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五年（2019-2023）年高考真题分项汇编
专题 05 平面解析几何
考点一 两条平行直线间的距离
1．（2020•上海）已知直线 ， ，若 ，则 与 的距离为 ．
【解析】直线 ， ，
当 时， ，解得 ；
当 时 与 重合，不满足题意；
当 时 ，此时 ， ；
则 与 的距离为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分1 百】故答案为： ．
考点二 圆的一般方程
2．（2021•上海）若 ，求圆心坐标为 ．
【解析】由 ，可得圆的标准方程为 ，
所以圆心坐标为 ．
故答案为： ．
3．（2023•上海）已知圆 的面积为 ，则 ．
【解析】圆 化为标准方程为： ，
圆的面积为 ， 圆的半径为1，
，
．
故答案为： ．
考点三 直线与圆的位置关系
4．【多选】（2021•新高考Ⅱ）已知直线 与圆 ，点 ，
则下列说法正确的是
A．若点 在圆 上，则直线 与圆 相切
B．若点 在圆 外，则直线 与圆 相离
C．若点 在直线 上，则直线 与圆 相切
D．若点 在圆 内，则直线 与圆 相离
【解析】 中，若 在圆上，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所
以直线与圆相切，即 正确；
中，点 在圆 外，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线
与圆相交，所以 不正确；
中，点 在直线 上，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直
线 与圆相切，所以 正确；
中，点 在圆 内，则 ，而圆心到直线 的距离 ，所以直线
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分2 百】与圆相离，所以 正确；
故选： ．
5．【多选】（2021•新高考Ⅰ）已知点 在圆 上，点 ，
，则
A．点 到直线 的距离小于10 B．点 到直线 的距离大于2
C．当 最小时， D．当 最大时，
【解析】 ， ，
过 、 的直线方程为 ，即 ，
圆 的圆心坐标为 ，
圆心到直线 的距离 ，
点 到直线 的距离的范围为 ， ，
， ， ，
点 到直线 的距离小于10，但不一定大于2，故 正确， 错误；
如图，当过 的直线与圆相切时，满足 最小或最大 点位于 时 最小，位于
时 最大），
此时 ，
，故 正确．
故选： ．
6．（2022•新高考Ⅱ）设点 ， ，若直线 关于 对称的直线与圆
有公共点，则 的取值范围是 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分3 百】【解析】点 ， ， ，所以直线 关于 对称的直线的斜率为：
，所以对称直线方程为： ，即： ，
的圆心 ，半径为1，
所以 ，得 ，解得 ， ．
故答案为： ， ．
7．（2022•上海）设集合 ， ，
①存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在 两侧；
②存在直线 ，使得集合 中存在无数点在 上；
A．①成立②成立 B．①成立②不成立
C．①不成立②成立 D．①不成立②不成立
【解析】当 时，集合 ， ， ，
当 时，集合 ， ， ，
表示圆心为 ，半径为 的圆，
圆的圆心在直线 上，半径 单调递增，
相邻两个圆的圆心距 ，相邻两个圆的半径
之和为 ，
因为 有解，故相邻两个圆之间的位置关系可能相离，
当 时，同 的情况，故存在直线 ，使得集合 中不存在点在 上，而存在点在
两侧，故①正确，
若直线 斜率不存在，显然不成立，
设直线 ，若考虑直线 与圆 的焦点个数，
， ，
给定 ， ，当 足够大时，均有 ，
故直线 只与有限个圆相交，②错误．
故选： ．
8．（2023•新高考Ⅱ）已知直线 与 交于 ， 两点，写
出满足“ 面积为 ”的 的一个值 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分4 百】【解析】由圆 ，可得圆心坐标为 ，半径为 ，
因为 的面积为 ，可得 ，
解得 ，设 所以 ，
可得 ， ， 或 ，
或 ，
圆心眼到直线 的距离 或 ，
或 ，
解得 或 ．
故答案为：2（或 或 或 ．
考点四 圆的切线方程
9．（2023•新高考Ⅰ）过点 与圆 相切的两条直线的夹角为 ，则
A．1 B． C． D．
【解析】圆 可化为 ，则圆心 ，半径为 ；
设 ，切线为 、 ，则 ，
中， ，所以 ，
所以 ．
