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2022年山东省滨州市中考数学试卷
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选
项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．
1．（3分）（2022•滨州）某市冬季中的一天，中午12时的气温是﹣3℃，经过6小时气温下降
了7℃，那么当天18时的气温是（ ）
A．10℃ B．﹣10℃ C．4℃ D．﹣4℃
2．（3分）（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间
有以下关系：I＝ ，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
3．（3分）（2022•滨州）如图，在弯形管道ABCD中，若AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，则∠BCD
的大小为（ ）
A．58° B．68° C．78° D．122°
4．（3分）（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B． ＝3 C． ＝2 D．cos30°＝
5．（3分）（2022•滨州）把不等式组 中每个不等式的解集在一条数轴上表示出
来，正确的为（ ）
A．
B．
第1页（共27页）C．
D．
6．（3分）（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
7．（3分）（2022•滨州）如图，在 O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则
∠B的大小为（ ） ⊙
A．32° B．42° C．52° D．62°
8．（3分）（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
9．（3分）（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝﹣ （k为常数且k≠0）
的图象大致是（ ）
A． B．
第2页（共27页）C． D．
10．（3分）（2022•滨州）今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，
测得其麦穗长（单位：cm）分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，那么这一组数据的方差为（
）
A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
11．（3分）（2022•滨州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y
轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣
2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
12．（3分）（2022•滨州）正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按
顺时针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E
由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（ ）
A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．
13．（4分）（2022•滨州）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．
14．（4分）（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且
第3页（共27页）顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 ．
15．（4分）（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为
．
16．（4分）（2022•滨州）若点A（1，y ）、B（﹣2，y ）、C（﹣3，y ）都在反比例函数y＝ 的图象
1 2 3
上，则y 、y 、y 的大小关系为 ．
1 2 3
17．（4分）（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 ．
18．（4分）（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动
点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，
AF+FE+EC的最小值为 ．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程．
19．（8分）（2022•滨州）先化简，再求值：（a+1﹣ ）÷ ，其中a＝tan45°+（ ）﹣1
﹣ 0．
20．（π9分）（2022•滨州）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为
A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八
