文档内容
考点巩固卷 19 直线与圆(十二大考点)
考点01 直线的倾斜角与斜率
1．直线 的倾斜角的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设直线的倾斜角为 .由已知，可推得 .分两种情况 时以及 时，结
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】合正切函数的性质求解即可得到结果.
【详解】设直线的倾斜角为 .
因为， ， ，所以， .
又 ，则 .
当 时， 单调递增，解 ，可得 ；
当 时， 单调递增，解 ，可得 .
综上所述， .
故选：B.
2．已知点P，Q的坐标分别为 ， ，直线l： 与线段PQ的延长线相交，则实数m的
取值范围是 .
【答案】
【分析】先求出 的斜率，再利用数形结合思想，分情况讨论出直线的几种特殊情况，综合即可得到答
案.
【详解】如下图所示，
由题知 ，
直线 过点 .
当 时，直线化为 ，一定与 相交，所以 ，
当 时， ，考虑直线 的两个极限位置.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（1） 经过 ，即直线 ，则 ；
（2） 与直线 平行，即直线 ，则 ，
因为直线 与 的延长线相交，
所以 ，即 ，
故答案为：
3．设直线 与 轴的交点为 ，求将此直线绕点 逆时针旋转 角后所得到的直线的方程．
【答案】答案见详解
【分析】根据题意可得 点的坐标及直线 的倾斜角为 ，从而可得所求直线与 轴正方向的夹角为 ，
再分 和 讨论即可求解．
【详解】由直线 与 轴的交点为 ，且其斜率为1，
所以直线 的倾斜角为 ，即其与 轴正方向的夹角为 ，
所以将直线 绕点 逆时针旋转 角后所得到的直线与 轴正方向的夹角为 ，
当 时，所以所求直线的方程为 ；
当 时，所以所求直线的方程为 ．
4．如图，已知 ， ， ，求直线 ， ， 的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐
角还是钝角．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】 ，锐角； ，钝角； ，锐角
【分析】通过两点求斜率的公式求得斜率，进而判断出倾斜角是锐角还是钝角.
【详解】直线 的斜率 ，直线 的斜率 ，
直线 的斜率 ，
由 >及 可知，直线 与 的倾斜角均为锐角；
由 可知，直线 的倾斜角为钝角．
5．已知点 在函数 的图象上，当 时，求：
(1) 的取值范围；
(2) 的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1） 可看作过点 与点 的直线的斜率，结合图形分析求解；
（2）整理得 ， 可看作过点 与点 的直线斜率，结合图形分析求解.
【详解】（1）因为点M在函数 的图象上，且 ，记点 ， ．
由题意可知点 在线段AB上移动．记点 ，
则 可看作过点 与点 的直线的斜率，
又因为 ， ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由于 ，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在，
所以 的取值范围为 ．
（2）因为 ，记点 ，
则 可看作过点 与点 的直线斜率，
又因为 ， ，所以 的取值范围为 ．
考点02求直线的方程
6.已知在 中，点 ， 的角平分线为 ， 边上的中线所在直线的为
，求边 所在直线l的一般式方程.
【答案】
【分析】用待定系数法求出点 ，再利用点关于直线的对称求解 ，利用截距式方程求解化简
即可.
【详解】设 ，因为 在角平分线 上， ①，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 、C中点 在中线 上，所以 ②，
联立①②解得 ， ，所以 ，
设B点关于角平分线 的对称点为 ，
因为 ，所以 ③，
因为B、N中点 在 上，所以 ④，
联立③④解得 ， ，所以 ，
l即为 ，化简有 ，所以 .
7．求满足题意的直线方程：
(1)求过点 ，斜率是直线 的斜率的 的直线方程；
(2)求过点 ，且在 轴上的截距等于在 轴上截距的直线方程.
【答案】(1)
(2) 或
【分析】（1）求出直线斜率根据斜截式可得直线方程.
（2）当直线过原点时根据过点 写出直线方程，当直线不经过原点时，设直线方程为 将
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】代入求得 即可.
【详解】（1）斜率是直线 的斜率的 的直线斜率 ，
利用斜截式可得： ，化为一般式： .
（2）直线经过原点时满足条件，可得直线方程为： ，即 ；
直线不经过原点时，截距不为0，
设直线方程为: ，把点 代入可得: ，解得 ，
化为一般式： ；
综上：所求直线为 或 .
8．已知直线l经过点 ，且直线的倾斜角为 ，求直线l的方程，并求直线l在 轴上的截距．
【答案】 ；5
【分析】计算出直线斜率，写出点斜式，再化简即可得到其截距.
【详解】因为直线l的斜率 ，
所以可知直线l的方程为 ，
即 ．令 ，则 ，因此直线l在 轴上的截距为5.
