文档内容
考点巩固卷 18 椭圆方程及其性质(六大考点)
考点01：椭圆的定义（妙用）
结论1： 椭圆第一定义
结论2：标准方程 由定义即可得到椭圆标准方程
结论3： 椭圆第二定义
1．已知复数 满足 ，则复数 在复平面内所对应的点的轨迹为（ ）
A．线段 B．圆 C．椭圆 D．双曲线
【答案】C【分析】由 ，可得其几何意义为任意一点 到点(2,0)于 的距离
和为 ，符合椭圆定义，即可得到答案.
【详解】设 ，
因为 ，
所以 ，
其几何意义为任意一点 到点(2,0)于 的距离和为 ，
又点(2,0)和 之间的距离小于 ，符合椭圆定义，
所以复数 在复平面内所对应的点的轨迹为椭圆.
故选：C.
2．设O为坐标原点， ， 为椭圆C： 的左，右两个焦点，点R在C上，点
是线段 上靠近点 的三等分点，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】设 ，则由题意可表示出 、 ，结合垂直性质与 在 上计算即可得
点横坐标，再利用两点间距离公式即可得解.
【详解】设 ，由题意可得 ，则 ，
则 ， ，
由 ，则 ，
试卷第2页，共3页由 在 上，则有 ，即 ，
即有 ，整理得 ，
即 ，故 或 ，
由 可知 ， 不符，故舍去，即有 ，
则 .
故选：C.
3．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ， 为椭圆上不与左右顶点重合的任
意一点， ， 分别为ΔM F F 的内心和重心，则⃗IG⋅⃗F F =（ ）
1 2 1 2
A．0 B．1 C． D．3
【答案】A
m n
【分析】设M(m,n),n>0，I(s,t),t>0，则G( , )，由已知，利用切线的性质和椭圆
3 3
m ( m) m
的焦半径公式得|M F |−|M F |=3+ − 3− =(s+1)−(1−s)，得s= ，由
1 2 3 3 31 1 n (m n)
S = n|F F |= t(|M F |+|M F |+|F F |)，得t= ，则I , ，得
△MF 1 F 2 2 1 2 2 1 2 1 2 4 3 4
⃗IG= ( 0, n ) ，又⃗F F =(2,0)，所以⃗IG⋅⃗F F =0.
12 1 2 1 2
【详解】
m n
设M(m,n),n>0，I(s,t),t>0，则G( , )，
3 3
因为椭圆 ，则|M F |+|M F |=6,|F F |=2，
1 2 1 2
，F (−1,0)，F (1,0)，
1 2
由切线的性质和椭圆的焦半径公式得
m ( m)
|M F |−|M F |=3+ − 3− =(s+1)−(1−s)，
1 2 3 3
m
则s= ，
3
1 1
由S = n|F F |= t(|M F |+|M F |+|F F |)，
△MF 1 F 2 2 1 2 2 1 2 1 2
n
即2n=t(6+2)，即t= ，
4
所以I (m , n) ，则⃗IG= ( 0, n ) ，
3 4 12
试卷第4页，共3页又⃗F F =(2,0)，
1 2
所以⃗IG⋅⃗F F =0.
1 2
故选：A.
4．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，若经过 的弦
满足 ，则椭圆 的离心率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，根据椭圆的定义可得 ，由 ，根据余
弦定理可得 ，再由离心率公式求解即可.
【详解】
由题可知 ，
所以 ，解得 ，
由得 ，
整理得 ，
所以 .
故选：A.
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 的射线分别与椭圆 和圆
相交于点 ，过点 作 ，垂足为 为坐标原点，则
（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】根据题意，得到 ，由椭圆的定义得到 ，则 ，得
到 为 的中点，结合中位线定理，即可求解.
【详解】由椭圆 ，可得 ，则 ，
试卷第6页，共3页又由圆 可化为 ，可得圆心 ，半径 ，则 ，
根据椭圆的定义，可得 ，则 ，
因为 ，可得 为 的中点，
又因为 为 的中点，可得 .
故选：C.
6．已知 ， 分别是椭圆 ： 的左、右焦点，过 的直线与 交于
点 ，与 轴交于点 ， ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，根据条件求 各边的长及 ，再在 中用余弦定
理求得 与 的关系，即可得解.
【详解】设 ，因为 ，所以 ， ，
由对称性可得 ，又 ，所以 ，
所以 ， ，
又 ，所以 ， ，又 ，
所以由余弦定理 ，
所以 ， 的离心率 .
故选：A.7．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，过点 和上顶点A的直
线 交 于另外一点 ，若 ，且 的面积为 ，则实数 的值为
（ ）
A．3 B． C．3或7 D． 或7
【答案】D
【分析】设 ，利用余弦定理分析可得 ，再结合面积关系可
得 或 ，分别代入分析即可.
【详解】由题意可知： ，
因为 ，则 ， ， ，
试卷第8页，共3页设 ，
在 中，由余弦定理可得 ，
即 ，解得 ，
又因为 ，则 ，
解得 ，可得 或 ，
若 ，则 ，解得 ，符合题意；
若 ，则 ，解得 ，符合题意；
综上所述：实数 的值为 或7.
故选：D.
8．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 在椭圆上，且满足
, 延长线交椭圆于另一点 ， ，则椭圆的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据椭圆的定义可得 ， ，再利用勾股定理，列出方程，
求出 的值，从而得到椭圆方程.
【详解】因为点 在椭圆上， 延长线交椭圆于另一点 ，且 ，所以 ， ，则 ，由于 ，
所以 ，即 ，解得 ，
所以 ，则 ，
则 ， ，
所以椭圆方程为 ，
故选：C
9．设 ， 是椭圆 （ ）的左、右焦点，过 的直线 与 交于 ，
两点，若 ， ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设 ， ， ，根据椭圆的定义及勾股定理求出 、 ，即
可求出 、 ，再由余弦定理求出 与 的关系，即可求出离心率.