故选： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分5 百】10．（2019•浙江）已知圆 的圆心坐标是 ，半径长是 ．若直线 与圆
相切于点 ，则 ， ．
【解析】如图，
由圆心与切点的连线与切线垂直，得 ，解得 ．
圆心为 ，则半径 ．
故答案为： ， ．
11．（2022•新高考Ⅰ）写出与圆 和 都相切的一条直线的方
程 ．
【解析】圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
圆 的圆心坐标为 ，半径 ，
如图：
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分6 百】， 两圆外切，由图可知，与两圆都相切的直线有三条．
， 的斜率为 ，设直线 ，即 ，
由 ，解得 （负值舍去），则 ；
由图可知， ； 与 关于直线 对称，
联立 ，解得 与 的一个交点为 ，在 上取一点 ，
该点关于 的对称点为 ， ，则 ，解得对称点为 ， ．
，则 ，即 ．
与圆 和 都相切的一条直线的方程为：
（填 ， 都正确）．
故答案为： （填 ， 都正确）．
12．（2020•浙江）已知直线 与圆 和圆 均相切，
则 ， ．
【解析】由条件得 ， ， ， ，
因为直线 与 ， 都相切，
故有 ， ，
则有 ，故可得 ，整理得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分7 百】因为 ，所以 ，即 ，
代入 ，解得 ，则 ，
故答案为： ； ．
考点五 椭圆的性质
13．（2023•新高考Ⅰ）设椭圆 ， 的离心率分别为 ，
．若 ，则
A． B． C． D．
【解析】由椭圆 可得 ， ， ，
椭圆 的离心率为 ，
， ， ，
，
或 （舍去）．
故选： ．
14．（2021•新高考Ⅰ）已知 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上，则
的最大值为
A．13 B．12 C．9 D．6
【解析】 ， 是椭圆 的两个焦点，点 在 上， ，
所以 ，当且仅当 时，取等号，
所以 的最大值为9．
故选： ．
15．（2023•新高考Ⅱ）已知椭圆 的左焦点和右焦点分别为 和 ，直线
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分8 百】与 交于点 ， 两点，若△ 面积是△ 面积的两倍，则
A． B． C． D．
【解析】记直线 与 轴交于 ，
椭圆 的左，右焦点分别为 ， ， ， ，
由△ 面积是△ 的2倍，可得 ，
，解得 或 ，
或 ， 或 ，
联立 可得， ，
直线 与 相交，所以△ ，解得 ，
不符合题意，
故 ．
故选： ．
16．（2022•新高考Ⅱ）已知直线 与椭圆 在第一象限交于 ， 两点， 与
轴、 轴分别相交于 ， 两点，且 ， ，则 的方程为 ．
【解析】设 ， ， ， ，线段 的中点为 ，
由 ， ，
相减可得： ，
则 ，
设直线 的方程为： ， ， ， ， ， ，
， ， ，
，解得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分9 百】， ，化为： ．
， ，解得 ．
的方程为 ，即 ，
故答案为： ．
17．（2021•上海）已知椭圆 的左、右焦点为 、 ，以 为顶点，
为焦点作抛物线交椭圆于 ，且 ，则抛物线的准线方程是 ．
【解析】设 ， ，则抛物线 ，
直线 ，联立方程组 ，解得 ， ，
所以点 的坐标为 ，所以 ，又
所以 ，
则 ，
所以抛物线的准线方程为： ，
故答案为： ．
18．（2021•浙江）已知椭圆 ，焦点 ， ， ．若过
的直线和圆 相切，与椭圆的第一象限交于点 ，且 轴，则该
直线的斜率是 ，椭圆的离心率是 ．
【解析】直线斜率不存在时，直线与圆不相切，不符合题意；
由直线过 ，设直线的方程为 ，
直线和圆 相切，
圆心 到直线的距离与半径相等，
，解得 ，
将 代入 ，可得 点坐标为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分10百】，
， ，
．
故答案为： ．
19．（2019•浙江）已知椭圆 的左焦点为 ，点 在椭圆上且在 轴的上方．若
线段 的中点在以原点 为圆心， 为半径的圆上，则直线 的斜率是 ．
【解析】椭圆 的 ， ， ， ，
设椭圆的右焦点为 ，连接 ，
线段 的中点 在以原点 为圆心，2为半径的圆，
连接 ，可得 ，
设 的坐标为 ，可得 ，可得 ， ，
由 ，可得直线 的斜率为
．
另解：由 ， ， ，
可得 ，
，
可得直线 的斜率为 ．
故答案为： ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分11百】20．（2019•上海）已知椭圆 ， ， 为左、右焦点，直线 过 交椭圆于 ，