9．已知直线 ，直线 过点 ，__________．在①直线 的斜率是直线 的斜
率的2倍，②直线 不过原点且在 轴上的截距等于在 轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充
在上面的横线中，并解答下列问题．
(1)求 的一般式方程；
(2)若 与 在 轴上的截距相等，求 的值．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；
（2）先求得直线 在 轴上的截距为 ，故直线 过点 ，代入 ，求解即可.
【详解】（1）选择①：由题意可设直线 的方程为 ，
因为直线 的斜率是直线 的斜率的2倍，所以 ，
所以直线 的方程为 ，即 ．
选择②：由题意可设直线 的方程为 ， ，
因为直线 过点 ，所以 ，解得 ．
所以直线 的方程为 ，即 ．
（2）由（1）可知直线 的方程为 ，令 ，可得 ，
所以直线 在 轴上的截距为 ，所以直线 在 轴上的截距为 ．
故直线 过点 ，代入 ，得 ，解得 ．
10．写出满足下列条件的直线的方程，并把它化成一般式：
(1)经过点 ，倾斜角是直线 的倾斜角的2倍；
(2)经过两点 ， ；
(3)经过点 ，平行于x轴；
(4)在x轴，y轴上的截距分别为 ， ．
【答案】(1) ；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2) ；
(3) ；
(4) .
【分析】（1）（2）（3）根据给定条件，求出所求直线的斜率，再利用直线点斜式求出方程作答.
（4）根据给定条件，利用直线方程的截距式方程求解作答.
【详解】（1）直线 的斜率为 ，其倾斜角为 ，因此所求直线的倾斜角为 ，斜率为
，
所以所求直线的方程为 ，即 .
（2）直线 的斜率 ，
所以直线 的方程为 ，即 .
（3）经过点 ，平行于x轴的直线斜率为0，
所以经过点 ，平行于x轴的直线方程为 .
（4）在x轴，y轴上的截距分别为 ， 的直线方程为 ，即 .
11．写出满足下列条件的直线的方程，并画出图形：
(1)在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2；
(2)经过点 ，且在两坐标轴上的截距相等；
(3)经过点 ，且直线在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍．
【答案】(1) ，图象见解析
(2) 或 ，图象见解析
(3) 或 ，图象见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】（1）根据截距直接列出直线的截距式方程；
（2）当截距为0时，设直线的方程为 ；当截距不为0时，根据截距之间的关系，设出直线的截距式
方程.最后根据直线经过的点求出直线方程；
（3）方法同（2）；
【详解】（1）直线在x轴上的截距是3，在y轴上的截距是2，直接列出直线的截距式方程 ，
整理为 ，直线的图象如下：
（2）①当直线的截距为0时，设直线方程为 ，
代入点 ，得到 ，即 ，
故直线方程为 ，即 ，直线的图象如下：
②当直线的截距不为0时，设直线的方程为 ，
代入点 ，得到 ，解得 ，
故直线的方程为 ，即 ，直线的图象如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，直线的方程为 或 .
（3）①当直线的截距为0时，此时满足直线在x轴上的截距是其在y轴上截距的2倍，
设直线方程为 ，
代入点 ，得到 ，
故直线方程为 ，即 ，直线的图象如下：
②当直线的截距不为0时，设直线的方程为 ，
代入点 ，得到 ，解得 ，
故直线的方程为 ，即 ，直线的图象如图：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】综上，直线的方程为 或 .
考点03两直线的位置关系
12．设 ， ， ， ，若 ，那么直线 和直线 的关
系是.（ ）
A．直线 直线 B．直线 直线
C．直线 与直线 重合 D．直线 直线 或直线 直线
【答案】B
【分析】由直线的点斜式方程求出直线 与直线 的方程，即可得出答案.
【详解】当 时， ， ， ， ，
所以 ，
又因为 ， 两点的直线方程为 即 ，
又因为 ， 两点的直线方程为 即 ，
所以直线 直线 .
故选：B.
13．已知 ， ， 三点，试判断 的形状.
【答案】直角三角形.
【分析】分别计算出 和 边所在直线的斜率，利用斜率成绩为 即可判断 的形状.
【详解】如图所示，边 所在直线的斜率 ，
边 所在直线的斜率 .
由 ，得 ，即 ，
所以 是直角三角形.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】14．已知直线 .
(1)若 ，求实数 的值；
(2)当 时，求直线 与 之间的距离.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用直线垂直的公式列式计算即可.
（2）先利用直线平行求出a，然后代入平行直线距离公式求解即可.
【详解】（1）因为直线 ，且 ，
所以 ，所以 所以 .
（2）当 时， ，解得 ，
此时 ，
所以 与 的距离 .
15．如图所示，已知四边形 的四个顶点分别为 ， ， ， ，试判断四边形
的形状，并给出证明.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】平行四边形，证明见解析.
【分析】通过计算得到 ， ，从而判断出四边形 的形状.