【详解】不妨设 ， ， ，则 ， ．
试卷第10页，共3页又 ，所以 ，化简得 ，
显然 ，所以 ，解得 ， ，所以 ， ，
故 ，解得 ，故 的离心率为 ．
故选：D
10．已知椭圆的左、右焦点分别为 ， ，其右顶点为A，若椭圆上一点P，使得
， ，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意求得 、 ，再由正弦定理以及椭圆的定义，可算得 与 的
关系，进而求出椭圆的离心率.
【详解】
由题意 ， ，
，，
由正弦定理得 ，又 ，
所以 ， ，又 ，
可得 ，所以椭圆的离心率 .
故选：B.
考点02：椭圆的焦点三角形问题
椭圆 焦点为 ， ，P为椭圆上的点， ，则
；
证明：设
推论及应用：（注意：r为内切圆半径）
①三角形（直角）等面积法：如上图，当 时，有
；
，
．
②任意角度的三角形等面积法：
试卷第12页，共3页．
③ 最 大 面 积 、 最 大 顶 角 考 点 ： 当 点 P 位 于 椭 圆 的 短 轴 顶 点 时 ，
取 最 大 值 ， 根 据 等 面 积 法 ， 此 时
．
④直角顶点的处理技巧：当 时， 取得最大值，若 ，则
， ；同理可得，若 ，则 ， ；若
，则 ， ．
⑤直角顶点个数考点，当 时， 有四个点P存在；当
时， 有两个点P存在；当 时， 无点P存在。
注意： 与 的区别， 不一定 为顶点.
11．已知 ， 分别是椭圆C： 的左、右焦点，O为坐标原点，M，N为C上两
个动点，且 ， 面积的最大值为 ，过O作直线MN的垂线，垂足为
H，则 （ ）
A． B． C．1 D．
【答案】D
【分析】依题意当 在椭圆短轴的顶点时 面积取得最大值，即可求出椭圆方程，
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，联立直线与椭
1 1 2 2
圆方程，消元、列出韦达定理，由 ，可得 ，及 ，从而得到 ，从而得到 ，在根据数量积的坐标表示计算可得.
【详解】依题意当 在椭圆短轴的顶点时 面积取得最大值，又 ，
所以 ，解得 ，所以 ，则椭圆方程为 ，
当直线 的斜率存在时，设其方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，消去 整理得 ，
在 的条件下，可知 ， ，
又 ，所以 ，即 ，
即 ，即 ，
所以 ，
所以 ，所以 ，
当直线 的斜率不存在时，则 为 与 轴的交点，
又 ，根据对称性可知 ，
设 ，则 （或 ），
所以 ，则 ，所以 ，
又F (−1,0)，F (1,0)，所以 ， ，
1 2
所以 .
试卷第14页，共3页故选：D
12．已知点 分别是椭圆 的左、右焦点， 是 上一点， 的内切圆的圆
心为 ，则椭圆 的标准方程是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，利用三角形面积公式，结合椭圆的定义求解即得.
【详解】依题意，设椭圆 的方程为 ，由 在 上，得
，
显然 的内切圆与直线 相切，则该圆半径为1，而 ，
又 ，于是 ， ，因此 ，解得
，
所以椭圆 的标准方程是 .
故选：B13．单位向量 ，向量 满足 ，若存在两个均满足此条件的向量 ，使
得 ，设 ， 在起点为原点时，终点分别为 .则 的最大值
（ ）
A． B． C．4 D．2
【答案】B
【分析】设 ， ，整理得 ，可知点 在椭圆上，设 关于点
的对称点为 ，分析可知 三点共线，结合椭圆性质分析求解.
【详解】由题意不妨设 ， ，则 ，
因为 ，则 ，整理得 ，
可知向量 的终点 的轨迹为椭圆，且 为椭圆的右焦点，
可知点 在椭圆上，设 关于点 的对称点为 ，
因为 ，则 ，
可得 ，由 可知 三点共线，
试卷第16页，共3页设 ，
因为 为线段 的中点，则 ，
当且仅当 为短轴顶点时，等号成立，
所以 的最大值为 .
故选：B.
14．已知 是椭圆 的左、右焦点，点P在C上，且线段 的中点在以
为直径的圆上，则三角形 的面积为（ ）
A．1 B． C． D．8
【答案】C
【分析】利用椭圆的定义得到 为等腰三角形，进而求等腰三角形的面积即可.
【详解】设 的中点为M，则 ，
于是 ，又 ，
则 为等腰三角形，
．
故选：C．15．已知椭圆 （ ）的两焦点分别为 、 ．若椭圆上有一点P，使
，则 的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用点 在椭圆上得出定义表达式，运用余弦定理，联立求得 的值，再运用三
角形面积公式即得.
【详解】
如图，不妨设 ，由点 在椭圆上可得： ①，
由余弦定理可得： ，化简得： ②，
试卷第18页，共3页由①式两边平方再减去②式，得： ，
于是 的面积为 .
故选：D.
16．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点 在椭圆 上.若 ，
则 的面积为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．9
【答案】B
【分析】根据题意，由椭圆的定义，得到 ，再由勾股定理得
，联立方程组，求得 ，结合三角形的面积公式，即可求解.
【详解】如图所示，椭圆 ，可得 ，则 ，
因为点 在椭圆 上，可得 ，
又由 ，可得 ,
联立方程组 ，可得 ，
所以 的面积为 .
故选：B.
17．已知椭圆 的两个焦点为 ， ，点 ， 为 上关于坐标原点对称的两点， ， 的面积记为 ，且 ，则 的离心率的取值范围为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】作出辅助线，根据题意得到四边形 为矩形，故 ，求出
，再根据 ，利用勾股定理得到 ，得到
，再根据 上存在关于坐标原点对称的两点 ，使得 ，得到 ，
计算即可得到离心率范围.