两点．
（1）若直线 垂直于 轴，求 ；
（2）当 时， 在 轴上方时，求 、 的坐标；
（3）若直线 交 轴于 ，直线 交 轴于 ，是否存在直线 ，使得 ，
若存在，求出直线 的方程；若不存在，请说明理由．
【解析】（1）依题意， ，当 轴时，则 ， ，得 ；
（2）设 ， ， ，
，
又 在椭圆上，满足 ，即 ，
，解得 ，即 ．
直线 ，
联立 ，解得 ， ；
（3）设 ， ， ， ， ， ，
直线 ，
则 ，
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分12百】联立 ，得 ．
则 ， ．
由直线 的方程： ，得 纵坐标 ；
由直线 的方程： ，得 的纵坐标 ．
若 ，即 ，
，
， ，
代入根与系数的关系，得 ，解得 ．
存在直线 或 满足题意．
考点六 直线与椭圆的综合
21．（2022•新高考Ⅰ）已知椭圆 ， 的上顶点为 ，两个焦点为
， ，离心率为 ．过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点， ，则
的周长是 ．
【解析】 椭圆 的离心率为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分13百】不妨可设椭圆 ， ，
的上顶点为 ，两个焦点为 ， ，
△ 为等边三角形，
过 且垂直于 的直线与 交于 ， 两点，
，
由等腰三角形的性质可得， ， ，
设直线 方程为 ， ， ， ， ，
将其与椭圆 联立化简可得， ，
由韦达定理可得， ， ，
，解得
，
的周长等价于 ．
故答案为：13．
22．（2020•海南）已知椭圆 过点 ，点 为其左顶点，且
的斜率为 ．
（1）求 的方程；
（2）点 为椭圆上任意一点，求 的面积的最大值．
【解析】（1）由题意可知直线 的方程为： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分14百】即 ，
当 时，解得 ，所以 ，
椭圆 过点 ，
可得 ，解得 ，
所以 的方程： ．
（2）设与直线 平行的直线方程为： ，当直线与椭圆相切时，与 距离比
较远的直线与椭圆的切点为 ，此时 的面积取得最大值．
代入椭圆方程： ．
化简可得： ，所以△ ，即 ，
解得 ，
与 距离比较远的直线方程： ，
利用平行线之间的距离为： ，
．
所以 的面积的最大值： ．
23．（2020•山东）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 的方程；
（2）点 ， 在 上，且 ， ， 为垂足．证明：存在定点 ，使得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分15百】为定值．
【解析】（1） 离心率 ，
，
又 ，
， ，
把点 代入椭圆方程得， ，解得 ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）①当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，
联立 ，得 ，
由△ ，知 ，
设 ， ， ， ，则 ， ，
， ， ， ，即
，
，化简整理得，
，
或 ，
当 时， ，过定点 ，不符合题意，舍去；
当 时， ，过定点 ．
， 点 在以 为直径的圆上，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分16百】故当点 为 的中点，即 ， 时， ，为定值；
②当直线 的斜率不存在时，设其方程为 ， ， ，且 ，
， ， ， ，
解得 或2（舍 ，
， ，此时 ，为定值．
综上所述，存在定点 ， ，使得 为定值，且该定值为 ．
考点七 双曲线的性质
24．（2022•上海）双曲线 的实轴长为 ．
【解析】由双曲线 ，可知： ，
所以双曲线的实轴长 ．
故答案为：6．
25．（2019•浙江）渐近线方程为 的双曲线的离心率是
A． B．1 C． D．2
【解析】根据渐近线方程为 的双曲线，可得 ，所以
则该双曲线的离心率为 ，
故选： ．
26．（2021•新高考Ⅱ）已知双曲线 的离心率 ，则该双曲线的
渐近线方程为 ．
【解析】 双曲线的方程是 ，
双曲线渐近线为
又 离心率为 ，可得
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分17百】，即 ，可得
由此可得双曲线渐近线为
故答案为：
27．（2023•新高考Ⅰ）已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， ．
点 在 上，点 在 轴上， ， ，则 的离心率为 ．
