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考点巩固卷 18 空间向量与立体几何(九大考点)
考点01 空间向量及其运算
1．已知三棱锥 ，点M，N分别为 ， 的中点，且 ， ， ，用 ， ，
表示 ，则 等于（ ）
A． B．C． D．
【答案】D
【分析】运用向量的线性运算即可求得结果．
【详解】因为 ， ， ，
所以 .
故选：D.
2．已知空间向量 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用空间向量坐标运算，求出n值，再利用夹角公式计算作答.
【详解】向量 ，则 ，
由 ，得 ，解得 ， ，
因此 ， ， ，
所以 与 的夹角的余弦值 .
故选：B
3．设空间向量 ， ，若 ，则 ．
【答案】9
【分析】先利用空间向量共线定理，得到 ，由此求出 和 的值，得到 ， 的坐标，求出 的
坐标，再利用向量模的计算公式求解即可．
【详解】解：因为空间向量 ， ，且 ，
所以 ，即 ，
可得 ，解得 ， ，
所以 ，
则 ，
所以 ．
故答案为：9
4．在长方体 中，设 ， ，则 ．
【答案】1
【分析】由向量的线性运算，结合空间向量数量积的运算求解即可．
【详解】如图所示，
在长方体 中，设 ， ，
则
.
故答案为：1.
5．如图，在棱长为 的正四面体 中， 分别为棱 的中点，则 ．【答案】 /
【分析】根据向量线性运算，将 转化为 ，根据向量数量积的定义和运算
律可求得结果.
【详解】
.
故答案为： .
6．已知向量 ，若 ，则 ．
【答案】
【分析】设 ，依题意可得 ，再根据向量夹角公式即可求解.
【详解】设 向量 ，
， ，设 与 的夹角为 ， ，
， .
故答案为： .
考点02空间共面向量定理
7．已知点 ， ， ， 分别位于四面体的四个侧面内，点 是空间任意一点，则“”是“ ， ， ， 四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【答案】A
【分析】根据空间向量共面定理，结合充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可．
【详解】充分性：因为 ，且 ，
由空间向量共面定理可知， ， ， ， 四点共面，所以充分性成立，
必要性：若 ， ， ， 四点共面， ，
则 ，
其中 ， ， 只是其中的一种情况， ， ， 也可以是其他和为1的取值，
所以必要性不成立，
综上所述，“ ”是“ ， ， ， 四点共面”的充分不必要条件，
故选：A．
8．已知 ，若 三向量共面，
则实数 等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】A
【分析】利用向量共面定理，设 ，列出方程组，即可求出实数 ．
【详解】 ， 三向量共面，
可设 ，即 ，
，解得 ．
故选：A．
9．（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）A． B．
C． D．
【答案】ABD
【分析】根据各项中向量之间的线性关系，应用数形结合法判断M与A，B，C是否存在不共面的情况即
可.
【详解】A： ，如下图 ， ，
由 的关系不定，则 不一定在面 上，满足；
B： ，如下图 ，此时满足上式，
此时，M与A，B，C不共面，满足；
C：因为 ，所以 ，所以M，A，B，C共面，不满足.
D： ，如下图 ，此时，M与A，B，C不共面，满足；
故选：ABD
10．设 ， ， 是三个不共面的向量，现在从① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中选出可
以与 ， 构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为 （填序号）.
【答案】③④⑤
【分析】利用空间向量基本定理即可求出结果.
【详解】根据空间向量基本定理知，构成基底只要三个向量不共面即可，故①②不合题意，
又 ， ， 是三个不共面的向量，故只要含有向量 即可，故③④⑤都可以.
故答案为：③④⑤.
11．如图，从 所在平面外一点O作向量 .求证：
(1) 四点共面；
(2)平面 平面 .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用共面向量定理证明，由 可得四点共面；（2）利用共线向量定理，可得： ， ，从而利用面面平行的判定定理即可证明.
【详解】（1）证明：因为四边形 为平行四边形，所以 ，
因为从 所在平面外一点O作向量 ，
所以
,
所以 共面，
因为 有公共端点 ，
所以 四点共面；
（2）证明：因为 ，
所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ，
由（1）知 ，所以 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以平面 平面 .
