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第 23 课 探索三角形相似的条件 相似三角形判定定理的证明
课后培优练级
练
培优第一阶——基础过关练
一、单选题
1．如图，AD、BC相交于点O，由下列条件不能判定 AOB与 DOC相似的是（ ）
△ △
A．AB∥CD B．
C． D．
2．在 ABC中，直线DE分别与AB、AC相交于点D、E，下列条件不能推出 ABC与 ADE相似的是（
）
△ △ △
A． B．∠ADE=∠ACB
C．AE﹒AC=AB﹒AD D．
3．如图，已知∠1＝∠2，那么添加一个条件后，仍不能判定 ABC与 ADE相似的是（ ）
△ △
A．∠C＝∠AED B．∠B＝∠D C． D．
4．下列条件，能使 和 相似的是（ ）
A．
B．
C．
D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
①有两边成比例且一对内角相等的两个三角形相似；②有一对锐角相等的两个直角三角形相似；③有两边
对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；④一条直线截三角形两边所得的三角形与原三角形相似．A．①，② B．②，③ C．③，④ D．①，④.
6．如图， 中，点 是边 上一点，下列条件中，不能判定 与 相似的是（ ）
A． B．
C． D．
7．在Rt ABC和Rt DEF中，∠C=∠F=90°，由下列条件判定 ABC∽ DEF的是（ ）
①∠A=55°，∠D=35°；②AC=3，BC=4，DF=6，DE=8；③AC=9，BC=12，DF=6，EF=8；④AB=10，
△ △ △ △
AC=8，EF=9，DE=15．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，在四边形ABDC中，不等长的两对角线AD、BC相交于O点，且将四边形ABDC分成甲、乙、
丙、丁四个三角形．若OA：OB＝OC：OD＝2：3，则此四个三角形的关系，下列叙述正确的是（ ）
A．甲与丙相似，乙与丁相似
B．甲与丙相似，乙与丁不相似
C．甲与丙不相似，乙与丁相似
D．甲与丙不相似，乙与丁不相似
9．在 ABC中，D为AB上一点，过点D作一条直线截 ABC，使截得的三角形与 ABC相似，这样的直
线可以作（ ）
△ △ △
A．2条 B．3条 C．4条 D．5条
10．如图，在正方形ABCD中，点E为AD边上的一个动点（与点A，D不重合），∠EBM＝45°，BE交对
角线AC于点F，BM交对角线AC于点G，交CD于点M，下列结论中错误的是（ ）
A．△AEF∽△CBF B．△CMG∽△BFG C．△ABF∽△CBG D．△BDE∽△BCG二、填空题
11．如图，已知 ，则 _______，理由是______．
12．点D在 的边AB上，且 ，则 ，理由是_______．
13．如图，D是 的边AB上一点，若 ，则 ∽ ，若 ，则 ∽
．
14．如图，若 ，则 ．
15．如图，在四边形ABCD中，DE∥BC交AB于点E，点F在AB上，请你再添加一个条件________(不再
添加辅助线及其他字母)，使 FCB∽△ADE.
△
16．如图所示，在正方形网格上有6个斜三角形，①△ABC，②△BCD，③△BDE，④△BFG，
⑤△FGH，⑥△EFK，在②～⑥中，与三角形①相似的有____（填序号）17．如图，在矩形ABCD中， ， ，点E在边AD上， ，点F在边DC上，则当
________时， 与 相似．
18．定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成两个三角形，如果这两个三角形相似但不全
等，我们就把这条对角线叫做这个四边形的相似对角线，在四边形ABCD中，对角线BD是它的相似对角
线，∠ABC=70°，BD平分∠ABC，那么∠ADC=____________度
三、解答题
19．根据下列条件，判断 与 是否相似，并说明理由：
（l） ， ， ，
， ， ；
（2） ， ， ，
， ， ．
20．如图， 中，CD是斜边AB上的高．求证：
（1） ；
（2） ．
21．如图，在 中，E是DC上一点，连接AE、F为AE上一点，且 .
求证： .
22．如图，P是 的边 上的一点．（1）如果 ， 与 是否相似？为什么？
（2）如果 ， 与 是否相似？为什么？如果 呢？
培优第二阶——拓展培优练
一、单选题
1．如图，在正三角形ABC中，点D、E分别在AC、AB上，且 ，AE=BE，则有（ ）
A． AED∽△BED B． AED∽△CBD
C． AED∽△ABD D． BAD∽△BCD
△ △
2．如图，正方形 中， 是 的中点， 是 边上的一点，下列条件中，不能推出 与
△ △
相似的是（ ）
A． B． C． 是 的中点 D．
3．如图，在平面直角坐标系中，A（0，4），B（2，0），点C在第一象限，若以A、B、C为顶点的三角
形与△AOB相似（不包括全等），则点C的个数是（ ）A．1
B．2
C．3
D．4
4．如图，正方形ABCD中，以BC为边向正方形内部作等边 BCE，连接AE并延长交CD于F，连接
DE，下列结论：①AE＝DE；②∠CEF＝45°；③AE＝EF；④ DEF∽△ABE，其中正确的结论共有
△
（ ）
△
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．如图，在矩形 中，点 是 的中点， 的平分线交 于点 将 沿 折叠，点
恰好落在 上 点处，延长 、 交于点 ，有下列四个结论：① 垂直平分 ；② 平分
；③ ；④ ．其中，将正确结论的序号全部选对的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④
6．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的中线，过点C作CE⊥CD交AB的延长线于点E，添加下列条件仍不
能判断△CEB与△CAD相似的是（ ）
A．∠CBA＝2∠A B．点B是DE的中点
C．CE•CD＝CA•CB D． ＝二、填空题
7．如图，在 中， ，则图中相似三角形共有______对．
8．在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A，B），过点P的一条直线截△ABC，使截得的三角形与
△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线．如图，∠A=36°，AB=AC，当点P在AC
的垂直平分线上时，过点P的△ABC的相似线最多有________条．
9．如图，已知 ， ， ， ． 是射线 上的动点（点 与点 不重
合）， 是线段 的中点，连结 ，交线段 于点 ，如果以 ， ， 为顶点的三角形与
相似，则线段 的长为________．
10．如图，在△ABC中，P为AB上的一点，在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC＝∠ACB；
③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，添加其中一个条件能满足△APC和△ACB相似的条件有 _____种情
况．
11．如图，点E在 ABCD的边CD的延长线上，连接BE分别交AD、AC于F、G．图中相似的两个三角
形共有 _____对．
▱12．如图，在 中， ， ，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为 ；动点
Q从点B开始沿BC边运动，速度为 ；如果P、Q两动点同时运动，那么经过______秒时 与
相似．
三、解答题
13．已知：如图，在四边形ABCD中， ， ， ， .