年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
第4页（共27页）请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为 ；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列
表的方法求他俩选择相同项目的概率．
21．（9分）（2022•滨州）如图，已知AC为 O的直径，直线PA与 O相切于点A，直线PD经
过 O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连⊙接OP交AB于点M．⊙
求⊙证：（1）PD是 O的切线；
（2）AM2＝OM•PM⊙．
22．（10分）（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月
能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y
是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
23．（10分）（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于
点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
（1）求菱形ABCD的面积；
第5页（共27页）（2）求证AE＝EF．
24．（14分）（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点
A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
第6页（共27页）2022年山东省滨州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选
项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．每小题涂对得3分，满分36分．
1．（3分）（2022•滨州）某市冬季中的一天，中午12时的气温是﹣3℃，经过6小时气温下降
了7℃，那么当天18时的气温是（ ）
A．10℃ B．﹣10℃ C．4℃ D．﹣4℃
【分析】有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数．
【解答】解：﹣3﹣7＝﹣10（℃），
故选：B．
【点评】本题考查了有理数的减法，掌握有理数的减法法则是解答本题的关键．
2．（3分）（2022•滨州）在物理学中，导体中的电流I跟导体两端的电压U、导体的电阻R之间
有以下关系：I＝ ，去分母得IR＝U，那么其变形的依据是（ ）
A．等式的性质1 B．等式的性质2
C．分式的基本性质 D．不等式的性质2
【分析】根据等式的基本性质，对原式进行分析即可．
【解答】解：将等式I＝ ，去分母得IR＝U，实质上是在等式的两边同时乘R，用到的是等
式的基本性质2．
故选：B．
【点评】本题主要考查了等式的基本性质，等式性质：1、等式的两边同时加上或减去同一
个数或字母，等式仍成立；2、等式的两边同时乘以或除以同一个不为0数或字母，等式仍
成立．
3．（3分）（2022•滨州）如图，在弯形管道ABCD中，若AB∥CD，拐角∠ABC＝122°，则∠BCD
的大小为（ ）
第7页（共27页）A．58° B．68° C．78° D．122°
【分析】根据平行线的性质得出∠ABC+∠BCD＝180°，代入求出即可．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∵∠ABC＝122°，
∴∠BCD＝180°﹣122°＝58°，
故选：A．
【点评】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用平行线的性质定理进行推理是解此题的
关键，注意：两直线平行，同旁内角互补．
4．（3分）（2022•滨州）下列计算结果，正确的是（ ）
A．（a2）3＝a5 B． ＝3 C． ＝2 D．cos30°＝
【分析】根据幂的乘方的运算法则对A选项进行判断；利用二次根式的乘法法则对B选项
进行判断；根据立方根对C选项进行判断；根据特殊角的三角函数值对D选项进行判断．
【解答】解：A． （a2）＝a6，所以A选项不符合题意；
B． ＝ ＝2 ，所以B选项不符合题意；
C． ＝2，所以C选项符合题意；
D．cos30°＝ ，所以D选项不符合题意；
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值：记住特殊角的三角函数值是解决问题的关键．
也考查了幂的乘方与积的乘方．
5．（3分）（2022•滨州）把不等式组 中每个不等式的解集在一条数轴上表示出
来，正确的为（ ）
A．
B．
第8页（共27页）C．
D．
【分析】先解出不等式组中的每一个不等式的解集，然后即可写出不等式组的解集，再在
数轴上表示出每一个不等式的解集即可．
【解答】解：解不等式x﹣3＜2x，得x＞﹣3，
解不等式 ，得x≤5，
故原不等式组的解集是﹣3＜x≤5，
其解集在数轴上表示如下：
故选：C．
【点评】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，解答本题的关键
是明确解一元一次不等式组的方法，会在数轴上表示不等式组的解集．
6．（3分）（2022•滨州）一元二次方程2x2﹣5x+6＝0的根的情况为（ ）
A．无实数根 B．有两个不等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．不能判定