12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分
别为 ， ， ， 的重心．求证：E，F，G，H四点共面．【答案】证明见解析
【分析】利用重心的性质并利用平面向量的加减法则将向量 可表示成 ，根据空间向量的共面
定理即可得出证明.
【详解】如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，
MQ，EF，EH．
由于E，F，G，H分别是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R分别为所在边的中点，即 ， ，且 ；
所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形 为平行四边形，
且有 ， ， ， ．
由于四边形MNQR为平行四边形，
可得
．
由于三个向量有公共点E，根据空间向量的共面定理可得向量 共面；所以 四点共面.
考点03求平面的法向量
13．已知向量 ，平面α的一个法向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据得到得到 ，从而得到关系式.
【详解】由题意可知 ，故 ，
故选：C
14．已如点 ， ， 者在平面 内，则平面 的一个法向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设出法向量 ，利用向量垂直得到方程组，取 求出 ，与 共线
的向量也是法向量，得到答案.
【详解】由 ， ， ，得 ， ，
设 是平面 的一个法向量，则 即 ,
取 ，则 ，故 ，则与 共线的向量也是法向量，
经验证，只有C正确..
故选：C．
15．（多选）已知平面 与平面 平行，若 是平面 的一个法向量，则平面 的法向量可能为
（ ）A． B． C． D．
【答案】AD
【分析】由平行平面的法向量共线，可求解.
【详解】设平面 的法向量可能为 ，则由题意可得 ，
对于 选项， ，满足题意；
对于 选项，设 ， 无解，所以不符合题意；
对于 选项，设 ， 无解，所以不符合题意；
对于 选项， ，满足题意．
故选：AD．
16．（多选）已知平面 内两向量 ，且 ，若 为平面 的一个
法向量，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】先根据空间向量的坐标运算求出 ，再根据数量积的坐标表示即可得解.
【详解】 ，
由 为平面 的一个法向量，
得 ，解得 .
故选：AC.
17．在正方体 中，棱长为2，G，E，F分别为 ，AB，BC的中点，求平面GEF的一个
法向量．
【答案】一个法向量为【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，利用空间向量求解.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ， ， ．
由此可得 ， ．
设平面GEF的法向量为 ，则
，
令 ，则 ， ，
即平面GEF的一个法向量为 ．
考点04 利用空间向量证明平行，垂直
18．如图所示，在正方体 中，E是棱DD 的中点，点F在棱C D 上，且 ，若
1 1 1
∥平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C【分析】先求平面 的法向量，根据线面平行可得 ，运算求解即可.
【详解】如图所示，以A为原点， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，设
正方体的棱长为1，
则 ，
可得 ，
设 是平面 的法向量，则 ，
令 ，则 ，即 ，
由 ，且 ，可得 ，
又因为 ，则 ，
由 ∥平面 ，可得 ，解得 .
故选：C.
19．如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点， .证明：平面 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，求解两个平面的法向量，利用法向量证明面面垂直.
【详解】证明：取 的中点 ，连接 ，
在正三棱柱 中，不妨设 ;
以 为原点， 分别为 轴和 轴正方向，建立空间直角坐标系，如图所示，
则 , ，
；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，则 ， ，即 ；
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，取 ，得 ， ，即 .因为 ，所以平面 平面 ；
20．如图所示，已知矩形 和矩形 所在的平面互相垂直，点 ， 分别在对角线 ， 上，
且 ， ．求证： .
【答案】证明见解析
【分析】根据面面垂直的性质定理推出 平面 ，进一步推出 ，再根据空间向量可证
.
【详解】在矩形 中， ，
因为平面 平面 ，且平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，又因 平面 ，所以 ，
又 ，
所以 ，
所以 .
21．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ，
， ， 分别是 ， 的中点. 求证： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得 平面
【详解】由题意，在矩形 中， ， ， ，
， 分别是 ， 的中点，
∴ ， ，
在四棱锥 中，面 平面 ，
面 面 ， ， 平面 ， ∴ 面 ，
面 ，∴ ，
取 中点 ，连接 ，
∵ ，
∴ ，所以四边形 是平行四边形，∴ ，
∵ ，∴ ，
∵ 面 ， 面 ，
∴ 面 ，∵ 平面 ，
∴
以 、 、 为 、 、 轴建立空间直角坐标系如下图所示，
∴ ，
∴ ，面 的一个法向量为 ，
∵ ， 平面 ，
∴ 平面 .
