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专题突破卷 14 平面向量的最值范围问题
1.数量积最值范围问题
1．已知线段 是圆 上的一条动弦，且 ，设点 为坐标原点，则
的最大值为 ；如果直线 与 相交于点 ，则
的最小值为 .
【答案】
【分析】综合应用直线与圆、圆与圆的位置关系和平面向量的数量积等知识即可解决问题.
【详解】设 为 中点，则 ， 点 的轨迹方程为 ，
，则最大值为 ，
由直线 ， ，
可得 且 过定点 过定点 ， 点 的轨迹是以 为直径端点的圆，其
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1方程为 ，
，
， ，
，
的最小值为 .
故答案为： ； .
2．如图，已知 是以 为直径的上半圆上的动点（包含端点 ， ）， 是 的中点， ，则
的最大值是 ．
【答案】2
【分析】设 ，则 ，据此可得答案.
【详解】因为 ，所以 ，所以 ，当
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 2且仅当 ，即 与 重合时取等号，故 的最大值是2．
故答案为：2
3．已知非零向量 与 满足 ，且 ，点 是
的边 上的动点，则 的最小值为 .
【答案】 /-0.2
【分析】根据向量的几何意义得到 的平分线与 垂直，并计算出 ， ，建立平
面直角坐标系，表达出 ，配方求出最小值.
【详解】 分别表示 与 方向的单位向量，故 所在直线为 的平分线所在直
线，
又 ，故 的平分线与 垂直，
由三线合一得到 ，取 的中点 ，
因为 ，故 ，
以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 3设 ， ，
则 ，
当 时， 取得最小值，最小值为 .
故答案为：
4．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则 的取值范围是 ．
【答案】
【分析】以 为原点，建立合适的直角坐标系，设 ， ，计算出 ，根据二
次函数的性质则得到其范围.
【详解】以 为原点， , 所在直线分别为 , 轴,建立如图所示的平面直角坐标系，
则 ，设 ，其中 ，
则 ，
，
当 时, 有最小值3，
当 或2时， 有最大值为4，
的取值范围为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 4故答案为： .
5．已知边长为2的菱形 中， 是边 所在直线上的一点，则 的取值范围为
．
【答案】
【分析】取 的中点 ，连接 ，利用平面向量的运算可得 ，结合菱形的几何
性质可得答案.
【详解】
取 的中点 ，连接 ，则 ，
所以 ，
当且仅当 时， 有最小值，则 有最小值，
此时菱形的面积 ，
最小值为 ，
因为 是边 所在直线上的一点，所以 无最大值， 无最大值，
的取值范围为 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5故答案为：
6．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则
的取值范围为 .
【答案】
【分析】建立平面直角坐标系，利用坐标法及点的坐标范围求解即可.
【详解】以O为原点建立平面直角坐标系，如图：
由题意三角形 是边长为2的正三角形，则 ，
设 ，则 ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，所以 的取值范围为 .
故答案为：
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是利用坐标法研究数量积的范围问题，尤其是圆中的数量积的范围
问题，利用坐标运算把数量积范围问题转化为函数（不等式）范围问题解决即可.
2.模长最值范围问题
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 67．已知 是单位向量，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用向量数量积公式得到 ，结合 ，得到不等式，求出 的取值范围.
【详解】设 的夹角为 ，由题意得 ，
因为 是单位向量，故 ，显然 ，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，解得 .
故选：C
8．已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则 的最小值是 ．
【答案】
【分析】采用向量的坐标运算，得到所求模长之和的几何意义，将问题转化为单位圆上的点到 和
两点的距离之和的最小值的求解问题，由此计算得到结果.
【详解】 均为单位向量且 ， 不妨设 ， ， 且 ，
， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7，
的几何意义表示的是点 到 和 两点的距离之和的2倍，
点 在单位圆内，点 在单位圆外，
则点 到 和 两点的距离之和的最小值即为 和 两点间距离，
所求最小值为 .
故答案为： .
9．（多选）在直角梯形 中， ， ， ， ，点P在 所在的平
面内，满足 ，若M是 的中点，则 的取值可能是（ ）
A．7 B．10 C．13 D．16
【答案】BC
【分析】根据题意建立空间直角坐标系，由 ，可确定点P在以D为圆心，1为半径的圆上，设
，由三角恒等变换与平面向量模长坐标运算即可化简 为正弦型三角函数，结合函数性
质可得其取值范围，从而得答案.
