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考点巩固卷 18 椭圆方程及其性质(六大考点)
考点01：椭圆的定义（妙用）
结论1： 椭圆第一定义
结论2：标准方程 由定义即可得到椭圆标准方程
结论3： 椭圆第二定义
1．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内所对应的点的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线2．设O为坐标原点， ， 为椭圆C： 的左，右两个焦点，点R在C上，点
是线段 上靠近点 的三等分点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任
意一点， ， 分别为ΔM F F 的内心和重心，则⃗IG⋅⃗F F =（ ）
1 2 1 2
A．0 B．1 C． D．3
4．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若经过 的弦
满足 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 的射线分别与椭圆 和圆
相交于点 ，过点 作 ，垂足为 为坐标原点，则
（ ）
A． B． C．2 D．
6．已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直线与 交于
试卷第2页，共3页点 ，与 轴交于点 ， ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 和上顶点A的直
线 交 于另外一点 ，若 ，且 的面积为 ，则实数 的值为
（ ）
A．3 B． C．3或7 D． 或7
8．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，且满足
, 延长线交椭圆于另一点 ， ，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
9．设 ， 是椭圆 （ ）的左、右焦点，过 的直线 与 交于 ，
两点，若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10．已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得
， ，则椭圆的离心率为（ ）A． B． C． D．
考点02：椭圆的焦点三角形问题
椭圆 焦点为 ， ，P为椭圆上的点， ，则
；
证明：设
推论及应用：（注意：r为内切圆半径）
①三角形（直角）等面积法：如上图，当 时，有
；
，
．
②任意角度的三角形等面积法：
．
③ 最 大 面 积 、 最 大 顶 角 考 点 ： 当 点 P 位 于 椭 圆 的 短 轴 顶 点 时 ，
取 最 大 值 ， 根 据 等 面 积 法 ， 此 时
．
试卷第4页，共3页④直角顶点的处理技巧：当 时， 取得最大值，若 ，则
， ；同理可得，若 ，则 ， ；若
，则 ， ．
⑤直角顶点个数考点，当 时， 有四个点P存在；当
时， 有两个点P存在；当 时， 无点P存在。
注意： 与 的区别， 不一定 为顶点.
11．已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两
个动点，且 ， 面积的最大值为 ，过O作直线MN的垂线，垂足为
H，则 （ ）
A． B． C．1 D．
12．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点， 的内切圆的圆
心为 ，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
13．单位向量 ，向量 满足 ，若存在两个均满足此条件的向量 ，使
得 ，设 ， 在起点为原点时，终点分别为 .则 的最大值
（ ）
A． B． C．4 D．214．已知 是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且线段 的中点在以
为直径的圆上，则三角形 的面积为（ ）
A．1 B． C． D．8
15．已知椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ．若椭圆上有一点P，使
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上.若 ，
则 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
17．已知椭圆 的两个焦点为 ， ，点 ， 为 上关于坐标原
点对称的两点， ， 的面积记为 ，且 ，则 的离心率的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
18．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过 的直线 与 交于
试卷第6页，共3页两点，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 的面积等于
C． 的离心率等于 D．直线 的斜率为
19．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上， 为
的内心，记 ， 的面积分别为 ， 且满足 ，则椭圆的离心率
是（ ）
A． B． C． D．
20．已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 在 上， 在 轴上，
，以 为直径的圆过 ，且 的面积为 ，则椭圆 的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
考点03：椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
c √ b
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：e= e= 1−( ) 2 . （ ）
a
⇒
a 0b>0) a2 +m b2 +m
(m>−b2
)
x2 y2 y2 x2
2、有相同离心率： + =k（ ，焦点在 轴上）或 + =k（ ，焦点
a2 b2 k>0 a2 b2 k>0
在 轴上）
x2 y2
3、椭圆 + =1的图象中线段的几何特征（如下图）：
a2 b2
（1） ；
（2） ， ， ；
a−c≤|PF|≤a+c
（3） , ， ；
1
21．椭圆 的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
22．已知点 在圆 上运动，点 为椭圆 的右焦点与上顶点，则
最小值为（ ）
A． B． C． D．
23．若椭圆 的离心率为 ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
24．设点 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使得
成立的点 恰好有4个，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
试卷第8页，共3页25．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在
椭圆 上，且 ， 的面积为 ，则椭圆 的焦距为（ ）
A． B． C．6 D．12
26．已知椭圆 ： 的左、右两个顶点为 ， ，点 ， ， 是 的四等
分点，分别过这三点作斜率为 的一组平行线，交椭圆 于 ， ，…， ，则直
线 ， ，…， ，这6条直线的斜率乘积为（ ）
A． B． C．8 D．64
27．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭圆上一点，若
的内心为 ，连接 并延长交 轴于点 ，且 ，则椭圆的短轴长
为（ ）
A．2 B． C． D．
28．已知椭圆 的左顶点为A，左焦点为 为该椭圆上一点且在第一
象限，若射线 上存在一点 ，使得 ，线段 的垂直平分线与射线
交于点 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．29．设椭圆 的离心率是椭圆 的离心率的 倍，则
的长轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．
30．已知椭圆 的离心率 ，上顶点的坐标为 ，右顶点
为A,P为 上横坐标为1的点，直线 与 轴交于点 为坐标原点，则 （ ）
A．1 B． C． D．
考点04：求椭圆离心率及取值范围
1、离心率是圆锥曲线的核心概念，求离心率的值或取值范围即寻求 间的等量关系和
不等关系并结合 求解．该类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的