22．如图，在三棱柱 中， 平面 ，D，E分别为棱AB， 的中点， ，， .证明： 平面 .
【答案】证明见解析
【分析】建立空间直角坐标系，利用向量法来证得 平面
【详解】在三棱柱 中， 平面 ， ， ， .
所以 ，则 ，则 ，则如下图，
以 为原点， 为 轴建立空间直角坐标系，
设 ，则
，
所以 ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，即 ，
所以 ，得 ，
又 平面 ，所以 平面 .23．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，E是 的中点，已知
， ．
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）以A为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利
用向量法证明 ．
（2）运用线面垂直的性质定理可证得 ，进而运用线面垂直的判定定理可证得 平面PAC，进
而可证得面面垂直.
【详解】（1）以A为原点， ， ， 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，如
图所示，
则 ， ， ， ， ，
所以 ， ，所以 ，所以 ．
（2）连接 ， ，如图所示，
因为 面 ， 面 ，所以 ，
又因为四边形 为正方形，所以 ，
又因为 ， 、 面 ，所以 面 ，
又因为 面 ，所以平面 平面 ．
考点05 求空间角
24．如图，在棱锥 中， ， ， 两两垂直， ， ， ，则直线 与平面
所成角的正弦值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用三线垂直建立空间直角坐标系，将线面角转化为直线的方向向量和平面的法向量所成的角，
再利用空间向量进行求解.
【详解】以 ， ， 所在直线为 轴， 轴， 轴建立空间直角坐标系（如图所示），则 ， ， ，
， ， ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，
令 ，则 ， ，
所以平面 的一个法向量为 ；
设直线 与平面 所成角为 ，
则 ，
即直线 与平面 所成角的正弦值为 .
故选：C.
25．如图，在几何体中， ， ， ， ， ，
平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为 .
【答案】
【分析】由 且 可得 四点共面，则可延长 交与 ，由 平面 ,
可知直线 与平面 所成角即 ， 中求 即可.
【详解】 且 四点共面
延长 交与 ,如图平面 , 平面
直线 与平面 所成角即 ,
,
则
即 可解得
则
中可得
故答案为： .
26．如图，在四棱锥 中， ， ， ，E为PC的中点.
(1)求证： 平面PAD；(2)若 ，平面 平面ABCD，求二面角 的余弦值.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）取CD的中点O，连接EO，BO，利用三角形中位线和同位角相等两直线平行，通过证明平
面 平面PAD即可得证.
（2）以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用法向量求解
即可.
【详解】（1）取CD的中点O，连接EO，BO，
∵E为PC中点，∴ ，
而 平面PAD， 平面PAD，∴ 平面PAD，
∵ ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
∴ ,
∴ 为等边三角形，∴ ，
又 ，∴ ，
而 平面PAD， 平面PAD，∴ 平面PAD，
又 ， 平面
∴平面 平面PAD，而 平面EOB，
∴ 平面PAD.
（2）∵ ，∴ .
∵平面 平面ABCD， 平面 ，∴ 平面ABCD，
又 为等边三角形，∴ ，又∵ 平面ABCD，平面 平面ABCD，平面 平面 ，
∴ 平面PCD，
∵在 中， ， ，∴ ，
∵ ，∴ ，
在等边 中，∵ ，∴ ， .
以O为坐标原点，OB，OD，OP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
∴ ， ， ，
设平面PCB的法向量为 ，
所以 ，令 ，则 ，
由上可知，平面PCD的一个法向量为 ，
∴ ，
故二面角 的余弦值为
27．如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 上，且 ， ．(1)证明： ；
(2)若 ， ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）在 上取一点G，使得 ，连接EG， ，通过证明四边形 是平行四边
形，以及四边形 是平行四边形得到 ；
（2）连接AC，BD交于点O，如图建立空间直角坐标系，求出平面 和平面 的法向量，求其夹角
的余弦值即可得答案.
【详解】（1）如图，在棱 上取点 ，使得 ，
又 ，所以四边形 为平行四边形，则 且 ，又 且 ，
所以 且 ，
则四边形 为平行四边形，所以 ，
同理可证四边形 为平行四边形，
则 ，所以 ．
（2）以 为 轴， 为 轴， 为 轴建立空间直角坐标系，
则 ， ， ， ，
， ，设平面 的法向量为 ，
由 得， ，解得， ，
令 ，则 ，
， ，设平面 的法向量为 ，
由 得， ，解得，令 ，则 ，
设两个平面夹角大小为 ，则 ．
28．如图，正三棱柱 中， ， ， ， ， .