【详解】连接 ， ，由题意得， ， ，
又 ，所以四边形 为矩形，故 ，
所以 ，故 ，
又 ，由勾股定理得 ，
即 ，则 ，
故 ，即 ，
故 ， ，
解得 ，
试卷第20页，共3页又 上存在关于坐标原点对称的两点 ， ，使得 ，
故 ，所以 ，即 ，
所以 ， ，解得 ，
综上， 的离心率的取值范围是 .
故选：C.
18．已知椭圆 的左､右焦点分别为 ，过 的直线 与 交于
两点，若 ，则下列结论错误的是（ ）
A． B． 的面积等于
C． 的离心率等于 D．直线 的斜率为
【答案】D
【分析】由线段比例关系以及椭圆定义可得 ，借助勾股定理逆定理判断A；由
割补法求出三角形面积判断B；求出直线 的斜率并计算 的离心率判断CD.
【详解】由 ，不妨设 ，则 ，
又 ，则有 ，由椭圆定义得 ，
因此 ，即点 为椭圆的上顶点或下顶点，如图，显然 ，则 ，A正确；
于是 为等腰直角三角形，且 ，则 的面积为：
，B正确；
，直线 的斜率 ，有 ，D错误，
椭圆离心率 ，C正确.
故选：D
19．已知椭圆 的左，右焦点分别为 ， ，点 在椭圆上， 为
的内心，记 ， 的面积分别为 ， 且满足 ，则椭圆的离心率
是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形内切圆的性质以及椭圆的定义，即可求出本题答案.
【详解】设 ，内切圆半径为 ，
试卷第22页，共3页，即 ，
所以 ，即 ，
又 ， .
故选：B.
20．已知 分别是椭圆 的左、右焦点， 在 上， 在 轴上，
，以 为直径的圆过 ，且 的面积为 ，则椭圆 的标准方程为
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】
设 ,表示出 的面积，结合向量关系以及垂直关系，求出点
，借助椭圆的定义求解即可.
【详解】结合题意可得： ， ，设 ，
则由 的面积为 ，得 ①，
由 ，得 ②．
连接 以 为直径的圆过 ， ③．
由②③得 ，
结合①得 ，
，
，故椭圆 的标准方程为 ，
故选：B．
考点03：椭圆的简单几何性质
椭圆的简单几何性质
c √ b
离心率：椭圆焦距与长轴长之比：e= e= 1−( ) 2 . （ ）
a
⇒
a 0b>0) a2 +m b2 +m
(m>−b2
)
x2 y2 y2 x2
2、有相同离心率： + =k（ ，焦点在 轴上）或 + =k（ ，焦点
a2 b2 k>0 a2 b2 k>0
在 轴上）
x2 y2
3、椭圆 + =1的图象中线段的几何特征（如下图）：
a2 b2
（1） ；
（2） ， ， ；
a−c≤|PF|≤a+c
（3） , ， ；
1
21．椭圆 的长轴长与焦距之差等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据椭圆的标准方程求出 ，再求长轴长 与焦距 之差.
【详解】由题得 ， ，所以 ， ，
所以长轴长 ，焦距 ，
所以长轴长与焦距之差等于 ．
故选：B
22．已知点 在圆 上运动，点 为椭圆 的右焦点与上顶点，则
最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【分析】由题意知 ，且圆在椭圆内，则确定 与圆相切时 取得最小值，
即可求解.
【详解】由题意知， ，且圆在椭圆内，
当 与圆相切时， 取得最小值，
此时 ，
所以 ，
所以 的最小值为 .
故选：A
23．若椭圆 的离心率为 ，则该椭圆的焦距为（ ）
A． B． C． 或 D． 或
【答案】D
【分析】分焦点在 轴或 轴两种情况，求椭圆的离心率，求解参数 ，再求椭圆的焦距.
【详解】若椭圆的焦点在 轴，则离心率 ，得 ，此时焦距
，
若椭圆的焦点在 轴，则离心率 ，得 ，此时焦距 ，
所以该椭圆的焦距为 或 .
试卷第26页，共3页故选：D
24．设点 分别为椭圆 的左、右焦点，点 是椭圆 上任意一点，若使得
成立的点 恰好有4个，则实数 的值可以是（ ）
A．0 B．2 C．4 D．6
【答案】B
【分析】设 ，表示向量 ，由条件可得 ， ，结
合对称性列不等式，求 的范围，由此可得结论..
【详解】因为点 分别为椭圆 的左、右焦点；
所以 ，
设 则 ，
由 可得 ，
又因为 在椭圆上，即 ，
所以 ，
由对称性可得，要使得 成立的点恰好是 个，则
解得 ，
所以 的值可以是 .
故选：B.
25．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，离心率为 ，点 在
椭圆 上，且 ， 的面积为 ，则椭圆 的焦距为（ ）
A． B． C．6 D．12【答案】B
【分析】由椭圆的定义结合题意可求出 ， ，再利用余弦定理及椭圆的
离心率求得 的值，根据所得条件选择合适的公式计算三角形的面积，可求出 ，
即可得答案.
【详解】由已知条件及椭圆的定义可得 ，
故 ， ，
设 ，因为椭圆 的离心率为 ，所以 ，
由余弦定理可得 ，
则 ，故 的面积为 ，故 ，
则 ，故椭圆 的焦距为 .
故选：B．
26．已知椭圆 ： 的左、右两个顶点为 ， ，点 ， ， 是 的四等
分点，分别过这三点作斜率为 的一组平行线，交椭圆 于 ， ，…， ，则直
试卷第28页，共3页线 ， ，…， ，这6条直线的斜率乘积为（ ）
A． B． C．8 D．64
【答案】A
【分析】椭圆上任意一点坐标为 ， 以及椭圆的对称性可得.