【详解】由已知可得 边所在直线的斜率 ，
边所在直线的斜率 ，
边所在直线的斜率 ，
边所在直线的斜率 .
因为 ， ，所以 ， .
因此四边形 是平行四边形.
16．分别求过直线 和 的交点，且与直线 垂直或平行的直线方
程.
【答案】答案见解析
【分析】求出直线 、 的交点坐标，求出直线 的斜率，结合所求直线与直线 平
行、垂直，结合点斜式可得出所求直线的方程.
【详解】解：联立 ，解得 ，即直线 、 的交点为 ，
因为直线 的斜率为 ，
所以，过点 且与直线 垂直的直线的方程为 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】过点 且与直线 平行的直线的方程为 ，即 .
17．已知平行四边形 中， 边所在直线方程为 ， 边所在直线方程为 ．
(1)求点 的坐标；
(2)若点 的坐标为 ，分别求 与 边所在直线的方程．
【答案】(1)
(2) 所在直线方程为 ， 所在直线方程为 .
【分析】（1）直接联立方程组即可得到 的坐标；
（2）根据 ， ，设平行一般式，解出其中未知数即可.
【详解】（1）联立 ，解得 ，
所以 .
（2）因为四边形ABCD是平行四边形，
所以 ，设 所在直线的方程为： ，
代入点C的坐标 ，得 ，
所以 所在直线的方程为： ，
同理 ，设 所在直线的方程为： ，
代入点C的坐标 ，得 ，
所以 所在直线的方程为： .
考点04 距离问题
18．已知点 在线段 上，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】将问题化为求原点到线段上点距离的平方的范围，进而求目标式的距离.
【详解】由 的图象如下，
又 是上图线段上的一点，且 为原点到该线段上点距离的平方，
上述线段端点分别为 ，到原点距离的平方分别为 ，
由图知：原点到线段的距离 ，则 ，
综上， ，故 .
故选：B
19．已知 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先对所求式子配方整理，把问题转化为，求直线上一点，到直线同侧的两点间的距离之和的最小
值，就是将军饮马求最值问题，先对其中一点作关于直线的对称点，进一步把问题转化为，求两点间的距
离，求解即可.
【详解】
该式子是表示点 到点 、点 的距离之和，
又 ，
上述式子表示直线 上的点 到点 、点 的距离之和的最小值（如图）.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设点 关于直线 的对称点为 ，
则有 ，解得 ，即 ，
所以 ，
所以直线 上的点 到点 、点 的距离之和的最小值为 .
故选：D.
20．（多选）若点 在直线 上，且点 到直线 的距离是 ，则点 的坐标为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】AC
【分析】设出点 的坐标为 ，利用点到直线的距离公式表示出 到已知直线的距离 ，让 等于
列出关于 的方程，求出方程的解即可得到 的值，再写出点 的坐标即可.
【详解】解：设 点坐标为 ，
点 到直线 的距离为： ，
解得 或 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】∴ 点坐标为 或 .
故选：AC.
21．两条平行直线 与 之间的距离为 ．
【答案】
【分析】根据两直线平行可求得 ，由平行直线间距离公式可求得结果.
【详解】 ， ，解得： ，
，即 ，
之间的距离 .
故答案为： .
22．等腰直角三角形ABC的直角顶点B和顶点A都在直线 上，顶点C的坐标是 ，直线
AC的倾斜角是钝角.
(1)求直线BC，AC在x轴上的截距之和；
(2)平行于AC的直线l与边AB，BC分别交于点D，E，若 的面积等于 ，求直线l与两坐标轴围成
的三角形的周长.
【答案】(1)3
(2)
【分析】（1）根据互相垂直的两直线斜率间的关系，结合等腰直角三角形的性质、点到直线距离公式进
行求解即可；
（2）根据互相平行的两直线斜率间的关系，结合点到直线距离公式进行求解即可.
【详解】（1）因为直线AB的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线BC的斜率为 ，
直线BC的方程为 ，即 ，
令 ，得 ，所以直线BC在x轴上的截距为4.
设 ，由 知点A到直线BC的距离等于点C到直线AB的距离，
即 ，
解得 或 ，
当 时，即 ， ，不符合题意舍去，
当 时，即 ， ，符合题意，
所以直线AC的方程为 ，
令 ，得 ，所以直线AC在x轴上的截距为 ，
所以直线BC、AC在x轴上的截距之和为3.
（2）设直线l的方程为 ，
由 可得 ，
则 .
的面积为 ，
而 的面积为 ，
所以点B到直线AC的距离是点B到直线l的距离的2倍，
即 ，解得 或 .
因为直线l与边AB，BC分别交于点D，E，所以 ，
即直线l的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以所求三角形的周长为 .
