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专题 38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】..............................................................................................................3
【题型2 求角的三角函数值】..................................................................................................................................4
【题型3 由三角函数值求边长】..............................................................................................................................5
【题型4 求特殊角的三角函数值】..........................................................................................................................6
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】.....................................................................................................7
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】.....................................................................................................7
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】.............................................................................................8
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】..............................................................................................................8
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】.................................................................................................9
【题型10 利用同角三角函数关系求解】................................................................................................................10
【题型11 互余两角三角函数关系】........................................................................................................................10
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】...........................................................................................................11
【题型14 在坐标系中解直角三角形】....................................................................................................................14
【题型15 解直角三角形的相关计算】....................................................................................................................16
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】...................................................................................17
【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】...........................................................................................18
【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】...................................................................................................20
【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】...............................................................................................22
【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】...............................................................................................23
【知识点 锐角三角函数】
知识点1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
B
c
a
A C
b
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦 ，余弦 ，正切 ，余切 ．
②特殊角的三角函数值：
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三角函数
无
无
③同角三角函数关系： ， ， ．
④互余角三角函数关系：若 ，则 ， ．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若 ，则 ， ， ．
知识点2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系： ．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系： ， ， ．
3．解直角三角形的四种基本类型
已知条件 解法类型
斜边c和锐角 ， ，
一条边和
一个锐角 直角边a和锐角
， ，
两条直角边a和b
， ，
两条边
斜边c和直角边a
， ，
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
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（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为 ，
坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则 ．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向
旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．
视线 北
铅 仰角 水平线 h i=h:l
垂
俯角
线
视线
l
图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距
离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分
割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近
似值，注明单位．
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是
（ ）
A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
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C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA
的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变
【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度
是（单位：米）（ ）
5
A．5cos31° B．5sin31° C． D．5tan31°
sin31°
【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，
箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
1 2 1 1
A． + B． +
cosα sinα cosα 2sinα
C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα
【题型2 求角的三角函数值】
【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，
且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，
则tan∠AMN的值为 ．
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【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果
AB=5，BD=2，那么cosC= ．
【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB
上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．
1
【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD= ，以E
3
为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF= ，tan∠GEC=
．
【题型3 由三角函数值求边长】
【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，
1
∠C=90°且tanA= ，BC=8，CF∥AB，则DF= ．
2
【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，
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D、C、E三点共线．
(1)求证：BE∥AD．
1
(2)若AD=6,cosE= ，求CE的长．
3
【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，
3
sin∠DCB= ，则AC= ．
5
【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点
D，AE平分∠BAC并交BD于点E．
(1)求证：∠BAC=2∠D；
3 BE
(2)若BC=AC，且cos∠BAC= ，求 ，
5 DE
BF BE 1 AB
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F, =3，其中 = ，连接AD、EC，求 ．
DF DE 2 BC
【题型4 求特殊角的三角函数值】
【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2cosA的
结果为（ ）
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A．1 B．√2 C．√3 D．2
【变式4-1】（2023·广东河源·二模） ．
(tan60°) 2+(cos45°) −1=
k
【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y= 的图象过点(−2，sin30°)，则k的值为 ．
x
√3 α
【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα= ，则cos = ．
2 2
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动
点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=√3，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）
A．15° B．30∘ C．15°或105° D．30°或105°
√2
【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，cosB= ，直线EF分别交AB，BC
2
于点E，F．则∠AEF+∠EFC的值等于（ ）
A．135° B．225° C．265° D．280°
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形
顶角的度数为 °．
【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=2√3cm，则
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∠A= ．
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
1 √2
(1) sin30°+ cos45°+sin30°tan60°；
2 2
sin60°⋅tan45° tan45°
(2) sin45°⋅cos45°+ +3tan230°+ ．
tan45°⋅tan60° cos30°
x ( 1 )
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值： ÷ 1− ，其中
x2−1 x+1
x=√2sin45°+2tan45°
【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：(−1) 2019+ ( − 1) −2 −|2−√12|+4sin60°．
2
sin30°⋅cos30°
【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算： −√2sin45°．
tan30°⋅tan45°
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
√3
【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sin A= ，tanB=√3，则△ABC是
2
（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
√2
【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，
2
你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若 ，则 ABC的形状是（ ）
(√3tan A−3)
2+|2cosB−√3|=0
△
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且
1 2 √3
(sinA− ) +|cosB− |=0，则△ABC的形状是( )
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
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【题型8 已知角度比较三角函数值大小】
【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA的差（ ）．
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【变式8-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简 等于（ ）
√(sin28°−cos28°) 2
A．sin28°−cos28° B．0
C．cos28°−sin28° D．以上都不对
【变式8-2】（2023·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L =L⋅cosα，阻力臂
1
L =l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化
2
情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【变式8-3】（2023·安徽·模拟预测）三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．sin70°>cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70°
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例9】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜
边的比值称为这个锐角的正弦值．
BC
例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即 就是∠A的正弦值．利用量角器
AB
可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：
如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为
直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～
0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（ ）
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A．30° B．50° C．40° D．70°
√3
【变式9-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）若∠A是锐角，cos∠A> ，则∠A应满足 ．
2
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
1
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·一模）已知