【分析】求出判别式Δ＝b2﹣4ac，判断其的符号就即可得出结论．
【解答】解：∵Δ＝（﹣5）2﹣4×2×6＝25﹣48＝﹣23＜0，
∴2x2﹣5x+6＝0无实数根，
故选：A．
【点评】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的判别式Δ＜0
时，方程无实数根是解决问题的关键．
7．（3分）（2022•滨州）如图，在 O中，弦AB、CD相交于点P．若∠A＝48°，∠APD＝80°，则
∠B的大小为（ ） ⊙
第9页（共27页）A．32° B．42° C．52° D．62°
【分析】根据圆周角定理，可以得到∠D的度数，再根据三角形外角的性质，可以求出∠B
的度数．
【解答】解：∵∠A＝∠D，∠A＝48°，
∴∠D＝48°，
∵∠APD＝80°，∠APD＝∠B+∠D，
∴∠B＝∠APD﹣∠D＝80°﹣48°＝32°，
故选：A．
【点评】本题考查圆周角定理、三角形外角的性质，解答本题的关键是求出∠D的度数．
8．（3分）（2022•滨州）下列命题，其中是真命题的是（ ）
A．对角线互相垂直的四边形是平行四边形
B．有一个角是直角的四边形是矩形
C．对角线互相平分的四边形是菱形
D．对角线互相垂直的矩形是正方形
【分析】根据，平行四边形，矩形，菱形，正方形的判定方法一一判断即可．
【解答】解：A、对角线互相垂直的四边形是平行四边形，是假命题，本选项不符合题意；
B、有一个角是直角的四边形是矩形，是假命题，本选项不符合题意；
C、对角线互相平分的四边形是菱形，是假命题，本选项不符合题意；
D、对角线互相垂直的矩形是正方形，是真命题，本选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的判定，矩形的判定等知识，解
题的关键是熟练掌握特殊四边形的判定方法，属于中考常考题型．
9．（3分）（2022•滨州）在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx+1与y＝﹣ （k为常数且k≠0）
的图象大致是（ ）
第10页（共27页）A． B．
C． D．
【分析】根据一次函数和反比例函数的性质即可判断．
【解答】解：当k＞0时，则﹣k＜0，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二、三象限，反比例函
数图象在第二、四象限，所以A选项正确，C选项错误；
当k＜0时，一次函数y＝kx+1图象经过第一、二，四象限，所以B、D选项错误．
故选：A．
【点评】本题考查了反比例函数图象：反比例函数y＝ （k≠0）为双曲线，当k＞0时，图象
分布在第一、三象限；当k＜0时，图象分布在第二、四象限．也考查了一次函数图象．
10．（3分）（2022•滨州）今年我国小麦大丰收，农业专家在某种植片区随机抽取了10株小麦，
测得其麦穗长（单位：cm）分别为8，8，6，7，9，9，7，8，10，8，那么这一组数据的方差为（
）
A．1.5 B．1.4 C．1.3 D．1.2
【分析】先根据算术平均数的定义求出平均数，再根据方差的定义列式计算即可．
【解答】解：这一组数据的平均数为 ×（8+8+6+7+9+9+7+8+10+8）＝8，
故这一组数据的方差为 ×[4×（8﹣8）2+（6﹣8）2+2×（7﹣8）2+2×（9﹣8）2+（10﹣8）2]＝
1.2，
故选：D．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握算术平均数与方差的定义．
11．（3分）（2022•滨州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），与y
轴相交于点C，小红同学得出了以下结论：①b2﹣4ac＞0；②4a+b＝0；③当y＞0时，﹣
2＜x＜6；④a+b+c＜0．其中正确的个数为（ ）
第11页（共27页）A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】根据二次函数的性质和图象中的数据，可以分别判断出各个小题中的结论是否正
确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
该抛物线与x轴有两个交点，则b2﹣4ac＞0，故①正确；
∵抛物线y＝ax2+bx+c与x轴相交于点A（﹣2，0）、B（6，0），
∴该抛物线的对称轴是直线x＝ ＝2，
∴﹣ ＝2，
∴b+4a＝0，故②正确；
由图象可得，当y＞0时，x＜﹣2或x＞6，故③错误；
当x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系、二次函数的性质，解答本题的关键是明确
题意，利用数形结合的思想解答．
12．（3分）（2022•滨州）正方形ABCD的对角线相交于点O（如图1），如果∠BOC绕点O按
顺时针方向旋转，其两边分别与边AB、BC相交于点E、F（如图2），连接EF，那么在点E
由B到A的过程中，线段EF的中点G经过的路线是（ ）
A．线段 B．圆弧 C．折线 D．波浪线
第12页（共27页）【分析】建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，证明△AOE≌△BOF
（ASA），推出AE＝BF，设AE＝BF＝a，则F（a，0），E（0，1﹣a），由题意G（ a， ﹣ a），
推出点G在直线y＝﹣x+ 上运动，可得结论．
【解答】解：建立如图平面直角坐标系，设正方形ABCD的边长为1，
∵四边形ABCD是正方形，
∴OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB，