23．已知 的边 所在直线方程为 ，边 所在直线方程为 ，边 的中
点为 .求：
(1)求点 坐标；
(2)求 的面积.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用中点坐标公式及点在直线上即可求解；
（2）根据（1）的结论及直线的斜率公式，利用直线的点斜式方程和两点间的距离公式，结合点到直线的
距离公式及三角形的面积公式即可求解.
【详解】（1）设 ，根据中点公式结合点 在直线 上，点 在直线 上，则有
，解得 ，
所以点 坐标为 .
（2）由（1）知， ，
所以 ,
所以直线 方程为 ，即 .
所以 .
由 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 .
点 到直线 的距离为
，
所以 的面积为
考点05直线的对称问题
24．（多选）已知点 ， ，且点 在直线 ： 上，则（ ）
A．存在点 ，使得 B．存在点 ，使得
C． 的最小值为 D． 最大值为3
【答案】BCD
【分析】设 ，利用斜率公式判断A，利用距离公式判断B，化折线为直线，利用两点之间线段
最短判断C，根据几何意义判断D.
【详解】对于A：设 ，若 时 ，此时 的斜率不存在，
， 与 不垂直，同理 时 与 不垂直，
当 且 时 ， ，
若 ，则 ，
去分母整理得 ， ，方程无解，故 与 不垂直，故A错误；
对于B：设 ，若 ，则 ，
即 ，由 ，所以方程有解，则存在点 ，使得 ，故B正
确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于C：如图设 关于直线 的对称点为 ，则 ，
解得 ，所以 ，
所以 ，
当且仅当 、 、 三点共线时取等号（ 在线段 之间），故C正确；
对于D：如下图， ，当且仅当 在 的延长线与直线 的交点时取等号，故D正确.
故选：BCD
25．将一张坐标纸折叠一次，使得点 与点 重合，点 与点 重合，则
．
【答案】1
【分析】根据直线对称的性质，结合直线斜率公式、中点坐标公式、互相垂直的直线斜率之间的关系进行
求解即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】设点 为点 ，点 为点 ，所以线段 的中点为 .
设点 为点 ，设点 为点 ，所以线段 的中点为 ，
由题意可知 ，
于是有： ，
故答案为：1
【点睛】关键点睛：本题的关键是根据直线对称，得到斜率之间的关系.
26．光线从 射向 轴上一点 ，又从 反射到直线 上一点 ，最后从点 反射回到点 ，
则BC所在的直线方程为 ．
【答案】
【分析】分别求点 关于 轴和直线 的对称点，再根据几何关系求得直线 的方程.
【详解】点 关于 轴的对称点为 ，设点 关于 的对称点为 ，
则 ，解得： ，即 ,
由对称性可知，点 在直线 上，
所以 ，直线 的方程为 ，
即 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故答案为：
27．在等腰直角三角形ABC中， ，点P是边AB上异于A，B的一点，光从点P出发经
反射后又回到点P，反射点为Q，R，若光线QR经过 的重心，则 .
【答案】 /
【分析】根据给定条件，建立平面直角坐标系，设出点P的坐标，再求出点P关于 的对称点坐标，
借助三点共线列式求解作答.
【详解】依题意，以点A为原点，直线AB为x轴，直线AC为y轴建立平面直角坐标系，如图，
则 ， ， ， 的重心G的坐标为 ，
设点P的坐标为 ， ，则点P关系y轴对称点 ，
设点P关于直线 对称点 ，显然直线BC的方程为 ，
于是 ，解得 ，即点 ，
由光的反射定律知，光线 过点 ，也过点 ，而光线 经过 的重心 ，因此点 共线，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则有 ，整理得 ，解得 ，
所以 .
故答案为：
28．某地 两村在一直角坐标系下的位置分别为 ， ，一条河所在直线l的方程为
．在河边上建一座供水站 分别向 两镇供水，若要使所用管道最省，则供水站 应建在
什么地方?
【答案】供水站 应建在 处
【分析】根据两点间的距离以及点关于直线的对称性建立方程组求解即可.
【详解】如图，作点 关于直线l的对称点 ，连接 交l于 ，
若 （异于 ）在直线l上，则 ，
因此供水站建在 处，才能使得所用管道最省．
设 ，则 的中点在l上，且 ，
即 ，
解得 ，即 ，又因为 ，
则直线 的方程为： ，则化简为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以直线 的方程为 ．
解方程组 ，得 ．
所以点P的坐标为 ．
故供水站P应建在 处．
29．三角形 的顶点 ，边 上的中线 所在直线为 ，A的平分线 所在直线
为 ．
(1)求A的坐标和直线 的方程；
(2)若P为直线 上的动点， ， ，求 取得最小值时点P的坐标．
【答案】(1) ，直线 的方程为
(2)
【分析】（1）设点A坐标并表示中点D坐标，由点在直线方程建立方程求解即可得A，利用角平分线的性
质可得点B关于直线 的对称点，从而求 方程；
（2）由两点之间的距离公式结合二次函数求最值计算即可.
