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考点巩固卷 17 空间中的平行与垂直（八大考点）
考点01 判断平行，垂直的有关命题
1．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】C
【分析】对于A，根据 可能平行、可能相交且不垂直判断；对于B，根据 可能平行、可能相交且
科网（北京）股份有限公司 1不垂直、异面且不垂直判断；对于C，根据线面垂直的性质定理判断；对于D，根据 或异面判断．
【详解】对于A， ，则 可能平行、可能相交且不垂直，故A不正确；
对于B， ，则 可能平行、可能相交且不垂直、可能异面且不垂直，故B不正确；
对于C，若 ，根据线面垂直的性质定理可知 ，故C正确；
对于D，若 ，则 或异面，故D不正确．
故选：C．
2．直线a，b互相平行的一个充分条件是（ ）
A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等
C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面
【答案】C
【分析】根据各选项中的条件判断直线a，b的位置关系，可得出正确的答案.
【详解】对于A：若a，b都平行于同一个平面，则a，b平行、相交或异面，故A错误；
对于B：若a，b为圆锥的两条母线，它们与底面所成角相等，但它们是相交直线，即a，b与同一个平面
所成角相等，不能得出直线a，b互相平行，故B错误；
对于C：若a，b都垂直于同一个平面，则a，b互相平行，故C正确；
对于D：若a平行于b所在平面，则a，b平行或异面，故D错误；
故选：C
3．已知平面 ，直线 ，若 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】根据线线垂直、线面垂直和面面垂直的相互转化和必要不充分条件的定义可得答案.
【详解】如下图 且 ， ，则l//a，此时 ， ，所以 ，充分性
不成立；
科网（北京）股份有限公司 2若 ，因为 ，所以 ，必要性成立，
故 “ ”是“ ”的必要不充分条件.
故选：B.
4．已知 是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则有下列命题
① ， ， ；
② ， ， ；
③ ， ， ；
④ ， .
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【分析】利用空间中直线、平面间的位置关系逐项判断即可.
【详解】①若 ， ， ，则直线 没有交点， 异面或 ，故①不正确；
②若 ， ， ，当 均与 ， 的交线平行时，可得 ，故②不正确；
③若 ， ，则 ，又 ，则 ，故③正确；
④若 ， ，则 或 ，故④不正确.
其中正确命题的个数为 .
故选：B.
5．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
科网（北京）股份有限公司 3A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
【答案】D
【分析】由空间中的线面关系，结合特例法判断ABC，根据两平面的法向量的位置关系判断两直线的位置
关系判断 .
【详解】对于A，若 ，则 或 ，错误；
对于B，若 ， 的位置关系不确定，可以平行、相交、异面直线，错误；
对于C，若 ，则 或者 相交，错误；
对于D，若 ，可得 的方向向量分别是 的法向量，因为 ，所以 的法向量垂直，
所以 的方向向量垂直，则 ，正确.
故选：D.
6．若直线 不平行于平面 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）
A． 内不存在与 异面的直线 B． 内存在与 平行的直线
C． 内存在唯一一条直线与 相交 D． 内存在与 垂直的直线
【答案】D
【分析】利用图形判断A选项；利用反证法可判断B选项；设 ，取 内所有过点 的直线可判断
C选项；利用线面垂直的性质可判断D选项.
【详解】因为直线 不平行于平面 ，且 ，则直线 与平面 相交，
对于B选项，若 内存在与 平行的直线 ，则 ，且 ， ，则 ，与题设矛盾，B错；
对于A选项，如下图所示：
设 ，设直线 满足 ，且 ，在平面 内存在直线 ，使得 ，且 ，
由A选项可知， 与 不平行，若 ，则 、 ，且 、 ，从而有 ，与题设矛盾，
故 与 异面，即在平面 内存在直线与直线 异面，A错；
对于C选项，设 ，则平面 内所有过点 的直线均与直线 相交，C错；
科网（北京）股份有限公司 4对于D选项，设 ，在直线 上取异于点 的一点 ，
设点 在平面 内的射影为点 ，连接 ，
在平面 内存在直线 ，使得 ，因为 ， ，则 ，
因为 ， 、 平面 ，所以， 平面 ，
因为 平面 ，所以， ，故 内存在与 垂直的直线，D对.
故选：D.
考点02 平行的判定定理
7．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足 平面
MNP的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由 与平面MNP相交，判断A；由 ，结合 不在平面 判断B；由线面平行
的判定判断C；由中位线定理判断D.
【详解】对于A：连接 ，由图可知， 与平面 相交，故不满足 平面 ，故A错误；
科网（北京）股份有限公司 5对于B：如图所示， 分别是所在棱的中点，连接
则平面MNP和平面 为同一平面，因为 ，
因为 与平面 相交，所以不满足 平面 ，故B错误；
对于C：连接 ，交 与点 ，连接 ，因为 ， 分别为 中点，
所以 ，由线面平行的判定定理可知， 平面 ，故C正确；
对于D： 分别是所在棱的中点，连接 ， ，
平面 与平面 为同一平面，
取 的中点为 ，连接 ，由中位线定理可知， ，
因为 与平面 相交，所以不满足 平面 ，故D错误；
科网（北京）股份有限公司 6故选：C
8．如图，在直三棱柱 中，D，F分别是 的中点．
(1)若E为CD的中点，O为侧面 的中心，证明： 平面 ；
(2)若 ，侧面 为菱形，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接 ， ，证得 ，进而证得 ，结合线面平行的判定定理，即可得
证；
（2）根据题意，结合 ，利用锥体的体积公式，即可求解.
【详解】（1）证明：连接 ， ．
因为O为侧面 的中心，且侧面 为矩形，所以O是 的中点．
因为 为 的中点，所以 ，
因为 分别是 ， 的中点，且 且
所以 ，所以四边形 是平行四边形，所以 ，
又因为 ，所以 ， 平面 ， 平面 ，
科网（北京）股份有限公司 7所以 平面 .
（2）解：因为 ，且 是 的中点，且侧面 为菱形，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 的面积 ，
在直三棱柱 中， 底面 ，
所以 .