(1)试用 ， ， 表示 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据题意结合空间向量的线性运算求解；
（2）根据空间向量的线性运算可得 ，再结合数量积的运算律可得 ， ，
，进而可得结果.
【详解】（1）因为 ，
所以 .
（2）因为 ，且 ， ， ， ，
可得 ，
，
，
则 ，
所以异面直线 与 角的余弦值为 .
29．如图，等腰直角 ， ， ， 、 分别为 、 中点，将 沿 翻折成
，得到四棱锥 ， 为 中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 成角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
【答案】(1)证明见详解
(2)
【分析】（1）根据题意结合三线合一可得 ， ，在结合平行的性质可得 ，进
而可得结果；
（2）根据题意可知直线 与平面 成角为 ，进而可证 平面 ，建系，利用空
间向量求线面夹角.【详解】（1）取 的中点 ，连接 ，
因为 分别为 的中点，则 ∥ ， ，
又因为 分别为 的中点，则 ∥ ， ，
可得 ∥ ， ，则 为平行四边形，可得 ∥ ，
由 ，且 分别为 的中点，则 ，可得 ，
由 ，且 分别为 的中点，则 ，
且 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）由（1）可知： 平面 ，则直线 与平面 成角为 ，
可得 ，
连接 ，则 ，
即 ，可得 ，
又因为 ， 平面 ，所以 平面 ，
如图，以 为坐标原点建立空间直角坐标系，
则 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
令 ，则 ，可得 ，则 ，
且直线 与平面 所成角为锐角，所以 与平面 所成角的正弦值 .
考点06 已知夹角求其他量
30．如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形，
， ， .点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最
小时，则线段 的长为
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，求得相关点坐标，利用向量的夹角公式求出 的最大值，从而
确定Q点在 上的位置，即可求得答案.
【详解】因为 平面 年 ，所以 两两垂直,
以 为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系，
则各点的坐标分别为 ,因为 ,设 ，
又 ，则 ，
又 ，从 ,
设 ，
则 ,
当且仅当 ，即 时， 的最大值为 ,
即直线 与 所成角的余弦值的最大值为 ，
而直线 与 所成角的范围为 ，
因为 在 上是减函数，故此时直线 与 所成角最小，
又因为 ，所以 ，
故答案为：
【点睛】方法点睛：建立空间直角坐标系，利用向量的坐标求得 的夹角的余弦的最大值，即可确定
Q点的位置，进而求得答案，因此在解决类似问题时，可以尝试建立空间坐标系，利用向量解决问题，可
以简化题目的难度.
31．如图，在长方体 中， 为线段 上的动点，当直线 与平面
所成角的正弦值取最大值时， .【答案】
【分析】建立如图所示的空间直角坐标系，设 ，则可表示出点 的坐标，表示出 ，再求出平
面 的法向量，利用空间向量可求得结果.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
.设 ，
则 .
设平面 的法向量为 ，
，取 ，可得平面 的法向量为
所以 ，
设 与平面 所成的角为 ，则 ，
当 时， 取得最大值 ，
此时
故答案为：32．正四棱柱 中， 与平面 所成角的正弦值为 ，则异面直线 与 所成
角的余弦值为 ．
【答案】 /0.75
【分析】建立空间直角坐标系，利用线面角的正弦值求出 的长，进而求出异面直线的夹角的余弦值.
【详解】以A为坐标原点，分别以AB，AD， 所在直线为 轴建立空间直角坐标系，
因为棱柱 为正四棱柱，设 ， ，
则 ，
其中平面 的法向量为 ，
设 与平面 所成角为 ，则 ，
解得： ，
所以 ， ，
设异面直线 与 所成角为 ，
所以 .