【详解】（1）由题意可设 ，则 ，由直线 ， 的方程可知：
，即 ，
设点B关于直线 的对称点 ，
则 中点坐标为 ， ，
依题意有 ，解之得 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】易知 在直线 上，故由两点式可得 ，化简得 ；
（2）由（1）所得 方程 ，不妨设 ，
则 ，
由二次函数的性质可知当 ，上式取得最小值，此时 .
考点06 圆的方程
30．已知点 四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为 .
【答案】
【分析】运用待定系数法求得过A、B、C的圆的方程，由点D在此圆上可求得 的值，再根据两点间距
离公式即可求得结果.
【详解】设过A、B、C的圆的方程为： （ ），
则 ，解得 ，
所以过A、B、C的圆的方程为： ，
又因为点D在此圆上，
所以 ，解得 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以点D到坐标原点O的距离为 .
故答案为： .
31． 的三个顶点的坐标分别为 ，求 的外接圆的方程.
【答案】
【分析】利用待定系数法或几何法求解即可.
【详解】解法一（待定系数法）
设所求圆的标准方程为 ，
则 解得
所以外接圆的方程为 ．
解法二（几何法）
,
易知， 是直角三角形， ，
所以圆心是斜边 的中点 ，半径是斜边长的一半，即 ，
所以外接圆的方程为 ．
32．求经过直线 与圆 的交点，且经过点 的圆的方程．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】法一：联立直线与圆的方程求交点，根据三点在圆上，应用待定系数法求圆的方程；法二：设所
求圆的方程为 ，由点在圆上求得 ，即可得方程.
【详解】法一：解方程组 ，得 或 ，
∴直线与圆交于点 ．
设所求圆的方程为 ( )，
将A，B，P的坐标代入，得 ，解得 ，满足 ，
故所求圆的方程为 ．
法二：设所求圆的方程为 ，
又 在圆上，则 ，解得 ，
故所求圆的方程为 ，即 ．
33．已知直线 与 轴交于点 ，直线 与 交于点 ，点 在 轴的正半轴上，且
，求 外接圆的方程．
【答案】
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【分析】先求得 点的坐标，根据 求得 点的坐标，设出 外接圆的一般方程，代入 的
坐标，从而求得 外接圆的方程．
【详解】根据直线 ，令 ，得 ，所以 的坐标为 ．
由 与 的方程联立方程组，
得 ，解得 ，
所以 的坐标为 ．
设点 的坐标为 ，
因为 ，所以 ．
解得 ，所以 的坐标为 ．
设 外接圆的方程为 ，
则 ，解得 ，
所以 外接圆的方程为 ．
34．已知圆经过点 和 ，该圆与两坐标轴的四个截距之和为 ，求圆的方程.
【答案】 .
【分析】利用待定系数法设出圆的方程，然后利用圆与两坐标轴的四个截距之和为 ，即可求解.
【详解】设圆的一般方程为 ，由圆经过点 和 ，
代入圆的一般方程，得 (*)
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设圆在 轴上的截距为 、 ，则它们是方程 的两个根，得 .
设圆在 轴上的截距为 、 ，则它们是方程 的两个根，得 .
由已知，得 ，即 . ③
由(*)③联立解得 .
故所求圆的方程为 .
考点07 点、直线与圆位置关系的判断
35．若点 在圆 的外部，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用表示圆的条件和点和圆的位置关系进行计算.
【详解】依题意，方程 可以表示圆，则 ，得 ；
由点 在圆 的外部可知： ，得 .
故 .
故选：C
36．直线 与圆 的位置关系是（ ）
A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定
【答案】C
【分析】观察直线方程，得直线过定点，判断该点与圆的位置关系，得直线与圆的位置关系
【详解】直线 过定点 ，
由圆的方程为 ，所以点A在该圆内，则过该点的直线一定与圆相交，
故选：C
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】37．在两坐标轴上的截距相等，且与圆 相切的直线有（ ）条
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】分截距为零和截距不为零两种情况结合点到直线的距离公式求解即可
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
由题意可知切线的斜率存在，
当截距为零时，设切线方程为 ，即 ，
所以 ，化简得 ，
因为 ，
所以方程有两个不相等的根，所以过原点的切线有两条，
当截距不为零时，设切线方程为 ，即 ，
所以 ，解得 或 ，
所以不过原点的切线为 或 ，有2条，
综上，在两坐标轴上的截距相等，且与圆 相切的直线有4条，
故选：D
38．（多选）已知点 在圆 上，点 ， ，则（ ）
A．直线 与圆 相交 B．直线 与圆 相离
C．点 到直线 距离大于0.5 D．点 到直线 距离小于5
【答案】BCD
【分析】根据圆心到直线的距离判断AB，再由圆上点到直线距离的最值判断CD即可.
