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专题 38 锐角三角函数及其应用【二十个题型】
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】..............................................................................................................3
【题型2 求角的三角函数值】..................................................................................................................................4
【题型3 由三角函数值求边长】..............................................................................................................................5
【题型4 求特殊角的三角函数值】..........................................................................................................................6
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】.....................................................................................................7
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】.....................................................................................................7
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】.............................................................................................8
【题型8 已知角度比较三角函数值大小】..............................................................................................................8
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】.................................................................................................9
【题型10 利用同角三角函数关系求解】................................................................................................................10
【题型11 互余两角三角函数关系】........................................................................................................................10
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】...........................................................................................................11
【题型14 在坐标系中解直角三角形】....................................................................................................................14
【题型15 解直角三角形的相关计算】....................................................................................................................16
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】...................................................................................17
【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】...........................................................................................18
【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】...................................................................................................20
【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】...............................................................................................22
【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】...............................................................................................23
【知识点 锐角三角函数】
知识点1：锐角三角函数的概念
1．锐角三角函数：
B
c
a
A C
b
①定义：都是在直角三角形中定义的，正弦 ，余弦 ，正切 ，余切 ．
②特殊角的三角函数值：
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三角函数
无
无
③同角三角函数关系： ， ， ．
④互余角三角函数关系：若 ，则 ， ．
2．钝角三角函数：
互补角三角函数：若 ，则 ， ， ．
知识点2：解直角三角形
1．解直角三角形
在直角三角形中，除直角外，一共有5个元素，即3条边和2个锐角，由直角三角形中除直角外的已
知元素，求出所有未知元素的过程，叫做解直角三角形．
2．直角三角形的边角关系
（1）三边之间的关系： ．（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：
（3）边角之间的关系： ， ， ．
3．解直角三角形的四种基本类型
已知条件 解法类型
斜边c和锐角 ， ，
一条边和
一个锐角 直角边a和锐角
， ，
两条直角边a和b
， ，
两条边
斜边c和直角边a
， ，
4．解一般三角形
（1）利用三角函数值构造直角三角形，然后解直角三角形．
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（2）把角度进行转移，利用常见的倒角模型和平行线进行角度转移．
知识点3：解直角三角形的应用
1．相关概念
（1）仰角与俯角：在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫
做俯角．如图1．
（2）坡角与坡度：坡面的垂直高度h和水平宽度l的比叫做坡度（或叫做坡比），用字母表示为 ，
坡面与水平面的夹角记作 ，叫做坡角，则 ．坡度越大，坡面就越陡．如图2．
（3）方向角（或方位角）：方向角一般是指以观测者的位置为中心，将正北或正南方向作为起始方向
旋转到目标的方向线所成的角（一般指锐角），通常表达为北（南）偏东（西）××度．如图3．
视线 北
铅 仰角 水平线 h i=h:l
垂
俯角
线
视线
l
图1 图2 图3
2．解直角三角形应用题的解题步骤及应注意的问题：
（1）分析题意，根据已知条件画出它的平面或截面示意图，分清仰角、俯角、坡角、坡度、水平距
离、垂直距离等概念的意义；
（2）找出要求解的直角三角形．有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分
割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）；
（3）根据已知条件，选择合适的边角关系式解直角三角形；
（4）按照题目中已知数据的精确度进行近似计算，检验是否符合实际，并按题目要求的精确度取近
似值，注明单位．
【题型1 理解正弦、余弦、正切的概念】
【例1】（2023·安徽·模拟预测）如图，梯子（长度不变）跟地面所成的锐角为∠α，叙述正确的是
（ ）
A．sinα的值越大，梯子越陡
B．cosα的值越大，梯子越陡
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C．tanα的值越小，梯子越陡
D．陡缓程度与∠α的函数值无关
【变式1-1】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都扩大5倍，则sinA
的值（ ）
A．放大5倍 B．缩小5倍 C．不能确定 D．不变
【变式1-2】（2023·安徽合肥·一模）一个钢球沿坡角31°的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度
是（单位：米）（ ）
5
A．5cos31° B．5sin31° C． D．5tan31°
sin31°
【变式1-3】（2023·河北石家庄·校联考一模）如图，一只正方体箱子沿着斜面CG向上运动，∠C=α，