【解析】（法一）如图，设 ， ， ，
设 ，则 ，
又 ，则 ，可得 ，
又 ，且 ，
则 ，化简得 ．
又点 在 上，
则 ，整理可得 ，
代 ，可得 ，即 ，
解得 或 （舍去），
故 ．
（法二）由 ，得 ，
设 ，由对称性可得 ，
则 ，
设 ，则 ，
所以 ，解得 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分18百】在△ 中，由余弦定理可得 ，
即 ，则 ．
故答案为： ．
28．（2022•浙江）已知双曲线 的左焦点为 ，过 且斜率为 的
直线交双曲线于点 ， ，交双曲线的渐近线于点 ， 且 ．若
，则双曲线的离心率是 ．
【解析】（法一）如图，过点 作 轴于点 ，过点 作 轴于点 ，
由于 ， 且 ，则点 在渐近线 上，不妨设 ，
设直线 的倾斜角为 ，则 ，则 ，即 ，则 ，
，
又 ，则 ，
又 ，则 ，则 ，
点 的坐标为 ，
，即 ，
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分19百】（法二）由 ，解得 ，
又 ，
所以点 的纵坐标为 ，
代入方程 中，解得 ，
所以 ，代入双曲线方程中，可得 ，
所以 ．
故答案为： ．
考点八 直线与双曲线的综合
29．（2022•新高考Ⅰ）已知点 在双曲线 上，直线 交 于 ，
两点，直线 ， 的斜率之和为0．
（1）求 的斜率；
（2）若 ，求 的面积．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分20百】【解析】（1）将点 代入双曲线方程得 ，
化简得 ， ，故双曲线方程为 ，
由题显然直线 的斜率存在，设 ，设 ， ， ，
则联立双曲线得： ，
故 ， ，
，
化简得： ，
故 ，
即 ，而直线 不过 点，故 ；
（2）设直线 的倾斜角为 ，由 ，
，得
由 ， ，
得 ，即 ，
联立 ，及 得 ，
同理 ，
故 ，
而 ，由 ，得 ，
故 ．
30．（2021•新高考Ⅰ）在平面直角坐标系 中，已知点 ， ， ， ，
点 满足 ．记 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分21百】（2）设点 在直线 上，过 的两条直线分别交 于 ， 两点和 ， 两点，且
，求直线 的斜率与直线 的斜率之和．
【解析】（1）由双曲线的定义可知， 的轨迹 是双曲线的右支，设 的方程为
，
根据题意 ，解得 ，
的方程为 ；
（2）（法一）设 ，直线 的参数方程为 ，
将其代入 的方程并整理可得， ，
由参数的几何意义可知， ， ，则 ，
设 直 线 的 参 数 方 程 为 ， ， ， 同 理 可 得 ，
，
依题意， ，则 ，
又 ，故 ，则 ，即直线 的斜率与直线 的斜率之和
为0．
（法二）设 ，直线 的方程为 ， ， ， ， ，设
，
将直线 方程代入 的方程化简并整理可得，
，
由韦达定理有， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分22百】又由 可得 ，
同理可得 ，
，
设直线 的方程为 ，设 ，
同理可得 ，
又 ，则 ，化简可得 ，
又 ，则 ，即 ，即直线 的斜率与直线 的斜率之和为0．
31．（2022•新高考Ⅱ）已知双曲线 的右焦点为 ，渐近线
方程为 ．
（1）求 的方程；
（2）过 的直线与 的两条渐近线分别交于 ， 两点，点 ， ， ， 在
上，且 ， ．过 且斜率为 的直线与过 且斜率为 的直线交于点 ．
从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立．
① 在 上；② ；③ ．
注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分23百】【解析】（1）由题意可得 ， ，
解得 ， ，
因此 的方程为 ，
（2）解法一：设直线 的方程为 ， ，将直线 的方程代入
可得 ，
△ ，
， ，
，
，
设点 的坐标为 ， ，则 ，
两式相减可得 ，
，
，
解得 ，
两式相加可得 ，
，
，
解得 ，
，其中 为直线 的斜率；
若选择①②：
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分24百】同理可得 ， ，
， ，
此 时 点 的 坐 标 满 足 ， 解 得 ，
，
为 的中点，即 ；
若选择①③：
当直线 的斜率不存在时，点 即为点 ，此时不在直线 上，矛盾，
当直线 的斜率存在时，设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ，
， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