故答案为：
33．如图，平行六面体 中，底面ABCD和侧面BCC B 都是矩形，E是CD的中点，
1 1
DE⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC B 与平面DEB的夹角的余弦值为 ，则线段DE的长度为 ．
1 1 1 1 1
【答案】
【分析】先证明 平面ABCD，以E为坐标原点， 分别为 轴正方向建立空间直角坐
标系，求出平面 的一个法向量与平面 的一个法向量，由平面 与平面 夹角的余弦
值为 ，列式求得线段 的长度．
【详解】 底面ABCD和侧面 是矩形， ， ，又 ， 平面 ，
平面 ， 平面 ，
平面 ， ；
又 ，且 ， 平面ABCD, 平面ABCD．
平面ABCD．
以E为坐标原点，过E作 交 于 ，以 分别为 轴正方向，建立如图所示的
空间直角坐标系，
则 0, ， 1, ， 1, ， 0, ．
设 ，则 0, ， 2, ．
设平面 的一个法向量为 y, ，
1, ， 0, ，
由 ，
令 ，得 ；
设平面 的一个法向量为 ，0, ， 1, ，
由 ，
令 ，得 ．
由平面 与平面 所成的夹角的余弦值为 ，
得 ，解得 (负值舍去)．
．
故答案为：
34．如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 上一点．若二面角
的大小为 ，则 的长为 ．
【答案】
【分析】建立空间直角坐标系，根据条件求得点D坐标，即得AD长.
【详解】如图，以 为坐标原点， ， ， 所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系
，则 ．设 ，则点D的坐标为 ， ，.
设平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ，即 ，
又平面 的一个法向量为 ，记为 ，则由 ，得 ，即 ，故
.
故答案为： .
35．三棱锥 中， ， ，记二面角 的大小为 ，当
时，直线 与 所成角的余弦值的取值范围是 .
【答案】
【分析】取 中点 ，连 ， ，以 为原点， 为 轴， 为 轴，过点 作平面 的垂线
为 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出直线 与 所成角的余弦值取值范围．
【详解】取 中点 ，连接 ， ，
． ， ， ，且 ， ，是二面角 的平面角，
以 为原点， 为 轴， 为 轴，
过点 作平面 的垂线为 轴，建立空间直角坐标系，
， ， ， ，0， ， ，1， ，
设二面角 的平面角为 ，则 ，
连 、 ，则 ， ，
， ，
设 、 的夹角为 ，
则 ，
， ， ,
, ,则
．
故答案为：
考点07 求异面直线，点到面或者面到面的距离
36．如图，已知正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为2，点P为线段BC 上的动点，则点P到直线AC的距离
1 1 1 1 1
的最小值为（ ）A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】以D为坐标原点，DA、DC、 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用
向量法求异面直线距离可得.
【详解】解：正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为2，点P为线段BC 上的动点，
1 1 1 1 1
以D为坐标原点，DA、DC、 所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A（2，0，0），C（0，2，0），B（2，2，0），设P（2﹣t，2，t），（0≤t≤2），
，
设异面直线 的公共法向量为 ，
则 ，取x＝1，得 ，
∴点P到直线AC的距离为：
，
点P到直线AC的距离的最小值为 .
故选：C.37．（多选）如图，正方体 的棱长为2， 为线段 中点， 为线段 中点，则
（ ）
A．点 到直线 的距离为 B．直线 到直线 的距离为2
C．点 到平面 的距离为 D．直线 到平面 的距离为
【答案】AD
【分析】建立坐标系，求出向量 在单位向量 上的投影，结合勾股定理可得点 到直线 的
距离，判断A；先证明 ，再转化为点 到直线 的距离求解，判断B；求解平面的法向量，利用
点到平面的距离公式进行求解，判断C；把直线 到平面 的距离转化为 到平面 的距离，利
用法向量进行求解，判断D.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
因为 ，
所以 .
所以点 到直线 的距离为 ，故A正确；
因为 ，所以 ，即
所以点 到直线 的距离即为直线 到直线 的距离，
， ，
所以直线 到直线 的距离为 ，故B错误；
设平面 的一个法向量为 ， ， .
由 ，令 ，则 ，即 .
设点 到平面 的距离为 ，则 ，即点 到平面 的距离为 ，故C错误；
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，所以直线 到平面 的距离等于 到平面 的距离. ，
由C得平面 的一个法向量为 ，
所以 到平面 的距离为 ，
所以直线 到平面 的距离为 ，故D正确.
故选：AD.