箱高AB=1米，当BC=2米时，点A离地面CE的距离是（ ）米．
1 2 1 1
A． + B． +
cosα sinα cosα 2sinα
C．cosα+2sinα D．2cosα+sinα
【题型2 求角的三角函数值】
【例2】（2023·广东东莞·校联考一模）如图，在正方形ABCD中，BC=5，点G，H分别在BC，CD上，
且BG=CH=2，AG与BH交于点O，N为AD的中点，连接ON，作OM⊥ON交AB于点M，连接MN，
则tan∠AMN的值为 ．
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【变式2-1】（2023·上海杨浦·统考一模）在Rt△ABC中，∠ABC=90∘，BD⊥AC，垂足为点D，如果
AB=5，BD=2，那么cosC= ．
【变式2-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，△ABC是⊙O内接三角形，AC是⊙O的直径，点E是弦DB
上一点，连接CE，CD．
(1)若∠DCA=∠ECB，求证：CE⊥DB；
(2)在(1)的条件下，若AB=6，DE=5，求sin∠DBC．
1
【变式2-3】（2023·浙江·一模）如图，在矩形ABCD中，AB=9，E为CD上一点tan∠EAD= ，以E
3
为圆心，EA为半径的弧交AB于F，交BC于G，若F为弧AG的中点，则AF= ，tan∠GEC=
．
【题型3 由三角函数值求边长】
【例3】（2023·广东深圳·校考模拟预测）如图，在Rt△ABC中，D是AC的中点，BD平分∠ABF，
1
∠C=90°且tanA= ，BC=8，CF∥AB，则DF= ．
2
【变式3-1】（2023·江苏南京·校考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=AC，∠ABD=∠CBE，
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D、C、E三点共线．
(1)求证：BE∥AD．
1
(2)若AD=6,cosE= ，求CE的长．
3
【变式3-2】（2023·安徽·模拟预测）在Rt△ABC中，∠C=90°，CB=8，点D是AB边上一点，BD=5，
3
sin∠DCB= ，则AC= ．
5
【变式3-3】（2023·安徽亳州·统考二模）如图1，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACP的平分线相交于点
D，AE平分∠BAC并交BD于点E．
(1)求证：∠BAC=2∠D；
3 BE
(2)若BC=AC，且cos∠BAC= ，求 ，
5 DE
BF BE 1 AB
(3)如图2，过点D作DF⊥BC，垂足为F, =3，其中 = ，连接AD、EC，求 ．
DF DE 2 BC
【题型4 求特殊角的三角函数值】
【例4】（2023·福建泉州·一模）如图，这是一块三角尺ABC，其中∠B=30°，∠C=90°，则2cosA的
结果为（ ）
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A．1 B．√2 C．√3 D．2
【变式4-1】（2023·广东河源·二模） ．
(tan60°) 2+(cos45°) −1=
k
【变式4-2】（2023·湖北十堰·二模）若反比例函数y= 的图象过点(−2，sin30°)，则k的值为 ．
x
√3 α
【变式4-3】（2023·安徽宿州·模拟预测）若锐角α满足sinα= ，则cos = ．
2 2
【题型5 由特殊角的三角函数值求角的度数】
【例5】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考模拟预测）如图，点P为矩形ABCD的外接圆上的动
点，连接PB、PD、PO，AB=1，AD=√3，当PO平分∠BPD时，∠PBA的度数为（ ）
A．15° B．30∘ C．15°或105° D．30°或105°
√2
【变式5-1】（2023·山东济宁·统考二模）如图，四边形ABCD中，cosB= ，直线EF分别交AB，BC
2
于点E，F．则∠AEF+∠EFC的值等于（ ）
A．135° B．225° C．265° D．280°
【变式5-2】（2023·黑龙江哈尔滨·统考三模）等腰三角形一边上的高等于底边的一半，则这个等腰三角形
顶角的度数为 °．
【变式5-3】（2023·黑龙江·统考三模）已知△ABC是半径为2cm的圆的内接三角形，BC=2√3cm，则
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∠A= ．
【题型6 含特殊角的三角函数值的混合运算】
【例6】（2023·上海嘉定·模拟预测）计算：
1 √2
(1) sin30°+ cos45°+sin30°tan60°；
2 2
sin60°⋅tan45° tan45°
(2) sin45°⋅cos45°+ +3tan230°+ ．
tan45°⋅tan60° cos30°
x ( 1 )
【变式6-1】（2023·江苏盐城·统考模拟预测）先化简，再求值： ÷ 1− ，其中
x2−1 x+1
x=√2sin45°+2tan45°
【变式6-2】（2023·北京石景山·校考一模）计算：(−1) 2019+ ( − 1) −2 −|2−√12|+4sin60°．