【详解】由 知，圆心为 ，半径 ，
直线 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则圆心到直线距离 .
所以直线 与圆 相离，故A错B对；
由圆心到直线的距离知，圆上点到直线距离的最大最小值分别为 ，
，故CD正确.
故选：BCD
39．（多选）已知圆M： ，直线 ： ，则（ ）
A． 恒过定点 B．若 平分圆周M，则
C．当 时， 与圆M相切 D．当 时，l与圆M相交
【答案】BC
【分析】令 即可判断A，将圆心坐标代入直线方程即可判断B，利用圆心到直线的距离 与半径
的大小关系即可判断CD.
【详解】对A，直线 ： ，令 ，则 ，则l恒过定点 ，选项A错误；
对B，若l平分圆周M，则l经过圆M的圆心 ，代入直线方程得 ，解得 ，选项B正
确；
对C，圆心 到l的距离 ，
当 时， ，l与圆M相切，选项C正确；
对D，若l与圆M相交，则 ，即 ，即 ，即 ，故选项D错误．
故选：BC.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】40．已知实数 、 满足 ，求 的取值范围．
【答案】
【分析】 表示圆上的点 与原点 所在直线的斜率，求出过原点 与圆相切的切
线的斜率，即可得解.
【详解】 表示圆上的点 与原点 所在直线的斜率，设为 ，
故此圆的切线方程为 ，
再根据圆心 到切线的距离等于半径，
可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ．
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】考点08 切线和切线长问题
41．已知点 是圆 上的动点，直线 与 轴、 轴分别交于 两
点，当 最小时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】作出示意图之后，结合图形可知， 与圆 相切时，切线长 取到最小值.
【详解】圆 化成标准形式为 ，
故圆心为 ，半径为 ，直线与坐标轴交于点 ，点 ，如图所示：
则当 最小时， 与圆 相切，连接 ，
可知 ，
由勾股定理可得 .
故选：A
42．（多选）若与y轴相切的圆C与直线 也相切，且圆C经过点 ，则圆C的直径可能
为（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】AB
【分析】由分析知，圆C的圆心在两切线所成角的角平分线 上，设圆心 ，即可表示出圆
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】C的方程，又因为圆C经过点 ，代入解得 即可得出答案.
【详解】因为直线 的倾斜角为30°，
所以圆C的圆心在两切线所成角的角平分线 上.
设圆心 ，则圆C的方程为 ，
将点 的坐标代入，得 ，解得 或 .
故圆C的直径为2或 .
故选：AB.
43．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为 ，动点P满足
(1)求动点P的轨迹C的方程
(2)若直线l过点 且与轨迹C相切，求直线l的方程.
【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）设 ，根据动点 满足 ，再用两点间距离公式列式化简作答.
（2）讨论直线的斜率，设出直线l的方程，由圆心到直线的距离等于圆的半径求解作答.
【详解】（1）设 ，由 ，得 ，
化简得 ，
所以P点的轨迹 的方程为 .
（2）由（1）知，轨迹 ： 表示圆心为 ，半径为2的圆，
当直线l的斜率不存在时，方程为 ，圆心 到直线l的距离为2， 与 相切；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当直线l的斜率存在时，设 ，即 ，
于是 ，解得 ，因此直线 的方程为 ，即 ，
所以直线l的方程为 或 .
44．求经过点 且与圆 相切的直线的方程．
【答案】 或
【分析】分直线斜率存在和不存在两种情况讨论，再结合点到直线的距离公式即可得解.
【详解】圆 的圆心为 ，半径 ，
当切线斜率不存在时，方程为 ，
圆心 到直线 的距离等于半径，符合题意，
当切线斜率存在时，设方程为 ，即 ，
则 ，解得 ，
所以切线方程为 ，
综上所述，切线方程为 或 .
45．过原点O作圆 的两条切线，设切点分别为P，Q，求线段PQ的长．
【答案】
【分析】由圆的方程确定圆心C、半径r，根据切线段长与半径r、OC的几何关系，求切线段长，利用等
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】面积法求切点弦 的长即可.
【详解】
由题意， 可化为 ，
∴圆心 ，半径 ，则有 ，故切线段长 ，
若线段 的长为 ，则 ，得 .
46．已知点 ，则 的内切圆的方程为 ．
【答案】
【分析】根据给定条件，确定 内切圆的圆心位置，设出圆心坐标，再借助点到直线的距离公式求解
作答.
【详解】依题意， 内切圆的圆心 在第四象限，并且到x、y轴距离相等，令此圆半径为 ，
则圆心 ，
直线 方程为： ，即 ，直线 是圆 的切线，
因此 ，解得 或 ，
显然 ，于是 ，圆心 ，
所以 内切圆的方程为 .