【详解】如图，
左右顶点的坐标分别为 ，设椭圆上任意一点坐标为 ，
且P不与A、B重合， 则 ，
又 在椭圆上，故 ，所以 ，
则 ，
所以
同理可得
∴直线 这6条直线的斜率乘积
故选：A.
27．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点 是椭圆上一点，若的内心为 ，连接 并延长交 轴于点 ，且 ，则椭圆的短轴长
为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】合理构建图形，利用角平分线定理和等比定理得到 ，再求短轴长度即可.
【详解】
如图，连接 在 和 中，
利用角平分线定理可得
由等比定理可得 从而 .
故椭圆的短轴长为 ，故B正确.
故选：B
28．已知椭圆 的左顶点为A，左焦点为 为该椭圆上一点且在第一
象限，若射线 上存在一点 ，使得 ，线段 的垂直平分线与射线
试卷第30页，共3页交于点 ，则 （ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】B
【分析】先利用椭圆的定义及线段间的关系得到 ，再利用等腰三角形三线合一
的性质得到点 与点 重合，根据椭圆的性质计算即可.
【详解】
设该椭圆的右焦点为 ，连接 ，则 ，
设 ，
易得 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，所以 ，
则对任意的点 ，线段 的垂直平分线必过点 ，
所以点 与点 重合，所以 .
故选:B.
29．设椭圆 的离心率是椭圆 的离心率的 倍，则
的长轴长为（ ）
A．1 B． C．2 D．【答案】D
c
【分析】根据离心率公式e= 求得椭圆 和椭圆 离心率，列式求解求得 ，进而可得
a
解.
【详解】因为椭圆 ，
所以椭圆 离心率为 ，
椭圆 的离心率 ，
则由题意可知 ，解得 .
所以 的长轴长为 .
故选：D.
30．已知椭圆 的离心率 ，上顶点的坐标为 ，右顶点
为A,P为 上横坐标为1的点，直线 与 轴交于点 为坐标原点，则 （ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意，求得椭圆的方程为 ，不妨设 且 ，求得
，得出直线 的方程，求得 的坐标，即可求解.
【详解】由题意知，椭圆 的离心率 ，可得 ，即 ，
试卷第32页，共3页又由椭圆 的上顶点的坐标为 ，可得 ，
因为 ，可得 ，所以椭圆的方程为 ，
又因为点 为 上横坐标为1的点，不妨设 且 ，
将点 代入椭圆的方程，可得 ，可得 ，即 ，
因为点 为椭圆的右顶点，可得 ，所以 ，
则直线 的方程为 ，令 ，可得 ，即 ，
所以 .
故选：D.
考点04：求椭圆离心率及取值范围
1、离心率是圆锥曲线的核心概念，求离心率的值或取值范围即寻求 间的等量关系和
不等关系并结合 求解．该类问题往往是数学知识的交汇点，数学思想和方法的
综合点，往往有两种题型，即显示约束条件和隐藏约束条件．两种解题方向，即以形为主
的解题方向，注意结合平面几何知识求解；以数为主的解题方向，要注意方程和不等式的
联系．
2、与椭圆焦点三角形有关的问题有意考查椭圆的定义、正弦定理或余弦定理、三角形边的
关系、面积公式、基本不等式等，其中包含关于 的等量关系和不等关系，借此可确
定离心率的值或取值范围．31．设 分别为椭圆 的左，右焦点， 为椭圆上一点，直线
与以 为圆心、 为半径的圆切于点 为坐标原点 ，且 ，则椭圆 的离
心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据直线与圆相切，利用勾股定理可以求出 的长度，进而通过 ，可
以得到 的长度，再次应用勾股定理，求出 的长度，最后根据 为椭圆上一点，运
用椭圆的定义，结合椭圆离心率公式进行求解即可.
【详解】由题意， ， ，
因为直线 与以 为圆心、 为半径的圆切，
所以 ，
因此由勾股定理可知 ，
又 ，所以 ，因此 ，
由勾股定理可得 ，
根据椭圆定义， ， .
故选：B
试卷第34页，共3页32．点 是椭圆 上的点，以 为圆心的圆与 轴相切于椭圆的焦点
，圆 与 轴相交于 两点，若 是锐角三角形，则椭圆离心率的取值范围是
（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据 轴可设 ，代入椭圆方程可求得圆 的半径，根据 为锐
角三角形，可构造关于 的齐次不等式，进而配凑出离心率 ，解不等式即可求得结果.
【详解】 圆 与 轴相切于焦点 ， 轴，可设 ，
在椭圆上， ，解得： ， 圆 的半径为 ；
作 轴，垂足为 ，
， ，为锐角三角形， ， ，
，即 ，解得： ，
即椭圆离心率的取值范围为 .
故选：D.
33．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线l与椭圆
相交于A、B两点，与y轴相交于点C．连接 ， ．若O为坐标原点， ，
，则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由三角形面积关系得出 ，再由勾股定理及椭圆定义求出 ，利用余
弦定理及 求解即可.
【详解】设 ，由
可得 ，由于 与 等高，
所以 ，
试卷第36页，共3页又 ， ，∴ ，
又 ，∴ ，
在 中， ，
∵ ，
在 中， ，
化简可得 ，解得 ，
故选：A．
34．已知椭圆C： （ ）的左、右焦点分别为 ， ，P为C上一点，
满足 ，以C的短轴为直径作圆O，截直线 的弦长为 ，则C的离心率为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】取弦AB的中点D，连接 ，求出 ，结合椭圆定义即可求解．【详解】如图，取弦AB的中点D，连接 ，则 ，即 ，因为 ，
所以 ，因为O为 的中点，所以D是 的中点，所以 ，
因为 ，所以OD垂直平分弦AB，因为 ， ，
所以 ，所以 ，
由椭圆定义可得 ， ，
所以 ，解得 ， ，
所以离心率为 ，
故选：A．
35．已知 是椭圆 的左、右焦点，若 上存在不同的两点 ，
使得 ，则 的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用向量关系结合椭圆的对称性，
试卷第38页，共3页找到当 分别位于 的左、右顶点时， 有最大值，求出离心率的取值范围.