9．在直三棱柱 中， 是 的中点．
(1)求证： //平面 ；
(2)求三棱锥 的体积；
科网（北京）股份有限公司 8【答案】(1)证明见解析
(2)5
【分析】（1）借助题设条件运用线面平行的判定定理；
（2）依据题设运用体积转换法进行探求．
【详解】（1）设 ，连接 ，由直三棱柱性质可知，侧面 为矩形，
∴ 为 中点， 又∵ 为 中点，∴在 中， ，
又∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ．
（2）由题 ，∴ ，即 ，
又由直三棱柱可知，侧棱 底面 ，
∴ .
所以三棱锥 的体积为5
10．如图，在直三棱柱 中， ， ， .
科网（北京）股份有限公司 9(1)求三棱柱 的侧面积；
(2)设 为 的中点，求证： 平面 .
【答案】(1)48
(2)证明见解析
【分析】（1）由题意直三棱柱侧面都为矩形，分别求其面积即可；
（2）连接 交 于点 ，连接 ，由三角形中位线定理可得 ，从而由线面平行的判定定理
可证.
【详解】（1）∵三棱柱 为直三棱柱，
∴侧面 均为矩形，
∵ ，所以底面 均为直角三角形，
又∵ ， ，
∴ ，
∴三棱柱 的侧面积为 .
∴三棱柱 的侧面积为 .
（2）连接 交 于点 ，连接 ，
∵四边形 为矩形，
科网（北京）股份有限公司 10∴ 为 的中点，
∵D为 的中点，∴ .
∴ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 .
11．如图，在几何体 中，已知四边形 是正方形， ，
分别为 的中点， 为 上靠近点 的四等分点.
(1)证明： //平面 ；
(2)证明：平面 //平面 .
【答案】(1)证明见解析；
(2)证明见解析.
【分析】（1）令 与 的交点 ，利用平行公理及线面平行的判定推理作答.
（2）取 的中点 ，根据给定的条件结合平行四边形的性质证明线线平行，再利用线面平行、面面平行
的判定推理作答.
科网（北京）股份有限公司 11【详解】（1）如图，连接 ，设 与 相交于点 ，连接 ，
因为四边形 是正方形，则 为 的中点，又 为 的中点，
于是 ， ，即四边形 为平行四边形，则 ，
而 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）取 的中点 ，连接 ，因为 ，且 ，
则四边形 都为平行边形，有 ，
于是四边形 为平行四边形，即有 ，
而 为 上靠近点 的四等分点，则 为 的中点，又 为 的中点，则 ，
因此 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
显然 ，又 平面 ， 平面 ，则 平面 ，
而 平面 ，
所以平面 平面 .
12．如图：在正方体 中， 为 的中点.
科网（北京）股份有限公司 12(1)试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
(2)若 为 的中点，求证：平面 平面 .
【答案】(1)直线 平面 ，理由见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用三角形中位线性质可得 ，由线面平行的判定可证得结论；
（2）根据四边形 为平行四边形可得 ，由线面平行判定可得 平面 ，结合（1）
中结论，由面面平行的判定可证得结论.
【详解】（1）直线 平面 ，理由如下：
连接 ，交 于点 ，连接 ，
四边形 为正方形， 为 中点，又 为 中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 .
（2） 分别为 中点， ，又 ，
四边形 为平行四边形， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ，
由（1）知： 平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 .
科网（北京）股份有限公司 13考点03 补全平行的条件
13．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形， .
(1)求点 到平面 的距离.
(2)若 是 的中点， 是 上靠近点 的三等分点，棱 上是否存在一点 使 平面 ？证明
你的结论并求 的长.
【答案】(1) ；
(2)存在满足条件的点 ，且点 为线段 上靠近点 的三等分点.证明见解析， .
【分析】（1）法一：根据垂直关系分别求出 以及 ，利用等体积转化法 可求出点
到平面 的距离；法二：由条件可证明 平面 ，从而点 到平面 的距离即为所求，在
等腰直角 中可求出结果；
（2）取点 为线段 上靠近点 的三等分点，可证明平面 平面 ，从而 平面 ，结
合三等分点即可求出结果.
【详解】（1）方法一：如图，连接 ，因为 平面 ，
所以 .
因为 平面 ， 平面 ，所以 ，
又 平面PCD，
所以 平面 ， 平面 ，
所以 .
设点 到平面 的距离为 ，
科网（北京）股份有限公司 14则 .
又因为 ，所以可得 ，
得 ，即点 到平面 的距离为 .
方法二：因为 平面 ，所以 平面 ，
所以点 到平面 的距离即点 到平面 的距离.
作 ，垂足为 .
同方法一可知 平面 ，所以平面 平面 ，且交线为 ，
又 平面 ，所以 平面 ，点 到平面 的距离即 .
在等腰直角 中， ，
所以 ，即点 到平面 的距离为 .
（2）存在满足条件的点 ，且点 为线段 上靠近点 的三等分点.
证明如下：
连接 交于点 ，连接 .
因为点 是 的三等分点，所以 为 的中点， 为 的中点.
在矩形 中， 为 的中点，
所以 ， 平面 ，所以 平面 ，
因为点 为 的中点，所以 ， 平面 ，
所以 平面DEF ，又因为 平面 ，
科网（北京）股份有限公司 15所以平面 平面 ，
又因为 平面 ，所以 平面 ，
因为 ，所以 .
14．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，点 为线段 上
的点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且在线段 上存在一点 ，使得 平面 .请确定点 的位置.并证明你的结论.
【答案】(1)证明见解析；
(2) 为线段 上靠近 的三等分点，证明见解析.
【分析】（1）证明 ， ，从而可证明；
（2）取 四等分点 ，使得 ，延长 交 于点 ，由 即可证明.
【详解】（1） 为矩形, .
又 平面 ,
平面 .
平面 ，
.
, 平面 ,
平面 .
（2）取 四等分点 ，使得 ，
科网（北京）股份有限公司 16连接 平面 平面 ，
则 平面 .
延长 交 于点 ，
，即 ,
为 三等分点, .
15．如图 平面 ， 是矩形， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的
任意一点．当 是 的中点时，线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ，若存在指出点
位置并证明，若不存在说明理由．
【答案】存在 为 中点使面 面 ，理由见解析
【分析】取 的中点 ，连接 ，由面面平行的判定定理即可证明平面 平面 ．
【详解】存在 为 中点，使得平面 平面 ，理由如下：
当 为 中点，连接 ，
又 是 的中点， 是 的中点，
所以 ， ，
而 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 面 ，
又 ，即平面 平面 ，
综上， 为 中点时平面 平面 ．
科网（北京）股份有限公司 1716．如图：在正方体 中，M为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，理由见解析
【分析】（1）连接BD交AC于O，连接MO，通过证明 可证明结论；
（2） 上的中点N即满足平面 平面 ，通过证明 平面 结合 平面 可证
明结论.
