文档内容
2022年山东省临沂市中考数学试卷
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（3分）（2022•临沂）﹣2的相反数是（ ）
A．±2 B．﹣ C．2 D．
2．（3分）（2022•临沂）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质
文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年
有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对
称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（3分）（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣a+1
4．（3分）（2022•临沂）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点B表示的数是6，
则点A表示的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
5．（3分）（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（ ）
第1页（共30页）A． B．
C． D．
6．（3分）（2022•临沂）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（
）
A．900° B．720° C．540° D．360°
7．（3分）（2022•临沂）满足m＞| ﹣1|的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
8．（3分）（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x ＝6，x ＝4 B．x ＝6，x ＝﹣4
1 2 1 2
C．x ＝﹣6，x ＝4 D．x ＝﹣6，x ＝﹣4
1 2 1 2
9．（3分）（2022•临沂）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，
该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是（ ）
第2页（共30页）A． B． C． D．
10．（3分）（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，若AC＝6，则EC＝（ ）
A． B． C． D．
11．（3分）（2022•临沂）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水xkg，根据
题意可列方程为（ ）
A．0.98×5＝0.75x B． ＝0.75
C．0.75×5＝0.98x D． ＝0.98
12．（3分）（2022•临沂）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距
离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（ ）
A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上
B．A城与B城的距离是300km
C．乙车的平均速度是80km/h
D．甲车比乙车早到B城
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2022•临沂）比较大小： （填“＞”，“＜”或“＝”）．
第3页（共30页）14．（3分）（2022•临沂）因式分解：2x2﹣4x+2＝ ．
15．（3分）（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，
2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的
对应点B'的坐标是 ．
16．（3分）（2022•临沂）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下
列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能
使四边形AMDN是平行四边形的是 （填上所有符合要求的条件的序号）．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）（2022•临沂）计算：
（1）﹣23÷ ×（ ﹣ ）；
（2） ﹣ ．
18．（8分）（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，
在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小
麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2
第4页（共30页）（1）图1中，a＝ ，b＝ ；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 内的可能
性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？
简述理由．
19．（8分）（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．
某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：
第5页（共30页）活动 测量主塔顶端到桥面的距离
内容
成员 组长：×××组员××××××××××××
测量 测角仪，皮尺等
工具
测量 说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，
示意 点A，C，D，B在同一条直线上，
图 EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直
线EF对称．
测量 ∠A的大小 28°
数据
AC的长度 84m
CD的长度 12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端 E 到 AB 的距离（参考数据：sin28°≈0.47，
cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
20．（10分）（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动
力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如
下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳
固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤驼挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的
质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．
写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．
第6页（共30页）（2）调换秤砣与重物的位置，把秤驼挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平
衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，
画出该函数的图象．
x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……
y/cm …… ……
21．（10分）（2022•临沂）如图，AB是 O的切线，B为切点，直线AO交 O于C，D两点，连
接BC，BD．过圆心O作BC的平行⊙线，分别交AB的延长线、 O及⊙BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E； ⊙
（2）若F是OE的中点， O的半径为3，求阴影部分的面积．
⊙
22．（12分）（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，
CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D
落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的
大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
第7页（共30页）23．（12分）（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺
得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在
空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作
姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x
轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA
＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行
过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解
析式为y＝﹣ x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t