∵∠AOB＝∠EOF＝90°，
∴∠AOE＝∠BOF，
∴△AOE≌△BOF（ASA），
∴AE＝BF，
设AE＝BF＝a，则F（a，0），E（0，1﹣a），
∵EG＝FG，
∴G（ a， ﹣ a），
∴点G在直线y＝﹣x+ 上运动，
∴点G的运动轨迹是线段，
故选：A．
【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会构
建平面直角坐标系，利用一次函数解决轨迹问题，属于中考选择题中的压轴题．
二、填空题：本大题共6个小题，每小题4分，满分24分．
13．（4分）（2022•滨州）若二次根式 在实数范围内有意义，则x的取值范围为 x ≥ 5
．
第13页（共27页）【分析】根据二次根式有意义的条件得出x﹣5≥0，求出即可．
【解答】解：要使二次根式 在实数范围内有意义，必须x﹣5≥0，
解得：x≥5，
故答案为：x≥5．
【点评】本题考查了二次根式有意义的条件和解一元一次不等式，能得出关于x的不等式
是解此题的关键．
14．（4分）（2022•滨州）如图，屋顶钢架外框是等腰三角形，其中AB＝AC，立柱AD⊥BC，且
顶角∠BAC＝120°，则∠C的大小为 30 ° ．
【分析】根据等腰三角形的性质和三角形内角和得到∠B＝∠C＝30°．
【解答】解：∵AB＝AC且∠BAC＝120°，
∴∠B＝∠C＝ （180°﹣∠BAC）＝ ×60°＝30°．
故答案为：30°．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的两个底角相等的性质是解
题的关键．
15．（4分）（2022•滨州）在Rt△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，则sinA的值为
．
【分析】根据题意画出图形，进而利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数关系，
即可得出答案．
【解答】解：如图所示：∵∠C＝90°，AC＝5，BC＝12，
∴AB＝ ＝13，
∴sinA＝ ．
故答案为： ．
第14页（共27页）【点评】此题主要考查了锐角三角三角函数关系以及勾股定理，得出AB的长是解题关键．
16．（4分）（2022•滨州）若点A（1，y ）、B（﹣2，y ）、C（﹣3，y ）都在反比例函数y＝ 的图象
1 2 3
上，则y 、y 、y 的大小关系为 y ＜ y ＜ y ．
1 2 3 2 3 1
【分析】根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以得到y 、y 、y 的大小关系．
1 2 3
【解答】解：∵反比例函数y＝ ，
∴该函数图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，
∵点A（1，y ）、B（﹣2，y ）、C（﹣3，y ）都在反比例函数y＝ 的图象上，
1 2 3
∴y ＜y ＜0＜y ，
2 3 1
即y ＜y ＜y ，
2 3 1
故答案为：y ＜y ＜y ．
2 3 1
【点评】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确反比例函数中
k＞0时，图象在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小，第一象限内的y＞0，
第三象限内的y＜0．
17．（4分）（2022•滨州）若m+n＝10，mn＝5，则m2+n2的值为 9 0 ．
【分析】根据完全平方公式计算即可．
【解答】解：∵m+n＝10，mn＝5，
∴m2+n2＝（m+n）2﹣2mn＝102﹣2×5＝100﹣10＝90．
故答案为：90．
【点评】本题考查了完全平方公式以及代数式求值，掌握完全平方公式是解答本题的关键．
18．（4分）（2022•滨州）如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝10．若点E是边AD上的一个动
点，过点E作EF⊥AC且分别交对角线AC、直线BC于点O、F，则在点E移动的过程中，
AF+FE+EC的最小值为 + ．
第15页（共27页）【分析】如图，过点E作EH⊥BC于点H．利用相似三角形的性质求出FH，EF，设BF＝x，
则DE＝10﹣x﹣ ＝ ﹣x，因为EF是定值，所以AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值
最小，由AF+CE＝ + ，可知欲求AF+CE的最小值相当于在x轴
上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（ ，5）的距离和最小，如图1中，作点A关于x
轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，最小值为线
段A′B的长，由此即可解决问题．
【解答】解：如图，过点E作EH⊥BC于点H．
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠BAD＝∠BHE＝90°，
∴四边形ABHE是矩形，
∴EH＝AB＝5，
∵BC＝AD＝10，
∴AC＝ ＝ ＝5 ，
∵EF⊥AC，
∴∠COF＝90°，
∴∠EFH+∠ACB＝90°，
∵∠BAC+∠ACB＝90°，
∴∠EFH＝∠BAC，
第16页（共27页）∴△EHF∽△CBA，
∴ ＝ ＝ ，
∴ ＝ ＝ ，
∴FH＝ ，EF＝ ，
设BF＝x，则DE＝10﹣x﹣ ＝ ﹣x，
∵EF是定值，
∴AF+CE的值最小时，AF+EF+CE的值最小，
