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考点巩固卷 19 双曲线方程及其性质（六大考点）
考点01：双曲线的定义（妙用）
结论 1： 双曲线第一定义。
结论 2：标准方程 由定义即可得双曲线标准方程。
结论 3： 双曲线第二定义。
双曲线 （a＞0,b＞o）的焦半径公式： ,当 在右支上时， , .
当 在左支上时， , .
证明：由第二定义得：M在右支时，
M在左支时， 。
1．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，直线
与 的一条渐近线平行，若点 在 的右支上，点 ，则 的最小值为
（ ）
A． B．6 C． D．8
【答案】C
【分析】由直线 与 的一条渐近线平行，可求得 ，从而可求出
，则可求出 的坐标，结合图形可知 ，从而
可求得答案.
【详解】因为双曲线 ，所以双曲线的渐近线方程为 ，
因为直线 与 的一条渐近线平行，
所以 ，得 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
试卷第2页，共3页因为点 在 的右支上，
所以 ，
所以 的最小值为 ，
故选：C
2．若点P是双曲线C： 上一点， ， 分别为C的左、右焦点，则“
”是“ ”的（ ）
A．既不充分也不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．充分不必要条件
【答案】D
【分析】首先求得焦半径的最小值，然后结合双曲线定义以及充要条件的定义即可得解.
【详解】 ，
当点 在左支时，|PF |的最小值为 ，
1
当点 在右支时，|PF |的最小值为 ，
1
因为 ，则点 在双曲线的左支上，
由双曲线的定义 ，解得 ；
当 ，点 在左支时， ；在右支时， ；推不出 ；
故为充分不必要条件，故选：D.
3．已知双曲线 的右焦点为 ，动点 在直线 上，线段 交 于
点，过 作 的垂线，垂足为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出点 的坐标为 ，由已知，用 表示出 和|PF|，进而得到 的
值.
【详解】由双曲线的对称性，不妨设点 在 轴上及其上方，如图，
依题意， ，设 ，则 ，
由 得 ，
所以 ，
所以 .
故选：D．
x2 y2
4．过双曲线 − =1的右支上一点P，分别向 和
4 12
试卷第4页，共3页作切线，切点分别为M，N，则 的最小值为（ ）
A．28 B．29 C．30 D．32
【答案】C
x2 y2
【分析】求得两圆的圆心和半径，设双曲线 − =1的左右焦点为 ， ，
4 12
连接 ， ， ，F N，运用勾股定理和双曲线的定义，结合三点共线时，距离之
2
和取得最小值，计算即可得到所求值．
x2 y2
【详解】由双曲线方程 − =1可知： ，
4 12
可知双曲线方程的左、右焦点分别为 ， ，
圆 的圆心为 （即 ），半径为 ；
圆 的圆心为 （即 ），半径为 ．
连接 ， ， ，F N，则 ，
2
可得，
当且仅当P为双曲线的右顶点时，取得等号，即 的最小值为30.
故选：C.
5．已知 、 是双曲线或椭圆的左、右焦点，若椭圆或双曲线上存在点 ，使得点
，且存在 ，则称此椭圆或双曲线存在“阿圆点”，下列曲线中存在
“阿圆点”的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
利用椭圆定义和题给条件求得|PF |,|PF |的值，再利用 到焦点距离的取值范围检验，
1 2
进而判断选项AB；利用双曲线定义和题给条件求得|PF |,|PF |的值，再利用 到焦点距
1 2
离的取值范围检验，进而判断选项CD.
【详解】对于A选项， ， 、 ， ，
所以 ， ， 到焦点距离的最小值为 ，最大值为 ，
假设存在点 ，满足 ，则 ，
解得 ，不合乎题意，
所以A选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于B选项， ， 、 ， ，
所以 ， ，
试卷第6页，共3页到焦点距离的最小值为 ，最大值为 ，
假设存在点 ，满足 ，则 ，
解得 ，不合乎题意，
所以B选项中的椭圆不存在“阿圆点”；
对于C选项，双曲线的方程为 ，
则双曲线的两个焦点为， 、 ， ．
到焦点距离的最小值为 ，
若双曲线上存在点 ，使得点 到两个焦点 、 的距离之比为 ，
可得
所以C选项中的双曲线存在“阿圆点”；
对于D选项，双曲线的标准方程为 ，
则 ， ， 、 ，所以 ， ，
到焦点距离的最小值为 ，
若双曲线上存在点 ，使得点 到两个焦点 、 的距离之比为 ，
则 ，解得 ，
所以D选项中的双曲线不存在“阿圆点”．
故选：C．
6．已知 ， 为双曲线 的左、右焦点，点P是C的右支上的一点，则
的最小值为（ ）A．16 B．18 C． D．
【答案】A
【分析】利用双曲线的定义表示|PF |，结合基本不等式求解最小值.
1
【详解】因为 ， 为双曲线 的左、右焦点，P是C的右支上的一点，
所以 ，
所以
，当且仅当 ，即 时，等号成立；
因为 ，所以 ，所以 成立， 的最小值为16.
故选：A.
7．设点P是圆 上的一动点， ， ，则 的最小值为
（ ）．
A． B． C．6 D．12
【答案】B
【分析】设 ，根据双曲线的定义，将题意转化为双曲线与圆有公
共点，再联立双曲线与圆的方程，根据二次方程有解结合判别式求解即可.
【详解】设 ，
则点P的轨迹为以A，B为焦点， 为实轴长的双曲线的上支，
试卷第8页，共3页∴点P的轨迹方程为 ，依题意，双曲线与圆有公共点，
将圆的方程代入双曲线方程得 ，
即 ，
判别式 ，解得 ，
当 时， ，且 ，
∴等号能成立．∴ ．
故选：B
8．已知双曲线C： 的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，则
（ ）
A．－8 B．8 C．10 D．－10
【答案】A
【分析】先由双曲线的方程求出其实半轴长 ，然后利用双曲线的定义可求得答案.
【详解】设双曲线 的实半轴长为 ，
则 ，所以 ，
因为双曲线C的左右焦点为 ， ，点P在双曲线C的右支上，
所以 ，
故选：A
9．设 ， 为双曲线C： 的左、右焦点，Q为双曲线右支上一点，点P（0，
2）．当 取最小值时， 的值为（ ）A． B． C． D．
【答案】A
【分析】
结合双曲线定义数形结合判断 取最小值时， 三点共线，联立直线及双曲
线方程解出Q的坐标为 ，即可求解 的值.