（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
第8页（共30页）2022年山东省临沂市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）在每小题所给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．
1．（3分）（2022•临沂）﹣2的相反数是（ ）
A．±2 B．﹣ C．2 D．
【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数．
【解答】解：﹣2的相反数是2，
故选：C．
【点评】本题考查了相反数，熟记相反数的定义是解答本题的关键．
2．（3分）（2022•临沂）剪纸艺术是最古老的中国民间艺术之一，先后入选中国国家级非物质
文化遗产名录和人类非物质文化遗产代表作名录．鱼与“余”同音，寓意生活富裕、年年
有余，是剪纸艺术中很受喜爱的主题．以下关于鱼的剪纸中，既是轴对称图形又是中心对
称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B．不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称
第9页（共30页）轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重
合．
3．（3分）（2022•临沂）计算a（a+1）﹣a的结果是（ ）
A．1 B．a2 C．a2+2a D．a2﹣a+1
【分析】去括号后合并同类项即可得出结论．
【解答】解：a（a+1）﹣a
＝a2+a﹣a
＝a2，
故选：B．
【点评】本题主要考查了整式的混合运算，正确使用去括号的法则是解题的关键．
4．（3分）（2022•临沂）如图，A，B位于数轴上原点两侧，且OB＝2OA．若点B表示的数是6，
则点A表示的数是（ ）
A．﹣2 B．﹣3 C．﹣4 D．﹣5
【分析】根据条件求出OA的长度，点A在原点的左侧，点A为负数，从而得出答案．
【解答】解：∵点B表示的数是6，
∴OB＝6，
∵OB＝2OA，
∴OA＝3，
∴点A表示的数为﹣3，
故选：B．
【点评】本题考查了实数与数轴，根据条件求出OA的长度是解题的关键．
5．（3分）（2022•临沂）如图所示的三棱柱的展开图不可能是（ ）
第10页（共30页）A． B．
C． D．
【分析】根据题意和各个选项中的图形，可以判断哪个图形不可能是三棱柱的展开图．
【解答】解：如图所示的三棱柱的展开图不可能是
，
故选：D．
【点评】本题考查几何体的展开图，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解
答．
6．（3分）（2022•临沂）如图是某一水塘边的警示牌，牌面是五边形，这个五边形的内角和是（
）
第11页（共30页）A．900° B．720° C．540° D．360°
【分析】根据多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°即可得出答案．
【解答】解：（5﹣2）×180°＝540°，
故选：C．
【点评】本题考查了多边形内角与外角，掌握多边形的内角和公式：（n﹣2）•180°是解题的
关键．
7．（3分）（2022•临沂）满足m＞| ﹣1|的整数m的值可能是（ ）
A．3 B．2 C．1 D．0
【分析】用夹逼法估算无理数的大小，根据正数的绝对值等于它本身得到2＜| ﹣1|＜
3，从而得出答案．
【解答】解：∵9＜10＜16，
∴3＜ ＜4，
∴2＜ ﹣1＜3，
∴2＜| ﹣1|＜3，
∴m可能是3，
故选：A．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数
是解题的关键．
8．（3分）（2022•临沂）方程x2﹣2x﹣24＝0的根是（ ）
A．x ＝6，x ＝4 B．x ＝6，x ＝﹣4
1 2 1 2
C．x ＝﹣6，x ＝4 D．x ＝﹣6，x ＝﹣4
1 2 1 2
【分析】利用十字相乘法因式分解即可．
第12页（共30页）【解答】解：x2﹣2x﹣24＝0，
（x﹣6）（x+4）＝0，
x﹣6＝0或x+4＝0，
解得x ＝6，x ＝﹣4，
1 2
故选：B．
【点评】本题考查了利用因式分解法解一元二次方程，掌握十字相乘法因式分解是解答本
题的关键．
9．（3分）（2022•临沂）为做好疫情防控工作，某学校门口设置了A，B两条体温快速检测通道，
该校同学王明和李强均从A通道入校的概率是（ ）
A． B． C． D．
【分析】画树状图，两名同学过通道的可能共有四种，然后利用概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如图：
由图可知，共有4种等可能的结果，其中王明与李强均从A通道入校的结果只有1种．
∴王明和李强均从A通道入校的概率为 ．
故选：A．