【详解】（1）连接BD交AC于O，连接MO.
∵ 为正方体，底面 为正方形，∴O为BD的中点.
∵M为 的中点，在 中，OM是 的中位线，所以 .
又 平面 ， 平面 ，∴ 平面 ；
（2） 上的中点N即满足平面 平面 ，
科网（北京）股份有限公司 18∵N为 的中点，M为 的中点，∴ ，且 ，
∴四边形 为平行四边形，∴ ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ 平面 ；
由（1）知 平面 ，
又∵ ，
∴平面 平面 .
17．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°， ，P为平面ABCD外一点，且
PB⊥BD．
(1)求证：PA⊥BD；
(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；
(3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)答案见解析
【分析】（1）要证PA⊥BD，只需证明AB⊥BD、PB⊥BD（因为PA、PB是平面PAB内的两条相交直线）；
科网（北京）股份有限公司 19（2）利用反证法证明，推出CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，可证： ；
（3）在上l取一点E，使PE＝BC，利用直线l∥直线BC，推出PC∥BE，可以证明直线PC∥平面EBD．
【详解】（1）∵ABCD为直角梯形，过点 作 ，因为 ，
所以四边形 为正方形，则 为等腰直角三角形，则 ，
所以 ，
∴AB⊥BD，又PB⊥BD，AB∩PB＝B，AB，PB 平面PAB，
所以BD⊥平面PAB，PA 面PAB，∴PA⊥BD．⊂
（2）假设 ，如图⊂连接PN，
则PN⊥AD，BN⊥AD，
AD⊥平面PNB，得PB⊥AD，
又PB⊥BD，得PB⊥平面ABCD， 平面ABCD，
∴PB⊥CD又∵BC⊥CD，∴CD⊥平面PBC， 平面PBC，
∴CD⊥PC，与已知条件PC与CD不垂直矛盾，
∴ .
（3）在上l取一点E，使PE＝BC，
科网（北京）股份有限公司 20∵PE∥BC，∴四边形BCPE是平行四边形，
∴PC∥BE， 平面EBD，BE 平面EBD，
∴PC∥平面EBD． ⊂
18．如图1，已知菱形 的对角线 交于点 ，四边形 是平行四边形.将三角形 沿
线段 折起到 的位置，如图2所示.
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否分别存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请指出点 的位
置，并证明；若不存在，请说明理由.
【答案】(1)证明见解析
(2)存在， 分别是 的中点，证明见解析
【分析】对于（1），证明 平面 即可.
对于（2），使 即可.
【详解】（1）证明：折叠前， 四边形 是菱形， ，
折叠后 .
平面 ，
又 平面 .
（2）在线段 上分别存在点 ，且 分别是 的中点时，平面 平面 .
证明如下：
如图，分别取 的中点 ，连结 ，
科网（北京）股份有限公司 21在 中， 分别是 的中点， .
分别是 的中点，四边形 是平行四边形，
平行且等于 四边形 是平行四边形， .
又 平面
平面 ，
平面 平面 .
考点04 平行的性质定理
19．设 是两条直线， 是两个平面，若 ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
A． B．
C． 是两条异面直线 D．
【答案】B
【分析】ACD可举出反例，D选项，可根据面面平行得到线面平行.
【详解】ACD选项，如图1和图2， ， ，则 或 是两条异面直线，故ACD错误.
B选项， ， ，根据面面平行的性质可知 ，故B正确；
故选：B
20．如图， 是棱长为1正方体 的棱 上的一点，且 平面 ，则 与 的
位置关系为 ；线段 的长度为 .
科网（北京）股份有限公司 22【答案】 /
【分析】根据线面平行性质定理，结合中位线定理以及勾股定理，可得答案.
【详解】连接 ，交 与 ，连接 ，则 为 的中点，
因为 平面 ， 平面 ，平面 平面 ，
所以 ，故 为 的中点，所以 ，
在 中 .
故答案为： ； .
21．如图，空间几何体 中，四边形 是矩形， 平面 ，平面 平面 ．
(1)求证： ；
科网（北京）股份有限公司 23(2)求证： ．
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明线面垂直，再根据线面垂直得出线线垂直即可；
（2）先证明证明线面平行，再应用线面平行性质定理即可证明；
【详解】（1）由四边形 是矩形，得 ，
由 平面 ，又 平面 ，得 , ， 平面ADE， 平面
ADE，
平面ADE，
又 平面ADE， ；
（2）因为四边形 是矩形，所以 ．
又 平面 ，且 平面 ，所以 平面 ，
而 平面 ，且平面 平面 ，所以 ．
22．在四棱锥 中， 平面 ，点 分别为
的中点．
(1)求证： 平面 ；
(2)过点 的平面交 于点 ，求 的值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）通过证明 和 ，证明 平面
科网（北京）股份有限公司 24（2）通过证明所以 ，得 是 中点，可求 的值.
【详解】（1）证明：因为 是 中点， ，
则有 ，所以四边形 是平行四边形，有 ．
因为 ，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 ， 平面 ， ，
所以 平面 ．
因为 平面 ，所以 ．
因为 是 中点，所以 ，所以 ．
因为 平面 ， ，
所以 平面 ．
（2）取 中点 ，连接 ，如图所示，
因为 是 中点，所以 ， ．
因为 ，所以 ．
所以四边形 是平行四边形，所以 ．
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ．
因为平面 平面 ， 平面 ，所以 ．
因为 是 中点，所以 是 中点，所以 ．
23．在平面四边形 中（如图1）， ， ， ，E是AB中点，现将△ADE沿
科网（北京）股份有限公司 25DE翻折得到四棱锥 （如图2），
(1)求证：平面 平面 ；
(2)图2中，若F是 中点，试探究在平面 内是否存在无数多个点 ，都有直线 平面 ，若
存在，请证明．
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，证明见解析
【分析】（1）由 ， ，可得 平面 ，进而得出结论；
（2）延长ED与BC交于点G，在平面AED内过G作GH∥AD，且GH＝AD，可证得AD∥平面CGH，
DF∥平面CGH，从而平面ADF∥平面CGH，由题意，可得点P在直线GH上，可求得结论．
【详解】（1）∵ ， ， ， 平面 ，
∴ 平面 ，
∵ 平面 ，∴平面 平面 ．
（2）延长ED与BC交于点G，在平面AED内过G作GH∥AD，且GH＝AD，连接AH，CH，
AD平面CGH，GH平面CGH，则AD∥平面CGH，
若F是EB中点，则DC∥FB，且DC＝FB，
则BCDF为平行四边形，故DF∥BC，即DF∥CG，
DF平面CGH，CG平面CGH，则DF∥平面CGH，
又AD,DF平面ADF，AD∩DF＝D，则平面ADF∥平面CGH，
由题意，可得点P在直线GH上，
CP平面CGH，则CP∥平面ADF，满足题意，
所以，在平面AED内存在无数多个点 ，都有直线CP∥平面ADF．
科网（北京）股份有限公司 2624．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三
等分点．
(1)若N是PD上的点， 平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．
(2)在PB上是否存在一点Q，使 平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．
【答案】(1) ，证明见解析
(2)存在，证明见解析
【分析】（1） ．利用线面平行的性质定理可得答案；
（2）当Q是PB的中点时， 平面BDE成立．由线面平行的判定定理可得 平面BDE、 平面
BDE，再由面面平行的判定定理和性质定理答案.