【详解】由双曲线定义得 ,
故
如图示，当 三点共线，即Q在M位置时， 取最小值，
，故 方程为 ，
联立 ，解得点Q的坐标为 (Q为第一象限上的一点)，
故
故选：A
10．已知 是双曲线 的左、右焦点， 为双曲线左支上一点，若
试卷第10页，共3页的最小值为 ，则该双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由定义知：|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|， = = +4a+|PF1|
≥8a，当且仅当 =|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.再由焦半径公式得双曲线的离心率的取
值范围.
【详解】由双曲线定义可得：
|PF2|-|PF1|=2a，|PF2|=2a+|PF1|， = = +4a+|PF1| ≥8a，
当且仅当 =|PF1|，即|PF1|=2a时取得等号.此时
由双曲线的几何性质可得， ，即可 ，又双曲线的离心率 ，
∴ .
故选:C.
考点02：双曲线的焦点三角形问题
已知双曲线方程为 如图，顶点 在第一象限，
对于双曲线焦点三角形，有以下结论：
1.如图， 、 是双曲线的焦点，设P为双曲线上任意一点，记 ，则 的面积 .
证明：由余弦定理可知 ．
由双曲线定义知|| ，可得
所以
则 ．
2.如图，有 ，
3.离心率 .
4.若 ，则有 .
5.若 ，则有 .
6.焦半径公式：如图，对于双曲线， ，对双曲线，其焦半径
的范围为 .
7.双曲线中，焦点三角形的内心 的轨迹方程为 .
试卷第12页，共3页证明：设内切圆与 的切点分别为 ，则由切线长定理可得
,因为 ，
，所以 ，所以点 的坐标为 ，所以点 的横坐标为
定值a.
8.如图，直线 与双曲线 交于 两点， 的左右
焦点记为 ，则 为平行四边形.
结论9.已知具有公共焦点 的椭圆与双曲线的离心率分别为 是它们的一个交
点，且 ，则有 .证 明 ： 依 题 意 ， 在 中 ， 由 余 弦 定 理 得
，
所以 ，即 .
结论10.如图，过焦点 的弦 的长为 ，则 的周长为 .
11．已知双曲线 （ ， ）的左、右焦点分别为 ， ，过 且斜率为
的直线与双曲线在第一象限的交点为A，若 ，则此双曲线的标准方程可能为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】 ，由双曲线的定义可得 ，再由三角形的余弦定理，可
得 ， ，即可判断出所求双曲线的可能方程．
【详解】因为 ，
由双曲线的定义可知 ，
可得 ，
试卷第14页，共3页由于过 的直线斜率为 ，
所以在等腰三角形 中， ，则 ，
由余弦定理得： ，
化简得 ，可得 ，即 ， ，
可得 ， ，
所以此双曲线的标准方程可能为： .
故选：C
12．已知双曲线 : 的左焦点为 ，过 的直线 交圆 于
， 两点，交 的右支于点 ，若 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设双曲线的右焦点为 ，连接 ，过 作 与 ，易得 ，
，设 ，结合双曲线的定义分别求出对应边，在
和 中，由勾股定理得 和 之间的关系，即可求解.
【详解】
设双曲线的右焦点为 ，连接 ，过 作 与 ，则 ，因为 ， ，
所以 ，
因为 ，所以 ，即 为线段FQ的中点，
因为 为 的中点，所以 ，
所以 ， ，
设 ，
则 ， ，
，
所以 ，
在 中，由勾股定理可得 ，
即 ，
解得 ，
所以 ，
，
在 中，由勾股定理得 ，
即 ，
解得 ，所以 .
试卷第16页，共3页故选： .
13．已知双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，点 是双曲线
右支上一点，直线 交双曲线 的左支于 点．若 ， ， ，
且 的外接圆交双曲线 的一条渐近线于点 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据双曲线定义得到 ， ，由勾股定理逆定理得 为直角，在
中，由勾股定理得 ，故 ，设 的外接圆交双曲线 的一条渐
近线于点P(x ,y )，得到方程组，联立得
0 0
【详解】因为点M，N分别在双曲线C的右支和左支上，
所以 ．
又 ， ， ，所以 ，
解得 ， ，
所以 ，所以 是直角．
在 中， ，所以 ，
解得 ，
所以 ，即 ．
又 的外接圆交双曲线 的一条渐近线于点P(x ,y )，
0 0所以 ，所以点P(x ,y )的坐标满足 ，解得 ，
0 0
所以 ，故 .
故选：D．
14．如图，已知 为双曲线 的焦点，过 作垂直于x轴的直线交双曲线于点
P，且 ，则双曲线得渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根据双曲线的定义及含有 的直角三角形的三边关系，求得 之间的关系，
进而得解.
试卷第18页，共3页【详解】由题意
所以 ，
所以 ， ，
双曲线得渐近线方程为 ，即 .
故选：B.
15．双曲线 的左、右顶点分别为 ，左、右焦点分别为 ，过 作
直线与双曲线 的左、右两支分别交于M，N两点.若 ，且 ，则
直线 与 的斜率之积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ，由双曲线定义和题目条件，表达出 ， ，
，在 中，由余弦定理得 ，则 ，在
中，由余弦定理得 ，故 ，设 ，求出直线
与 的斜率之积为 .
【详解】设 ，则 ，
由双曲线定义得 ， ，
在 中，由余弦定理得，
解得 ，
则 ， ，
在 中，由余弦定理得
，
解得 ，则 ， ，
设 ，则 ，
将 代入得 ，
则直线 与 的斜率之积为 .
故选：D
16．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ， .过 作直线 与双
曲线 的右支交于 ， 两点，若 的周长为 ，则双曲线 的离心率的取值范围
试卷第20页，共3页是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由双曲线的定义可得 的周长为 ，求得|AB|，再由过焦点的
弦长的最小值，结合双曲线的性质，即可求解.
【详解】由双曲线的定义可得 ，
两式相加可得 ，
则 的周长为 ，即 ，
再由 ，可得 ，解得 ，
由 .
