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考点巩固卷 19 双曲线方程及其性质（六大考点）
考点01：双曲线的定义（妙用）
结论 1： 双曲线第一定义。
结论 2：标准方程 由定义即可得双曲线标准方程。
结论 3： 双曲线第二定义。
双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式： ,当 在右支上时， , .
当 在左支上时， , .
证明：由第二定义得：M在右支时，
M在左支时， 。
1．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线
与 的一条渐近线平行，若点 在 的右支上，点 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．6 C． D．8
2．若点P是双曲线C： 上一点， ， 分别为C的左、右焦点，则“
”是“ ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
3．已知双曲线 的右焦点为 ，动点 在直线 上，线段 交 于
点，过 作 的垂线，垂足为 ，则 的值为（ ）
试卷第2页，共3页A． B． C． D．
x2 y2
4．过双曲线 − =1的右支上一点P，分别向 和
4 12
作切线，切点分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
5．已知 、 是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点 ，使得点
，且存在 ，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在
“阿圆点”的是（ ）
A． B． C． D．
6．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则
的最小值为（ ）
A．16 B．18 C． D．
7．设点P是圆 上的一动点， ， ，则 的最小值为
（ ）．
A． B． C．6 D．128．已知双曲线C： 的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，则
（ ）
A．－8 B．8 C．10 D．－10
9．设 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，
2）．当 取最小值时， 的值为（ ）
A． B． C． D．
10．已知 是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上一点，若
的最小值为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
考点02：双曲线的焦点三角形问题
已知双曲线方程为 如图，顶点 在第一象限，
对于双曲线焦点三角形，有以下结论：
1.如图， 、 是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记 ，则 的
面积 .
试卷第4页，共3页证明：由余弦定理可知 ．
由双曲线定义知|| ，可得
所以
则 ．
2.如图，有 ，
3.离心率 .
4.若 ，则有 .
5.若 ，则有 .
6.焦半径公式：如图，对于双曲线， ，对双曲线，其焦半径
的范围为 .
7.双曲线中，焦点三角形的内心 的轨迹方程为 .
证明：设内切圆与 的切点分别为 ，则由切线长定理可得
,因为 ，，所以 ，所以点 的坐标为 ，所以点 的横坐标为
定值a.
8.如图，直线 与双曲线 交于 两点， 的左右
焦点记为 ，则 为平行四边形.
结论9.已知具有公共焦点 的椭圆与双曲线的离心率分别为 是它们的一个交
点，且 ，则有 .
证 明 ： 依 题 意 ， 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得
试卷第6页，共3页，
所以 ，即 .
结论10.如图，过焦点 的弦 的长为 ，则 的周长为 .
11．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率为
的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若 ，则此双曲线的标准方程可能为
（ ）
A． B．
C． D．
12．已知双曲线 : 的左焦点为 ，过 的直线 交圆 于
， 两点，交 的右支于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线
右支上一点，直线 交双曲线 的左支于 点．若 ， ， ，且 的外接圆交双曲线 的一条渐近线于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
14．如图，已知 为双曲线 的焦点，过 作垂直于x轴的直线交双曲线于点
P，且 ，则双曲线得渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
15．双曲线 的左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为 ，过 作
直线与双曲线 的左、右两支分别交于M，N两点.若 ，且 ，则
直线 与 的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 作直线 与双
曲线 的右支交于 ， 两点，若 的周长为 ，则双曲线 的离心率的取值范围
试卷第8页，共3页是（ ）
A． B． C． D．
17．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，以 为直径的圆
在第一象限与双曲线 交于一点 ，且 的面积为4，若双曲线上一点到两条渐近线
的距离之积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18．已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点 的直线与双曲线
交于 两点，且点 在第一象限，满足 .若点 在双曲线 上，且 ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线 的渐近
线 的垂线，垂足为 ，且与双曲线 的左支交于点 ，若 （ 为坐标原
点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
20．已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线右支上的动点（非顶点），则 的内切圆恒过定点（ ）．
A． B． C． D．
考点03：双曲线的简单几何性质
双曲线的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性
顶点坐标 A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
质
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈ (1 ，＋∞ ) ，其中c＝
2.要点理解
(1)B (0,－b)，B (0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点．
1 2
(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
3.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．为了便于研究，方程一般写为 x2
－y2＝m(m≠0)．
21．下列选项中，所得到的结果为4的是（ ）
A．双曲线 的焦距
B． 的值
C．函数 的最小正周期
D．数据 的下四分位数
试卷第10页，共3页22．过双曲线 的右焦点F作与其中一条渐近线垂直的直线 分别与这两条渐
近线交于 两点，若 ，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2 B．3 C． D．4
23．若抛物线 的准线经过双曲线 的右焦点，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
24．若抛物线 的准线经过双曲线 的右焦点，则 的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
25．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的焦点坐标为
（ ）
A． B． C． D．
26．已知双曲线C： 的焦点为 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
27．等轴双曲线经过点 ，则其焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
28．双曲线 和双曲线 具有相同的（ ）
A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率
29．已知椭圆 与双曲线 有公共焦点，记 与
在 轴上方的两个交点为 ， ，过 的右焦点作 轴的垂线交 于 ， 两点，若，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
30．已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则 的最小
值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
考点04：求双曲线离心率及取值范围
离心率
(1)离心率的意义：e越大，开口越大
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线 中，
双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为 ，所以
当 的值越大，渐进线 的斜率越大，双曲线的“张口”越大， 也就越大，故
反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
(2)离心率的求法
①直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且
p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
31．过双曲线 的右焦点 向双曲线 的一条渐近线作垂线，垂足