38．（多选）如图，在棱长为1正方体 中， 为 的中点， 为 与 的交点，
为 与 的交点，则下列说法正确的是（ ）
A． 与 垂直
B． 是异面直线 与 的公垂线段，
C．异面直线 与 所成的角为
D．异面直线 与 间的距离为
【答案】ABD
【分析】建立空间直角坐标系，运用空间向量逐项分析.
【详解】以D为原点，DA为x轴，DC为y轴， 为z轴，建立如下图所示坐标系：则： ，
，
设 ，
则有： ，
又 ，
解得 ， ， ， ，同理可得 ；
对于A， ， ， ，正确；
对于B， ， ，
即 ，又 ,
故 是异面直线 与 的公垂线段，正确；
对于C，设 与 所成的角为 ，则 ，， ，错误；
对于D，由B知 是 与 的公垂线段， ，正确；
故选：ABD.
39．如图，在三棱柱 中，底面 为正三角形，且侧棱 底面 ，底面边长与侧棱长
都等于2， ， 分别为 ， 的中点，则平面 与平面 之间的距离为 ．
【答案】 /
【分析】先证明平面 平面 ，则平面 与平面 间的距离即为点 到平面 的距离，
以 为原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，用向量法求点 到平面
的距离，从而可得答案.
【详解】如图，连接 ，则 ，且 ，
所以四边形 为平行四边形，所以 ，
平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
又 ， 平面 ，所以平面 平面 ，∴平面 与平面 间的距离即为点 到平面 的距离.
根据题意， 底面 ， ，两两垂直，
则以 为原点，分别以 ， ， 所在的直线为 轴建立空间直角坐标系，
∵ ， ， ， ，
，
设 为平面 的法向量，则 ，
即 ，取 可得 ，
点 到平面 的距离记为d，
则d＝ ＝ ＝ ，
∴平面 与平面 间的距离为 .
故答案为： .
40．已知在边长为6的正方体 中，点 分别为线段 和 上的动点，当时，线段 取得最小值 .
【答案】
【分析】根据题意，设 ，线段 取得最小值，此时满足 ，再根据
向量法求解即可.
【详解】解： 如图，建立空间直角坐标系，则 ， ， ，
，
设 ，线段 取得最小值，此时满足 .
所以 ，
，
所以 ，即 ，解得 ，
此时
所以当 时，线段 取得最小值，最小值为
故答案为： ； .41．如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点，F为线段 的中点．
(1)求直线 \到直线 的距离；
(2)求直线 到平面 的距离．
【答案】(1)
(2)【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法求得直线 到直线 的距离；
（2）转化为 到平面 的距离,利用点到平面的距离向量法可得答案.
【详解】（1）建立如下图所示的空间直角坐标系，
， ，
因为 ，所以 ，即 ，
所以点 到直线 的距离即为直线 到直线 的距离，
， ，
， ，
所以直线 到直线 的距离为 ；
（2）因为 ， 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
所以直线 到平面 的距离等于 到平面 的距离，
, ，
设平面 的一个法向量为 ，
则 ，即 ，取 ，可得 ，
所以 到平面 的距离为 ，
所以直线 到平面 的距离为 .考点08 求点到线的距离
42．如图， 是棱长为 的正方体，若 在正方体内部且满足 ，则
到 的距离为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】以A为坐标原点建立空间直角坐标系，根据向量线性运算可求得 ，根据向量夹角公式可得
，进而求得 ，由 可求得结果.
【详解】以A为坐标原点， 正方向为 轴，可建立如图所示空间直角坐标系，则 ， ， ， ，
， ， ，
，
，
且 为锐角， ，
点 到 的距离 .
故选：D.
43．（多选）已知正方体 的棱长为1，点 分别是 的中点， 在正方体内部且
满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离是 B．点 到平面 的距离为
C．点 到直线 的距离为 D．平面 与平面 间的距离为
【答案】ABD【分析】建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用直线的方向向量和平面的法向量结合空间向量数量积
求得各个选项的距离，得出结论.
【详解】如图，建立空间直角坐标系，则
，所以
．
对于A，设 ，则 ．
故 到直线 的距离 ，故A正确；
对于B， ，因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 ， , 平面 ,
所以 平面 ，平面 的一个法向量 ，
则点 到平面 的距离 ，故B正确；
对于C，因为 ，所以 ，
则 ，所以点 到 的距离 ，
故C错误；
对于D， ．
设平面 的法向量为 ， 所以
令 ，得 ，所以 ，所以点 到平面 的距离 ，
因为平面 ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，同理可证 平面 ，
又 ， 平面 ，
所以平面 平面 ，所以平面 与平面 间的距离等于点 到平面 的距离，即为
，故D正确．
故选： ABD.