【详解】（1） ，理由如下，
因为 平面ABCD， 平面PAD，平面 平面 ，∴ ．
又因为 ，∴ ；
（2）当Q是PB的中点时， 平面BDE成立，理由如下，
取PE的中点F，连接QF，又Q为PB的中点，∴ ．∵ 平面BDE， 平面BDE，∴
平面BDE，
连接AC交BD于点O，则O为AC的中点，又E是PC靠近C的一个三等分点，
∴E为CF的中点，∴ ，
∵ 平面BDE， 平面BDE，∴ 平面BDE，
又 ，∴平面 平面BDE，
∵ 平面AQF，∴ 平面BDE．
科网（北京）股份有限公司 27考点05 垂直的判定定理
25．如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）利用中位线定理证得 ，从而利用线面平行的判定定理即可得证；
（2）利用线面垂直的判定定理与性质定理依次证得 ， 面 ， ，再结合题设
条件证得 ，从而得证.
【详解】（1）连接 ，如图，
科网（北京）股份有限公司 28因为在直三棱柱 中，侧面 是矩形，
又 是 的中点， 则 是 的中点，
因为 是 的中点，所以 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 .
（2）因为在直三棱柱 中， 底面 ，
又 底面 ，所以 ，
因为 ，所以 ，
又 ， 面 ，所以 面 ，
又 面 ，所以 ，
因为侧面 是矩形， ，所以侧面 是正方形，则 ，
又 ， 面 ，所以 面 ，
因为 面 ，所以 .
26．如图， 中， ， 是正方形，平面 平面 ，若 、 分别是 、
的中点．
(1)求证： ∥平面 ;
(2)求证：平面 平面 ．
【答案】(1)证明见解析
科网（北京）股份有限公司 29(2)证明见解析
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，则由三角形中位线定理得 ∥ ， ∥ ，再结合
正方形的性质可得 ∥ ，则 ∥平面 ，由理 ∥平面 ，从而可证得平面 ∥平面
，进而可证得结论；
（2）由已知面面垂直可得 平面 ，则 ，再由 结合勾股定理逆定理可得
，再由面线垂直和面面垂直的判定定理可证得结论.
【详解】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
， 分别是 和 的中点， ∥ ， ∥ ．
又 四边形 为正方形，
∥ ，从而 ∥ ．
平面 ， 平面 ，
∥平面 ，
同理 ∥平面 ，又 ， 平面 ，
平面 ∥平面 ，
平面 ，则 ∥平面 ;
（2） 为正方形， ．
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 面 ，
平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
设 ， ，
，
∴ ，∴ ．
科网（北京）股份有限公司 30又 ， ， 平面 ，
平面 ，而 平面 ，
∴平面 平面 ．
27．如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ，求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)18
【分析】（1）由 平面 ，得 ，再由 ，能证明 平面 ；
（2）根据棱锥的体积公式即可求解四棱锥 的体积．
【详解】（1）证明： 在长方体 中， 平面 ，由于 平面 ，
，
， ， 平面 ， 平面 ，
平面 ；
（2）长方体 的底面 是正方形，
取 中点 ，连接 ， ，则 ；
科网（北京）股份有限公司 31平面 ，
四棱锥 的体积为 ．
28．如图， 中， ，四边形 是正方形，平面 平面 ，若G，F分别
是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取 的中点 ，连接 ， ，则由三角形中位线定理得 ， ，再结
合正方形的性质可得 ，则 平面 ，由理 平面 ，从而可证得平面 平面
，进而可证得结论；
（2）由已知面面垂直可得 平面 ，则 ，再由 结合勾股定理逆定理可得
，再由面线垂直和面面垂直的判定定理可证得结论.
科网（北京）股份有限公司 32【详解】（1）证明：如图，取 的中点 ，连接 ， ．
， 分别是 和 的中点， ， ．
又 四边形 为正方形，
，从而 ．
平面 ， 平面 ，
平面 ，
同理 平面 ，又 ， 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，则 平面 .
（2） 为正方形， ．
又平面 平面 ，且平面 平面 ， 面 ，
平面 ，
∵ 平面 ，∴ ，
设 ， ，
，
∴ ，∴ ．
又 ， ， 平面 ，
平面 ，而 平面 ，
∴平面 平面 ．
29．如图， 是棱长为4的正方体，E是 的中点.
科网（北京）股份有限公司 33(1)证明： ;
(2)求三棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）由题意可得 ， ，从而 平面 ，再利用线面垂直的性质证明即
可；
（2）设 与 交于点 ，连接 ，首先证明 平面 ，再利用顶点转化法即可求出三棱锥体
积.
【详解】（1）连接 ，∵四边形 是正方形， .
在正方体 中， 平面 ，
又 平面 ， .
又 平面 ， 平面 ，
平面 .
又 平面 ， .
科网（北京）股份有限公司 34（2）设 与 交于点F，连接 .
在正方体 中， .
又 分别是 的中点， ，
∴四边形 是平行四边形， .
平面 平面 ， 平面 .
又正方体 的棱长为4，
.
30．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面ABCD， ，点M是SD的中点，
且交SC于点N.