【详解】以D为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 8则点P在以D为圆心，1为半径的圆上，可设 ，
由题意知 ， ，则 ，
所以 ，
则
，其中 ，
所以 .
故选：BC.
10．设向量 ， ， ，满足 ， ， 与 的夹角为 ，则 的最大值等于
【答案】
【分析】作向量 ， ， ，根据已知条件可得出 与 的夹角为 ， ， ， ， 四
点共圆，再结合正余弦定理可得出结果.
【详解】解：如下图，作向量 ， ， ，
， ，
， ，
与 的夹角为 ，即 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 9.
又 与 的夹角为 ，即 与 夹角为 ，
， ， ， 四点共圆.
当 为直径时 最大，
在 中，由余弦定理得：
，
.
的外接圆的直径为 .
， ， ， 四点共圆的圆的直径为 .
的最大值为 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查向量在几何图形中的应用，考查正余弦定理，考查数形结合的能力，分析问题能力，
属于中档题.
11．如图， 、 、 三点在半径为 的圆 上运动，且 ， 是圆 外一点， ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】连接 ，可知 为 的中点，计算得出 ，利用向量模的三角不
等式可求得 的最大值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 10【详解】连接 ，如下图所示：
因为 ，则 为圆 的一条直径，故 为 的中点，
所以， ，
所以，
，
当且仅当 、 、 共线且 、 同向时，等号成立，
因此， 的最大值为 .
故选：C.
12．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的坐标运算，结合几何图形的几何性质，即可求解最值.
【详解】设平面向量 ， 的夹角为 ，
， ，
，则
由于 ，所以 ．
不妨设 ， ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 11， ，
化为 ．故 在以 为圆心，以 为半径的圆上运动，
如图所示， 表示原点到圆上一点的距离，故当经过圆心时，距离最大或者最小，
故 ．
故选：C．
3.夹角最值范围问题
13．不共线的向量 ， 的夹角为θ，若向量 与 的夹角也为θ，则cosθ的最小值为 .
【答案】
【分析】可根据向量的加减法的几何意义，作出图形，可得三角形相似，利用余弦定理、三角形相似列出
方程，表示出cosθ，然后求其最小值.
【详解】如图，不妨令 ， ，
则 ， ，
∴∠A＝∠BDC＝θ，∠C是公共角，
∴△ADC∽△DBC.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 12则 ①.
在△ADC中，DC2＝AD2+AC2﹣2×AD×AC×cosθ＝x2+4﹣4xcosθ.
在△DBA中，DB2＝x2+1﹣2xcosθ，
结合①可得： ，
整理得 ，
即 ，
所以 或 ，
即 ，所以 .
或 ，因为 ，2cosθ≤2，故舍去.
故 .
故答案为： .
【点睛】本题主要考查向量的夹角问题，余弦定理的应用，属于中档题.
14．如图，在 中， 、 分别是 、 边上的中点， 与 的交点为 ，若 ，
，则角 的最大值为 .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 13【答案】
【分析】表示 ，进一步可得 ，然后计算 可得关于 的
一元二次方程，最后利用 可得结果.
【详解】根据题意可知：在 中， 、 分别是 、 边上的中点
所以 为 的重心，
所以
又 ，所以
又 ，
所以
根据 ，
所以
则
所以 ，由 ，所以
则 ，所以
所以 的最大值为
故答案为：
【点睛】本题考查向量的线性表示以及数量积的运算，本题难点在于 的表示
以及 的使用和理解，属中档题.
15．在梯形 中， ，且 ， ， 分别为线段 和 的中点，若 ，
，用 ， 表示 ．若 ，则 余弦值的最小值为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 14【答案】
【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；
空（2）以 与 为基底，用数量积的形式表示出 ，再由基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由已知，
.
∴ .
设 ，即 与 的夹角为 ，
，
若 ，则 ，
∴ ，
又∵ ， ，∴由基本不等式，
∴ .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： ， .
【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以 为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 15为数量积的形式，再借助基本不等式求解.