2
sin30°⋅cos30°
【变式6-3】（2023·山东烟台·一模）计算： −√2sin45°．
tan30°⋅tan45°
【题型7 由特殊角的三角函数值判断三角形形状】
√3
【例7】（2023·江苏·一模）在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，且sin A= ，tanB=√3，则△ABC是
2
（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．不能确定
√2
【变式7-1】（2023·湖北恩施·校考模拟预测）在△ABC中，∠A，∠B都是锐角，tanA＝1，sinB＝ ，
2
你认为△ABC最确切的判断是（ ）
A．等腰三角形 B．等腰直角三角形
C．直角三角形 D．锐角三角形
【变式7-2】（2023·安徽·模拟预测）若 ，则 ABC的形状是（ ）
(√3tan A−3)
2+|2cosB−√3|=0
△
A．含有60°直角三角形 B．等边三角形
C．含有60°的任意三角形 D．等腰直角三角形
【变式7-3】（2023·黑龙江大庆·一模）在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且
1 2 √3
(sinA− ) +|cosB− |=0，则△ABC的形状是( )
2 2
A．直角三角形 B．钝角三角形 C．锐角三角形 D．不能确定
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【题型8 已知角度比较三角函数值大小】
【例8】（2023·上海静安·校考一模）如果0°<∠A<60°，那么sinA与cosA的差（ ）．
A．大于0 B．小于0 C．等于0 D．不能确定
【变式8-1】（2023·江苏苏州·苏州中学校考一模）化简 等于（ ）
√(sin28°−cos28°) 2
A．sin28°−cos28° B．0
C．cos28°−sin28° D．以上都不对
【变式8-2】（2023·湖南娄底·中考真题）如图，撬钉子的工具是一个杠杆，动力臂L =L⋅cosα，阻力臂
1
L =l⋅cosβ，如果动力F的用力方向始终保持竖直向下，当阻力不变时，则杠杆向下运动时的动力变化
2
情况是（ ）
A．越来越小 B．不变 C．越来越大 D．无法确定
【变式8-3】（2023·安徽·模拟预测）三角函数sin70°，cos70°，tan70°的大小关系是（ ）
A．sin70°>cos70°>tan70° B．tan70°>cos70°>sin70°
C．tan70°>sin70°>cos70° D．cos70°>tan70°>sin70°
【题型9 根据三角函数值判断锐角的取值范围】
【例9】（2023·安徽合肥·合肥寿春中学校考模拟预测）在Rt△ABC中，我们规定：一个锐角的对边与斜
边的比值称为这个锐角的正弦值．
BC
例如：Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A的对边BC与斜边AB的比值，即 就是∠A的正弦值．利用量角器
AB
可以制作“锐角正弦值速查卡”．制作方法如下：
如图，设OA＝1，以O为圆心，分别以0.05，0.1，0.15，0.2，…，0.9，0.95长为半径作半圆，再以OA为
直径作⊙M．利用“锐角正弦值速查卡”可以读出相应锐角正弦的近似值．例如：60°的正弦值约在0.85～
0.88之间取值，45°的正弦值约在0.70～0.72之间取值．下列角度中正弦值最接近0.94的是（ ）
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A．30° B．50° C．40° D．70°
√3
【变式9-1】（2023·安徽·校联考模拟预测）若∠A是锐角，cos∠A> ，则∠A应满足 ．
2
【变式9-2】（2023·陕西西安·校考三模）若tanA=2，则∠A的度数估计在（ ）
A．在0°和30°之间 B．在30° 和45°之间
C．在45°和60°之间 D．在60°和90°之间
1
【变式9-3】（2023·黑龙江大庆·一模）已知 <cosα<sin80°，则锐角α的取值范围是（ ）
2
A．30°<α<80° B．10°<α<80° C．60°<α<80° D．10°<α<60°
【题型10 利用同角三角函数关系求解】
【例10】（2023·广东东莞·统考三模）如图，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使点D落在BC边的点F处．已
3
知CF=4，sin∠EFC= ，则BF= ．
5
【变式10-1】（2023·江苏·一模）如果α是锐角，且sin2α+cos248°=1，那么α= 度
【变式10-2】（2023·内蒙古呼伦贝尔·统考一模）如图，点A(0,3)、B(1,0)，将线段AB平移得到线段
DC，若∠ABC=90°,BC=2AB，则点D的坐标是 ．
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【变式10-3】（2023·江苏无锡·统考二模）如图，AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，∠CAB的平分线与