(1)求证： 平面ACM；
(2)求证： ；
(3)求证：平面 平面AMN.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
科网（北京）股份有限公司 35(3)证明见解析
【分析】（1）连结 交 于 ，连结 ，由 的中位线定理，得 ，由此能证明结论；
（2）由线面垂直的判定定理可得 平面 ，由线面垂直的性质可证得结论；
（3）由 ， ，得 平面 ，从而 ，由等腰三角形性质得 ，从而
平面 ，进而 ，由 证得面面垂直．
【详解】（1）连结 交 于 ，连结 ，
是正方形， 是 的中点．
是 的中点， 是 的中位线．
．
又 平面 ， 平面 ，
平面 ．
（2） 是正方形，
底面 ， 底面 ， ，
又 平面 ，
平面
平面 ，
（3） 底面 ， 底面 ， ，
由正方形 可得 ，又 平面
平面 ，且 平面 ， ．
又 ， 是 的中点， ．
又 平面 ， 平面 ．
平面 ， ．
由已知 ，又 平面 ，
平面 ．
科网（北京）股份有限公司 36又 平面 ， 平面 平面 ．
考点06 补全垂直的条件
31．已知平面 ， 和直线 ，给出以下条件：① ；② ；③ ；④ .要想得到 ，
则所需要的条件是 ．（填序号）
【答案】②④
【分析】由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，由此能求出结果．
【详解】解：平面 ， 和直线 ，给出条件：① ；② ；③ ；④ ，
由于当一条直线垂直于两个平行平面中的一个时，此直线也垂直于另一个平面，结合所给的选项，故由
②④可推出 ．
即②④是 的充分条件，
满足条件②④时，有 ．
故答案为：②④．
32．在四棱锥 中， 是等边三角形，且平面 平面 ， ，
．
(1).在AD上是否存在一点M，使得平面 平面 ，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2).若 的面积为 ，求三棱锥 的体积．
【答案】(1)存在；证明见解析
(2)
【分析】（1）由题可得，即在 上找一点M，使 平面 即可；
（2）设 ，由题目条件及 的面积为 ，可得 ，即可得三棱锥 的体积.
【详解】（1）存在，当M为 的中点时，平面 平面 ．
证明：取AD的中点M，连接 ，
科网（北京）股份有限公司 37由 是等边三角形，可得 ，
由平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，可得 平面 ，
由 平面 ，可得平面 平面 ．
（2）设 ，可得 ，
则 ，由 ，
可得 ，
由 .
所以三棱锥P－ABC的体积为 ．
.
33．如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点.
(1)求证： ；
(2)若点 分别在 上，且 .求证： ；
(3)棱 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.
科网（北京）股份有限公司 38【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)存在，点P为棱CC 的中点
1
【分析】（1）根据正方体的特征得到AB⊥BA 和BC⊥平面 ，进而得到，利用线面垂直的判定得
1 1
到AB⊥平面ADCB，从而得到 ；
1 1 1
（2）连接DE，CD ，利用三角形全等得到DE⊥AF，然后根据正方体的特征得到DD ⊥平面ABCD，进
1 1
而得到AF⊥DD ，利用线面垂直的判定得到AF⊥平面DDE，从而得到AF⊥DE，结合（1）的结论和线
1 1 1
面垂直的判定得到DE⊥平面ABF和MN⊥平面BAF，进而得到 ；
1 1 1
（3）连接FP，AP，利用中位线定理得到FP∥C D，再利用正方体的特征得到FP与AB 共面于平面
1 1
ABPF.结合（2）的结论，利用面面垂直的判定即可求证.
1
【详解】（1）如图，
连接AB，CD
1 1
∵正方体
∴四边形 为正方形，∴AB⊥AB，
1 1
又∵正方体 ，∴BC⊥平面 ，
AB 平面 ，所以BC⊥AB，
1 1
⊂
又BC∩AB＝B， 平面
1
∴所以AB⊥平面ADCB，又∵DE 平面ADCB，
1 1 1 1 1 1
⊂
科网（北京）股份有限公司 39∴AB⊥DE ；
1 1
（2）如图，连接DE，CD
1
在正方形ABCD中，E，F分别为棱 的中点
∴AD＝DC，DF＝EC，∠ADF＝∠DCE，∴△ADF≌△DCE，∴∠DAF＝∠CDE.
∵∠CDE+∠ADE= ，所以∠DAF+∠ADE= ， 即DE⊥AF.
又∵正方体 中，DD ⊥平面ABCD，AF 平面ABCD，∴AF⊥DD ，
1 1
⊂
∵DD ∩DE＝D，DD，DE 平面DDE
1 1 1
∴AF⊥平面DDE. ⊂
1
又∵DE 平面DDE，∴AF⊥DE.
1 1 1
由（1）可⊂知AB⊥DE
1 1
又∵AB∩AF＝A，AB，AF 平面ABF ∴DE⊥平面ABF.
1 1 1 1 1
⊂
又∵ ，AB//C D
1 1
∴MN⊥AB，又∵MN⊥AF AB ∩AF＝A，AB，AF 平面ABF
1 1 1 1
所以MN⊥平面BAF， ⊂
1
所以 .
（3）存在.如图，当点P为棱CC 的中点时，平面 平面 .
1
连接FP，AP，∵点P，F分别为棱CC ，CD的中点∴FP∥C D，
1 1
∵正方体 ，∴AD∥BC ，∴ ，
1 1
∴C D∥AB，∴FP∥AB ，∴FP与AB 共面于平面ABPF.
1 1 1 1 1
由（2）知DE⊥平面BAF，即DE⊥平面AFP.
1 1 1
又因为DE 平面CDE.
1 1
⊂
∴平面 平面 .
34．如图所示，正四棱锥 中， 为底面正方形的中心，已知侧面 与底面 所成的二面
角的大小为 ， 是 的中点.
(1)请在棱 与 上各找一点 和 ，使平面 平面 ，作出图形并说明理由；
(2)求异面直线 与 所成角的正切值；
科网（北京）股份有限公司 40(3)问在棱 上是否存在一点 ，使 侧面 ，若存在，试确定点 的位置；若不存在，说明理由．
【答案】(1)答案见解析
(2)
(3)答案见解析
【分析】（1）根据三角形中位线可得线线平行，进而可得线面平行，由线面平行可证明面面平行，
（2）利用线线平行，即可找到异面直线所成的角，进而在三角形中进行求解即可，
（3）根据线线垂直，可得线面垂直，即可找到 的位置.