【点评】本题考查了列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总
情况数之比．
10．（3分）（2022•临沂）如图，在△ABC中，DE∥BC， ＝ ，若AC＝6，则EC＝（ ）
A． B． C． D．
第13页（共30页）【分析】利用平行线分线段成比例定理解答即可．
【解答】解：∵DE∥BC，
∴ ＝ ，
∴ ，
∴ ，
∴EC＝ ．
故选：C．
【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，正确使用定理得出比例式是解题的关
键．
11．（3分）（2022•临沂）将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精．设需要加水xkg，根据
题意可列方程为（ ）
A．0.98×5＝0.75x B． ＝0.75
C．0.75×5＝0.98x D． ＝0.98
【分析】将5kg浓度为98%的酒精，稀释为75%的酒精，酒精质量不变，求出稀释后的酒精
质量和酒精溶液的质量，再减去5kg得出加水的质量即可．
【解答】解：由题意可知，根据稀释前后酒精的质量不变可列方程： ＝0.75，
故选：B．
【点评】本题主要考查了根据实际问题列分式方程，找准题目的等量关系式解答本题的关
键．
12．（3分）（2022•临沂）甲、乙两车从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距
离y（单位：km）与时间x（单位：h）的对应关系如图所示，下列说法中不正确的是（ ）
第14页（共30页）A．甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上
B．A城与B城的距离是300km
C．乙车的平均速度是80km/h
D．甲车比乙车早到B城
【分析】根据“速度＝路程÷时间”，得出两车的速度，再逐一判断即可．
【解答】解：由题意可知，A城与B城的距离是300km，故选项B不合题意；
甲车的平均速度是：300÷5＝60（km/h），
乙车的平均速度是：300÷（4﹣1）＝80（km/h），故选项C不合题意；
设乙车出发x小时后追上甲车，则60（x+1）＝80x，
解得x＝3，
60×4＝240（km），即甲车行驶到距A城240km处，被乙车追上，故选项A不合题意；
由题意可知，乙车比甲车早到B城，故选项D符合题意．
故选：D．
【点评】此题主要考查了看函数图象，关键是正确从函数图象中得到正确的信息．
二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
13．（3分）（2022•临沂）比较大小： ＜ （填“＞”，“＜”或“＝”）．
【分析】利用平方法比较大小即可．
【解答】解：∵（ ）2＝ ，（ ）2＝ ， ＜ ，
∴ ＜ ，
故答案为：＜．
【点评】本题考查了实数大小比较，利用平方法比较大小是解题的关键．
14．（3分）（2022•临沂）因式分解：2x2﹣4x+2＝ 2 （ x ﹣ 1 ） 2 ．
第15页（共30页）【分析】先提取2，然后用完全平方公式分解即可．
【解答】解：2x2﹣4x+2＝2（x2﹣2x+1）＝2（x﹣1）2
故答案为2（x﹣1）2．
【点评】此题主要考查了提取公因式和公式法分解因式，解本题的关键是提取公因式2．
15．（3分）（2022•临沂）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的顶点A，B的坐标分别是A（0，
2），B（2，﹣1）．平移△ABC得到△A'B'C'，若点A的对应点A'的坐标为（﹣1，0），则点B的
对应点B'的坐标是 （ 1 ，﹣ 3 ） ．
【分析】由A点的平移判断出B点的平移最后得出坐标即可．
【解答】解：由题意知，点A从（0，2）平移至（﹣1，0），可看作是△ABC先向下平移2个单
位，再向左平移1个单位（或者先向左平移1个单位，再向下平移2个单位），
即B点（2，﹣1），平移后的对应点为B'（1，﹣3），
故答案为：（1，﹣3）．
【点评】本题主要考查平移的知识，根据A点的平移情况得出B点的对应点是解题的关键．
16．（3分）（2022•临沂）如图，在正六边形ABCDEF中，M，N是对角线BE上的两点．添加下
列条件中的一个：①BM＝EN；②∠FAN＝∠CDM；③AM＝DN；④∠AMB＝∠DNE．能
使四边形AMDN是平行四边形的是 ①②④ （填上所有符合要求的条件的序号）．
【分析】①连接AD，交BE于点O，证出OM＝ON，由对角线互相平分的四边形是平行四
边形可得出结论；②证明△AON≌△DOM（ASA），由全等三角形的性质得出AN＝DM，
第16页（共30页）根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论；③不能证明△ABM与
△DEN全等，则可得出结论；④证明△ABM≌△DEN（AAS），得出AM＝DN，根据一组对
边平行且相等的四边形是平行四边形可得出结论．
【解答】解：①连接AD，交BE于点O，
