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专题突破卷 14 平面向量的最值范围问题
1.数量积最值范围问题
1．已知线段 是圆 上的一条动弦，且 ，设点 为坐标原点，则
的最大值为_____；如果直线 与 相交于点 ，则
的最小值为_____.
2．如图，已知 是以 为直径的上半圆上的动点（包含端点 ， ）， 是 的中点， ，则
的最大值是_____．
3．已知非零向量 与 满足 ，且 ，点 是
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 1的边 上的动点，则 的最小值为_____.
4．如图，正方形ABCD的边长为2，P为CD边上的一个动点，则 的取值范围是_____．
5．已知边长为2的菱形 中， 是边 所在直线上的一点，则 的取值范围为
_____．
6．如图，半径为2的圆O内有一条长度等于半径的弦AB，若圆O内部（不含圆上）有一动点P，则
的取值范围为_____.
2.模长最值范围问题
7．已知 是单位向量，向量 满足 ，则 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知 是平面内的三个单位向量，若 ，则 的最小值是_____．
9．（多选）在直角梯形 中， ， ， ， ，点P在 所在的平
面内，满足 ，若M是 的中点，则 的取值可能是（ ）
A．7 B．10 C．13 D．16
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 210．设向量 ， ， ，满足 ， ， 与 的夹角为 ，则 的最大值等于_____
11．如图， 、 、 三点在半径为 的圆 上运动，且 ， 是圆 外一点， ，则
的最大值是（ ）
A． B． C． D．
12．已知平面向量 ， ， 满足 ， ， ，则 的最大值为（ ）
A．0 B． C． D．
3.夹角最值范围问题
13．不共线的向量 ， 的夹角为θ，若向量 与 的夹角也为θ，则cosθ的最小值为_____.
14．如图，在 中， 、 分别是 、 边上的中点， 与 的交点为 ，若 ，
，则角 的最大值为_____.
15．在梯形 中， ，且 ， ， 分别为线段 和 的中点，若 ，
，用 ， 表示 _____．若 ，则 余弦值的最小值为_____．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 316．已知 是平面向量，满足 ， 且 ，则 的最小值是（ ）
A． B． C． D．
17．已知O为 的外心，且 ．若向量 在向量 上的投影向量为 ，其中
，则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
18．已知 与 为相反向量，若 ， ，则 ， 夹角的余弦的最小值为
_____．
4.系数最值
19．如图，在直角梯形 中， ，动点 在以点 为圆心，且与
直线 相切的圆上或圆内移动，设 ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
20．在平面直角坐标系 中，点 为单位圆 上的任一点， 、 ．若 ，
则 的最大值为_____．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 421．如图，扇形 中，点 是 上一点，且 .若 ，则 的最大值为
（ ）
A． B． C． D．1
22．在直角梯形ABCD中 ， ，点E为BC边上一点，且
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
23．如图，在直角梯形 中， ， ， ， ，动点 在以点 为圆心，
且与直线 相切的圆上或圆内移动，设 ，则 取值范围是_____．
24．（多选）如图所示，在边长为3的等边三角形ABC中， ，且点P在以AD的中点O为圆心，
OA为半径的半圆上，若 ，则（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 5A． B．
C． 最大值为8 D． 的最大值为
1．如图，在四边形 中， .若 为线段 上一动点，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边
上运动，MN为圆O的直径，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．如图．在直角梯形 中． ，点P是腰 上的动点，则
的最小值为_____．
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 64．在边长为4的正方形 中，动圆Q的半径为1、圆心在线段 （含端点）上运动，点P是圆Q上
及其内部的动点，则 的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
5．已知 的外接圆的圆心为 ，且 ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C．2 D．3
6．已知非零不共线向量 ， 满足 ； ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．已知 为单位向量， ， ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
8．设正八边形 的外接圆半径为 ，圆心是点 ，点 在边 上，则 _____；若 在
线段 上，且 ，则 的取值范围为_____.
9．直角梯形ABCD中， ， ， ，点 为 中点， 在 边
上运动（包含端点），则 的取值范围为（ ）
资料收集整理【淘宝店铺：向阳百分百】 7A． B． C． D．
10．已知单位圆O是 ABC的外接圆，若 ，则 的最大值为（ ）
△
A． B． C．1 D．
11．已知等边 ABC的边长为 ，三个动点D、E、F分别在线段BC、AC、AB上（包含端点），动点M
△
在 ABC的外接圆上，且满足： ， ， ，其中 ， ，则
△
的最大值为_____．
12．扇形 中， ， 为 上的一个动点，且 ，其中 .
（1） 的取值范围为_____；
（2） 的取值范围为_____.
13．在直角 中， ，平面 内动点 满足 ，则 的最小值为
_____.
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