BC相交于点D，与⊙O过点B的切线相交于点E．
(1)判断△BDE的形状，并证明你的结论；
(2)若AB=4，BD=2，求AD的长．
【题型11 互余两角三角函数关系】
3
【例11】（2023·湖南永州·校考三模）在Rt△ABC，∠C=90∘，sinB= ，则sinA的值是（ ）
5
3 4 5 5
A． B． C． D．
5 5 3 4
6
【变式11-1】（2023·云南昆明·校考三模）在Rt△ABC中，∠C=90°，sin A= ，则cosB= ．
7
5
【变式11-2】（2023·四川成都·统考一模）在Rt△ABC中，∠C=90°， sinA= ，则tanB的值为 ．
13
【变式11-3】（2023·河北保定·统考二模）嘉嘉在某次作业中得到如下结果：
sin27°+sin283°≈0.122+0.992=0.9945，
sin222°+sin268°≈0.372+0.932=1.0018，
sin29°+sin261°≈0.482+0.872=0.9873，
sin37°+sin253°≈0.602+0.802=1.0000，
2 2
sin245°+sin245=
(√2)
+
(√2)
=1
．
2 2
据此，嘉嘉猜想：对于任意锐角α，β，若α+β=90°，均有sin2α+sin2β=1．
(1)当α=30°，β=60°时，验证sin2α+sin2β=1是否成立？
(2)嘉嘉的猜想是否成立？若成立，请结合如图所示Rt△ABC给予证明，其中∠A所对的边为a，∠B所对
的边为b，斜边为c；若不成立，请举出一个反例；
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(3)利用上面的证明方法，直接写出tanα与sinα，cosα之间的关系．
【题型12 构造直角三角形解直角三角形】
【例12】（2023·陕西西安·西安市中铁中学校考三模）如图，在ΔABC中，∠ACB=60°，∠B=45°，
AB=√6，CE平分∠ACB交AB于点E，则线段CE的长为( )
A．√3 +1 B．2 C．√2 D．√6-√2
1
【变式12-1】（2023·山东聊城·统考一模）如图，在 ABC中，sinB= ， tanC=2，AB=3，则AC的长为
3
△
（ ）
√5
A．√2 B． C．√5 D．2
2
【变式12-2】（2023·山西吕梁·模拟预测）从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出的一条射线与对边
相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰
三角形，另一个与原三角形有两角对应相等，我们把这条线段叫做这个三角形的“优美分割线”．
（1）如图，在△ABC中，CD为角平分线，∠A＝40°，∠B＝60°，求证：CD为△ABC的“优美分割线”．
（2）在△ABC中，∠A＝46°，CD为△ABC的“优美分割线”且△ACD为等腰三角形，求∠ACB的度数．
（3）在△ABC中，∠A＝30°，AC＝6，CD为△ABC的“优美分割线”，且△ACD是等腰三角形，求线段
BD的长．
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【变式12-3】（2023·黑龙江哈尔滨·校考三模）如图，△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，
√3
BD=CE，连接AD，BE，tan∠BAD= ，点F、G分别在AD、BE上，连接AG，CF，若
5
∠AGB=2∠CFD，AG=5，CF=2√5，则线段AB的长为 ．
【题型13 网格中解直角三角形】
【例13】（2023·安徽合肥·合肥市第四十五中学校考一模）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、
B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB与CD相交于点P，则∠APD的余弦值为（ ）
1 √2 √5 2√5
A． B． C． D．
2 2 5 5
【变式13-1】（2023·福建·统考模拟预测）如图，△ABC的三个顶点在边长为1的正方形网格的格点上，
则sin∠BAC= ．
【变式13-2】（2023·湖北武汉·统考三模）如图是由小正方形组成的8×8网格，每个小正方形的顶点叫做
格点，A，C两个点是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图过程用虚线表示．
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(1)在图中，点B是格点，先画线段AB的中点D，再在AC上画点E，使AD=DE；
(2)在图中，点B在格线上，过点C作AB的平行线CF；
4
(3)在图中，点B在格线上，在AB上画点G，使tan∠ACG= ．
7
【变式13-3】（2023·四川广元·统考二模）如图，在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，∠α、
∠β如图所示，则sin(α+β)=（ ）
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2√7 √7 √2 √3