【详解】如图，延长 交椭圆于 ，根据椭圆的对称性，得 ， ，
当 分别位于 的左、右顶点时， 有最大值，
又因为 不重合，所以 ，即 ，
解得 ，
所以 的离心率的取值范围为 ．
故选：C．
36．已知焦点在 轴上的椭圆的离心率为 ，焦距为 ，则该椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据离心率和焦距可得 ，进而可得 ，即可得方程.
【详解】由题意可知： ，可得 ，则 ，所以该椭圆的方程为 .
故选：C.
37．已知椭圆 的左焦点为 ，直线 与C分别
交于 两点（A在x轴上方），与y轴交于点 为坐标原点．若 ，则C
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】通过 及直线 的斜率计算出 ，在 中，由余弦定理可
得 ，最后根据椭圆的定义计算离心率.
【详解】由题意可知，直线l过点F，如图所示，
所以 ，而 ，
所以 ．
由
．
解得 ．
设C的右焦点为 ，
在 中，由余弦定理可得
，
试卷第40页，共3页解得 ．
由椭圆的定义知 ，
则C的离心率 ．
故选：D．
38．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，点A，B在
上，直线 倾斜角为 ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】由椭圆焦半径公式求出 ，结合条件列式运算得解.
【详解】根据题意， ，所以直线 的倾斜角为 ，
由椭圆焦半径公式得 ， ，
， ，即 ，
化简得 ， .
故选：D.39．已知 为椭圆 上一点， 分别为其左、右焦点， 为坐标
原点， ，且 ，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用向量数量积的运算律、余弦定理，结合椭圆的定义求解即得.
【详解】令 ，显然点 不在x轴上， ，
则 ，
由余弦定理得 ，
因此 ，而 ，
于是 ，整理得 ，则 ，
所以 的离心率为 .
故选：C
40．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ，直线 与椭圆
交于 两点，直线 与椭圆交于另一点 ，若直线 与 的斜率之积为 ，则椭
圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
试卷第42页，共3页【分析】设出各点坐标，利用点差法得到斜率的表达式，化简即可得到离心率的值.
【详解】 直线 经过原点， 设A(x ,y )， ， .
1 1
.
又 ， ， 两式相减，得 .
， . 离心率为 .
故选：B.
考点05：椭圆的中点弦问题
中点弦问题：若直线 与椭圆交于 两点， 为 中点，则用点差法处理
结论1：
证明：设
41．若椭圆的中心在原点，焦点在 轴，一个焦点为 ，直线 与椭圆相交所得弦的中点坐标为 ，则这个椭圆的方程为 .
【答案】
【分析】设椭圆的方程为 ，联立方程组，得到 ，根据题意，
列出方程 ，求得 的值，即可求解.
【详解】因为椭圆的一个焦点为 ，可得 ，则 ，
可设椭圆的方程为 ，
设直线 与椭圆相交所得弦的端点为A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
因为相交所得弦的中点坐标为 ，所以 ，
联立方程组 ，整理得 ，
易得 ，则 ，可得 ，解得 ，
所以椭圆的方程为 .
故答案为： .
42．已知F是椭圆C： （ ）的左焦点， 是椭圆C过F的弦， 的
垂直平分线交x轴于点P.若 ，且P为 的中点，则椭圆C的离心率为 .
试卷第44页，共3页【答案】
【分析】如图，设椭圆的右焦点为 ，连接 ，过点 作 交 于 ，则
点 为 中点，设 由题得 （1）和 ，把 代入
（1）即得解.
【详解】
如图，设椭圆的右焦点为 ，连接 ，过点 作 交 于 ，则点 为
中点.
设 .
所以点 是 中点，
因为 ,
所以
由椭圆的定义得
在直角 中， ，所以 （1）
在直角 中，
所以 .
把 代入（1）得
故答案为： .
43．已知正方形 的四个顶点均在椭圆 上， 的两个焦点 分别是
的中点，则 的离心率是 .
【答案】
【分析】由题意 ，将 代入椭圆方程 ，得 ，结合正方形性
质可得 ，即可得 齐次式，即可求得答案.
【详解】不妨设 为椭圆 的左、右焦点，由题意知 轴， 轴，
且 经过椭圆焦点， ，
试卷第46页，共3页则 ，将 代入椭圆方程 ，得 ，
故 ，由 ，得 ，
结合 ，得 ，即 ，
解得 （负值舍），
故 的离心率是 ，
故答案为：
44．已知椭圆E： 的左、右焦点分别为 ， ，过 的直线交E于
A，B两点， 是线段BF 的中点，且 ，则E的方程为 ．
1
【答案】
【分析】根据中点关系可得平行，进而可得 ，根据向量的坐标运算即可求解.
【详解】由于 是线段BF 的中点，O(0,0)是线段 的中点，
1
所以 ,故 ,
设椭圆焦距为 ，则 ，将 代入椭圆方程可得 ，
故 ，因此 ,
是线段BF 的中点，所以 ，故 ，
1
，由 得 ，
故 ，解得 ，
又 ，故 ， ，
故椭圆方程为 ，
故答案为：
45．已知 ， 分别为椭圆 ： 的两个焦点，右顶点为 ， 为
的中点，且 ，直线 与 交于 ， 两点，且 的周长为28，则椭圆
的短轴长为 .