故选：A
17．已知双曲线 的左，右焦点分别为 ，以 为直径的圆
在第一象限与双曲线 交于一点 ，且 的面积为4，若双曲线上一点到两条渐近线
的距离之积为 ，则该双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设 ，根据双曲线的定义得到 ，再由 得到
， 的面积得到 ，求出 ，设双曲线上一点 ，求出点到两渐近线的距离，由距离之积为 求出 、 ，即可求出离心率.
【详解】设 ，则由定义可得 ，即 ，
又因为 为直径，所以 ，得 ，
因为 的面积为4，所以 ，即 ，
由以上三式可得 ，即 ，所以 .
设双曲线上一点 ，
则点 到渐近线 的距离为 ，
点 到另一条渐近线 的距离为 ，
故点 到两条渐近线的距离之积为 ，
因为 ，即 ，所以 ，
又 ，所以 ，则 ，所以双曲线的离心率 .
故选：B.
18．已知双曲线 的左焦点为 ，过坐标原点 的直线与双曲线
试卷第22页，共3页交于 两点，且点 在第一象限，满足 .若点 在双曲线 上，且 ，
则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】利用三角形一边中线等于这一边的一半，则这是一个直角三角形，可得 是
直角，再利用双曲线的定义，及已知的两焦半径关系，结合勾股定理，可得长度关系，即
可求得离心率.
【详解】
设双曲线右焦点为 ，连接 ，
由题意可知 关于原点对称，所以 ，
所以 是直角，由 ，可设 ，则 ，即
由双曲线的定义可知： ， ，
则 ， ，
由 是直角得： ，
则 ，解得：m=a，
又由 是直角得： ，则 ，解得： ，所以离心率
故选：B.
19．已知 分别是双曲线 的左、右焦点，过 作双曲线 的渐近
线 的垂线，垂足为 ，且与双曲线 的左支交于点 ，若 （ 为坐标原
点），则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】分别在 和 利用三角函数的定义和余弦定理，得到关于 的
等式，解得 ，再根据离心率公式即可求解.
【详解】因为 是 的中点，所以 ，所以 为 的中点，
因为 ，所以点 到渐近线 的距离 ，
又 ，所以 ，
连接 ，易知 ，
试卷第24页，共3页则由双曲线的定义可知 ，
在 中由余弦定理，得 ，
整理得 ，所以双曲线的离心率为 ，
故选：B
20．已知 为双曲线 的两个焦点， 为双曲线右支上的动点
（非顶点），则 的内切圆恒过定点（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由双曲线的几何性质，圆的切线长定理，可得 的内切圆与 的切点 为
定点.
【详解】双曲线 ， ，则长轴长为 ，焦距为 ，
为双曲线右支上的动点（非顶点）， 为双曲线的两个焦点，
设 的内切圆与 分别切于 ，如图所示，则根据双曲线的定义及圆的性质可知： ，
又 ，得 ，故 为双曲线的右顶点.
同上分析，当双曲线方程为 时，
为双曲线的两个焦点， 为双曲线右支上的动点（非顶点），
设 的内切圆与 分别切于 ，
可知 为双曲线的右顶点，此时双曲线长轴长为 ，右顶点坐标 .
所以此时 的内切圆恒过定点 .
故选：B.
考点03：双曲线的简单几何性质
双曲线的几何性质
焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 －＝1(a>0，b>0) －＝1(a>0，b>0)
图形
范围 x ≥ a 或 x ≤ － a y ≤ － a 或 y ≥ a
对称性 对称轴：坐标轴；对称中心：原点
性
顶点坐标 A ( － a ,0) ， A ( a ,0) A (0 ，－ a ) ， A (0 ， a )
1 2 1 2
质
渐近线 y＝±x y＝±x
离心率 e＝，e∈ (1 ，＋∞ ) ，其中c＝
2.要点理解
(1)B (0,－b)，B (0，b)不是双曲线上的点，不能称为顶点．
1 2
(2)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小，e越大，开口越大．
(3)双曲线的渐近线方程要注意焦点所在轴的位置．
(4)焦点到渐近线的距离为b.
3.等轴双曲线：实轴与虚轴等长的双曲线叫等轴双曲线．为了便于研究，方程一般写为 x2
试卷第26页，共3页－y2＝m(m≠0)．
21．下列选项中，所得到的结果为4的是（ ）
A．双曲线 的焦距
B． 的值
C．函数 的最小正周期
D．数据 的下四分位数
【答案】C
【分析】根据双曲线 关系，求 ，求焦距，判断 ；运用二倍角变形公式化简，判
断 ；依据正切型函数的最小正周期 ，代入求解，判断 ；按照求解百分位数的步
骤，直接求解，判断 .
【详解】对于 ， ，双曲线的焦距为 ，故 错误；
对于 ， ，故 错误；
对于 ，最小正周期 ，故 正确；
对于 ，一共有12个数据， ，
所以这组数据的下四分位数是从小往大排列，第3个和第4个的平均数，
即 ，故 错误.
故选：C.
22．过双曲线 的右焦点F作与其中一条渐近线垂直的直线 分别与这两条渐
近线交于 两点，若 ，则该双曲线的焦距为（ ）
A．2 B．3 C． D．4【答案】D
【分析】求出双曲线的渐近线方程，由向量关系可得 ，再结合三角形面积关系列
式计算得解.
【详解】双曲线 的渐近线为 ，令 ，由对称性不妨令直线 垂
直于直线 ，
而 ，则 ，由 ，得 ，则 ，
显然 ， ，由 ，
得 ，解得 ，则 ，
所以该双曲线的焦距为4.
故选：D
23．若抛物线 的准线经过双曲线 的右焦点，则 的值为（ ）
A． B．4 C． D．8
【答案】C
【分析】根据题意，分别求得双曲线的右焦点以及抛物线的准线方程，代入计算，即可得
到结果.
【详解】因为双曲线 的右焦点为 ，
又抛物线 的准线方程为 ，则 ，即 .
故选：C
24．若抛物线 的准线经过双曲线 的右焦点，则 的值为（ ）
试卷第28页，共3页A．4 B． C．2 D．
【答案】D
【分析】根据题意，求出抛物线的准线方程列式运算求得 的值.
【详解】双曲线 的右焦点为 ，所以抛物线的准线为 ，
，解得 .
故选：D.
25．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，则 的焦点坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意判断 ，由双曲线方程写出其渐近线方程，比较即得 ，代入方
程即可求得其焦点坐标.