此时 ，
，
由于点 同时在直线 上，故 ，解得 ，
因此 ．
若选择②③，
设直线 的方程为 ，并设 的坐标为 ， ， 的坐标为 ， ，
则 ，解得 ， ，
同理可得 ， ，
设 的中点 ， ，则 ， ，
由于 ，故 在 的垂直平分线上，即点 在直线 上，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分25百】将该直线 联立，解得 ， ，
即点 恰为 中点，故点 在直线 上．
（2）解法二：由已知得直线 的斜率存在且不为零，直线 的斜率不为零，
若选由①② ③，或选由②③ ①：由②成立可知直线 的斜率存在且不为0．
若选①③ ②，则 为线段 的中点，假设 的斜率不存在，
则由双曲线的对称性可知 在 轴上，即为焦点 ，
此时由对称性可知 、 关于 轴对称，从而 ，已知不符．
综上，直线 的斜率存在且不为0，
直线 的斜率为 ，直线 的方程为 ．
则条件① 在直线 上，等价于 ，
两渐近线的方程合并为 ，
联立方程组，消去 并化简得： ，
设 ， ， ， ，线段中点为 ， ，
则 ． ，
设 ， ，
则条件③ 等价于 ，
移项并利用平方差公式整理得：
，
，
，
，
，
，
由题意知直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，
由 ， ，
，
直线 的斜率 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分26百】直线 ，即 ，
代入双曲线的方程为 ，即 中，
得 ，
解得 的横坐标为 ，
同理， ， ，
，
条件② 等价于 ，
综上所述：
条件① 在 上等价于 ，
条件② 等价于 ，
条件③ 等价于 ．
选①② ③：
由①②解得 ， ③成立；
选①③ ②：
由①③解得： ， ， ， ②成立；
选②③ ①：
由②③解得： ， ， ， ①成立．
32．（2020•上海）已知双曲线 与圆 交于点 ，
（第一象限），曲线 为 、 上取满足 的部分．
（1）若 ，求 的值；
（2）当 ， 与 轴交点记作点 、 ， 是曲线 上一点，且在第一象限，且
，求 ；
（3）过点 斜率为 的直线 与曲线 只有两个交点，记为 、 ，用 表示
，并求 的取值范围．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分27百】【解析】（1）由 ，点 为曲线 与曲线 的交点，联立 ，解
得 ， ；
（2）由题意可得 ， 为曲线 的两个焦点，
由双曲线的定义可得 ，又 ， ，
所以 ，因为 ，则 ，
所以 ，
在△ 中，由余弦定理可得
，
由 ，可得 ；
（3）设直线 ，可得原点 到直线 的距离 ，
所以直线 是圆的切线，设切点为 ，
所以 ，并设 与圆 联立，可得 ，
可得 ， ，即 ，
注意直线 与双曲线的斜率为负的渐近线平行，
所以只有当 时，直线 才能与曲线 有两个交点，
由 ，可得 ，
所以有 ，解得 或 （舍去），
因为 为 在 上的投影可得， ，
所以 ，
则 ， ．
33．（2023•新高考Ⅱ）已知双曲线 中心为坐标原点，左焦点为 ， ，离心率为
．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分28百】（1）求 的方程；
（2）记 的左、右顶点分别为 ， ，过点 的直线与 的左支交于 ， 两点，
在第二象限，直线 与 交于 ，证明 在定直线上．
【解析】（1）双曲线 中心为原点，左焦点为 ， ，离心率为 ，
则 ，解得 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）证明：过点 的直线与 的左支交于 ， 两点，
则可设直线 的方程为 ， ， ， ， ，
记 的左，右顶点分别为 ， ，
则 ， ，
联立 ，化简整理可得， ，
故△ 且 ，
， ，
直线 的方程为 ，直线 方程 ，
故
，
故 ，解得 ，
所以 ，
故点 在定直线 上运动．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分29百】考点九．抛物线的性质
34．（2021•新高考Ⅱ）若抛物线 的焦点到直线 的距离为 ，则
A．1 B．2 C． D．4
【解析】抛物线 的焦点 ， 到直线 的距离为 ，
可得 ，解得 ．
故选： ．
35．【多选】（2022•新高考Ⅱ）已知 为坐标原点，过抛物线 焦点
的直线与 交于 ， 两点，其中 在第一象限，点 ．若 ，则
A．直线 的斜率为 B．
C． D．
【解析】如图，
， ， ，且 ， ， ，
由抛物线焦点弦的性质可得 ，则 ，则 ， ，
，故 正确；
， ， ，故 错误；