【答案】
【分析】根据垂直平分线的性质，结合椭圆的焦点三角形，可得 ，利用 的
数量积为0，即可求解.
【详解】由 ， 为 的中点，所以 是 的垂直平分线，所以
,
所以 的周长为 ，
试卷第48页，共3页，所以
，
由于 ，所以 ，
故答案为：
46．已知圆 在椭圆 的内部， 为 上的一个动
点，过 作 的一条切线，交 于另一点 ，切点为 ，若当 为 的中点时，直线
的倾斜角恰好为 ，则该椭圆 的离心率 .
【答案】
【分析】根据直线 的倾斜角结合圆的方程确定切点 的坐标为 或
，分别求解 方程，代入椭圆后，利用 为 的中点确定 关系，即可求
得椭圆离心率.
【详解】如图，圆 的圆心为 ，半径
因为直线 的倾斜角为 ，所以直线 方程为 ，即
所以 ，解得 或 ，所以切点 的坐标为 或
又直线 与圆相切，所以 ，则
①当 ，则直线 为 ，即 ，设
，
所以 ， 恒成立
所以 ，因为 为 的中点，所以 ，即
试卷第50页，共3页所以椭圆 的离心率 ；
②当 ，则直线 为 ，即 ，设
，
所以 ， 恒成立
所以 ，因为 为 的中点，所以 ，即
（舍）；
综上，椭圆 的离心率 .
故答案为： .
47．已知椭圆 ，平行于 轴的直线与 交于点 ，平行于 轴的
直线与 交于点 ，直线 与直线 在第一象限交于点 ，且 ， ，
， ，若过点 的直线 与 交于点 ，且点 为 的中点，则 的方程
为 ．
【答案】
【分析】设 ，根据已知条件求出 ，根据 点坐标，即可求出 、
，由此即可确定椭圆的方程，方法一：利用点差法求出直线 斜率，即可求出 的方程；方法二：点斜式设出直线方程 ，直曲联立得
，利用韦达定理表示出 ，结合
即可求出 进而求出 的方程.
【详解】设 ，由 ， ， ， ，
得 ， ，
所以 ，所以 ， ，代入 的方程得 ，
解得 ，故 的方程为 ．
解法一 易知 的斜率存在且不为0，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，两式相减得 ，
由点 为 的中点得 ， ，
则 的斜率为 ，所以 的方程为 ，即 ．
试卷第52页，共3页解法二 易知 的斜率存在且不为 ，设 的方程为 ，
代入 的方程并整理得 ，需满足 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，因为点 为 的中点，所以 ，
1 1 2 2
解得 ，所以 的方程为 ，即 ．
故答案为：
48．已知O为坐标原点，点F为椭圆 的右焦点，点A，B在C上，
AB的中点为F， ，则C的离心率为 ．
【答案】
【分析】先结合图形求得 ，代入椭圆方程构造齐次式，然后可解.
【详解】由椭圆的对称性可知， 垂直于x轴，
又 ，所以 ，
所以 为等腰直角三角形，故 ，
所以 ，即 ，
所以 ，整理得 ，
解得 或 （舍去），
故 .
故答案为：49．设О为坐标原点，A为椭圆C： 上一个动点，过点A作椭圆C内
部的圆E： 的一条切线，切点为D，与椭圆C的另一个交点为B，
D为AB的中点，若OD的斜率与DE的斜率之积为2，则C的离心率为 .
【答案】
【分析】设 ， ， ，根据点差法可得 ，由题意
可知 ，则 ，进而可求得椭圆的离心率.
【详解】设 ， ， ，则 ， .
将A，B代入C，得 两式相减，得 ，
所以 ，即 .
试卷第54页，共3页由 ： 可知 ，圆E与y轴相切，如图.
由题意可知 ，不妨设OD的斜率为 ，且 .
, 是等腰三角形， ，
，所以 .
由OD的斜率与DE的斜率之积为2，可得 ，解得 （负值舍去）.
所以 ，所以 ，即 .
所以 ，所以 ，
所以C的离心率为 .
故答案为： .
50．已知椭圆 的右焦点为 是 的中点，若椭圆 上到点
的距离最小的点有且仅有一个，则椭圆 的离心率的取值范围为 .
【答案】
【分析】根据题意，结合椭圆的对称性得到右顶点 到 的距离最小，再利用两点距离公式与二次函数的性质得到 ，从而得解.
【详解】因为椭圆 的右焦点 ，
而 是 的中点，则
因为椭圆C上到点 的距离最小的点有且仅有一个，
又无论该点是在轴上方还是下方，由于椭圆的对称性都会有2个最小点，
而左右顶点中，右顶点更靠近点 ，
所以右顶点 到 的距离最小，
设 是椭圆上的点， ，
，
对于 ，其开口向上，对称轴为 ，定义域为 ，
要使 在 处取得最小值，
则 在 上单调递减，
所以 ，即 ，则 ，
又 ，所以 .
故答案为： .
考点06：椭圆中过原点的向量积问题
椭圆与直线 相交于 两点，O为坐标原点，求
解：设
试卷第56页，共3页将 代入 得：
将（1）（2）代入（3）得：
注意：椭圆与直线 相交于 两点， 为坐标原点，且
，或（以AB线段为直径的圆过坐标原点O ），设原点到直线的
距离为 ，则 。
由于
故：
51．已知椭圆的焦点分别是 ， ，点 在椭圆上，且
(1)求椭圆的标准方程；
(2)若直线 与椭圆交于 ， 两点，且 ，求实数 的值和 的面
积.