∵AF+CE＝ + ，
∴欲求AF+CE的最小值相当于在x轴上找一点P（x，0），使得P到A（0，5），B（ ，5）的
距离和最小，如图1中，
作点A关于x轴的对称点A′，连接BA′交xz轴于点P，连接AP，此时PA+PB的值最小，
最小值为线段A′B的长，
∵A′（0，﹣5），B（ ，5），
∴A′B＝ ＝ ，
∴AF+CE的最小值为 ，
∴AF+EF+CE的最小值为 + ．
解法二：过点C作CC′∥EF，使得CC′＝EF，连接C′F．
第17页（共27页）∵EF＝CC′，EF∥CC′，
∴四边形EFC′C是平行四边形，
∴EC＝FC′，
∴AF+EC＝AF+FC′≥AC′＝ ，
∴AF+EF+CE的最小值为 + ．
故答案为： + ．
【点评】本题考查轴对称最短问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题关键
是学会用转化的思想思考问题，属于中考填空题中的压轴题．
三、解答题：本大题共6个小题，满分60分．解答时请写出必要的演推过程．
19．（8分）（2022•滨州）先化简，再求值：（a+1﹣ ）÷ ，其中a＝tan45°+（ ）﹣1
﹣ 0．
【分π析】先将小括号内的式子进行通分计算，然后算括号外面的除法，再利用特殊角的三
角函数值，负整数指数幂和零指数幂的运算求出a的值，代入进行计算即可；
【解答】解：原式＝
＝ •
＝ •
＝ ，
第18页（共27页）∵a＝tan45°+（ ）﹣1﹣ 0
π
＝1+2﹣1
＝2，
∴当a＝2时，原式＝ ＝0．
【点评】本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．
20．（9分）（2022•滨州）某校为满足学生课外活动的需求，准备开设五类运动项目，分别为
A：篮球，B：足球，C：乒乓球，D：羽毛球，E：跳绳．为了解学生的报名情况，现随机抽取八
年级部分学生进行调查，并根据调查结果绘制了如下两幅不完整的统计图．
请根据以上图文信息回答下列问题：
（1）此次调查共抽取了多少名学生？
（2）请将此条形统计图补充完整；
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角的大小为 54 ° ；
（4）学生小聪和小明各自从以上五类运动项目中任选一项参加活动，请利用画树状图或列
表的方法求他俩选择相同项目的概率．
【分析】（1）用D项目的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数；
（2）先计算出C项目的人数，然后补全条形统计图；
（3）用360°乘以D项目人数所占的百分比得到项目D所对应的扇形圆心角的大小；
（4）画树状图展示所有25种等可能的结果，找出相同项目的结果数，然后根据概率公式求
解．
【解答】解：（1）10÷10%＝100（名），
所以此次调查共抽取了100名学生；
第19页（共27页）（2）C项目的人数为：100﹣20﹣30﹣15﹣10＝25（名），
条形统计图补充为：
（3）在此扇形统计图中，项目D所对应的扇形圆心角为：360°× ＝54°；
故答案为：54°；
（4）画树状图为：
共有25种等可能的结果，其中相同项目的结果数为5，
所以他俩选择相同项目的概率＝ ＝ ．
【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出
n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的
概率．也考查了统计图．
21．（9分）（2022•滨州）如图，已知AC为 O的直径，直线PA与 O相切于点A，直线PD经
过 O上的点B且∠CBD＝∠CAB，连⊙接OP交AB于点M．⊙
求⊙证：（1）PD是 O的切线；
（2）AM2＝OM•PM⊙．
第20页（共27页）【分析】（1）先连接OB，然后根据题目中的条件可以得到∠OBD＝90°，从而可以证明结
论成立；
（2）根据题目中的条件和（1）中的结论，可以证明△OAM∽△APM，然后即可得到结论成
立．
【解答】证明：（1）连接OB，如图所示，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC，
∵AC是 O的直径，
∴∠CBA⊙＝90°，
∴∠CAB+∠OCB＝90°，
∵∠CBD＝∠CAB，
∴∠CBD+∠OCB＝90°，
∴∠OBD＝90°，
∴PD是 O的切线；
（2）由（⊙1）知PD是 O的切线，直线PA与 O相切，
∴PO垂直平分AB， ⊙ ⊙
∴∠AMP＝∠ANO＝90°，
∴∠APM+∠PAM＝90°，
∵∠OAP＝90°，
∴∠PAM+∠OAM＝90°，
∴∠APM＝∠OAM，
∴△OAM∽△APM，
∴ ，
∴AM2＝OM•PM．
第21页（共27页）【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质，解答本题的关键是明确
题意，找出所求问题需要的条件．
22．（10分）（2022•滨州）某种商品每件的进价为10元，若每件按20元的价格销售，则每月
能卖出360件；若每件按30元的价格销售，则每月能卖出60件．假定每月的销售件数y
是销售价格x（单位：元）的一次函数．
（1）求y关于x的一次函数解析式；
（2）当销售价格定为多少元时，每月获得的利润最大？并求此最大利润．
【分析】（1）根据题意利用待定系数法可求得y与x之间的关系；
（2）写出利润和x之间的关系是可发现是二次函数，求二次函数的最值问题即．
【解答】解：（1）设y＝kx+b，把x＝20，y＝360，和x＝30，y＝60代入，可得 ，
解得： ，
∴y＝﹣30x+960（10≤x≤32）；