【详解】（1）分别取AB，BC的中点M，N，连接MN，NE，
则平面MNE//平面PAC
证明：在 中，M，E分别为AB，PB的中点，
所以ME//AP，同理，NE//PC，
又 平面 平面
所以ME//平面PAC，同理NE//平面PAC
又ME ，所以平面MNE //平面PAC
（2）连接 ， ，
科网（北京）股份有限公司 41因为 分别是 的中点，所以 ，
故 为异面直线 与 所成的角或其补角．
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 ．又 平面 ，所以 ．
设四棱锥的底面边长为 ，
取 中点为 ,连接 由于 ,故 为侧面 与底面 所成的二面角的平
面角，故 ，
在 中, ，
所以 ，
所以 ；
（3）存在点F符合题意，且AF= AD，
证明：取OB得中点Q，连接 ，
在 中，Q，E分别为BP，BO的中点，所以QE//PO，
所以QE⊥平面ABCD，
因为BC 平面ABCD，所以QE⊥BC,
又在 中， ， ,
所以QF//AB，所以QF⊥BC，又 ,
科网（北京）股份有限公司 42所以BC⊥平面QEF，所以BC⊥EF
在 ，PF= = ,BF= =
所以 ，故
又
所以 平面PBC,所以存在点F符合题意。
所以存在这样的F点，且
35．如图，已知四棱锥 的底面 为等腰梯形， ， 与 相交于点
O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又 ．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小；
(3)设点M在棱 上，且 ，问 为何值时， 平面 ．
【答案】(1) ；
(2)45°；
(3)见解析.
【分析】（1）由已知得到PO⊥平面ABCD，利用线面垂直的性质得到PO⊥BD，过D做DE∥BC交于AB
于E，连接PE，则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，利用平面几何即可得解；
（2）连接OE，由 为等腰梯形，所以 ，且 为 中点，所以 ，又 平面
，∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，然后求值即可；
（3）连接MD，MB，MO，利用PC⊥平面BMD，得到PC⊥OM，Rt△POC中求的PM＝ ，MC＝
．
科网（北京）股份有限公司 43【详解】（1）∵PO⊥平面ABCD，∴PO⊥BD
又 ，
由平面几何可得： ，
过D做DE∥BC交于AB于E，连接PE，
则∠PDE或其补角为异面直线PD与BC所成的角，
∵四边形ABCD是等腰梯形，
∴OC＝OD＝1，OB＝OA＝2，OA⊥OB
∴
又AB∥DC∴四边形EBCD是平行四边形．
∴
∴E是AB的中点，且 ，
又 ，
∴ PEA为直角三角形，
∴
在△PED中，由余弦定理得
故异面直线PD与BC所成的角的余弦值为 ；
（2）连接OE，由 为等腰梯形，所以 ，且 为 中点，
所以 ，又 平面 ，
∠PEO为二面角P﹣AB﹣C的平面角，
科网（北京）股份有限公司 44∴sin∠PE0＝ ，∴∠PEO＝45°，
∴二面角P﹣AB﹣C的平面角的大小为45°；
（3）连接MD，MB，MO，
∵PC⊥平面BMD，OM 平面BMD，
∴PC⊥OM， ⊂
在Rt△POC中，PC＝PD＝ ，OC＝1，PO＝ ，
∴PM＝ ，MC＝ ，
∴ ，
故 ＝ 时，PC⊥平面BMD．
λ
36．如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形， ， ，AE＝AC，点G是棱
AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点．
(1)证明： ∥平面CEG．
(2)点H为线段BD上一点，设 ，若AH⊥平面CEG，试确定t的值．
【答案】(1)证明见解析；
(2)0.
【分析】（1）取AG的中点Ⅰ，记 ，连接FⅠ，DⅠ，GO，由三角形中位线定理可得 ∥ ，
∥ ，然后先证得线面平行，再可证得面面平行；
（2）由已知可得△ABC≌△ABE，则GC＝GE，得OC⊥OG，结合已知可得OC⊥平面ABD，则
OC⊥AG，利用余弦定理求出 ，再由勾股定理的逆定理可得BG⊥OG，由线面垂直的判定可得AG⊥平
科网（北京）股份有限公司 45面CEG，从而可得H与B重合，进而可求得结果.
【详解】（1）证明：如图，取AG的中点Ⅰ，记 ，连接FⅠ，DⅠ，GO．
在△ACG中，F，Ⅰ分别为AC，AG的中点，所以 ∥ ，
同理，在△BDⅠ中，有 ∥ ，
因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 ， ∥平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以平面 ∥平面 ，
又 平面ⅠFD，
所以 ∥平面CEG．
（2）解：因为底面BCDE是菱形，所以OC⊥OD．
因为AE＝AC，BC＝BE，所以△ABC≌△ABE，
则GC＝GE，
又因为点O是EC的中点，所以OC⊥OG．
因为 ， 平面ABD，
所以OC⊥平面ABD，
因为 平面ABD，
所以OC⊥AG．
因为 ， ，
所以 ，
则 ，
科网（北京）股份有限公司 46则 ，所以BG⊥OG．
又因为 ， 平面CEG，
所以AG⊥平面CEG．
若AH⊥平面CEG，则H与B重合．
故 ．
考点07 垂直的性质定理
37．如图，四边形 是边长为2的正方形， 平面 ，且 为 的中
点．
(1)求证： ；
(2)设平面 平面 与直线 所成的角为 ，求 ．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）过 作 交 于 ，连接 ，然后利用三角形中位线定理结合已知条件可得四
边形 为平行四边形，则 ，由已知线面垂直可得 ，从而可证得结论；
（2）延长 和 交于点 ，连接 和 ，则可得 与 重合，证得 ，从而可得 为 与直
线 所成的角，进而可求得结果.
【详解】（1）过 作 交 于 ，连接 ，
为 的中点， 为 的中点，
，且 ，
科网（北京）股份有限公司 47∴四边形 为平行四边形，
平面 ， 面 ， ，
∴
（2）延长 和 交于点 ，连接 和 ，
∵平面 平面 ， 与 重合，
，∴ ∽ ，从而 ，
∵四边形 是正方形， ，
从而 为平行四边形，
由（1）可知， ，
为 与直线 所成的角，即 ，
在边长为2的正方形 中， ，
38．如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， 是 的中点
科网（北京）股份有限公司 48(1)证明：直线 //平面 ；
(2)若平面 平面 ，证明：直线 平面 .