44．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，且 ， 为棱
的中点，点 在 上，且 ，则 的中点 到直线 的距离是 ．
【答案】 /【分析】以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系，计算出
、 ，进而可计算得出点 到直线 的距离为 .
【详解】因为 平面 ，底面 为正方形，
以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、 、 轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则点 、 、 ，
， ， ，
所以， ，
所以， 的中点 到直线 的距离 .
故答案为： .
45．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 ， ， ，
四点共面.(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ，且线段 长度为2，求点 到直线 的距离.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过 作 ，交底面弧于 ，连接 ，有 为平行四边形，根据题设可得
，即 ，再由线面垂直的性质可得 ，最后根据线面、面面垂直的判定即可证结论.
（2）构建如下图示空间直角坐标系 ，令半圆柱半径为 ，高为 ，确定相关点坐标，进而求平面
、平面 的法向量，利用空间向量夹角的坐标表示及已知条件可得 ，即可求出点 到直线
的距离.
【详解】（1）过 作 ，交底面弧于 ，连接 ，易知： 为平行四边形，
所以 ，又 为弧 的中点，则 是弧 的中点，
所以 ，而由题设知： ，则 ，
所以 ，即 ，由 底面 ， 平面 ，则 ，又 ，
平面 ，
所以 平面 ，又 平面 ，所以平面 平面 .
（2）由题意，构建如下图示空间直角坐标系 ，
令半圆柱半径为 ，高为 ，则 ， ， ， ，
所以 ， ， ， ，若 是面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
若 是面 的一个法向量，则 ，令 ，则 ，
所以 ，
整理可得 ，则 ，又 ，
由题设可知，此时点 ， ， ，
则 ， ，
所以点 到直线 的距离 .
.
考点09点的存在性问题
46．如图，长方体 中，点E，F分别是棱 ， 上的动点（异于所在棱的端点）.给出
以下结论：①在F运动的过程中，直线 能与AE平行；②直线 与EF必然异面；③设直线AE，AF
A B C D
分别与平面
1 1 1 1
相交于点P，Q，则点 可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
【答案】B
【分析】当点E，F分别是棱 ， 中点时，可证明四边形 是平行四边形，故可判断①②；建
立空间直角坐标系，当点E，F分别是棱 ， 中点，且长方体为正方体时，利用空间向量证明三点共
线
【详解】长方体 中， ，连接 ， ，当点E，F分
别是棱 ， 中点时，由勾股定理得： ，故 ，同理可
得： ，故四边形 是平行四边形，所以在F运动的过程中，直线 能与AE平行， 与
EF相交，①正确，②错误；以 为坐标原点， ， ， 所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，则当点E，F分别
是棱 ， 中点且长方体为正方体时，设棱长为2，则 ， ， ，则
， ，则 ，又两向量有公共点，所以 三点共线，故则点
可能在直线PQ上，③正确.
故选：B
47．图①是直角梯形 ， ， ，四边形 是边长为 的菱形，并且 ，
以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 .
(1)求证：平面 平面 ；(2)在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所
成角的正弦值；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，直线 与平面 所成角的正弦值为
【分析】（1）由二面角平面角定义可知 是二面角 的平面角，利用勾股定理可说明
，由此可证得结论；
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，由点到平面距离的向量求法可构造方程求得
，利用线面角的向量求法可求得结果.
【详解】（1）在图①中，连接 ，交 于 ，
四边形 是边长为 的菱形， ， ， ；
在图②中，相交直线 均与 垂直， 是二面角 的平面角，
， ， ， ， 平面 平面 .
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴可建立如图②所示空间直角坐标系，
则 ， ， ， ， ，
， ， ， ， ，
设 ， ，
则 ，
设平面 的一个法向量 ，则 ，令 ，解得： ， ， ；
点 到平面 的距离 ，解得： 或 （舍），
， ，
，
直线 与平面 所成角的正弦值为 .
48．已知正四棱台 的体积为 ，其中 .