（2）设每月所获的利润为W元，
∴W＝（﹣30x+960）（x﹣10）
＝﹣30（x﹣32）（x﹣10）
＝﹣30（x2﹣42x+320）
＝﹣30（x﹣21）2+3630．
∴当x＝21时，W有最大值，最大值为3630．
【点评】主要考查利用函数的模型解决实际问题的能力．要先根据题意列出函数关系式，
再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义求解．注意：数学应用题来源于实践
用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利
润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．
23．（10分）（2022•滨州）如图，菱形ABCD的边长为10，∠ABC＝60°，对角线AC、BD相交于
点O，点E在对角线BD上，连接AE，作∠AEF＝120°且边EF与直线DC相交于点F．
第22页（共27页）（1）求菱形ABCD的面积；
（2）求证AE＝EF．
【分析】（1）根据锐角三角函数可以求得BC边上的高，然后根据菱形的面积＝底×高，即
可求得相应的面积；
（2）连接EC，然后可以得到AE＝EC，再根据四边形内角和，可以求得∠ECF＝∠EFC，然
后通过等量代换，即可证明结论成立．
【解答】（1）解：作AG⊥BC交BC于点G，如图所示，
∵四边形ABCD是菱形，边长为10，∠ABC＝60°，
∴BC＝10，AG＝AB•sin60°＝10× ＝5 ，
∴菱形ABCD的面积是：BC•AG＝10×5 ＝50 ，
即菱形ABCD的面积是50 ；
（2）证明：连接EC，
∵四边形ABCD是菱形，∠ABC＝60°，
∴EO垂直平分AC，∠BCD＝120°，
∴EA＝EC，∠DCA＝60°，
∴∠EAC＝∠ECA，∠ACF＝120°，
∵∠AEF＝120°，
∴∠EAC+∠EFC＝360°﹣∠AEF﹣∠ACF＝360°﹣120°﹣120°＝120°，
∵∠ECA+∠ECF＝120°，
∴∠EFC＝∠ECF，
∴EC＝EF，
∴AE＝EF．
第23页（共27页）【点评】本题考查菱形的性质、四边形内角和，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题
需要的条件，利用数形结合的思想解答．
24．（14分）（2022•滨州）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于点
A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，连接AC、BC．
（1）求线段AC的长；
（2）若点P为该抛物线对称轴上的一个动点，当PA＝PC时，求点P的坐标；
（3）若点M为该抛物线上的一个动点，当△BCM为直角三角形时，求点M的坐标．
【分析】（1）根据坐标轴上点的特点求出点A，C的坐标，即可求出答案；
（2）设出点P的坐标，利用PA＝PC建立方程求解，即可求出答案；
（3）分三种情况，利用等腰直角三角形的性质求出前两种情况，利用三垂线构造出相似三
角形，得出比例式，建立方程求解，即可求出答案．
【解答】解：（1）针对于抛物线y＝x2﹣2x﹣3，
令x＝0，则y＝﹣3，
∴C（0，﹣3）；
令y＝0，则x2﹣2x﹣3＝0，
∴x＝3或x＝﹣1，
∵点A在点B的左侧，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
第24页（共27页）∴AC＝ ＝ ；
（2）∵抛物线y＝x2﹣2x﹣3的对称轴为直线x＝﹣ ＝1，
∵点P为该抛物线对称轴上，
∴设P（1，p），
∴PA＝ ＝ ，PC＝ ＝ ，
∵PA＝PC，
∴ ＝ ，
∴p＝﹣1，
∴P（1，﹣1）；
（3）由（1）知，B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC＝3，
设M（m，m2﹣2m﹣3），
∵△BCM为直角三角形，
∴①当∠BCM＝90°时，
如图1，过点M作MH⊥y轴于H，则HM＝m，
∵OB＝OC，
∴∠OCB＝∠OBC＝45°，
∴∠HCM＝90°﹣∠OCB＝45°，
∴∠HMC＝45°＝∠HCM，
∴CH＝MH，
∵CH＝﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+2m，
∴﹣m2+2m＝m，
∴m＝0（不符合题意，舍去）或m＝1，
∴M（1，﹣4）；
②当∠CBM＝90°时，
过点M作M'H'⊥x轴，
第25页（共27页）同①的方法得，M'（﹣2，3）；
③当∠BMC＝90°时，如图2，
过点M作MD⊥y轴于D，过点B作BE⊥DM，交DM的延长线于E，
∴∠CDM＝∠E＝90°，
∴∠DCM+∠DMC＝90°，
∵∠DMC+∠EMB＝90°，
∴∠DCM＝∠EMB，
∴△CDM∽△MEB，
∴ ，
∵M（m，m2﹣2m﹣3），B（3，0），C（0，﹣3），
∴DM＝m，CD＝m2﹣2m﹣3+3＝m2﹣2m，ME＝3﹣m，BE＝﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣
m2+2m+3，
∴ ，
∴m＝0（舍去）或m＝3（点B的横坐标，不符合题意，舍去）或m＝ （不符合题意，
舍去）或m＝ ，
∴M（ ，﹣ ），
即满足条件的M的坐标为（1，﹣4）或（﹣2，3）或（ ，﹣ ）．
第26页（共27页）【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，直角三角形的性质，利用
方程的思想解决问题是解本题的关键．
第27页（共27页）