求证：（1） ；
（2） .
14．已知：如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，且∠ABE =∠ACD，BE、CD交于点G．
（1）求证：△AED∽△ABC；
（2）如果BE平分∠ABC，求证：DE=CE．
15．如图，已知，在平行四边形ABCD中，E为射线CB上一点，联结DE交对角线AC于点F，∠ADE＝
∠BAC．
（1）求证：CF•CA＝CB•CE；
（2）如果AC＝DE，求证：四边形ABCD是菱形．16．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．
（1）求证：△AEB∽△CFB；
（2）若CE＝5， ，BD＝6．求AD的长．
17．如图，点 是菱形 的对角线 上一点，连接 并延长，交 于点 ，交 的延长线于点
．
（1）求证： ；
（2）若菱形边长为8， ， ，求 的长．
18．如图，在 中， 的平分线交边 于点 ，交 的延长线于点 ，点 在 上，联结
（1）求证： ；
（2）连结 ，如果 ，且 ，求 的长．19．如图，BE，CD是 的高，连接DE.
（1）求证： ；
（2）若 ，M为BC的中点，连接DM.求证： .
20．已知：如图，四边形 是菱形，点 、 分别在边 、 上，联结 、 交对角线 于
、 两点，且 ．
（1）求证： ；
（2）若 ，求证： ．
21．如图，点E，F在正方形ABCD的对角线AC上， ．
（1）当BE=BF时，求证：AE=CF；
（2）若AB=4，求 的值；
（3）延长BF交CD于点G，连接EG．判断线段BE与EG的数量关系，并说明理由．
22．如图1，在正方形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，点E在AB上，点F在BC的延长线上，且AE
＝CF，连接EF交AC于点P，分别连接DE，DF，DP
（1）求证：△ADE≌△CDF；
（2）求证：△ADP∽△BDF；（3）如图2，若PE＝BE，PC＝ ，求CF的值．
培优第三阶——中考沙场点兵
一、单选题
1．（2015·湖北荆州·中考真题）如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，
不正确的是（ ）
A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC
C． D．
2．（2019·四川雅安·中考真题）如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形（阴影部分）
与 相似的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2016·广西河池·中考真题）如图，将△ABC沿BC方向平移得到△DCE，连接AD，下列条件能够判
定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB=BC B．AC=BC C．∠B=60° D．∠ACB=60°
4．（2012·江苏徐州·中考真题）如图，在正方形ABCD中，E是CD的中点，点F在BC上，且FC=
BC．图中相似三角形共有【 】A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
5．（2013·贵州贵阳·中考真题）如图，M是Rt△ABC的斜边BC上异于B、C的一定点，过M点作直线截
△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，这样的直线共有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
二、填空题
6．（2021·湖南湘潭·中考真题）如图，在 中，点D，E分别为边 ， 上的点，试添加一个条
件：_____，使得 与 相似．（任意写出一个满足条件的即可）
7．（2012·山东菏泽·中考真题）如图，∠DAB=∠CAE，请补充一个条件：________________，使
ABC∽△ADE．
△
8．（2016·湖南娄底·中考真题）如图，已知点B、E、C、F在同一条直线上，∠A=∠D，要使
△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是______．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）9．（2017·山东潍坊·中考真题）如图，在 中， ， 分别为边 、AC上的点，
， ,点F为BC边上一点，添加一个条件:__________，可以使得 与 相似.
（只需写出一个）
10．（2015·广东汕尾·中考真题）已知：△ABC中，点E是AB边的中点，点F在AC边上，若以A，E，
F为顶点的三角形与△ABC相似，则需要增加的一个条件是____________．（写出一个即可）
三、解答题
11．（2013·湖南益阳·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CD，CE⊥AB于E．求证：
△ABD∽△CBE．
12．（2022·江苏盐城·中考真题）如图，在 与 中，点 、 分别在边 、 上，且
，若___________，则 ．请从① ；② ；③
这三个选项中选择一个作为条件（写序号），并加以证明．
13．（2022·浙江丽水·中考真题）如图，在 的方格纸中，点A，B，C均在格点上，试按要求画出相应
格点图形．(1)如图1，作一条线段，使它是 向右平移一格后的图形；
(2)如图2，作一个轴对称图形，使 和 是它的两条边；
(3)如图3，作一个与 相似的三角形，相似比不等于1．
14．（2015·湖南湘潭·中考真题）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜
边AB上的点E处．
（1）求证：△BDE∽△BAC；
（2）已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．