A． B． C． D．
7 7 2 2
【题型14 在坐标系中解直角三角形】
【例14】（2016·江苏无锡·统考一模）如图坐标系中，O(0，0) ，A(6，6√3)，B(12，0)．将△OAB沿直线
24
CD折叠，使点A恰好落在线段OB上的点E处，若OE＝ ，则CE ∶DE的值是 ．
5
【变式14-1】（2023·安徽·模拟预测）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，
边AB，AD分别落在x轴、y轴上（如图1），再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°（如
图2），若AB=4，BC=3，则图1和图2中点B点的坐标为 ，点C的坐标 ．
【变式14-2】（2023·河南商丘·统考三模）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为(0,3)，点B在x轴上．
(1)在坐标系中求作一点M，使得点M到点A，点B和原点O这三点的距离相等，在图中保留作图痕迹，不
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写作法；
k 4
(2)若函数y= 的图象经过点M，且sin∠OAB= ，求k的值．
x 5
15
【变式14-3】（2023·黑龙江哈尔滨·二模）在平面直角坐标系中，点O为坐标系的原点，直线y=kx−
2
3
交x轴于点A，交y轴于点B，tan∠OAB= ．
4
（1）求直线AB的解析式；
（2）在线段AB上有一点P，连接OP，设点P的横坐标为t，△AOP的面积为S，求S关于t的函数解析式
（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，在直线y=2x的第一象限上取一点D，连接AD，若S=15，
∠AOP+∠BPO=2∠ADO，求点D的坐标．
【题型15 解直角三角形的相关计算】
【例15】（2023·江西·校联考二模）在矩形ABCD中， AB=2√3，AD=6，点E是AD上，且AE=2，
点F是矩形ABCD边上一个动点，连接EF，若EF与矩形ABCD的边构成30°角时，则此时EF=
．
【变式15-1】（2023·江苏南通·三模）如图，两个相邻的直角三角形，恰好能组合得到四边形OABC．若
AB=BC=1，∠AOB=α，则OC2的值为（ ）
1 1
A． +1 B．sin2α+1 C． +1 D．cos2α+1
sin2α cos2α
【变式15-2】（2023·安徽·模拟预测）如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，对角线AC，
BD相交于点O，OE∥AD交CD于点E，且∠BOE=135°．
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(1)求证：AB=AD．
(2)如图2，延长DB至点F，连接FC，且FC=FO．
①求证：FO2=FB⋅FD；
②若BD=3FB，求sin∠BAC的值．
【变式15-3】（2023·广东肇庆·统考三模）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，且BC=DC，
BD交AC于点E，点F在AC的延长线上，BE=BF．
(1)求证：BF是⊙O的切线；
3
(2)若EF=6,cos∠ABC= ，
5
①求BF的长；
②求⊙O的半径．
【题型16 构造直角三角形求不规则图形的边长或面积】
【例16】（2023·四川绵阳·统考三模）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，∠AOD＝60°，
AC＝BD＝2，则这个四边形的面积是（ ）
√3 √3
A． B． C． √3 D．2√3
4 2
【变式16-1】（2023·安徽·模拟预测）如图，在Rt△ABC和Rt△DBE中，∠BAC=∠BDE=90°，
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AB=AC，∠DBC=30°，且点B，C，E在同一条直线上，AC与BD交于点F，连接CD、AD，若
BD=BC，DE=8．则AD的长为 ．
【变式16-2】（2023·浙江金华·统考一模）如图，点E从点A出发沿AB方向运动，点G从点B出发沿BC
方向运动，同时出发且速度相同，DE=GF<AB（DE长度不变，F在G上方，D在E左边），当点D到达
点B时，点E停止运动．在整个运动过程中，图中阴影部分面积的大小变化情况是（ ）
A．一直减小 B．一直不变 C．先减小后增大 D．先增大后减小
【变式16-3】（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=120°，
AB=√3,BC=4，点E，F分别是AD,CD的三等分点，连接BE,BF,EF，若四边形ABCD的面积9，则
△BEF的面积是 ．
【题型17 解直角三角形的应用之仰角、俯角问题】
【例17】（2023·山西朔州·校联考一模）山西“应县木塔”，又名山西“应县佛宫寺释迦塔”，它是当今
世界上的第一奇塔．它不仅是中国，而且是世界上现存最古老、最高峻的木构建筑物，所以它在世界建筑