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【分析】（1）取 中点 ，连接 ，由中位线定理可得 ， ，进而可得 为平
行四边形，由线面平行的判定定理，即可证明；
（2）过 作 于 ，利用面面垂直的性质可得 ，结合 垂直于平面 即可证明．
【详解】（1）证明：取 中点 ，连接 ， ，
因为 为 的中点，所以 ， ，
因为 ， 均垂直面 ，所以 ，
因为 ，所以 且 ，
所以 为平行四边形，
所以 ， 面 ， 面 ，
所以 面 ．
（2）如图，过 作 于 ，
平面 平面 ，且两平面的交线为 , 平面 ,
平面 ，
由 平面 ， ．
平面 ， 平面 ， ，
又 平面 ，
平面 ．
.
39．如图，在六面体 中， ，平面 菱形ABCD. 证明：
科网（北京）股份有限公司 49(1)B， ， ，D四点共面；
(2) .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）先证明线面平行，得出线线平行，进而得到四点共面；
（2）利用面面垂直得出线面垂直，从而得到线线垂直.
【详解】（1）证明：由 ， 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又因为 平面 ，平面 平面 ，
所以 .
同理： ，所以 ，
所以B， ， ，D四点共面.
（2）证明：菱形ABCD中 ，又因为平面 平面ABCD，
且平面 平面 ， 平面ABCD，
所以 平面 .
因为 平面 ，所以 ，
科网（北京）股份有限公司 50由（1）有 ，所以 .
40．如图，已知在三棱锥 中， ，点 分别为棱 的中点，且平面 平面
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）要证 平面 ，只需证明 ；
（2）要证 ，只需利用面面垂直的性质证明 平面 .
【详解】（1）因为点 分别为棱 的中点，所以 .
又 平面 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 ，点 为棱 的中点，所以 .
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
科网（北京）股份有限公司 5141．如图，在三棱柱 中， ， 分别为棱BC， 的中点.
(1)求证: ∥平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ，点 满足 ，且 ，求实数 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)3
【分析】（1）连接MN，则可得 为平行四边形，再结合棱柱的性质可得四边形 为平行四边
形，则 ∥ ，再由线面平行的判定定理可得结论；
（2）取AB的中点 ，连接 ，则 ，再由面面垂直的性质可得 平面ABC，则 ，
连接 ，则 ，由线面垂直的判定可得 平面 ，则 ，从而可得 ∥ ，进
而可得结果.
【详解】（1）连接MN，因为 ， 分别为棱BC， 的中点，
所以 ，
因为 ∥ ， ，所以 ∥ ， ，
所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ， ，又 ∥ ， ，
科网（北京）股份有限公司 52所以 ∥ ， ，所以四边形 为平行四边形，
所以 ∥ ，又因为 平面 ， 平面 ，
所以 ∥平面 .
（2）解：取AB的中点 ，连接 ，因为 ，
所以 ，
因为平面 平面 ，平面 平面 ， 平面 ，
所以 平面ABC.
因为 平面ABC，所以 .
连接 ，因为 ∥ ， ，所以 .
又 ， 平面 ，所以 平面 .
因为 平面 ，所以 .
又因为 ，所以 ，所以 ∥ ，
所以 为MB的中点，即 ，所以 .
42．如图，四棱锥 的底面为梯形， ， ， 底面 ，平面 平面
，点 在棱 上，且 .
科网（北京）股份有限公司 53(1)证明： 平面 ；
(2)证明： .
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】（1）过 作 交 于点 ，连接 ，利用线面平行的判定定理证明即可.
（2）利用线面垂直的性质定理，面面垂直的性质定理证明即可.
【详解】（1）在平面 中，
过 作 交 于点 ，连接 ，
因为 ，所以 .
又 ，所以 .
又 ，所以 ，
所以四边形 为平行四边形.
所以 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
（2）因为 底面 ， 平面 ，
所以 .
在平面 中，过点 作 ，交 于点 ，
因为平面 平面 ， 平面 ，
平面 平面 ，
科网（北京）股份有限公司 54所以 平面 ，又 平面 ，所以 .
又 平面 ， 平面 ， ，所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
考点08 平行，垂直的综合应用
43．下列命题正确的是（ ）
（1）已知平面 和直线m，n，若 ， ，则 ；
（2）已知平面 ， 和直线m，n，且m，n为异面直线， ， ．若直线 满足 ， ，
， ，则 与 相交，且交线平行于 ；
（3）已知平面 ， 和直线m，n，若 ， ， ， ，则 ；
（4）在三棱锥 中， ， ， ，垂足都为P，则P在底面上的射影是三角
形 的垂心
A．（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
【答案】A
【分析】举反例可判断（1）；过直线m上点A作 ，记 所在平面为 ，然后证明 ， 即
可判断（2）；根据面面平行的判定定理可判断（3）；作 平面 ，结合已知证明 平面 ，
然后可得 ，然后可判断（4）.
【详解】对于（1）：在正方体 中， 平面 ， 平面 ，显然 与
异面，故（1）错误；
对于（2）：假设 ，因为 ，所以 ，又 ，所以 （矛盾），故 与 相交，记交
线为 .
科网（北京）股份有限公司 55过直线m上点A作 ，记 所在平面为 ，
因为 ， ， ，所以 ，
又 ，所以 ，
因为 ，所以 .
因为 ，所以 ，
又 ， ，
所以 ，所以 ，（2）正确；
对于（3）：由面面平行判定定理可知（3）错误；
对于（4）：作 平面 ，因为 平面 ，所以 ，
因为 ， ， 平面 ，
所以 平面 .
又 平面 ，所以 .
因为 平面 ，
所以 平面 ，
因为 平面 ，所以 ，即点O在 的BC边的高上.
同理，点O在 的AB边和AC边的高上，
所以点O为 高的交点，即O为 的垂心，（4）正确.
故选：A.