，故 正确；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分30百】， ， ， ， ，
， ，
， 均为锐角，可得 ，故 正确．
故选： ．
36．（2021•上海）已知抛物线 ，若第一象限的 ， 在抛物线上，焦点为
， ， ， ，求直线 的斜率为 ．
【解析】如图所示，设抛物线的准线为 ，作 于点 ， 于点 ， 于
点 ，
由抛物线的定义，可得 ， ，
，
直线 的斜率 ．
故答案为： ．
37．（2021•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，抛物线 的焦点为 ， 为
上一点， 与 轴垂直， 为 轴上一点，且 ．若 ，则 的准线方
程为 ．
【解析】法一：由题意，不妨设 在第一象限，则 ， ， ， ．
所以 ，所以 的方程为： ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分31百】时， ，
，所以 ，解得 ，
所以抛物线的准线方程为： ．
法二：根据射影定理，可得 ，可得 ，解得 ，
因此，抛物线的准线方程为： ．
故答案为： ．
38．（2020•山东）斜率为 的直线过抛物线 的焦点，且与 交于 ， 两点，
则 ．
【解析】由题意可得抛物线焦点 ，直线 的方程为 ，
代入 并化简得 ，
设 ， ， ， ，则 ；
，
由抛物线的定义可得 ．
故答案为： ．
39．（2019•上海）过曲线 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与曲线 交于 ，
， 在 上方， 为抛物线上一点， ，则 ．
【解析】过 的焦点 并垂直于 轴的直线分别与 交于 ， ， 在 上方，
依题意：得到： ， ， ，
设点 ，
所以： 为抛物线上一点， ，
则： ， ， ， ， ，
代入 ，
得到： ．
故答案为：3
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分32百】考点十 直线与抛物线的综合
40．【多选】（2023•新高考Ⅱ）设 为坐标原点，直线 过抛物线
的焦点，且与 交于 ， 两点， 为 的准线，则
A． B．
C．以 为直径的圆与 相切 D． 为等腰三角形
【解析】直线 过抛物线 的焦点，可得 ，所以 ，
所以 正确；
抛物线方程为： ，与 交于 ， 两点，
直线方程代入抛物线方程可得： ，
，
所以 ，所以 不正确；
， 的中点的横坐标： ，中点到抛物线的准线的距离为： ，
所以以 为直径的圆与 相切，所以 正确；
，
不妨可得 ， ， ， ，
， ， ，
所以 不是等腰三角形，所以 不正确．
故选： ．
41．【多选】（2022•新高考Ⅰ）已知 为坐标原点，点 在抛物线
上，过点 的直线交 于 ， 两点，则
A． 的准线为 B．直线 与 相切
C． D．
【解析】 点 在抛物线 上，
，解得 ，
抛物线 的方程为 ，准线方程为 ，选项 错误；
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分33百】由于 ， ，则 ，直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ，解得 ，故直线 与抛物线 相切，选项 正
确；
根据对称性及选项 的分析，不妨设过点 的直线方程为 ，与抛物线在第
一象限交于 ， ， ， ，
联 立 ， 消 去 并 整 理 可 得 ， 则 ， ，
，
， 由 于 等 号 在
时才能取到，故等号不成立，选项 正确；
选项 正确．
故选： ．
42．（2023•上海）已知抛物线 ，在 上有一点 位于第一象限，设 的纵坐标
为 ．
（1）若 到抛物线 准线的距离为3，求 的值；
（2）当 时，若 轴上存在一点 ，使 的中点在抛物线 上，求 到直线 的距
离；
（3）直线 ，抛物线上有一异于点 的动点 ， 在直线 上的投影为点 ，直线
与直线 的交点为 ．若在 的位置变化过程中， 恒成立，求 的取值范围．
【解析】（1）抛物线 的准线为 ，
由于 到抛物线 准线的距离为3，
则点 的横坐标为2，则 ，
解得 ；
（2）当 时，点 的横坐标为 ，则 ，
设 ，则 的中点为 ，
由题意可得 ，解得 ，
所以 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分34百】则 ，
由点斜式可得，直线 的方程为 ，即 ，
所以原点 到直线 的距离为 ；
（3）如图，
设 ，则 ，
故直线 的方程为 ，
令 ，可得 ，即 ，
则 ，
依题意， 恒成立，
又 ，
则最小值为 ，即 ，即 ，
则 ，解得 ，
又当 时， ，当且仅当 时等号成立，
而 ，即当 时，也符合题意．
故实数 的取值范围为 ， ．