中占有突出的地位．已知“应县木塔”的高度AB为67.3米，塔前“女神雕像”的高度CD为10.3米，木塔
与雕像之间有障碍物，不能直接测量，某测量小组为了测量“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离，
采用了如下测量方案（如图所示）：
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①他们在“木塔”和“雕像”之间选择一观景平台E，测得“木塔”顶部A的仰角为30°，测得“雕像”
顶部C的仰角为45°；
②测得测角仪的高度EF为1.3米；
③测得点B,F,D在同一条直线上，AB⊥BD,EF⊥BD,CD⊥BD，垂足分别是B,F,D．
求“应县木塔”与塔前“女神雕像”之间的距离BD．（结果精确到0.1米，参考数据：√3≈1.7）
【变式17-1】（2023·陕西西安·校考一模）小雁塔位于西安市南郊的荐福寺内，又称“荐福寺塔”，建于
唐景龙年间，与大雁塔同为唐长安城保留至今的重要标志．小港为测量小雁塔的高度、制定了如下测量方
案：如图所示，当小港站在点A处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进50m至B处，测得仰角
为60°、小港的身高忽略不计，请根据题目信息，求出小雁塔的高度CD．（参考数据：√3≈1.73，结果
精确到0.1m）
【变式17-2】（2023·海南·统考中考真题）无人机在实际生活中应用广泛．如图8所示，小明利用无人机
测量大楼的高度，无人机在空中P处，测得楼CD楼顶D处的俯角为45°，测得楼AB楼顶A处的俯角为
60°．已知楼AB和楼CD之间的距离BC为100米，楼AB的高度为10米，从楼AB的A处测得楼CD的D
处的仰角为30°（点A、B、C、D、P在同一平面内）．
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(1)填空：∠APD=___________度，∠ADC=___________度；
(2)求楼CD的高度（结果保留根号）；
(3)求此时无人机距离地面BC的高度．
【变式17-3】（2023·四川眉山·统考一模）某水库大坝的横截面是如图所示的四边形ABCD，其中
AB∥CD，大坝顶上有一瞭望台PC，PC正前方有两艘渔船M，N．观察员在瞭望台顶端P处观测到渔船
M的俯角α为31°，渔船N的俯角β为45°．已知MN所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，且PE长为
30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离（结果精确到1米）；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i=1:0.25，为提高大坝防洪能力，请施工队将大坝的
背水坡通过填筑土石方进行加固，坝底BA加宽后变为BH，加固后背水坡DH的坡度i=1:1.75，完成这项
工程需填筑土石方多少立方米？（参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52）
【题型18 解直角三角形的应用之方位角问题】
【例18】（2023·山东泰安·统考模拟预测）因东坡文化远近闻名的遗爱湖公园，“国庆黄金周”期间，游
人络绎不绝，现有一艘游船载着游客在遗爱湖中游览，当船在A处时，船上游客发现岸上P 处的临皋亭和
1
P 处的遗爱亭都在东北方向；当游船向正东方向行驶600m到达B处时，游客发现遗爱亭在北偏西15°方向；
2
当游船继续向正东方向行驶400m到达C处时，游客发现临皋亭在北偏西60°方向．则临皋亭P 处与遗爱
1
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亭P 处之间的距离为 ．（计算结果保留根号）
2
【变式18-1】（2023·河南商丘·统考一模）小亮乘车在一段正东方向的高速公路上行驶时，看到远处与高
速公路平行的国道上有一座桥，他在A处发现桥的起点B在A点的北偏东30°的方向上，并测得
AB＝100米，当车前进200米到达D处时，测得桥的终点C在D点的北偏东55°的方向上，求桥BC的长
度（精确到0.1米，参考数据：sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43，√3≈1.73）．
【变式18-2】（2023·四川达州·统考一模）深圳是沿海城市，每年都会受到几次台风侵袭，台风是一种自
然灾害，它以台风中心为圆心在数十千米范围内形成气旋风景，有极强的破坏力．某次，据气象观察，距
深圳正南200千米的处有一台风中心，中心最大风力为12级，每远离台风中心30千米，风力就会减弱一
级，该台风中心正以20千米/时的速度沿北偏东43°方向向移动，且台风中心风力不变，若城市受到风力达
到或超过六级，则称受台风影响．
（1）此次台风会不会影响深圳？为什么？
（2）若受到影响，那么受到台风影响的最大风力为几级？
3
（3）若受到影响，那么此次台风影响深圳共持续多长时间？（结果可带根号表示）（sin43°≈ ，cos42°≈
4
29 9
，tan42°≈ ）
40 10