16．已知 是平面向量，满足 ， 且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ，利用几何意义知B既在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，又在以
A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，结合图象即可得到答案.
【详解】设 ， ，由题意，知B在以O为圆心，半径为3的圆上及圆的内部，
由 ，知B在以A为圆心，半径为2的圆上及圆的内部，如图所示
则B只能在阴影部分区域，要 最小，则 应最大，
此时 .
故选：B.
【点睛】本题考查向量夹角的最值问题，本题采用数形结合的办法处理，更直观，是一道中档题.
17．已知O为 的外心，且 ．若向量 在向量 上的投影向量为 ，其中
，则 的取值范围为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 16A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到 ，过 作 的垂线 ，由 在 上的投影向量为 ，求得
，又由 ，得到 ，结合 ，即可求解.
【详解】因为 ，所以 ，
又因为O为 的外心，所以 为直角三角形且 ，O为斜边BC的中点，
过 作 的垂线 ，垂足为 ，
因为 在 上的投影向量为 ，
所以 在 上的投影向量为 ，
又因为 ，所以 ，
因为 ，所以 ，即 的取值范围为 ．
故选：D.
18．已知 与 为相反向量，若 ， ，则 ， 夹角的余弦的最小值为
．
【答案】-1
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 17【分析】先根据向量模长相关不等式得到 ，解出 ，设 ，
， 夹角为 ，将 两边平方，得到 ，结合 ，求出
，得到答案.
【详解】 ，故 ，
因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，解得： ，
不妨设 ， ， 夹角为 ，则 ，
两边平方得： ，
即 ，解得： ，
因为 ，所以 ，
故 ， 夹角的余弦的最小值为-1.
故答案为：-1
4.系数最值
19．如图，在直角梯形 中， ，动点 在以点 为圆心，且与
直线 相切的圆上或圆内移动，设 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 18【答案】C
【详解】由直角梯形可知依直角建立坐标系，则 ，直线
， 圆 的半径
设 ，由 可得：
在圆 内
设 ，则
，其中
由 可知
，且
所以 .
20．在平面直角坐标系 中，点 为单位圆 上的任一点， 、 ．若 ，
则 的最大值为 ．
【答案】
【分析】设点 ，利用平面向量数量的坐标运算可得出 ，可得出 的
表达式，利用辅助角公式结合正弦型函数的最值可求得 的最大值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 19【详解】设点 ，由 ，
所以， ，可得 ，
所以， ， 为锐角，且 ，
所以， 的最大值为 .
故答案为： .
21．如图，扇形 中，点 是 上一点，且 .若 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．1
【答案】A
【分析】由平面向量的数量积运算，结合两角和的正弦公式，求三角函数的最值即可．
【详解】由题意，建立如图所示的坐标系，设扇形半径为 ，
由 ，可得 ， ，
设 ， ，
由 ，可得 ， ， ，
所以 ，整理得： ，
则 ，其中 ，
所以当 时， 有最大值 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 20故选：A．
22．在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可.
【详解】建立如图所示的直角坐角坐标系，过 作 ，垂足为 ，
因为 ，
所以有 ，
，设 ， ，
因此有
因为 ，
所以有 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 21而 ，
所以 ，
当 时， 有最大值 ，当 ，xy有最小值 ，
所以 的取值范围是
故选：B
【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键.
23．如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，动点 在以点 为圆心，
且与直线 相切的圆上或圆内移动，设 ，则 取值范围是 ．
【答案】
【分析】以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，先求出以点 为圆心，且与直线 相切的圆方程，设
，再根据 ，可求出点 的坐标，再根据 在圆内或圆上，可得关于
的一个不等关系，设 ，进而可得出答案.
【详解】如图所示以 为坐标原点，建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
直线 的方程为 ，化简得 ，
点 到 的距离 ，
可得以点 为圆心，且与直线 相切的圆方程为 ，
设 ，则 ， ， ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 22，
，
可得 且 ， 的坐标为 ，
在圆内或圆上，
，
设 ，得 ，
代入上式化简整理得 ，
若要上述不等式有实数解，
则 ，
化简得 ，
解得 ，
即 ，
取值范围是 ．
故答案为： ．
【点睛】关键点点睛：利用向量的坐标表示将点 的坐标用 表示是解决本题的关键.