∵正六边形ABCDEF中，∠BAO＝∠ABO＝∠OED＝∠ODE＝60°，
∴△AOB和△DOE是等边三角形，
∴OA＝OD，OB＝OE，
又∵BM＝EN，
∴OM＝ON，
∴四边形AMDN是平行四边形，故①符合题意；
②∵∠FAD＝∠CDM，∠CDA＝∠DAF，
∴∠OAN＝∠ODM，
∴AN∥DM，
又∵∠AON＝∠DOM，OA＝OD，
∴△AON≌△DOM（ASA），
∴AN＝DM，
∴四边形AMDN是平行四边形，故②符合题意；
③∵AM＝DN，AB＝DE，∠ABM＝∠DEN，
∴△ABM与△DEN不一定全等，不能得出四边形AMDN是平行四边形，故③不符合题意；
④∵∠AMB＝∠DNE，∠ABM＝∠DEN，AB＝DE，
∴△ABM≌△DEN（AAS），
∴AM＝DN，
∵∠AMB+∠AMN＝180°，∠DNM+∠DNE＝180°，
∴∠AMN＝∠DNM，
第17页（共30页）∴AM∥DN，
∴四边形AMDN是平行四边形，故④符合题意．
故答案为：①②④．
【点评】本题考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定与性质，正六边形的性质，熟练
掌握平行四边形的判定是解题的关键．
三、解答题（本大题共7小题，共72分）
17．（12分）（2022•临沂）计算：
（1）﹣23÷ ×（ ﹣ ）；
（2） ﹣ ．
【分析】（1）利用有理数的混合运算法则运算即可；
（2）利用异分母分式的减法法则运算即可．
【解答】解：（1）原式＝﹣8× ×（ ）
＝8× ×
＝3；
（2）原式＝
＝ ．
【点评】本题主要考查了有理数的混合运算，分式的减法，正确利用相关法则进行运算是
解题的关键．
18．（8分）（2022•临沂）省农科院为某县选育小麦种子，为了解种子的产量及产量的稳定性，
在该县的10个乡镇中，每个乡镇选择两块自然条件相近的实验田分别种植甲、乙两种小
麦，得到其亩产量数据如下（单位：kg）：
甲种小麦：804 818 802 816 806 811 818 811 803 819
乙种小麦：804 811 806 810 802 812 814 804 807 809
画以上甲种小麦数据的频数分布直方图，甲乙两种小麦数据的折线图，得到图1，图2
第18页（共30页）（1）图1中，a＝ 3 ，b＝ 2 ；
（2）根据图1，若该县选择种植甲种小麦，则其亩产量W（单位：kg）落在 D 内的可能
性最大；
A.800≤W＜805
B.805≤W＜810
C.810≤W＜815
D.815≤W＜820
（3）观察图2，从小麦的产量或产量的稳定性的角度，你认为农科院应推荐种植哪种小麦？
简述理由．
【分析】（1）根据落在800﹣805，810﹣815的人数判断即可；
（2）根据落在哪个组的频数最多判断即可；
（3）从离散程度判断即可．
【解答】解：（1）由题意a＝2，b＝3，
故答案为：3，2；
（2）由条形图可知落在815≤W＜820的可能性最大，
故选：D；
第19页（共30页）（3）从小麦的产量或产量的稳定性的角度，应推荐种植乙种小麦．
理由：从折线图可以看出乙的离散程度比较小．
【点评】本题考查频数分布直方图，折线统计图等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用
所学知识解决问题．
19．（8分）（2022•临沂）如图是一座独塔双索结构的斜拉索大桥，主塔采用倒“Y”字形设计．
某学习小组利用课余时间测量主塔顶端到桥面的距离．勘测记录如下表：
活动 测量主塔顶端到桥面的距离
内容
成员 组长：×××组员××××××××××××
测量 测角仪，皮尺等
工具
测量 说明：左图为斜拉索桥的侧面示意图，
示意 点A，C，D，B在同一条直线上，
图 EF⊥AB，点A，C分别与点B，D关于直
线EF对称．
测量 ∠A的大小 28°
数据
AC的长度 84m
CD的长度 12m
请利用表中提供的信息，求主塔顶端 E 到 AB 的距离（参考数据：sin28°≈0.47，
cos28°≈0.88，tan28°≈0.53）．
【分析】根据题意和表格中的信息，可以得到AG的长，再根据锐角三角函数即可求得EG
的长，本题得以解决．
第20页（共30页）【解答】解：延长EF交AB于点G，
∵EF⊥AB，
∴RG⊥AB，
∴∠EGA＝90°，
∵点A，C分别与点B，D关于直线EF对称，
∴CG＝DG，
∵AC＝84m，CD＝12m，
∴CG＝6m，
∴AG＝AC+CG＝84+6＝90（m），
∵∠A＝28°，tanA＝ ，
∴tan28°＝ ，
解得EG≈47.7，
即主塔顶端E到AB的距离约为47.7m．
【点评】本题考查解直角三角形的应用、轴对称，解答本题的关键是明确题意，作出合适的
辅助线，利用数形结合的思想解答．
20．（10分）（2022•临沂）杠杆原理在生活中被广泛应用（杠杆原理：阻力×阻力臂＝动力×动
力臂），小明利用这一原理制作了一个称量物体质量的简易“秤”（如图1）．制作方法如
下：
第一步：在一根匀质细木杆上标上均匀的刻度（单位长度1cm），确定支点O，并用细麻绳