A B C D
44．（多选）在正方体 中，点 为棱 的中点，点 是正方形 1 1 1 1内一动点（含边
科网（北京）股份有限公司 56界），则下列说法中不正确的是（ ）
A．
B．存在点 使得 平面
C．存在点 使得 平面
D．平面 截正方体所得的两部分体积比为7：17（或17：7）
【答案】AC
【分析】根据直线 与 所成的角为 ，可判定A错误；取 的中点 ，取 的中点，分别
证得 平面 和 平面 ，得到平面 ，可判定B正确；取 的中点
，连接 和 ，证得 平面 ，得到 ，
结合 与 不垂直，可判定C错误；求得截得的棱台 的体积，进而可判定D正确.
【详解】对于A中，连接 ，在正方体 中，可得 ，
所以异面直线与 与 所成的角即为直线 与 所成的角（或其补角），
不妨设正方体的棱长为2，则 ，
则 为平行四边形，则 ，所以A错误；
对于B中，取 的中点 ，连接 ，
因为 为 的中点，可得 ，又因为 ，所以 ，
所以平面 即为平面 ，
再取 的中点，分别连接 ，
科网（北京）股份有限公司 57在正方体 中，由 为 的中点，且 为 的中点，可得 ，
因为 平面 ， 平面 ，所以 平面 ，
同理可证 平面 ，
又因为 且 平面 ，所以平面 平面 ，
所以只需点 在线段 上，则 平面 ，所以B正确；
对于C中，取 的中点 ，连接 和 ，可得 ，
若存在点 使得 平面 ，且 平面 ，所以 ，
因为 ，所以
A B C D
在正方体 中，可得 平面 1 1 1 1，
A B C D
1 1 1 1
又因为 平面 ，所以 ，
因为 且 平面 ，所以 平面 ，
又因为 平面 ，所以 ，
A B C D
1 1 1 1
在正方形 中， 与 不垂直，所以不存在点 使得 平面 ，
所以C错误；
对于D中，设正方体 的棱长为 ，可得正方体的体积为 ，
由平面 即为平面 ，所以截得的棱台 的体积为：
，
所以两部分的体积比为 ，所以D正确.
科网（北京）股份有限公司 58故选：AC.
45．（多选）如图，正方体 中，M，N，Q分别是AD， ， 的中点，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 平面MPN
B．若 ，则 平面MPN
C．若 平面MPQ，则
D．若 ，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
【答案】ACD
【分析】根据线线平行即可判断A，根据线面平行的性质即可得矛盾判断B,根据线面线面垂直的性质即可
判断C，根据平行关系，即可由线段成比例得线线平行，即可求解截面.
【详解】对于A,连接 ,在正方体中，可知 ，
当 时， 是 的中点，则 ,所以 ，由于 平面 , 平面 ,所以
科网（北京）股份有限公司 59平面MPN，故A正确，
对于B, 当 时， 与点 重合，连接 交 于点 ,连接 ,
若 平面MPN,则 平面 ,且平面 平面 ,则 ，
由于 是 的中点，则 为 中点，这显然不符合要求，故B错误，
对于C, 若 平面MPQ，则 ,由于 平面 平面 ,又
, 平面 ,
所以 平面 , 平面 ,则 ,
显然 与平面 不垂直，故 ,则 ,
由于 为 中点，所以 为 中点，故 ，C正确，
科网（北京）股份有限公司 60对于D，取 中点 ,在 上取点 ,使得 ，在棱 取 ,使得 ，在棱 上取
由于 分别为 的中点，所以 ,
同理
连接 即可得到截面多边形，故D正确，
故选：ACD
46．如图，在四棱锥 中， 平面 ，正方形 的边长为2，E是PA的中点．
(1)求证： 平面 ；
科网（北京）股份有限公司 61(2)若 ，线段PC上是否存在一点F，使 平面 ？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说
明理由．（用坐标法解答不给分）
【答案】(1)证明见解析
(2)存在，
【分析】（1）根据线面平行的判断定理，转化为证明线线平行，通过中点，构造中位线，即可证明；
（2）利用垂直关系，转化为证明 ， ，即可说明存在点 ，再根据等面积法求PF的长
度.
【详解】（1）证明：连接 交 于点 ，连接OE
四边形 是正方形，
点 是 的中点
又 点 是 的中点，
平面 ， 平面
平面
（2）存在
理由如下：
过点A作AF⊥PC，垂足为点F，由（1）可知
平面 ， 平面
四边形 为正方形
又 平面 ， 平面 ，
平面
科网（北京）股份有限公司 62又 平面ACP
又 平面 ， 平面BDE， ，
平面
， ， ，
在 中，由等面积法可得
存在点F，使得 平面 ，
47．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ， 是棱 上
的动点（不与 重合）， 交平面 于点 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若 是 的中点，平面 将四棱锥 分成五面体 和
五面体 ，记它们的体积分别为 ，直接写出 的值.
【答案】(1)证明见解析
(2)证明见解析
(3)
【分析】（1）由线面平行的判定定理可证；
科网（北京）股份有限公司 63（2）由线面垂直的性质定理和判定定理先得 平面 ，再由面面垂直的判定定理得证；
（3）连结 ，将五面体 分割成三棱锥 和四棱锥 ，分别求出体积，可求
，再由 ，可解此题.
【详解】（1）由底面 是正方形，知 ，
又 平面 ， 平面 ，
所以 平面 ；
（2）由底面 是正方形，可知 ，
又 平面 ， 平面 ，所以 ，
平面 ， 平面 ，且 ，
所以 平面 ，又 平面 ，
所以平面 平面 ；
（3）
连结 ，
由（1） 平面 ， 平面 ，平面 平面 ,
得 ，即 ，
又由（2） 平面 ，可得 平面 ，
由题意， 是 的中点，
，
又 ，
科网（北京）股份有限公司 64所以 ，
.
48．如图所示，在多面体 中，四边形 是正方形， 是等边三角形， ，且
， ， 分别是 ， 的中点.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求四棱锥 的体积.
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）根据条件可以证明 平面 ， 平面 ，进而可以证明平面 平面 ；
（2）利用条件可以求出 到平面 的距离，进而利用体积公式可以求出结果.
【详解】（1）因为 ， ， 是 的中点，
所以 ，且 ，
所以四边形 是平行四边形，
从而 .
因为 平面 ， 平面 ，
所以 平面 .
同理 平面 ，
又 ，
所以平面 平面 .
（2）设 的中点为 ，连接 ，则 .
科网（北京）股份有限公司 65因为平面 平面 ，
平面 平面 ，
平面 ，
所以 平面 ，
因为 ， 平面 ，
所以 平面 ，
所以 到平面 的距离为 ，
所以 .
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