24．（多选）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中， ，且点P在以AD的中点O为圆心，
OA为半径的半圆上，若 ，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 23A． B．
C． 最大值为8 D． 的最大值为
【答案】AD
【分析】对于AB，将 分别用 表示，再结合数量积的运算律即可判断；对于CD，以点 为原点，
所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，设 ，根据平面向量的坐标表示及坐
标运算即可判断.
【详解】对于A，因为 ，且点 在以 的中点 为圆心， 为半径的半圆上，
所以 ，
则 ，故A正确；
，故B错误；
如图，以点 为原点， 所在直线为 轴，过点 且垂直 的直线为 轴建立平面直角坐标系，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 24则 ，
因为点 在以 的中点 为圆心， 为半径的单位圆上，且在 轴的下半部分，
设 ，
则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以当 ，即 时， 取得最大值 ，故C错误；
因为 ，所以 ，
即 ，
所以 ，所以 ，
因为 ，所以当 时， 取得最大值 ，故D正确.
故选：AD.
1．如图，在四边形 中， .若 为线段 上一动点，
则 的最大值为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 25A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题建立平面直角坐标系，再由平面向量数量积的坐标运算得到 ，再求二次函
数的最大值即可．
【详解】以 为原点， ， 所在直线分别为 ， 轴建立平面直角坐标系，
则 ， ， ， ，
设 ，其中 ，
则 ， ，
，
当 时， 有最大值6．
故选：C．
2．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边
上运动，MN为圆O的直径，则 的取值范围是（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 26A． B． C． D．
【答案】B
【分析】用可以求解的向量 来表示 .
【详解】记圆心为 ，则 ，
因为 互为相反向量，
所以 ，
因为正六边形ABCDEF的边长为2， 为正六边形的中心，
所以当 与正六边形顶点重合时， 有最大值2，
当 在正六边形边上的中点处时， 有最小值，此时 .
所以 .
故选：B
3．如图．在直角梯形 中． ，点P是腰 上的动点，则
的最小值为 ．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 27【答案】4
【分析】建立平面直角坐标系，设 ，求得相关点坐标，求出 的表达式，结合二次函数的
性质即可求得答案.
【详解】由在直角梯形 中． ，
则 ，则以A为原点， 为 轴建立平面直角坐标系，
设 ，设 ，则 ，
故 ，
所以 ，故 ，
当且仅当 即 时取得等号，
即 的最小值为4，
故答案为：4
4．在边长为4的正方形 中，动圆Q的半径为1、圆心在线段 （含端点）上运动，点P是圆Q上
及其内部的动点，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据数量积的几何意义，结合图形关系即可求解最值.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 28【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，
由数量积的几何意义可知： 等于 与 在 上的投影的乘积，
故当 在 上的投影最大时，数量积最大，此时点 在以 为圆心的圆的最上端 处，此时投影为
，故数量积为 ，
故当 在 上的投影最小时，数量积最小，此时点 在以 为圆心的圆的最下端 处，此时投影为
，故数量积为 ,
故 ，
故选：A
5．已知 的外接圆的圆心为 ，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】C
【分析】由正弦定理得到 ，利用向量数量积公式得到 ，由
求出答案.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 29【详解】由正弦定理得 ，故 ，
因为 ，所以 ，
则
，
因为 ，所以 ，则 ，
故 .
故选：C
6．已知非零不共线向量 ， 满足 ； ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据模长公式可得 ，再由 三者之间的关系，可得 ，由此得解．
【详解】由 ， ，可得 ，
则 ，
又非零向量 ， 不共线，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 30由三角不等式关系 ，
则 ，则 ，
所以 ．
故选：D
7．已知 为单位向量， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由 可得 ，则将 放入下图所示的正方形 中，由 可得 的
终点在以 为直径的圆上，则 的最大值为 ，求解即可.
【详解】对 两边同时平方可得： ，
为单位向量，所以设 ，且 ，
将 放入下图所示的正方形 中，所以 ，
令 ，则由 可得， ，即 ，
所以 ，则 的终点在以 为直径的圆上，所以圆的圆心 ， ，
所以 的最大值为 .
故选：D.
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 318．设正八边形 的外接圆半径为 ，圆心是点 ，点 在边 上，则 ；
若 在线段 上，且 ，则 的取值范围为 .