43．（2020•浙江）如图，已知椭圆 ，抛物线 ，点 是椭
圆 与抛物线 的交点，过点 的直线 交椭圆 于点 ，交抛物线 于点 ，
不同于 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分35百】（Ⅰ）若 ，求抛物线 的焦点坐标；
（Ⅱ）若存在不过原点的直线 使 为线段 的中点，求 的最大值．
【解析】（Ⅰ） ，则 ，则抛物线 的焦点坐标 ， ，
（Ⅱ）直线 与 轴垂直时，此时点 与点 或点 重合，不满足题意，
设直线 的方程为 ， ， ， ， ， ， ，
由 ，消 可得 ，
△ ，即 ，
， ，
， ， ，
点 在抛物线 上， ，
，
联立 ，解得 ， ，
代入椭圆方程可得 ，解得
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分36百】，当且仅当 ，即 ， 时等号成立，
故 的最大值为 ．
44．（2019•浙江）如图，已知点 为抛物线 的焦点．过点 的直线交
抛物线于 ， 两点，点 在抛物线上，使得 的重心 在 轴上，直线 交 轴
于点 ，且 在点 的右侧．记 ， 的面积分别为 ， ．
（Ⅰ）求 的值及抛物线的准线方程；
（Ⅱ）求 的最小值及此时点 的坐标．
【解析】（Ⅰ）由抛物线的性质可得： ，
，
抛物线的准线方程为 ；
（Ⅱ）设 ， ， ， ， ， ，重心 ， ，
令 ， ，则 ，
由于直线 过 ，故直线 的方程为 ，
代入 ，得： ，
，即 ， ， ，
又 ， ，重心在 轴上，
，
， ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分37百】直线 的方程为 ，得 ， ，
在焦点 的右侧， ，
，
令 ，则 ，
，
当 时， 取得最小值为 ，此时 ．
考点十一 圆锥曲线的综合
45．（2020•浙江）已知点 ， ， ．设点 满足 ，且
为函数 图象上的点，则
A． B． C． D．
【解析】点 ， ， ．设点 满足 ，
可知 的轨迹是双曲线 的右支上的点，
为函数 图象上的点，即 在第一象限的点，
联立两个方程，解得 ， ，
所以 ．
故选： ．
46．【多选】（2020•海南）已知曲线 ．
A．若 ，则 是椭圆，其焦点在 轴上
B．若 ，则 是圆，其半径为
C．若 ，则 是双曲线，其渐近线方程为
D．若 ， ，则 是两条直线
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分38百】【解析】 ．若 ，则 ，则根据椭圆定义，知 表示焦点在 轴上
的椭圆，故 正确；
．若 ，则方程为 ，表示半径为 的圆，故 错误；
．若 ， ，则方程为 ，表示焦点在 轴的双曲线，故此时渐近线方
程为 ，
若 ， ，则方程为 ，表示焦点在 轴的双曲线，故此时渐近线方程为
，
故 正确；
．当 ， 时，则方程为 表示两条直线，故 正确；
故选： ．
47．（2022•上海）设有椭圆方程 ，直线 ， 下端
点为 ， 在 上，左、右焦点分别为 ， 、 ， ．
（1） ， 中点在 轴上，求点 的坐标；
（2）直线 与 轴交于 ，直线 经过右焦点 ，在 中有一内角余弦值为 ，求
；
（3）在椭圆 上存在一点 到 距离为 ，使 ，随 的变化，求 的最
小值．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分39百】【解析】（1）由题意可得 ，
，
的中点在 轴上，
的纵坐标为 ，
代入 得 ．
（2）由直线方程可知 ，
①若 ，则 ，即 ，
，
．
②若 ，则 ，
， ，
， ．
即 ， ， ，
综上 或 ．
（3）设 ，
由点到直线距离公式可得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分40百】很明显椭圆在直线的左下方，则 ，
即 ，
， ，
据此可得 ， ，
整理可得 ，即 ，
从而 ．
即 的最小值为 ．
48．（2022•浙江）如图，已知椭圆 ．设 ， 是椭圆上异于 的两点，且
点 在线段 上，直线 ， 分别交直线 于 ， 两点．
（Ⅰ）求点 到椭圆上点的距离的最大值；
（Ⅱ）求 的最小值．
【解析】（Ⅰ）设椭圆上任意一点 ，则
， ， ，
而函数 的对称轴为 ，则其最大值为
，
，即点 到椭圆上点的距离的最大值为 ；
（Ⅱ）设直线 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分41百】联立直线 与椭圆方程有 ，消去 并整理可得， ，
由韦达定理可得， ，
，
设 ， ， ， ，直线 ，直线 ，
联立 以及 ，
可得 ，
由弦长公式可得
，
当且仅当 时等号成立，
的最小值为 ．
49．（2021•新高考Ⅱ）已知椭圆 的方程为 ，右焦点为 ， ，
且离心率为 ．