【详解】易知 ，令 ，解得 ，依题有 ，即 ，
双曲线方程为 ，从而 ，从而 的焦点坐标为 .
故选：A.
26．已知双曲线C： 的焦点为 ，则C的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线的标准方程计算即可.
【详解】因为双曲线C的焦点为 在纵轴上，所以 ，
且双曲线C方程 满足 ，
故 ，则C的方程为 ．
故选：D．27．等轴双曲线经过点 ，则其焦点到渐近线的距离为（ ）
A． B．2 C．4 D．
【答案】A
【分析】由题意，先求出等轴双曲线的方程，得到焦点坐标和渐近线方程，再利用点到直
线的距离公式进行求解即可．
【详解】因为该曲线为等轴双曲线，
不妨设该双曲线的方程为 ，
因为等轴双曲线经过点 ，
所以 ，
解得 ，
则 ，
所以该双曲线的一个焦点坐标为 ，
易知该双曲线的一条渐近线方程为 ，
则点 到直线 的距离 ．
故选：A．
28．双曲线 和双曲线 具有相同的（ ）
A．焦点 B．顶点 C．渐近线 D．离心率
【答案】D
试卷第30页，共3页【分析】分别计算出两双曲线的焦点坐标、顶点坐标、渐近线方程与离心率即可得.
【详解】双曲线 的焦点坐标为 、左右顶点坐标为 、
渐近线方程为 、离心率为 ；
双曲线 的焦点坐标为 、上下顶点坐标为 、
渐近线方程为 、离心率为 ；
故其离心率相同.
故选：D.
29．已知椭圆 与双曲线 有公共焦点，记 与
在 轴上方的两个交点为 ， ，过 的右焦点作 轴的垂线交 于 ， 两点，若
，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】依题将椭圆与双曲线方程联立求出点 坐标，计算出 ，再由两曲线共焦点
得出 ，最后由双曲线的通径 ，代入 ，消去 ，得
到 ，将 值替换并化成 的方程分解因式即得.
【详解】如图，由 联立消去 可得： ，不妨设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
由题意， ，则 ①；
又因椭圆与双曲线有公共的焦点，故有 ，即 ②
将 代入 可求得 利用对称性可得 ③ ，
将① 、③代入 可得 ，
化简得 ，将②式代入并化简， ，
将 代入并化简得 ，即 ，
分解因式得： ，解得 ，舍去另两个负值.
故选：D.
30．已知双曲线 与椭圆 有相同的焦点，则 的最小
值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
试卷第32页，共3页【答案】D
【分析】首先得到椭圆的焦点坐标，依题意可得 ，利用乘“1”法及基
本不等式计算可得.
【详解】椭圆 的焦点为 ，
依题意可得 ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，
故 的最小值为 .
故选：D
考点04：求双曲线离心率及取值范围
离心率
(1)离心率的意义：e越大，开口越大
在椭圆中，椭圆的离心率可以刻画椭圆的扁平程度．在双曲线 中，
双曲线的“张口”大小是图象的一个重要特征．因为 ，所以
当 的值越大，渐进线 的斜率越大，双曲线的“张口”越大， 也就越大，故
反映了双曲线的“张口”大小，即双曲线的离心率越大，它的“张口”越大．
(2)离心率的求法
①直接法：若可求得a，c，则直接利用e＝得解．
②齐次式法：若得到的是关于a，c的齐次方程pc2＋q·ac＋r·a2＝0(p，q，r为常数，且
p≠0)，则转化为关于e的方程pe2＋q·e＋r＝0求解．
31．过双曲线 的右焦点 向双曲线 的一条渐近线作垂线，垂足
为 ，线段FD与双曲线 交于点 ，过点 向另一条渐近线作垂线，垂足为 ，若，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据点到直线的距离公式可以求出| 的长，再根据 列出等式即可
寻找a,b,c的关系，进而可以得到双曲线的离心率.
【详解】由题意，知双曲线 的渐近线方程为 ．
设双曲线 的半焦距为 ，则右焦点 到渐近线的距离 ．
设点 ，则 ，即 ．
又 ，
所以 ，
解得 ．
故选：A．
32．已知 ， 分别为双曲线C： 的左，右焦点，过 作C的两条
渐近线的平行线，与两条渐近线分别交于A，B两点．若 ，则C的离心率为
（ ）
A．3 B． C． D．
【答案】D
试卷第34页，共3页【分析】根据题意可知四边形 为菱形，从而求得 ， ，再进行计算即可.
【详解】如图，连接 交 轴于 .
根据题意易知点 ， 关于 轴对称，所以四边形 为菱形，且 ，
故 ，且 .
双曲线 的渐近线 方程为 ，令 ，得 .
在 中， ，解得 ，
所以 .
故选： .
33．已知双曲线 的左右焦点分别为 ，过点 且与渐近线垂
直的直线与双曲线 左右两支分别交于 两点，若 ，则双曲线的离心率
为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】求得 到渐近线的距离为 ，从而可求得 的值，再在 中利用正弦定理求出 ，然后结合双曲线的定义和余弦定理求解即可.
【详解】由题意知，点 到渐近线 的距离为 ，
所以 ，
因为 ， ，所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
得 ，则 ，
在 中，由正弦定理得 ，
即 ，得 ，
由双曲线的定义知 ，
所以 ，
在 中，由余弦定理得 ，
即 ，
整理得 ，即 ，
所以离心率为 .
故选：A
试卷第36页，共3页34．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，若 上存在点 ，
使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据双曲线定义和 ，得到 ，结合 ，得到不等式，
又双曲线的离心率大于1，得到答案.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，
所以 ，所以离心率 ，又双曲线的离心率大于1，所以 ．
故选：D．
35．双曲线C： 的左、右焦点为 ， ，直线l过点 且平行于C
的一条渐近线，l交C于点P，若 ，则C的离心率为（ ）
A． B．2 C． D．3
【答案】C
【分析】设P(x,y)，通过题意求出直线 的方程、直线 的方程，之后联立直线
的方程、直线 的方程及双曲线方程，计算即可得出答案．【详解】设P(x,y)，由对称性可知P点在x轴上方或者下方不影响结果，不妨令P点在x
轴下方，如图：
设F (−c,0)、 ， ，双曲线其中一条渐近线为 ，
1
直线 的方程为 ，①
由 ，得 ，即直线 的斜率为 ，直线 方程为 ，
②
由点P(x,y)在双曲线上，得 ，③
联立①③，得 ，联立①②，得 ，
则 ，即 ，因此 ，
所以离心率 ．
故选：C
36．已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，P是双曲线C的一
条渐近线上的点，且线段 的中点N在另一条渐近线上．若 ，则双曲线C
的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
试卷第38页，共3页【分析】利用平方关系、商数关系求出 ，再由 得出 可得答案.