固定，在支点O左侧2cm的A处固定一个金属吊钩，作为秤钩；
第二步：取一个质量为0.5kg的金属物体作为秤砣．
（1）图1中，把重物挂在秤钩上，秤驼挂在支点O右侧的B处，秤杆平衡，就能称得重物的
质量．当重物的质量变化时，OB的长度随之变化．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm．
写出y关于x的函数解析式；若0＜y＜48，求x的取值范围．
第21页（共30页）（2）调换秤砣与重物的位置，把秤驼挂在秤钩上，重物挂在支点O右侧的B处，使秤杆平
衡，如图2．设重物的质量为xkg，OB的长为ycm，写出y关于x的函数解析式，完成下表，
画出该函数的图象．
x/kg …… 0.25 0.5 1 2 4 ……
y/cm …… 4 2 1 ……
【分析】（1）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂解答即可；
（2）根据阻力×阻力臂＝动力×动力臂求出解析式，然后根据列表、描点、连线的步骤解答．
【解答】解：（1）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴重物×OA＝秤砣×OB，
∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2x＝0.5y，
∴y＝4x，
∵4＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵当y＝0时，x＝0；
当y＝48时，x＝12，
第22页（共30页）∴0＜x＜12；
（2）∵阻力×阻力臂＝动力×动力臂，
∴秤砣×OA＝重物×OB，
∵OA＝2cm，重物的质量为xkg，OB的长为ycm，秤砣为0.5kg，
∴2×0.5＝xy，
∴y＝ ，
当x＝0.25时，y＝ ＝4；
当x＝0.5时，y＝ ＝2；
当x＝1时，y＝1；
当x＝2时，y＝ ；
当x＝4时，y＝ ；
故答案为：4；2；1； ； ；
作函数图象如图：
【点评】本题考查了一次函数和反比例函数的应用，以及列表、描点、连线画函数图象的方
法，求出函数解析式是解答本题的关键．
21．（10分）（2022•临沂）如图，AB是 O的切线，B为切点，直线AO交 O于C，D两点，连
接BC，BD．过圆心O作BC的平行⊙线，分别交AB的延长线、 O及⊙BD于点E，F，G．
（1）求证：∠D＝∠E； ⊙
（2）若F是OE的中点， O的半径为3，求阴影部分的面积．
⊙
第23页（共30页）【分析】（1）连接 OB，由切线的性质得出∠E+∠BOE＝90°，由圆周角定理得出
∠D+∠DCB＝90°，证出∠BOE＝∠OCB，则可得出结论；
（2）求出∠BOG＝60°，由三角形面积公式及扇形的面积公式可得出答案．
【解答】（1）证明：连接OB，
∵AB是 O的切线，
∴∠OBE⊙＝90°，
∴∠E+∠BOE＝90°，
∵CD为 O的直径，
∴∠CBD⊙＝90°，
∴∠D+∠DCB＝90°，
∵OE∥BC，
∴∠BOE＝∠OBC，
∵OB＝OC，
∴∠OBC＝∠OCB，
∴∠BOE＝∠OCB，
∴∠D＝∠E；
（2）解：∵F为OE的中点，OB＝OF，
∴OF＝EF＝3，
∴OE＝6，
∴BO＝ OE，
∵∠OBE＝90°，
第24页（共30页）∴∠E＝30°，
∴∠BOG＝60°，
∵OE∥BC，∠DBC＝90°，
∴∠OGB＝90°，
∴OG＝ ，BG＝ ，
∴S△BOG ＝ OG•BG＝ ＝ ，S扇形BOF ＝ ＝ ，
π
∴S阴影部分 ＝S扇形BOF ﹣S△BOG ＝ ．
【点评】本题考查了切线的性质，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，
圆周角定理，扇形的面积公式，熟练掌握切线的性质是解题的关键．
22．（12分）（2022•临沂）已知△ABC是等边三角形，点B，D关于直线AC对称，连接AD，
CD．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）在线段AC上任取一点P（端点除外），连接PD．将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D
落在BA延长线上的点Q处．请探究：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的
大小是否发生变化？说明理由．
（3）在满足（2）的条件下，探究线段AQ与CP之间的数量关系，并加以证明．
【分析】（1）根据菱形的判定定理和轴对称图形的性质解答即可；
（2）连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，根据全等三角形的判
定定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质解答即可；
（3）根据等腰三角形的性质解答即可．