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【变式18-3】（2023·陕西西安·校考一模）如图，我国某海域上有A、B两个小岛，B在A的正东方向．有
一艘渔船在点C处捕鱼，在A岛测得渔船在东北方向上，在B岛测得渔船在北偏西60°的方向上，且测得
B、C两处的距离为20√2海里．
(1)求A、C两处的距离；
(2)突然，渔船发生故障，而滞留C处等待救援．此时，在D处巡逻的救援船立即以每小时40海里的速度
沿DC方向前往C处，测得D在小岛A的北偏西15°方向上距A岛30海里处．求救援船到达C处所用的时
间．（结果保留根号）
【题型19 解直角三角形的应用之坡度坡比问题】
【例19】（2023·安徽合肥·校考三模）如图，一架无人机在滑雪赛道的一段坡道AB的上方进行跟踪拍摄，
无人机伴随运动员水平向右飞行．某次拍摄中，当运动员在点A位置时，无人机在他的仰角为45°的斜上
方C处，当运动员到达地面B点时，无人机恰好到达运动员正上方的D处，已知AB的坡度为1:√3且长为
300米，无人机飞行距离CD为60米，求无人机离地面的高度BD的长．（参考数据：√3≈1.7）
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【变式19-1】（2023·湖北武汉·校考模拟预测）小华和小源利用无人机测量某座山的垂直高度AB．如图所
示，无人机在地面BC上方130米的D处测得山顶A的仰角为22°，测得山脚C的俯角为63.5°．已知AC
的坡度为1:0.75，点A，B，C，D在同一平面内，则此山的垂直高度AB为 米．（结果精确到0.1）
（参考数据：sin63.5°≈0.89，tan63.5°≈2.00，sin22°≈0.37，tan22°≈0.40）
【变式19-2】（2023·山西大同·校联考一模）国家跳台滑雪中心位于北京2022年冬奥会张家口赛区古杨树
场馆群，是我国首座符合国际标准的冬奥会跳台滑雪场地．外观结构与中国传统吉祥物“如意”的S形曲
线完美融合，因此，被形象地称为“雪如意”，在它的身上，体现了现代建筑与自然山水、历史文化的交
相辉映，在这里举行的跳台滑雪分大跳台和标准台，大跳台A点出发区海拔1771米，着陆点U点海拔
1635米，大跳台与标准台水平相距BC=32米，大跳台坡角∠AUM=27°，标准台坡角∠BUM=26°．
求大跳台与标准台出发点落差AC是多少？（参考数据：sin26°≈0.44，cos26°≈0.89，tan26°≈0.49；
sin27°≈0.45，cos27°≈0.88，tan27°≈0.51，结果保留整数．）
【变式19-3】（2023·四川泸州·统考中考真题）如图，某数学兴趣小组为了测量古树DE的高度，采用了如
下的方法：先从与古树底端D在同一水平线上的点A出发，沿斜面坡度为i=2:√3的斜坡AB前进20√7m
到达点B，再沿水平方向继续前进一段距离后到达点C．在点C处测得古树DE的顶端E的俯角为37°，底
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3 4 3
部D的俯角为60°，求古树DE的高度（参考数据：sin37°≈ ，cos37°≈ ，tan37°≈ ，计算结果用
5 5 4
根号表示，不取近似值）．
【题型20 解直角三角形的应用之实际生活模型】
【例20】（2023·浙江温州·校联考二模）长嘴壶茶艺表演是一项深受群众喜爱的民俗文化，所用到的长嘴
壶更是历史悠久．图1是某款长嘴壶模型放置在水平桌面l上的抽象示意图，已知壶身
AB=AD=BC=120cm，CD=40cm，壶嘴EF=150cm，且CD∥AB，EF∥BC，DE=3AE，则
sin∠FED= ，如图2，若长嘴壶中装有若干茶水，绕点A转动壶身，当恰好倒出茶水时，
FD∥l，则此时出水口F到桌面的距离为 cm．
【变式20-1】（2023·浙江温州·统考二模）图1是一种双层电脑支架实物图，图2是其示意图，B，F，H
为固定点，支杠CF，HG可分别绕着点F，H旋转，点C，G分别在AB，BD上移动．AB=BD=25 cm，
CF=BF=10 cm，HG=16 cm，当支点C与点A的距离为9 cm时，则点D到AB的距离为
cm，此时，再移动支点G，当点F与点G重合时，D、E两点的水平距离是垂直距离的两倍，则DH=
cm．
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【变式20-2】（2023·安徽·模拟预测）如图，某数学小组探究笔记本电脑打开角度对用眼舒适度的影响，
当张角∠AOB=150°时，顶部边缘A处离桌面的高度AC的长为11cm，此时用眼舒适度不太理想．小组
成员调整张角大小继续探究，最后发现当张角∠A'OB=108°时（点A'是A的对应点），用眼舒适度较为
理想．求此时顶部边缘A'处离桌面的高度A'D的长．（结果精确到1cm；参考数据：
sin18°≈0.31,cos18°≈0.95,tan18°≈0.32）
【变式20-3】（2023·陕西西安·交大附中分校校考一模）乐乐同学骑自行车去爸爸的工厂参观，如图（1）
所示是这辆自行车的实物图，如图（2），车架档AC与CD的长分别为42.0cm，42.0cm，且它们互相垂
直，∠CAB=76°，AD∥BC，求车链横档AB的长，（结果保留整数．参考数据：sin76°≈0.97，
cos76°≈0.24，tan76°≈4.00）
25