【详解】因为N，O分别是 的中点，所以 ，
又 ，
，
所以 ，
所以 ，故 ．
故选：A．
x❑ 2 y❑ 2
37．已知双曲线C: − =1(a>0,b>0)，直线 与双曲线 交于 ， 两点，
a❑ 2 b❑ 2
直线y=−b与双曲线 交于 ， 两点，若|MN|=√2|PQ|，则双曲线 的离心率等于
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】双曲线方程分别于直线 、直线y=−b联立求出|MN|,|PQ|，利用
|MN|=√2|PQ|可得答案.
{ y=a { y=a { y=a
2ac
【详解】由 x❑ 2 y❑ 2 ，得 ac，或 ac，所以|MN|= ，
− =1 x=− x= b
a❑ 2 b❑ 2 b b{
y=−b
{ y=−b {y=−b
由 x❑ 2 y❑ 2 ，得 ，或 ，所以|PQ|=2√2a，
− =1 x=−√2a x=√2a
a❑ 2 b❑ 2
2ac
因为|MN|=√2|PQ|，所以 =√2×2√2a，
b
c2 4
整理得c=2b=2√c2−a2，得 = ，所以 .
a2 3
故选：C.
38．已知 ， 分别为双曲线 的左、右焦点，O为坐标原点，点B
是双曲线上位于第二象限的点．直线 与双曲线交于另一点A， ，
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ， ，根据双曲线定义和勾股定理解得 ，计
算出 ， ，再次在 中利用勾股定理得 ，最后整理
成关于 的齐次方程计算即可.
【详解】设 ， ， ，
试卷第40页，共3页因为 ，则 ，则 ，解得
又因为 ， ，则 为 的中点，所以 ，
则 ，在直角三角形 中， ，
即 ，化简得 ，
将 代入上式得 ，
则 ，
化简得 ，两边同除 得 ，
解得 或1（舍去），则 .
故选：A.
39．如图，已知 为双曲线 上一动点，过 作双曲线 的切线
交 轴于点 ，过点 作 于点 ， ，则双曲线 的离心率为
（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由 与双曲线相切，可得 ，即可得 ，作 轴于
点 ，结合相似三角形的性质可得 ，计算即可得 的值，从
而求出离心率.
【详解】设 ，则 ，令 ，则 ，故 ，
过点 作 轴于点 ，则 ，
由 ， 轴，故 与 相似，
故 ，及 ，
即 .
又 ，所以 ，所以 ，
即 ，则 ．
试卷第42页，共3页其中双曲线 上一点 的切线方程 ，证明如下：
不妨先探究双曲线在第一象限的部分（其他象限由对称性同理可得）．
由 ，得 ，所以 ，
则在 的切线斜率 ，
所以在点 处的切线方程为： ，
又有 ，化简即可得切线方程为： ．
故选：B.
40．设双曲线 ： 的左、右焦点分别为 ， ，过坐标原点 的直
线与双曲线C交于A，B两点， ， ，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】B
【分析】由双曲线的对称性可得 ， 且四边形 为平行四边形，
由数量积的定义，结合余弦定理代入计算，即可得离心率.
【详解】由双曲线的对称性可知 ， ，有四边形 为平行四边形，
令 ，则 ，
由双曲线定义可知 ，故有 ，即 ，
即 ， ，
则
，
即 ， ，所以 .
故选：B
考点05：双曲线的中点弦问题
双曲线的中点弦斜率公式
x2 y2
(1) 若 M(x ,y ) 为双曲线 − =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
0 0 a2 b2
b2
k ⋅k = =e2−1
AB OM a2
试卷第44页，共3页y2 x2
(2) 若 M(x ,y ) 为双曲线 − =1弦 AB ( AB 不平行 y 轴) 的中点, 则
0 0 a2 b2
a2 1
k ⋅k = =
AB OM b2 e2−1
x2 y2 b2x
在双曲线 − =1 中, 以 P(x ,y ) 为中点的弦所在直线的斜率 k= 0 ;
a2 b2 0 0 a2y
0
41．已知双曲线 ，过其右焦点 作一条直线分别交两条渐近线于
两点，若 为线段 的中点，且 ，则双曲线 的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
由题设有双曲线渐近线为 ， ，且 ，求 坐标，根据
得到齐次方程，即可得渐近线.
【详解】由题设作出图形，双曲线渐近线为 ， ，则直线 ，
故 ，可得 ，故 ，即 ，
又三角形BOF为等腰三角形，所以 ，则，
整理得 ，即双曲线 的渐近线方程为 .
故选：B
42．已知双曲线 的左焦点为 ，圆 .若过 的直线
分别交 的左、右两支于 两点，且圆 与 相切于点 ，则下列结论错误的是
（ ）
A．若 ，则直线 与 没有交点
B．若 为线段 的中点，则离心率
C． 不可能为线段AB的中点
D．若 的离心率为 ， 到 的渐近线的距离为 ，则
【答案】D
【分析】根据双曲线方程和题中条件，结合各个选项的条件进行判断；
【详解】对于A，此时直线 为 的一条渐近线，A正确.
对于B，若 为线段 的中点，则 ，由双曲线定义可知 ，
即离心率 ，B正确.
对于C，若 为线段AB的中点，则 .设A(x ,y )，B(x ,y )， ，
1 1 2 2
试卷第46页，共3页联立方程组 ，消去y得 ，
所以 ， ，
所以 ，可知 ，
即M不可能为线段AB的中点，C正确.
对于D，由 ，得 ， .
因为 到C的渐近线的距离为 ，所以 ，解得 ， ， .
联立方程组 ，消去 得 .
设A(x ,y )，B(x ,y )，则 ， ，
1 1 2 2
所以 ，D错误.
故选：D.