(1)求侧棱 与底面 所成的角；
(2)在线段 上是否存在一点P，使得 ？若存在请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)
(2)不存在，理由见解析【分析】（1）先求得正四棱台的高，然后求得侧棱 与底面 所成的角.
（2）建立空间直角坐标系，利用向量法确定是否存在符合题意的 点.
【详解】（1）依题意，在正四棱台 中， ，
所以上底面积 ，下底面积 ，
设正四棱台的高为 ，则 .
连接 ，则 ，
所以 ，
设侧棱 与底面 所成的角为 ，则 ，
由于线面角 的取值范围是 ，所以 .
（2）连接 ，设正四棱台上下底面的中心分别为 ，
以 为原点， 分别为 轴建立如图所示空间直角坐标系，
，
设线段 上存在一点 ，满足 ，
，
，
则 ，
，若 ，则 ，
即 ，
解得 ，舍去，
所以在线段 上不存在一点 ，使得 .
49．如图，在三棱台 中，若 平面 ， ， ， ，
为 中点， 为棱 上一动点（不包含端点）．
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 长度；若不存
在，请说明理由．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）取 中点 ，易证得四边形 为平行四边形，得到 ，由线面平行的判定可
证得结论；（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，设 ，根据面面角的向量求法可构造方程
求得 的值，由此可得结果.
【详解】（1）分别取 中点 ，连接 ，
则 为 的中位线， ， ，
又 ， ， ， ，
四边形 为平行四边形， ，
又 平面 ， 平面 ， 平面 .
（2）以 为坐标原点， 正方向为 轴可建立如图所示空间直角坐标系 ，
则 ， ， ， ，
， ， ，
设 ，则 ，，
令平面 的法向量为 ，
则 ，令 ，则 ， ， ；
又平面 的一个法向量 ，
，
解得： 或 （舍），
， ，即 的长为 .
50．如图在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧棱 ，底面 为直角梯形，
其中 ， ， ， 为 的中点．
(1)求二面角 的正弦值；
(2)线段 上是否存在 ，使得它到平面 的距离为 ? 若存在，求出 的值；若不存在，说明理
由．
【答案】(1)
(2)存在， .
【分析】（1）以 为原点，建立空间直角坐标系，求得平面 和平面 的一个法向量，结合向量的
夹角公式，即可求解；（2）设线段 上存在 ，根据向量的距离公式，求得 得到 的坐标，进而
的值．
【详解】（1）解：由底面 为直角梯形，其中 ， ，且 ，
所以 ，又由 平面 ，
以 为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴，建立空间直角坐标系，如
图所示，
则平面 的法向量 ，且 ，
可得 ，
设平面 的法向量 ，则 ，
取 ，可得 ，所以 ，
设二面角 夹角为 ，则 ，则 ，所以二面角
的正弦值为 .
（2）解：设线段 上存在 ，使得它到平面 的距离为 ，
由 ，可得 到平面 的距离 ，
解得 或 (舍去)，所以 ，则 ．51．如图1所示，在四边形 中， ， 为 上一点， ， ，
将四边形 沿 折起，使得 ，得到如图2所示的四棱锥．
(1)若平面 平面 ，证明： ；
(2)点 是棱 上一动点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析；
(2) .
【分析】（1）先证明 ，根据线线平行判定定理 平面 ，再由线面平行性质定理证明线线平
行；
（2）建立空间直角坐标系，设点 的坐标，求出平面 的法向量，利用线面角的法向量公式计算即可
求解.
【详解】（1）在图1中，因为 ， ， ，
所以 ， ，又 ，
所以 ，
因为 ， ，
所以 ，故 ，在图2中，因为 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，平面 平面 ，所以 ；
（2）由（1）知， ， ，
， 平面 ， 平面 ,
所以 平面 ，
又 平面 ，所以平面 平面 ，
故以 为坐标原点， 分别为 轴，
在平面 内过点 作 的垂线为 轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则 ， ，
因为 ，平面AEB 平面BCE，且 ，
所以点 在平面 的射影为 中点，故 ， ，
设 ，则 ， ， ，
设平面 的法向量为 ，则 ，即 ，
不妨令 ，则 ， ，
所以 为平面 的一个法向量．
因为直线 与平面 所成角的正弦值为 ，
所以 ，
整理得 ，解得 或 （舍），
所以 为 中点，所以 .