【解答】（1）证明：连接BD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∵点B、D关于直线AC对称，
∴AC垂直平分BD，
第25页（共30页）∴DC＝BC，AD＝AB，
∴AB＝BC＝CD＝DA，
∴四边形ABCD是菱形；
（2）解：当点P在线段AC上的位置发生变化时，∠DPQ的大小不发生变化，始终等于
60°，理由如下：
∵将线段PD绕点P逆时针旋转，使点D落在BA延长线上的点Q处，
∴PQ＝PD，
等边△ABC中，AB＝BC＝AC，
∠BAC＝∠ABC＝∠ACB＝60°，
连接PB，过点P分别作PE∥CB交AB于点E，PF⊥AB于点F，如图
则∠APE＝∠ACB＝60°，∠AEP＝∠ABC＝60°，
∴∠BAC＝∠APE＝∠AEP＝60°，
∴△APE是等边三角形，
∴AP＝EP＝AE，
而PF⊥AB，
∴∠APF＝∠EPF，
∵点B，D关于直线AC对称，点P在线段AC上，
∴PB＝PD，∠DPA＝∠BPA，
∴PQ＝PD，
而PF⊥AB，
∴∠QPF＝∠BPF，
∴∠QPF﹣∠APF＝∠BPF﹣∠EPF，
即∠QPA＝∠BPE，
∴∠DPQ＝∠DPA﹣∠QPA＝∠BPA﹣∠BPE＝∠APE＝60°；
（3）解：在满足（2）的条件下，线段AQ与CP之间的数量关系是AQ＝CP，证明如下：
∵AC＝AB，AP＝AE，
∴AC﹣AP＝AB﹣AE，
即CP＝BE，
∵AP＝EP，PF⊥AB，
∴AF＝FE，
∵PQ＝PD，PF⊥AB，
第26页（共30页）∴QF＝BF，
∴QF﹣AF＝BF﹣EF，
即AQ＝BE，
∴AQ＝CP．
【点评】本题主要考查了菱形的判定定理，等腰三角形的性质，轴对称图形的性质，等边三
角形的判定定理，熟练掌握相关性质和定理是解答本题的关键．
23．（12分）（2022•临沂）第二十四届冬奥会在北京成功举办，我国选手在跳台滑雪项目中夺
得金牌．在该项目中，运动员首先沿着跳台助滑道飞速下滑，然后在起跳点腾空，身体在
空中飞行至着陆坡着陆，再滑行到停止区终止．本项目主要考核运动员的飞行距离和动作
姿态，某数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究：
如图为该兴趣小组绘制的赛道截面图，以停止区CD所在水平线为x轴，过起跳点A与x
轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．着陆坡AC的坡角为30°，OA
＝65m，某运动员在A处起跳腾空后，飞行至着陆坡的B处着陆，AB＝100m．在空中飞行
过程中，运动员到x轴的距离y（m）与水平方向移动的距离x（m）具备二次函数关系，其解
析式为y＝﹣ x2+bx+c．
（1）求b，c的值；
（2）进一步研究发现，运动员在飞行过程中，其水平方向移动的距离x（m）与飞行时间t
（s）具备一次函数关系，当运动员在起跳点腾空时，t＝0，x＝0；空中飞行5s后着陆．
①求x关于t的函数解析式；
②当t为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是多少？
第27页（共30页）【分析】（1）根据题意，可以求得点A和点B的坐标，然后代入二次函数解析式，即可得到
b、c的值；
（2）①根据题意，可以得到x关于t的函数图象经过的两个点，然后根据待定系数法，即可
得到x关于t的函数的解析式；
②先求出直线AB的解析式，再根据题意，可以表示出h，然后根据二次函数的性质，可以
求得当h为何值时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，并求出这个最大值．
【解答】解：（1）作BE⊥y轴于点E，
∵OA＝65m，着陆坡AC的坡角为30°，AB＝100m，
∴点A的坐标为（0，65），AE＝50m，BE＝50 m，
∴OE＝OA﹣AE＝65﹣50＝15（m），
∴点B的坐标为（50 ，15），
∵点A（0，65），点B（50 ，15）在二次函数y＝﹣ x2+bx+c的图象上，
∴ ，
解得 ，
即b的值是 ，c的值是65；
（2）①设x关于t的函数解析式是x＝kt+m，
因为点（0，0），（5，50 ）在该函数图象上，
第28页（共30页）∴ ，
解得 ，
即x关于t的函数解析式是x＝10 t；
②设直线AB的解析式为y＝px+q，
∵点A（0，65），点B（50 ，15）在该直线上，
∴ ，
解得 ，
即直线AB的解析式为y＝﹣ x+65，
则h＝（﹣ x2+ x+65）﹣（﹣ x+65）＝﹣ x2+ x，
∴当x＝﹣ ＝25 时，h取得最值，此时h＝ ，
∵25 ＜50 ，
∴x＝25 时，h取得最值，符合题意，
将x＝25 代入x＝10 t，得：25 ＝10 t，
解得t＝2.5，
即当t为2.5时，运动员离着陆坡的竖直距离h最大，最大值是 m．
第29页（共30页）【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、解直角三角形，解答本题的关键是明
确题意，求出相应的函数解析式，利用二次函数的性质求最值．
第30页（共30页）