43．在平面直角坐标系 中，过点 的直线 与双曲线
的两条渐近线相交于 两点，若线段 的中点是 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设出直线 的方程，由双曲线方程得到两渐近线方程，分别联立直线 与两渐近线
方程，得到 点坐标，结合 的中点为 ，可得结论．【详解】
直线 的斜率不存在时， 应该在 轴上，不符合题意，
直线 的斜率为0时， 两点重合，不符合题意，
所以直线 的斜率存在且不为0，设直线 ，
双曲线的两条渐近线方程分别为 ，
联立 解得 ，不妨令 ，
联立 ，解得 ，则 ，
因为线段 的中点为 ，所以 ，即 ，
②式两边分别平方得 ③，将①代入③并化简可得 ，
所以离心率 .
试卷第48页，共3页故选：D．
44．已知双曲线 ， 、 分别为左、右焦点，若双曲
线右支上有一点P使得线段 与y轴交于点E， ，线段 的中点H满足
，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由 ，设 ，表示出 的方程求得 ，则 ，由
表示出P的坐标，代入双曲线方程，整理计算即可求解.
c
【详解】由 ，得 的横坐标为 ，设 ，
2
则直线 的方程为 ，令 ，得 ，即 ，
所以线段 的中点 ，则 ，
由 ，得 ，则 ，
即 ，代入双曲线方程得 ，
即 ，整理得 ，
由 ，解得 .
故选：A45．在平面直角坐标系 中，已知直线 与双曲线 的左右两支
分别交于 两点， 是线段 的中点， 是 轴上一点(非原点)，且
，则 的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．3
【答案】B
【分析】设 ，则由已知可得 ，设直线 的方程为 ，
，将直线方程代入双曲线方程化简利用根与系数的关系，可得
，再由 ， 是线段 的中点，可得 ，两式结
合化简可求出离心率.
【详解】设 且 ，则 ，
因为 ，所以 ，得 ，
试卷第50页，共3页设直线 的方程为 ， ，
由 ，得 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，①
，
因为 ， 是线段 的中点，
所以 ，即 ，化简得 ，
由①，得 ，所以 ，
所以 ，
所以离心率 ，
故选：B
46．已知F是双曲线 （ ， ）的右焦点，O是坐标原点，F是OP的
中点，双曲线E上有且仅有一个动点与点P之间的距离最近，则E的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题知， ，设 是双曲线E上的一个动点，利用两点间的距离可
得 ，分类讨论可求 在 处取得最小值，进而可求得椭
圆的离心率的范围.
【详解】由题知， ，设 是双曲线E上的一个动点，∴ ，即
，
∴ ．
易知 最小时，M为E的右顶点，则 ，
∴当 时， 在 处取得最小值，不符合题意，
故 ，此时 在 处取得最小值，符合题意，
故 ．
故选：B．
47．已知双曲线C： 的右焦点为F，B为虚轴上端点.M是 中点，
O为坐标原点，OM交双曲线右支于N，若 垂直于x轴，则双曲线C的离心率为（ ）
试卷第52页，共3页A． B．2 C． D．
【答案】A
【分析】由图，可得点M，N坐标，后由 可得 ，即可得答案.
【详解】如图，由题意可知
注意到 ，又由题， ，则 .
因M是 中点，则 ，则 .
由题， ，则 ，故 .
故选：A.
48．在圆锥 中，已知高 ，底面圆的半径为4，M为母线 的中点，根据圆锥曲
线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命
题，正确的个数为（ ）
①圆的面积为 ；
②椭圆的长轴长为 ；③双曲线两渐近线的夹角正切值为 ；
④抛物线的焦点到准线的距离为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】对于①，利用圆锥的几何性质确定圆的半径，即可求得圆的面积；对于②，结合
圆锥的轴截面可求得椭圆的长轴长；对于③，建立平面直角坐标系，设双曲线方程，确定
双曲线上的点的坐标，即可求得双曲线方程，进而求得双曲线两渐近线的夹角正切值；对
于④，建立平面直角坐标系，设抛物线方程，确定抛物线上的点的坐标，即可求得参数，
由此可判断出答案.
【详解】对于①，M为母线 的中点，因此截面圆的半径为底面圆的半径的 ，
即截面圆半径为2，则圆的面积为 ，故①正确；
对于②，如图，在圆锥的轴截面 中，作 ,垂足为C，
由题意可得M为母线 的中点，则 ,
故椭圆的长轴长为 ,②正确；
对于③，如图，在与平面 垂直且过点M的平面内，建立平面直角坐标系，
坐标原点与点P到底面距离相等，
试卷第54页，共3页则点M坐标为 ，双曲线与底面圆的一个交点为D，其坐标为 ，
则设双曲线方程为 ，
则 ，将 代入双曲线方程，得 ，
设双曲线的渐近线 与 轴的夹角为 ，则 ，
故双曲线两渐近线的夹角正切值为 ，③错误；
对于④，如图，建立平面直角坐标系，
设抛物线与底面圆的一个交点为H，
则 ，则 ,
设抛物线方程为 ，则 ，
即抛物线的焦点到准线的距离为 ，④错误，
故正确的命题有2个，
故选：B
49．在平面直角坐标系 中，已知双曲线 的左､右焦点分别为， ，过 的直线与双曲线 的右支相交于点 ，过点 作 ，
垂足分别为N,M，且 为线段 的中点， ，则双曲线 的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】由条件证明 为线段 的中点，由此可得 ，结合双曲线的定
义可得 ，由勾股定理可得 的关系，由此可求曲线 的离心率.
【详解】因为 ， 为双曲线 的左､右焦点，
所以 ，
因为
所以 ，又 为线段 的中点，
所以 为线段 的中点，且 ，
又 为线段 的中点，
所以 ，
在 中， ， ，
所以 ，
所以 ，
因为点 在双曲线的右支上，
所以 ，
试卷第56页，共3页故 ，
在 中， ， ， ，
由勾股定理可得： ，
所以 ，即 ，
所以 ，又 ，
故 ，
所以 ，
故选：D.