故答案为：
考点09 弦长问题
47．在平面直角坐标系上，圆 ，直线 与圆 交于 两点， ，则当
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】的面积最大时， （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用点到直线距离公式表示出圆心到直线距离 ，并由 的范围确定 的范围；利用垂径定理表
示出 ，由 ，根据基本不等式取等条件可构造方程求得结果.
【详解】由圆的方程知：圆心 ，半径 ，
则圆心 到直线 的距离 ，
， ， ，
，
（当且仅当 时取等号），
则当 的面积最大时， ，又 ，解得： .
故选：C.
48．（多选）已知圆 与直线 ，下列选项正确的是（ ）
A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点
C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切
【答案】ABC
【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短
弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.
【详解】对于A，圆 的圆心坐标为 ，正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于B，直线方程 即 ，由 可得 ，
所以直线 过定点 ，正确；
对于C，记圆心 ，直线过定点 ，则 ，
当直线 与直线 垂直时，圆心 到直线 的距离最大，
此时直线 截圆 所得的弦长最小，
此时弦长为 ，正确；
对于D，因为 ，所以点 在圆内，直线与圆必相交，错误.
故选：ABC
49．点 是直线 上的动点，过点 作圆 的切线，分别相切于 、 两点，则 的
最小值为 ；四边形 面积的最小值为 ；
【答案】 /
【分析】由圆的几何性质可知， ，分析可知，当 与直线 垂直时， 取最小值，
求出 的最小值，结合勾股定理可求出 的最小值，证明出 ，可得出 ，
结合三角形的面积公式可求得四边形 面积的最小值.
【详解】圆 的圆心为坐标原点 ，如下图所示：
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】由圆的几何性质可知， ，由勾股定理可知， ，
当 与直线 垂直时， 取最小值，且 ，
所以， ，
由切线长定理可得 ，又因为 ， ，
所以， ，
所以， ，
故四边形 面积的最小值为 .
故答案为： ； .
50．已知圆C经过三点 .
(1)求圆C的方程；
(2)经过点 的直线l被圆C所截得的弦长为 ，求直线l的方程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1) ；
(2) 或 .
【分析】（1）设出圆C的一般方程，再利用待定系数法求解作答.
（2）由（1）求出圆C的圆心和半径，结合弦长及点到直线距离求解作答.
【详解】（1）设圆C的方程为 ，
由圆C经过三点 ，得 ，解得 ，
所以圆C的方程为
（2）由（1）知圆C： ，即圆心 ，半径为5，
由直线l被圆C所截得的弦长为 ，得圆心C到直线l的距离 ，
而直线l经过点 ，显然直线l的斜率存在，设直线l的方程为 ，
即 ，于是 ，得 或 ，
所以直线l的方程为 或
51．已知圆C经过 两点，且与x轴的正半轴相切.
(1)求圆C的标准方程；
(2)若直线l： 与圆C交于M，N，求 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【答案】(1)
(2)
【分析】（1）圆C经过 两点，且与x轴的正半轴相切，可设圆心 ，即 ，
可得半径．利用勾股定理、弦长公式计算进而得出答案．
（2）求出圆心 到直线l的距离d，即可得出弦长．
【详解】（1）圆C经过 两点，且与x轴的正半轴相切，
设圆心 ，即 ，故半径 ，
则 ，
∴圆C的标准方程为： ．
（2）圆心 到直线l： 的距离 ，
∴弦长 ．
52．已知以点 为圆心的圆与x轴交于点O、A，与y轴交于点O、B，其中O为原点.
(1)求证： 的面积为定值；
(2)设直线 与圆C交于点M、N，若 ，求圆C的方程.
【答案】(1)证明见解析
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】(2)
【分析】（1）确定圆方程，根据方程计算 ， ，再计算面积得到证明.
（2）确定 ， ，根据斜率公式计算得到 ，得到圆方程.
【详解】（1）圆方程为 ，
取 时， ，解得 或 ，即 ；
取 时， ，解得 或 ，即 ；
，得证.
（2） ，故 在 的垂直平分线上，且圆心 在 的垂直平分线上，
故 ， ， ，解得 或 （舍）.
圆方程为
考点10 圆与圆的位置关系
53．已知圆 和两点 ，圆C上若存在点P，使得 ，
则 的最小值为（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【分析】由题意可得 在 为直径的圆上，转化为两圆有公共点求解.
【详解】 ，且存在点P，使得 ，
点 的轨迹为 ，
点 在圆 上，
两圆有公共点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】两圆圆心分别为 ， ，圆心距为5，半径分别为 ，
，解得 ，
故选：D
54．已知圆 的半径为 ，圆心在直线 上．点 ， ．若圆 上存在点 ，使得
，则圆心 的横坐标 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设圆心 ，表示出圆 ，设 ，依题意可得 ，将问题转化为两圆有交点
求出参数的取值范围.
