∴∠ACB＝90°， ⊙
∵C为 的中点，
∴ ＝ ，
∴∠CAB＝∠CBA＝45°，
∴AC＝AB•cos∠CAB＝3 ；
（Ⅱ）∵DF是 O的切线，
∴OD⊥DF， ⊙
∵OD⊥BC，∠FCB＝90°，
∴四边形FCED为矩形，
∴FD＝EC，
在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，AB＝6，
则BC＝ ＝4 ，
∵OD⊥BC，
∴EC＝ BC＝2 ，
∴FD＝2 ．
【点评】本题考查的切线的性质、垂径定理、矩形的判定和性质，掌握圆的切线垂直于过切
点的半径是解题的关键．
22．（10分）（2022•天津）如图，某座山AB的顶部有一座通讯塔BC，且点A，B，C在同一条直
第20页（共28页）线上．从地面P处测得塔顶C的仰角为42°，测得塔底B的仰角为35°．已知通讯塔BC的
高度为32m，求这座山AB的高度（结果取整数）．
参考数据：tan35°≈0.70，tan42°≈0.90．
【分析】设AP＝x米，在Rt△APB中，利用锐角三角函数的定义求出AB的长，从而求出AC
的长，然后在Rt△APC中，利用锐角三角函数的定义列出关于x的方程，进行计算即可解
答．
【解答】解：设AP＝x米，
在Rt△APB中，∠APB＝35°，
∴AB＝AP•tan35°≈0.7x（米），
∵BC＝32米，
∴AB＝AB+BC＝（32+0.7x）米，
在Rt△APC中，∠APC＝42°，
∴tan42°＝ ＝ ≈0.9，
∴x＝160，
经检验：x＝160是原方程的根，
∴AB＝0.7x＝112（米），
∴这座山AB的高度约为112米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义
是解题的关键．
23．（10分）（2022•天津）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情
境．
已知学生公寓、阅览室、超市依次在同一条直线上，阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生
公寓2km．小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到阅览室；在阅览室停留70min后，匀
第21页（共28页）速步行了10min到超市；在超市停留20min后，匀速骑行了8min返回学生公寓．给出的图
象反映了这个过程中小琪离学生公寓的距离ykm与离开学生公寓的时间xmin之间的对
应关系．
请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
离开学生公寓的时间/min 5 8 50 87 112
离学生公寓的距离/km 0.5 0. 8 1. 2 1.6 2
（Ⅱ）填空：
①阅览室到超市的距离为 0. 8 km；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 0.2 5 km/min；
③当小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为 1 0 或 11 6 min．
（Ⅲ）当0≤x≤92时，请直接写出y关于x的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）观察函数图象即可得答案；
（Ⅱ）①根据阅览室离学生公寓1.2km，超市离学生公寓2km可得答案；
②用路程除以时间可得速度；
③分两种情况，分别可得小琪离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间；
（Ⅲ）分段求出函数关系式即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意得：小琪从学生公寓出发，匀速步行了12min到达离学生公寓
1.2km的阅览室，
∴离开学生公寓的时间为8min，离学生公寓的距离是 ×8＝0.8（km），
由图象可知：离开学生公寓的时间为50min，离学生公寓的距离是1.2km，
离开学生公寓的时间为112min，离学生公寓的距离是2km，
故答案为：0.8，1.2，2；
（Ⅱ）①阅览室到超市的距离为2﹣1.2＝0.8（km），
第22页（共28页）故答案为：0.8；
②小琪从超市返回学生公寓的速度为 ＝0.25（km/min），
故答案为：0.25；
③当小琪从学生公寓出发，离学生公寓的距离为 1km时，他离开学生公寓的时间为
＝10（min）；
当小琪从超市出发，离学生公寓的距离为1km时，他离开学生公寓的时间为112+ ＝
116（min），
故答案为：10或116；
（Ⅲ）当0≤x≤12时，y＝0.1x；
当12＜x≤82时，y＝1.2；
当82＜x≤92时，y＝1.2+ （x﹣82）＝0.08x﹣5.36，
∴y＝ ．
【点评】本题考查一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，能正确识图．
24．（10分）（2022•天津）将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O（0，0），点A
（3，0），点C（0，6），点P在边OC上（点P不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的
直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第
一象限．设OQ＝t．
（Ⅰ）如图①，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；
（Ⅱ）如图②，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试
用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；
（Ⅲ）若折叠后重合部分的面积为3 ，则t的值可以是 3 或 （请直接写出两个不
同的值即可）．
第23页（共28页）【分析】（Ⅰ）过点O′作O′H⊥OA于点H．解直角三角形求出QH，O′H即可；
（Ⅱ）解直角三角形求出QE，可得结论；