50．已知双曲线 右支上的一点P，经过点P的直线与双曲线C的两条渐近线
分别相交于A，B两点．若点A，B分别位于第一、四象限，O为坐标原点．当点P为AB
的中点时， （ ）
A． B．9 C． D．
【答案】B
【分析】设 ， ， ， ， ，结合点P为AB的中点求得 ， ，再代入双曲线方程求得 ，进而即可求解
的值．
【详解】设 ， ， ， ， ，
由点P为AB的中点，得 ， ，
将P点代入双曲线方程可得 ，化简得 ，
所以 ，
故选：B．
考点06：直线与双曲线的综合问题
（1）设直线方程，设交点坐标为 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，注意 的判断；
（3）列出韦达定理；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 （或 、 ）的形式；
（5）代入韦达定理求解.
试卷第58页，共3页51．已知双曲线 分别是 的左、右焦点．若 的离心率
，且点 在 上．
(1)求 的方程；
(2)若过点 的直线 与 的左、右两支分别交于 两点，与抛物线 交于 两
点，试问是否存在常数 ，使得 为定值？若存在，求出常数 的值；若不存在，
请说明理由．
x2 y2
【答案】(1) − =1
4 12
(2)存在， 为定值 ．
【分析】（1）根据已知列方程组求解求出双曲线方程；
（2）先联立方程组求出两根和两根积，再应用弦长公式，最后计算得出定值.
【详解】（1）设双曲线 的半焦距为c(c>0)，
x2 y2
由题意可得 ，解得 ，所以 的方程为 − =1．
4 12
（2）
假设存在常数 满足条件，由（1）知 ，设直线 ，
联立方程得 ，消去 ，整理可得 ，
所以 ， ，
．
因为直线 过点 且与 的左、右两支分别交于 ， 两点，所以 两点在 轴同侧，所
以 ．
此时 ，即 ，所以 ．
设 ，将 代入抛物线方程 ，得 ，
则 ，
所以
试卷第60页，共3页．
所以 ．
故当 时， 为定值 ，所以，当 时， 为定值 ．
52．已知双曲线的中心为坐标原点 ，点 在双曲线上，且其两条渐近线相互垂
直.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)若过点 的直线 与双曲线交于 ， 两点， 的面积为 ，求直线 的方
程.
【答案】(1) (2) 或 ．
【分析】（1）设所求双曲线方程为 ， ，把点 代入，即可得出
答案．
（2）根据题意设直线 的方程为 ，联立直线与双曲线的方程，分别用点到直线的
距离公式，弦长公式，三角形面积公式，建立方程，即可得出答案．
【详解】（1）因为双曲线 的两条渐近线互相垂直，
所以双曲线 为等轴双曲线，
所以设所求双曲线方程为 ， ，
又双曲线 经过点 ，
所以 ，即 ，
所以双曲线的方程为 ，即 ．（2）根据题意可知直线 的斜率存在，又直线 过点 ，
所以直线 的方程为 ，
所以原点 到直线 的距离 ，
联立 ，得 ，
所以 且 ，
所以 ，且 ，
所以 ，
所以 的面积为 ，
所以 ，解得 ，所以 ，
所以直线 的方程为 或 ．
53．如图，已知双曲线 的离心率为2，点 在C上，A，B
为双曲线的左、右顶点， 为右支上的动点，直线AP和直线x＝1交于点N，直线NB交C
的右支于点Q．
试卷第62页，共3页(1)求C的方程；
(2)探究直线PQ是否过定点，若过定点，求出该定点坐标，请说明理由；
(3)设S，S 分别为 ABN和 NPQ的外接圆面积，求 的取值范围．
1 2
△ △
x2 y2
【答案】(1) − =1(2)直线PQ过定点（4，0），理由见解析(3)
4 12
【分析】（1）因为离心率 ，将点 代入双曲线方程得 ，又
，解得a，b，即可得出答案．
（2）设 ，直线PQ的方程为 ，联立双曲线的方程，结合韦达定
理可得 ， ，写出直线AP的方程，进而可得N点的坐标，又N，B，Q三点共线，
则 ，解得 ，即可得出答案．
（3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为R1，R2，由正弦定理可得
，又 ，可得 ，设直线PQ的方程为 ，与双曲线C的方程，可得 ， ，由韦达定理得m的范
围，结合弦长公式及函数性质进而可得答案．
【详解】（1）因为离心率 ，
所以
双曲线的方程为 ，
将点 代入双曲线方程得 ，
所以 ，
x2 y2
所以双曲线C的方程为 − =1．
4 12
（2）直线PQ过定点 ，理由如下：
设 ，
直线PQ的方程为 ，
联立 ，
整理得 ，
则 ，
直线 ，
所以 ，
又N，B，Q三点共线，
试卷第64页，共3页所以 ，即 ，
即 ，
即 ．
因为 ，
所以 ，
代入上式得 ，
所以 ．所以PQ过定点 .
（3）设△ABN和△NPQ的外接圆半径分别为
由正弦定理可得 ，
又 ，
所以 ，即 ．
设直线PQ的方程为x＝my+4，
与C的方程联立 ，
整理得 ，
则 ，
又 ，即 ，解得 ，
又因为 ，
所以 ．
54．已知双曲线 的虚轴长为 ，点 在 上.设直线 与
交于A，B两点（异于点P），直线AP与BP的斜率之积为 .
(1)求 的方程；
(2)证明：直线 的斜率存在，且直线 过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）借助虚轴定义得 ，将 的坐标代入方程得 ，即可求解双曲
线方程；
（2）设出直线方程，代入曲线中，可得与交点横坐标有关韦达定理，借助韦达定理计算斜
率之积可得直线l中参数关系，即可得其定点.
【详解】（1）因为虚轴长为 ，所以 ，
将 的坐标代入方程 ，得 ，解得 ，
故 的方程为 .
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，直线AP的斜率为 ，直线BP的斜率为 ．
1 1 2 2
当直线 的斜率不存在时，设 ，联立 得 ，
试卷第66页，共3页即 ，
由 ，得 ，解得 （舍去）或 （舍去），
所以直线 的斜率存在，设直线 的方程为 ，
代入 的方程得 ，
则 ，
由 ，
可得 ，
即 ，
化简得 ，即 ，
所以 或 ，
当 时，直线 的方程为 ，直线 过点 ，
与条件矛盾，舍去；
当 时，直线 的方程为 ，直线 过定点
55．已知椭圆 的左右焦点分别是 ，双曲线 的顶点恰好是 、 ，且
一条渐近线是 ．(1)求 的方程：
(2)若 上任意一点 （异于顶点），作直线 交 于 ，作直线 交 于 ，求
的最小值．
【答案】(1) ;
(2) .