【答案】(1) (2) 或 ；
【分析】（1）根据所给条件求出 ， ， ，即可得到椭圆方程；（2）联立直线方程，根
据根与系数的关系及 ，列出方程求出 值，由点到直线的距离公式以及弦长公式，
计算得到三角形的面积.【详解】（1）设椭圆的标准方程为 (a>b>0)，由题意可知 ，解
得 ，所以椭圆的标准方程为
（2）设 ， ，
联立 ，消去 ，可得 ，
，则 或 ，
由韦达定理可得： ， ，
所以 ，
因为 ， ，即 ，
所以 ，解得： 或 ，
经检验满足 ，所以 的值为 或 ，
试卷第58页，共3页当 时，直线 方程为 ，原点 到直线 的距离 ，
因为 ，
所以
所以
当 ，由对称性可得 ，
所以 的面积为
52．已知椭圆 为其左焦点， 在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程.
(2)若A，B是椭圆C上不同的两点，O为坐标原点，若 ，是否存在某定圆始终
与直线 相切？若存在，求出该定圆的方程；若不存在，请说明理由.
【答案】(1) (2)存在定圆 始终与直线 相切.
【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）先考虑直线斜率不存时，直线AB的方程，
再考虑斜率存在时，设出直线AB的方程 ，利用 得到 的关系式，
再利用点到直线距离公式得到原点到直线AB的距离为定值，验证斜率不存在时是否符合，
最后求出答案.
【详解】（1）由题意得： ，故 ，
又 在椭圆上，故联立得： ，故 ，
椭圆方程为
（2）当直线AB斜率不存在时，因为 ，
不妨设直线OA，OB的斜率分别为1，-1，
联立y=x与 ，解得： ，
求得：直线AB为
当直线AB斜率存在时，设直线AB：
联立 得： ，
设 ，
则 ，
因为 ，
所以
所以 ，
由原点到直线AB的距离 ，
存在定圆 始终与直线 相切，
显然当直线斜率不存在时，满足要求，
试卷第60页，共3页综上：存在定圆 始终与直线 相切
53．已知O为坐标原点，椭圆 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求椭圆C的方程；
(2)直线l与椭圆C交于A，B两点，直线 的斜率为 ，直线 的斜率为 ，且
，求 的取值范围．
【答案】(1) ；(2) .
【分析】（1）由椭圆的离心率及点在椭圆上，列方程组求椭圆参数，即可得椭圆C的方
程；
（2）讨论直线斜率的存在性，设 及l为 ，联立椭圆方程，应用
判别式求t、k的关系，结合韦达定理及已知条件求t的范围，再应用向量数量积的坐标表
示得到 关于t的关系式，进而其范围，注意直线斜率不存在时的值.
【详解】（1）由题意， ，又 ，解得 ．
所以椭圆C为 .
（2）设 ，
若直线l的斜率存在，设l为 ，联立 ，
消去y得： ， ，则 ，又 ，
故 且 ，即 ，则 ，又 ，
所以 ，
整理得 ，则 且 恒成立．
，
又 ，且 ，故 .
当直线l的斜率不存在时， ，又 ，又 ，解得
，则 ．
综上， 的取值范围为 ．
54．已知P为椭圆 短轴上的一个顶点， ， 为 的左、右焦点，
且 的面积为 ，椭圆 的焦距为2．
(1)求椭圆 的方程；
(2)设直线l为圆 的切线，且l与 相交于A，B两点，求 的取值范围（O
为坐标原点）．
试卷第62页，共3页【答案】(1) (2)
【分析】（1）因为椭圆的焦距为2，则可得出c的值，再由三角形面积公式可求得b的值，
进而求得 的值，进而求得椭圆的标准方程；（2）由于直线l为圆 的切线，注
意讨论直线l的斜率存在情况，先确定一般情况下的取值范围，再确定特殊情况下的值，
最后整合两种情况下的范围，即取两者的并集，最终得到 的取值范围．
【详解】（1）依题意， ，
所以 ．
在 中， ，
解得 ，所以 ，
所以椭圆 的方程为 ；
（2）设 ， ，
当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为 ，联立
整理得 ，
则 ，则 ，
则
．又直线l为圆 的切线，
则 ，即 ，
则
．
又 ，于是 ；
当直线l的斜率不存在时，设直线l的方程为 ，则 ， ，
．
综上，
55．已知椭圆 的短轴长为2，离心率为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与椭圆 交于 ， 两点，若 （ 为坐标原点），求实数
的值．
【答案】（1） ；（2） .
试卷第64页，共3页【分析】（1）根据条件可得 ，解出即可.
（2）设 ， ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得 、
，然后由 可算出答案.
【详解】（1）设焦距为 ，由已知得
解得 ， ，
故椭圆 的方程为 ．
（2）设 ， ，
联立 得 ．
， ， ，
，
因为 ，所以 ，
所以 ，
即 ，
解得 ，
即实数 的值为 ．56．已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，上顶点为M，
，且原点O到直线 的距离为 .
（1）求椭圆C的方程：
（2）已知斜率为 的直线l交椭圆C于A、B两点，求 的取值范围.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】(1)由椭圆对称性求出直线MF1的斜率，写出其方程，利用点到直线距离求出b即
可得解；
(2)设出直线l的纵截距m，写出直线l的方程，联立直线l与椭圆C的方程组，借助韦达定
理求出两交点的横、纵坐标积即可作答.
【详解】（1）由题设条件及椭圆对称性知， ，而 ，则
，如图：
直线 ： ，即 ，由点到直线距离公式得
，则b=1，
试卷第66页，共3页点 ，即椭圆半焦距 ，于是有 ，
所以曲线C的方程为 ；
（2）设直线l的纵截距为m，则l的方程为 ，
由 消去y化简整理得 ，
因为直线l交椭圆于A，B两点，从而有 ，解得 ，
设 ，则有 ， ，
，
则 ，
所以 的取值范围 .