（Ⅰ）求椭圆 的方程；
（Ⅱ）设 ， 是椭圆 上的两点，直线 与曲线 相切．证明： ，
， 三点共线的充要条件是 ．
【解析】（Ⅰ）解：由题意可得，椭圆的离心率 ，又 ，
所以 ，则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分42百】故椭圆的标准方程为 ；
（Ⅱ）证明：先证明充分性，
当 时，设直线 的方程为 ，
此时圆心 到直线 的距离 ，则 ，
联立方程组 ，可得 ，
则△ ，
因为 ，
所以 ， ，
因为直线 与曲线 相切，
所以 ，则 ，
则直线 的方程为 恒过焦点 ，
故 ， ， 三点共线，
所以充分性得证．
若 ， ， 三点共线时，设直线 的方程为 ，
则圆心 到直线 的距离为 ，解得 ，
联立方程组 ，可得 ，
即 ，
所以 ；
所以必要性成立；
综上所述， ， ， 三点共线的充要条件是 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分43百】50．（2021•浙江）如图，已知 是抛物线 的焦点， 是抛物线的准线与
轴的交点，且 ．
（Ⅰ）求抛物线的方程：
（Ⅱ）设过点 的直线交抛物线于 ， 两点，若斜率为2的直线 与直线 ， ，
， 轴依次交于点 ， ， ， ，且满足 ，求直线 在 轴上截
距的取值范围．
【解析】（Ⅰ）依题意， ，故抛物线的方程为 ；
（Ⅱ）由题意得，直线 的斜率存在且不为零，设直线 ，
将直线 方程代入抛物线方程可得， ，
则由韦达定理有， ，则 ，
设直线 ，其中 ，设直线 ，其中 ，
则
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分44百】，
设直线 ，
联立 ，可得 ，则 ，
联立 ，可得 ，则 ，
同理可得， ，
又 ，
，即 ，
，
，即 ，解得 或 ；
当直线 的斜率不存在时，则直线 ， ， ， ，
直线 的方程为 ，直线 的方程为 ，
设直线 ，则 ， ， ， ，
又 ，故 ，
解得 满足 ．
直线 在 轴上截距的取值范围为 ．
考点十二 圆锥曲线的轨迹问题
51．（2021•浙江）已知 ， ， ，函数 ．若 ， ，
成等比数列，则平面上点 的轨迹是
A．直线和圆 B．直线和椭圆 C．直线和双曲线 D．直线和抛物线
【解析】函数 ，因为 ， ， 成等比数列，
则 ，即 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分45百】即 ，
整理可得 ，
因为 ，故 ，即 ，
所以 或 ，
当 时，点 的轨迹是直线；
当 ，即 ，因为 ，故点 的轨迹是双曲线．
综上所述，平面上点 的轨迹是直线或双曲线．
故选： ．
52．（2020•上海）已知椭圆 ，作垂直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，作垂
直于 轴的垂线交椭圆于 、 两点，且 ，两垂线相交于点 ，则点 的轨迹是
A．椭圆 B．双曲线 C．圆 D．抛物线
【解析】 ， ，判断轨迹为上下两支，即选双曲线，
设 ， ，
所以 ，
因为 ， ，消去 可得： ，
故选： ．
53．（2023•新高考Ⅰ）在直角坐标系 中，点 到 轴的距离等于点 到点 的距
离，记动点 的轨迹为 ．
（1）求 的方程；
（2）已知矩形 有三个顶点在 上，证明：矩形 的周长大于 ．
【解析】（1）设点 点坐标为 ，由题意得 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分46百】两边平方可得： ，
化简得： ，符合题意．
故 的方程为 ．
（2）解法一：不妨设 ， ， 三点在 上，且 ．
设 ， ， ，
则 ， ．
由题意， ，即 ，
显然 ，于是 ．
此时， ． ．于是 ， ．
不妨设 ，则 ，
则
．
设 ，则 ，即 ，
又 ．
显然， 为最小值点．故 ，
故矩形 的周长为 ．
注意这里有两个取等条件，一个是 ，另一个是 ，
这显然是无法同时取到的，所以等号不成立，命题得证．
解法二：不妨设 ， ， 在抛物线 上， 不在抛物线 上，欲证命题为
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分47百】．
由图象的平移可知，将抛物线 看作 不影响问题的证明．
设 ， ，平移坐标系使 为坐标原点，
则新抛物线方程为 ，写为极坐标方程，
即 ，即 ．
欲证明的结论为 ，
也即 ．
不妨设 ，将不等式左边看成关于 的函数，根据绝对值函数的性质，
其最小值当 即 时取得，
因此欲证不等式为 ，即 ，
根据均值不等式，有
，
由题意，等号不成立，故原命题得证．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分48百】