【分析】（1）利用双曲线渐近线斜率 已知，结合顶点坐标的性质，即可求出方程；
（2）设直线 的方程为： ，利用弦长公式可求出|AB|与 的关系式，同理
再设直线 的方程为： ，也可求出|PQ|与 的关系式，然后利用这两直线
的交点在双曲线上，得到 ，从而可求 的最小值.
【详解】（1）由椭圆 得：左右焦点分别是 ，
因为双曲线 的顶点恰好是 、 ，设双曲线 的方程为： ，
所以 ，
又由一条渐近线是 ，可得 ，所以 ，
即双曲线 的方程为： ，
（2）
试卷第68页，共3页设直线 的方程为： ，与椭圆 联立得：
，
可设A(x ,y ),B(x ,y )，则
1 1 2 2
则 ，
同理可设直线 的方程为： ，与椭圆 联立得：
，
可设 ，则
则 ，
再由直线 的方程为： 与直线 的方程为： 联立解得：
，
由于这两直线交点就是点 ，则把点 的坐标代入双曲线 的方程得：
，化简得： ，
点 （异于顶点），所以 ，即 ，则
，
当且仅当 ，即 时， 有最小值 .
56．已知双曲线 ： 的实轴长为2，设F为C的右焦点，T为C的
左顶点，过F的直线交C于A，B两点，当直线 斜率不存在时， 的面积为9.
(1)求C的方程；
(2)当直线 斜率存在且不为0时，连接 ， 分别交直线 于P，Q两点，设M为
线段 的中点，证明： .
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由题意可得 ，求得 两点坐标，利用 的面积为9，可求 ，可
求椭圆方程；
（2）设 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，可得直线 的方程，联立方程组可得
1 1 2 2
， ，求得 两点坐标，进而求得 的坐标，可求得
，可证结论.
试卷第70页，共3页【详解】（1）依题意 ， 的方程 .
当直线 斜率不存在时，不妨取 ， .
因为此时 的面积为9，所以 ，于是
因此 .
故 的方程 .
（2）设 ，则 ： ，由
得 ，
因为 ，所以设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， .
直线 ： ，令 ，得 ，故 .
同理 .所以
.
所以 ，故 .
因此 .
57．已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，点
在 上.
(1)求双曲线 的方程；
(2)过双曲线 的左焦点 作互相垂直的两条直线 ，且 与 交于 两点， 与 交
于 两点， 为线段 的中点， 为线段 的中点，证明：直线 过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）根据渐近线方程及双曲线上点的坐标列方程组求解即可.
（2）当 与坐标轴平行时，直线 与 轴重合；当 不与坐标轴平行时，设直线 的
方程为 ，与双曲线方程联立，韦达定理，从而求出 ，
同理可得 ，求出直线 的方程，即可求解直线 恒过的定点.
试卷第72页，共3页【详解】（1）由双曲线 的一条渐近线方程为 ，
且点 在 上，
有 解得 故双曲线 的方程为 .
（2）由题意可知 不与渐近线平行，
当 与坐标轴平行时，显然直线 与 轴重合.
当 不与坐标轴平行时，左焦点 为 ，
不妨设直线 的方程为 ，联立
消去 并整理得 ， ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则
1 1 2 2
所以 ，所以 .
又直线 互相垂直，用 替换 ，则可得 .
当 ，即 时，直线 的方程为 ，直线 过 ；
当 时，直线 的斜率为 ，所以直线 的方程为 ，
令 ，所以直线 过 .
综上，直线 恒过点 .
58．设双曲线C： （ ， ）的一条渐近线为 ，焦点到渐近线
的距离为1． ， 分别为双曲线 的左、右顶点，直线 过点 交双曲线于点 ，
，记直线 ， 的斜率为 ， ．
(1)求双曲线 的方程；
(2)求证 为定值．
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）借助渐近线定义及点到直线距离公式计算即可得；
（2）设出直线方程，联立曲线可得与交点纵坐标有关韦达定理，作商即可得所设参数与纵
坐标的关系，借助斜率公式表示出斜率后，消去所设参数即可得证.
试卷第74页，共3页【详解】（1）由题意可得 ，解得 ，
故双曲线 的方程为 ；
（2）由双曲线 的方程为 ，则 ， ，
由题意可知直线 斜率不为 ，故可设 ，M(x ,y )， ，
1 1
联立 ，消去 可得 ，
，即 ，
则 ， ，
则 ，即 ，
， ，
则
，
即 为定值 .59．设双曲线 的左、右顶点分别为 ， ，左、右焦点分别为 ，
， ，且 的渐近线方程为 ，直线 交双曲线 于 ， 两点.
(1)求双曲线 的方程；
(2)当直线 过点 时，求 的取值范围.
【答案】(1) (2)
【分析】（1）由题意可得 ，解方程即可得出答案；
（2）讨论直线 的斜率存不存在，存在时设直线 的方程为 ，
，联立直线与双曲线的方程，将韦达定理代入 ，由反比例函数
的单调性即可得出答案.
【详解】（1）由题意可得： ，解得： ， ， .
双曲线的方程为： .
试卷第76页，共3页（2）当直线 的斜率不存在时， ，A(−2,0)，
此时 ， ，所以 ，
当直线 的斜率存在时，设P(x ,y )，Q(x ,y )，因为直线 过点 ，
1 1 2 2
设直线 的方程为： ，
联立 可得： ，
当 时， ，
， ，
，
令 ，则 ，令 ， 在 ， 上单调递
减，
又 ，所以 ，
所以 的取值范围为 .60．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 为双曲线上一点，且
(1)求双曲线 的标准方程及其渐近线方程；
(2)已知直线 与双曲线 交于 两点，且 ，其中 为坐标原点，
求 的值.
【答案】(1) ； (2) 或
【分析】（1）根据已知条件及双曲线的定义即可求解；
（2）将直线与双曲线方程联立方程组，利用韦达定理及点到直线的距离公式，结合弦长公
式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）由 及双曲线的定义知， ，即 ，
所以双曲线的方程为： ，其渐近线方程为 ；
（2）由题意可知，作出图形如图所示
试卷第78页，共3页设 ，由题可知 ，
联立 ，
所以 ，
点 到直线 的距离 ，
所以 ，
令 ，化简得： ，解得： 或 ，
所以 或 .