【答案】
【分析】分析可知 为线段 的中点，可化简得出 ，再利用平面向量数量积的定
义可求得 的值；以点 为坐标原点， 、 的方向分别为 、 轴的正方向建立平面直角坐
标系，利用平面向量的坐标运算可出 关于 的线性表达式，即可得出 的取值范围.
【详解】由正八边形的对称性可知， 为线段 的中点，
则 ，所以， ，
故 ；
在正八边形 中， ，则 ，
以 为坐标原点， 、 的方向分别为 、 轴的正方向建立如下图所示的平面直角坐标系，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 32则 、 、 、 ，
所以， ， ， ， ，
设 ，其中 ，则
，
因为 ，即
，
所以， ，即 .
故答案为： ； .
9．直角梯形ABCD中， ， ， ，点 为 中点， 在 边
上运动（包含端点），则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 33【分析】建立直角坐标系，分类讨论 在 边上运动时 的取值范围，从而得解.
【详解】依题意，建立直角坐标系，如图，
则 ，
当 在 边上运动时，记 ，
则 ，
所以 ，则 ；
当 在 边上运动时，记 ，
则 ，所以 ，则 ；
当 在 边上运动时，记 ，
则 ，
所以 ，则 ；
综上： .
故选：A.
10．已知单位圆O是 ABC的外接圆，若 ，则 的最大值为（ ）
△
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 34A． B． C．1 D．
【答案】C
【分析】利用圆的性质，得到 ，将 转换为 ，进而找到最大值.
【详解】如图所示：
因为单位圆O是 ABC的外接圆， ，所以 ，
△
且 ，
，
故当 共线反向时， 取到最大值1，
故选：C.
11．已知等边 ABC的边长为 ，三个动点D、E、F分别在线段BC、AC、AB上（包含端点），动点M
△
在 ABC的外接圆上，且满足： ， ， ，其中 ， ，则
△
的最大值为 ．
【答案】
【分析】建立直角坐标系，结合向量的数量积坐标运算和三角函数的最值求法，即可求最大值.
【详解】如图所示，以边 所在直线为 轴， 的中点 为坐标原点建立平面直角坐标系，
因为该等边 ABC的边长为 ，所以 ， ， ，
△
所以直线 与直线 关于 轴对称，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 35由正弦定理 ，得 ABC的外接圆半径 ，
△
由 ， ， ，
可求 ABC的外接圆的方程为： ，圆心坐标为 ，
△
因为 ， ，所以 ， ，
所以 ， ，所以 ，
因为 ，所以 ，
过 作 交 于 ，过 作 交 于 ，
因为D、F分别在线段BC、AB上，直线 与直线 关于 轴对称，
所以D、F关于 轴对称，所以 ， 关于原点 对称，
因为 ， ，
所以 ，
因为 ， 关于原点对称，即 为 的中点，
所以 ，
所以 ，
设 ，则 ， ，
所以 ，
因为 ，所以可设 ，
可得 ，
化简可得 ，
其中 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 36所以 ，
所以当 时， 取最大值 .
故答案为： .
12．扇形 中， ， 为 上的一个动点，且 ，其中 .
（1） 的取值范围为 ；
（2） 的取值范围为 .
【答案】
【详解】（1）解法一：（等和线）设 与 相交于点 ， ， ，
.
解法二：（坐标法） ， ，
， ， ， ，
.
解法三：设 ，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 37，即
∴ .
（2）解法一：（等和线）
解法二： ，其中 先增后减.
13．在直角 中， ，平面 内动点 满足 ，则 的最小值为
.
【答案】 /
【分析】由题可知，点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，由数量积的定义求出
，再由向量的模长公式求出 ，当 与 共线反向时，
取最小值，即可得出答案.
【详解】平面 内动点 满足 ，所以点 的轨迹是以 为圆心，1为半径的圆，
因为 ，由勾股定理可得： ，
所以 ，且 ，
所以 ，所以 ，
，
，
，
，
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 38又向量 是长度为 的一个向量，由此可得，点 在圆 上运动，
当 与 共线反向时， 取最小值，且这个最小值为一 ，
故 的最小值为 .
故答案为： .
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 39