（Ⅲ）如图③中，当点Q与A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．判断
出当3≤t＜2 时，重叠部分的面积是定值3 ，可得结论．
【解答】解：（Ⅰ）如图①中，过点O′作O′H⊥OA于点H．
在Rt△POQ中，∠OPQ＝30°，
∴∠PQO＝60°，
由翻折的性质可知QO＝QO′＝1，∠PQO＝∠PQO′＝60°，
∴∠O′QH＝180°﹣60°﹣60°＝60°，
∴QH＝QO′•cos60°＝ ，O′H＝ QH＝ ，
∴OH＝OQ+QH＝ ，
∴O′（ ， ）；
（Ⅱ）如图②中，
第24页（共28页）∵A（3，0），
∴OA＝3，
∵OQ＝t，
∴AQ＝3﹣t．
∵∠EQA＝60°，
∴QE＝2QA＝6﹣2t，
∵OQ′＝OQ＝t，
∴EO′＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6（2＜t＜3）；
（Ⅲ）如图③中，当点Q与A重合时，重叠部分是△APF，过点P作PG⊥AB于点G．
在Rt△PGF中，PG＝OA＝3，∠PFG＝60°，
∴PF＝ ＝2 ，
∵∠OPA＝∠APF＝∠PAF＝30°，
∴FP＝FA＝2 ，
第25页（共28页）∴S△APF ＝ •AF•PG＝ × ×3＝3 ，
观察图象可知当3≤t＜2 时，重叠部分的面积是定值3 ，
∴满足条件的t的值可以为3或 （答案不唯一）．
故答案为：3或 ．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，翻折变换，解直角三角形等知识，解
题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
25．（10分）（2022•天津）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a＞0）的顶点为P，与x轴
相交于点A（﹣1，0）和点B．
（Ⅰ）若b＝﹣2，c＝﹣3，
①求点P的坐标；
②直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，当MG取得
最大值时，求点M，G的坐标；
（Ⅱ）若3b＝2c，直线x＝2与抛物线相交于点N，E是x轴的正半轴上的动点，F是y轴的
负半轴上的动点，当PF+FE+EN的最小值为5时，求点E，F的坐标．
【分析】（Ⅰ）①利用待定系数法求出抛物线的解析式，即可得顶点P的坐标；
②求出直线BP的解析式，设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），表示出MG的长，
可得关于m的二次函数，根据二次函数的最值即可求解；
（Ⅱ）由3b＝2c得b＝﹣2a，c＝﹣3a，抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．可得顶点P的
坐标为（1，﹣4a），点N的坐标为（2，﹣3a），作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴
的对称点N'，得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），当满足条件的点E，F
落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝P'N'＝5延长P'P与直线x
＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．由勾股定
理可得P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．解得a ＝ ，a ＝﹣ （舍）．可得点P'的坐标为
1 2
（﹣1，﹣ ），点N′的坐标为（2， ）．利用待定系数法得直线P'N′的解析式为y＝ x
﹣ ．即可得点E，F的坐标．
第26页（共28页）【解答】解：（Ⅰ）①若b＝﹣2，c＝﹣3，
则抛物线y＝ax2+bx+c＝ax2﹣2x﹣3，
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a+2﹣3＝0，解得a＝1，
∴抛物线为y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4）；
②当y＝0时，x2﹣2x﹣3＝0，
解得x ＝﹣1，x ＝3，
1 2
∴B（3，0），
设直线BP的解析式为y＝kx+n，
∴ ，解得 ，
∴直线BP的解析式为y＝2x﹣6，
∵直线x＝m（m是常数，1＜m＜3）与抛物线相交于点M，与BP相交于点G，
设点M（m，m2﹣2m﹣3），则G（m，2m﹣6），
∴MG＝2m﹣6﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+4m﹣3＝﹣（m﹣2）2+1，
∴当m＝2时，MG取得最大值1，
此时，点M（2，﹣3），则G（2，﹣2）；
（Ⅱ）∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣1，0），
∴a﹣b+c＝0，
又3b＝2c，
b＝﹣2a，c＝﹣3a（a＞0），
∴抛物线的解析式为y＝ax2﹣2a﹣3a．
∴y＝ax2﹣2a﹣3a＝a（x﹣1）2﹣4a，
∴顶点P的坐标为（1，﹣4a），
∵直线x＝2与抛物线相交于点N，
∴点N的坐标为（2，﹣3a），
作点P关于y轴的对称点P'，作点N关于x轴的对称点N'，
第27页（共28页）得点P′的坐标为（﹣1，﹣4a），点N'的坐标为（2，3a），
当满足条件的点E，F落在直线P'N'上时，PF+FE+EN取得最小值，此时，PF+FE+EN＝
P'N'＝5．
延长P'P与直线x＝2相交于点H，则P'H⊥N'H．
在Rt△P'HN'中，P'H＝3，HN'＝3a﹣（﹣4a）＝7a．
∴P'N′2＝P'H2+HN2＝9+49a2＝25．
解得a ＝ ，a ＝﹣ （舍）．
1 2
∴点P'的坐标为（﹣1，﹣ ），点N′的坐标为（2， ）．
∴直线P'N′的解析式为y＝ x﹣ ．
∴点E（ ，0），点F（0，﹣ ）．
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，两点间的距离公式，轴对称求最
小值问题，勾股定理等，利用待定系数法求出直线解析式是解本题的关键．
第28页（共28页）