57．已知双曲线C： ＝1(a，b>0)的左、右焦点分别为F(-c，0)，F(c，0)，其中
1 2
c>0， M(c，3)在C上，且C的离心率为2.
（1）求C的标准方程；
（2）若O为坐标原点，∠F1MF2的角平分线l与曲线D： ＝1的交点为P，Q，
试判断OP与OQ是否垂直，并说明理由.
【答案】（1） ；（2）OP与OQ不垂直，答案见解析．
【分析】（1）利用点在曲线上和离心率，解出 ，进而得出双曲线方程；
（2）利用角平分线定理求出 点坐标，联立直线 与曲线D的方程，由根与系数的关
系，结合平面向量的数量积得出结论．【详解】（1）由题意得 ，即 ，解得 ，又 ，可得
，故双曲线C的标准方程为 ；
（2）设角平分线与 轴交于点 ，根据角平分线性质可得 ，
， ，
设 ，联立方程 ，可得
，
即OP与OQ不垂直．
58．设定圆 ，动圆 过点 且与圆 相切，记动圆 圆心 的
轨迹为曲线 ．
（1）求曲线 的方程；
试卷第68页，共3页（2）直线 与曲线 有两个交点 ， ，若 ，证明：原点 到直线 的距离为
定值．
【答案】（1） ；（2）证明见解析.
【解析】（1）由 可得 点的轨迹方程；
（2）讨论斜率存在和不存在，直线方程与椭圆方程联立，利用韦达定理表示
再与点到直线的距离联立可得答案.
【详解】（1）∵点 在圆 内，
∴圆 内切于圆 ，
∴ ，
所以 点轨迹是以 ， 为焦点的椭圆，且 ， ，从而 ，
∴点 的轨迹 的方程为 .
（2）设 ， ，
若直线 斜率存在，设 ，
联立 ，
整理得： ，
， ，①
∵ ，
∴ ，①化简得 ，
即 ，
故原点 到直线 的距离为 ，
若直线 斜率不存在，设 ，
联立 ，
解得 ， ，代入①化简得 ，
即原点 到直线的距离为 ，
综上所述，原点 到直线 的距离为定值 .
59．定义：已知椭圆 ，把圆 称为该椭圆的协同圆.设
椭圆 的协同圆为圆 ( 为坐标系原点)，试解决下列问题：
（1）写出协同圆圆 的方程；
（2）设直线 是圆 的任意一条切线，且交椭圆 于 两点，求 的值；
（3）设 是椭圆 上的两个动点，且 ，过点 作 ，交直线 于
点，求证：点 总在某个定圆上，并写出该定圆的方程.
【答案】（1） ；（2） ；（3）证明见解析，定圆的方程为
试卷第70页，共3页.
【分析】（1）由协同圆的定义，结合椭圆方程的参数写出协同圆圆 的方程；
（2）讨论直线 的斜率存在和不存在两种情况：斜率不存在时，直接求出交点坐标，利用
向量数量积的坐标表示求 ；斜率存在时，设 联立椭圆方程，由切线的性
质确定判别式符号，应用根与系数关系、向量数量积的坐标表示求 ；
（3）设 ，则 ，讨论 有一条直线的斜率不存在和两
条直线的斜率都存在，分别求 ， ， ，由等面积法求 ，即可证结论，
并写出定圆方程.
【详解】（1）由椭圆 ，知 .
根据协同圆的定义，可得该椭圆的协同圆为圆 .
（2）设A(x ,y ),B(x ,y )，则 .
1 1 2 2
直线 为圆 的切线，分直线 的斜率存在和不存在两种情况讨论：
①当直线 的斜率不存在时，直线 .
若 ，由 ，解得 ，此时 .
若 ，同理得： .
②当直线 的斜率存在时，设 .由 ，得 ，有
，又直线 是圆 的切线，故 ，可
得 .
∴ ，则 ，而 .
∴ ，即 .
综上，恒有 .
（3） 是椭圆 上的两个动点且 ，设 ，则 .
直线 ：有一条直线的斜率不存在和两条直线的斜率都存在两种情况讨论.
若直线 的斜率不存在，即点 在 轴上，则点 在 轴上，有 .
∴ ， ，且 ，
由 ，解得 .
若直线 的斜率都存在，设 ，则 .
由 ，得 ，有 ；同理，得 .
试卷第72页，共3页于是， .
由 ，可得 .
因此，总有 ，即点 在圆心为坐标原点，半径为 的圆上.
∴该定圆的方程为圆 .
60．已知 ､ 分别为椭圆 左右焦点， 为椭圆上一点，满足
轴， ，且椭圆上的点到左焦点 的距离的最大值为 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）若过点 的直线 交椭圆 于 ， 两点， (其中 为坐标原
点)，与直线 平行且与椭圆 相切的两条直线分别为 ､ ，若 与 两直线间的距离为
，求直线 的方程.
【答案】（1） ；（2） .
【分析】（1）由条件可得 、 ，解出即可；
（2）设直线 ， ， ，联立直线 与椭圆的方程消元，韦达定理
可得 、 ，然后由 可求出 ，直线 ､ 的方程分别为 ､
，与椭圆的方程联立消元，然后利用 可得 ，然后利用 与 两直
线间的距离可求出 .【详解】（1）由题意可得 ，即 ，
而由椭圆上的点到左焦点 的距离的最大值为
可得 ，即 ，
，
解得 ， ，
椭圆 的方程 .
（2）由点 可设直线 ，且 ， ，
联立直线 和椭圆 方程组，得 ，
整理得： ，
则 ，
又
于是有 ，
解得 ，
所以点 .
试卷第74页，共3页设直线 ､ 的方程分别为 ､ ，与椭圆联立
可得 ，
于是 ，
解得 ，
而直线 ､ 间的距离为 ，
解得 ，
故直线 的方程为