为 ，线段FD与双曲线 交于点 ，过点 向另一条渐近线作垂线，垂足为 ，若
，则双曲线 的离心率为（ ）
试卷第12页，共3页A． B． C． D．
32．已知 ， 分别为双曲线C： 的左，右焦点，过 作C的两条
渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若 ，则C的离心率为
（ ）
A．3 B． C． D．
33．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 且与渐近线垂
直的直线与双曲线 左右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
34．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若 上存在点 ，
使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
35．双曲线C： 的左、右焦点为 ， ，直线l过点 且平行于C
的一条渐近线，l交C于点P，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
36．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，P是双曲线C的一条渐近线上的点，且线段 的中点N在另一条渐近线上．若 ，则双曲线C
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
x❑ 2 y❑ 2
37．已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)，直线 与双曲线 交于 ， 两点，
a❑ 2 b❑ 2
直线y=−b与双曲线 交于 ， 两点，若|MN|=√2|PQ|，则双曲线 的离心率等于
（ ）
A． B． C． D．
38．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，O为坐标原点，点B
是双曲线上位于第二象限的点．直线 与双曲线交于另一点A， ，
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
39．如图，已知 为双曲线 上一动点，过 作双曲线 的切线
交 轴于点 ，过点 作 于点 ， ，则双曲线 的离心率为
（ ）
试卷第14页，共3页A． B． C． D．
40．设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点 的直
线与双曲线C交于A，B两点， ， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
考点05：双曲线的中点弦问题
双曲线的中点弦斜率公式
(1) 若 为双曲线 x2 y2 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
M(x ,y ) − =1 AB AB y
0 0 a2 b2
b2
k ⋅k = =e2−1
AB OM a2
(2) 若 为双曲线 y2 x2 弦 ( 不平行 轴) 的中点, 则
M(x ,y ) − =1 AB AB y
0 0 a2 b2
a2 1
k ⋅k = =
AB OM b2 e2−1
x2 y2 b2x
在双曲线 − =1 中, 以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 ;
a2 b2 0 0 a2y
0
41．已知双曲线 ，过其右焦点 作一条直线分别交两条渐近线于
两点，若 为线段 的中点，且 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）A． B．
C． D．
42．已知双曲线 的左焦点为 ，圆 .若过 的直线
分别交 的左、右两支于 两点，且圆 与 相切于点 ，则下列结论错误的是
（ ）
A．若 ，则直线 与 没有交点
B．若 为线段 的中点，则离心率
C． 不可能为线段AB的中点
D．若 的离心率为 ， 到 的渐近线的距离为 ，则
43．在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与双曲线
的两条渐近线相交于 两点，若线段 的中点是 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
44．已知双曲线 ， 、 分别为左、右焦点，若双曲
线右支上有一点P使得线段 与y轴交于点E， ，线段 的中点H满足
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
试卷第16页，共3页45．在平面直角坐标系 中，已知直线 与双曲线 的左右两支
分别交于 两点， 是线段 的中点， 是 轴上一点(非原点)，且
，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
46．已知F是双曲线 （ ， ）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的
中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为
（ ）
A． B． C． D．
47．已知双曲线C： 的右焦点为F，B为虚轴上端点.M是 中点，
O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若 垂直于x轴，则双曲线C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．
48．在圆锥 中，已知高 ，底面圆的半径为4，M为母线 的中点，根据圆锥曲
线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命
题，正确的个数为（ ）
①圆的面积为 ；
②椭圆的长轴长为 ；③双曲线两渐近线的夹角正切值为 ；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
49．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左､右焦点分别为
， ，过 的直线与双曲线 的右支相交于点 ，过点 作 ，
垂足分别为N,M，且 为线段 的中点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
50．已知双曲线 右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线
分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB
的中点时， （ ）
A． B．9 C． D．
考点06：直线与双曲线的综合问题
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
试卷第18页，共3页51．已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若 的离心率
，且点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，与抛物线 交于 两
点，试问是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求出常数 的值；若不存在，
请说明理由．
52．已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相互垂
直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方
程.
53．如图，已知双曲线 的离心率为2，点 在C上，A，B
为双曲线的左、右顶点， 为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C
的右支于点Q．(1)求C的方程；
(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设S，S 分别为 ABN和 NPQ的外接圆面积，求 的取值范围．
1 2
△ △
54．已知双曲线 的虚轴长为 ，点 在 上.设直线 与
交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为 .
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 的斜率存在，且直线 过定点.
55．已知椭圆 的左右焦点分别是 ，双曲线 的顶点恰好是 、 ，且
一条渐近线是 ．
(1)求 的方程：
(2)若 上任意一点 （异于顶点），作直线 交 于 ，作直线 交 于 ，求
的最小值．
56．已知双曲线 ： 的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的
左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线 斜率不存在时， 的面积为9.
(1)求C的方程；
(2)当直线 斜率存在且不为0时，连接 ， 分别交直线 于P，Q两点，设M为
线段 的中点，证明： .
57．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，点
在 上.
(1)求双曲线 的方程；
试卷第20页，共3页(2)过双曲线 的左焦点 作互相垂直的两条直线 ，且 与 交于 两点， 与 交
于 两点， 为线段 的中点， 为线段 的中点，证明：直线 过定点.
58．设双曲线C： （ ， ）的一条渐近线为 ，焦点到渐近线
的距离为1． ， 分别为双曲线 的左、右顶点，直线 过点 交双曲线于点 ，
，记直线 ， 的斜率为 ， ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)求证 为定值．
59．设双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ，
， ，且 的渐近线方程为 ，直线 交双曲线 于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)当直线 过点 时，求 的取值范围.
60．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 为双曲线上一点，且
(1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线 与双曲线 交于 两点，且 ，其中 为坐标原点，
求 的值.