综合点，往往有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件．两种解题方向，即以形为主
的解题方向，注意结合平面几何知识求解；以数为主的解题方向，要注意方程和不等式的
联系．
2、与椭圆焦点三角形有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的
关系、面积公式、基本不等式等，其中包含关于 的等量关系和不等关系，借此可确
定离心率的值或取值范围．
31．设 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，直线
与以 为圆心、 为半径的圆切于点 为坐标原点 ，且 ，则椭圆 的离
试卷第10页，共3页心率为（ ）
A． B． C． D．
32．点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点
，圆 与 轴相交于 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
33．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线l与椭圆
相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接 ， ．若O为坐标原点， ，
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，P为C上一点，
满足 ，以C的短轴为直径作圆O，截直线 的弦长为 ，则C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．35．已知 是椭圆 的左、右焦点，若 上存在不同的两点 ，
使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
36．已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，焦距为 ，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
37．已知椭圆 的左焦点为 ，直线 与C分别
交于 两点（A在x轴上方），与y轴交于点 为坐标原点．若 ，则C
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
38．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点A，B在
上，直线 倾斜角为 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
39．已知 为椭圆 上一点， 分别为其左、右焦点， 为坐标
试卷第12页，共3页原点， ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
40．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆
交于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，若直线 与 的斜率之积为 ，则椭
圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
考点05：椭圆的中点弦问题
中点弦问题：若直线 与椭圆交于 两点， 为 中点，则用点差法处理
结论1：
证明：设
41．若椭圆的中心在原点，焦点在 轴，一个焦点为 ，直线 与椭圆相交所得
弦的中点坐标为 ，则这个椭圆的方程为 .
42．已知F是椭圆C： （ ）的左焦点， 是椭圆C过F的弦， 的垂直平分线交x轴于点P.若 ，且P为 的中点，则椭圆C的离心率为 .
43．已知正方形 的四个顶点均在椭圆 上， 的两个焦点 分别是
的中点，则 的离心率是 .
44．已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交E于
A，B两点， 是线段BF 的中点，且 ，则E的方程为 ．
1
45．已知 ， 分别为椭圆 ： 的两个焦点，右顶点为 ， 为
的中点，且 ，直线 与 交于 ， 两点，且 的周长为28，则椭圆
的短轴长为 .
46．已知圆 在椭圆 的内部， 为 上的一个动
点，过 作 的一条切线，交 于另一点 ，切点为 ，若当 为 的中点时，直线
的倾斜角恰好为 ，则该椭圆 的离心率 .
试卷第14页，共3页47．已知椭圆 ，平行于 轴的直线与 交于点 ，平行于 轴的
直线与 交于点 ，直线 与直线 在第一象限交于点 ，且 ， ，
， ，若过点 的直线 与 交于点 ，且点 为 的中点，则 的方程
为 ．
48．已知O为坐标原点，点F为椭圆 的右焦点，点A，B在C上，
AB的中点为F， ，则C的离心率为 ．
49．设О为坐标原点，A为椭圆C： 上一个动点，过点A作椭圆C内
部的圆E： 的一条切线，切点为D，与椭圆C的另一个交点为B，
D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2，则C的离心率为 .
50．已知椭圆 的右焦点为 是 的中点，若椭圆 上到点
的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆 的离心率的取值范围为 .
考点06：椭圆中过原点的向量积问题
椭圆与直线 相交于 两点，O为坐标原点，求
解：设
将 代入 得：将（1）（2）代入（3）得：
注意：椭圆与直线 相交于 两点， 为坐标原点，且
，或（以AB线段为直径的圆过坐标原点O ），设原点到直线的
距离为 ，则 。
由于
故：
51．已知椭圆的焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 ， 两点，且 ，求实数 的值和 的面
积.
52．已知椭圆 为其左焦点， 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若 ，是否存在某定圆始终
与直线 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
53．已知O为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且
试卷第16页，共3页，求 的取值范围．
54．已知P为椭圆 短轴上的一个顶点， ， 为 的左、右焦点，
且 的面积为 ，椭圆 的焦距为2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线l为圆 的切线，且l与 相交于A，B两点，求 的取值范围（O
为坐标原点）．
55．已知椭圆 的短轴长为2，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 （ 为坐标原点），求实数
的值．
56．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为M，
，且原点O到直线 的距离为 .
（1）求椭圆C的方程：
（2）已知斜率为 的直线l交椭圆C于A、B两点，求 的取值范围.
57．已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F(-c，0)，F(c，0)，其中
1 2
c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.（1）求C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，
试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.
58．设定圆 ，动圆 过点 且与圆 相切，记动圆 圆心 的
轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）直线 与曲线 有两个交点 ， ，若 ，证明：原点 到直线 的距离为
定值．
59．定义：已知椭圆 ，把圆 称为该椭圆的协同圆.设
椭圆 的协同圆为圆 ( 为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆 的方程；
（2）设直线 是圆 的任意一条切线，且交椭圆 于 两点，求 的值；
（3）设 是椭圆 上的两个动点，且 ，过点 作 ，交直线 于
点，求证：点 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
60．已知 ､ 分别为椭圆 左右焦点， 为椭圆上一点，满足
轴， ，且椭圆上的点到左焦点 的距离的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点， (其中 为坐标原
试卷第18页，共3页点)，与直线 平行且与椭圆 相切的两条直线分别为 ､ ，若 与 两直线间的距离为
，求直线 的方程.