【详解】依题意设圆心 ，则圆 ： ，
设 ，由 ，则 ，
即 ，
依题意即圆 与圆 有交点，则 ，解得 ，
即圆心 的横坐标 的取值范围为 .
故选：B
55．“ ”是“圆 与圆 有公切线”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【分析】由圆的方程可得两圆圆心和半径，由两圆有公切线时圆心距和两圆半径之间的关系可确定结果．
【详解】由已知有，圆 的圆心为 ，半径为 ，
圆 的圆心为 ，半径为1，两圆圆心距 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】当两圆有公切线时，两圆的位置关系为：内切、相交、外切和相离，
此时两圆的半径与圆心之间的距离满足 ，
即 ，又 ，故解得 ，
当 时，两圆的位置关系可能为：内切、相交、外切和相离，此时两圆有公切线，
所以圆 与圆 有公切线的充要条件为 ，
所以“ ”是“两圆有公切线”的既不充分也不必要条件，
故选：D．
56．（多选）已知圆M： ，圆N： ，则下列选项正确的是（ ）
A．直线MN的方程为
B．若P､Q两点分别是圆M和圆N上的动点，则 的最大值为5
C．圆M和圆N的一条公切线长为
D．经过点M､N两点的所有圆中面积最小的圆的面积为
【答案】AD
【分析】根据题意求圆M、N的圆心与半径.对于A：根据两点式方程运算求解；对于B：根据圆的性质分
析求解；对于C：根据切线的性质运算求解；对于D：当 为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆
中面积最小，运算求解即可.
【详解】由题意可知：圆M： 的圆心 ，半径 ，
圆N： ，的圆心 ，半径 ，
对于选项A：直线MN的方程为 ，即 ，故A正确；
对于选项B：因为 ，
所以 的最大值为 ，故B错误；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】对于选项C：因为 ，可知圆M与圆N外切，
如图，直线 为两圆的公切线， 为切点坐标，过A作 ，垂足为 ，
则 为矩形，可得 ，
所以公切线长为 ，故C错误；
对于选项D：当 为直径的圆时，经过点M､N两点的所有圆中面积最小，
此时圆的面积为 ，故D正确；
故选：AD.
57．已知圆 的圆心在直线 上，点 与 都在圆 上，圆 ，则
与 的位置关系是 .
【答案】相交
【分析】利用待定系数法求得圆 的标准方程，求出圆心距 ，与两圆的半径和、差比较即可得出结
论.
【详解】设圆 的标准方程为 ，
因为圆心 在直线 上，且该圆经过 与 两点，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】列方程组 ，解得 ，
即圆 的标准方程为 ，圆心 ，半径 ，
又圆 ，圆心 ，半径 ，
∴ ，又 ， ，而 ，
∴ 与 的位置关系是相交.
故答案为：相交.
考点11 圆的公共弦和公共切线
58．已知圆 与圆 相交于 两点，其中点 是坐标原点，点 分别
是圆 与圆 的圆心，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】求出直线 的方程，继而可求得点 到直线 的距离，根据勾股定理可求得线段 的长度，
在 中，利用余弦定理可求得所求.
【详解】如图所示：
过点 ,作 ,因为 ，则 为线段 的中点，
联立 ，两式相减得 ，
故直线 的方程为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】又 化为 ，故 , ,
则点 到直线 的距离为 ，
则 ,
则 中，
故选：
59．圆 ，圆 ，则两圆的一条公切线方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】由圆与圆位置关系的判断可知两圆外离，得公切线条数；根据两圆半径相同可确定两条公切线过
，两条公切线平行于 ，假设公切线方程，利用圆心到直线距离等于半径可构造方程求得公切线.
【详解】由两圆方程得：圆心 ， ，半径 ，
两圆圆心距 ， ，即两圆外离，公切线共有 条；
两圆半径相同， 两圆两条公切线经过 中点 ，两条公切线与 平行，
经过 中点的公切线斜率显然存在，可设为： ，
，解得： 或 ，即公切线方程为： 或 ；
， 与 平行的公切线方程为 ，即 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】，解得： ，即公切线方程为 或 ；
综上所述：两圆的公切线方程为： 或 或 或 .
故选：C.
60．已知圆 ，圆 ，则下列不是 ， 两圆公切线的直线方
程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】计算两圆的圆心和半径，可得两圆相离，有四条公切线，两圆心坐标关于原点 对称，则有两条
切线过原点 ，另两条切线与直线 平行且相距为1，数形结合可计算四条切线方程，结合选项，即得
解
【详解】由题意，圆 的圆心坐标为 ，半径为
圆 的圆心坐标为 ，半径为
如图所示，两圆相离，有四条公切线.
两圆心坐标关于原点 对称，则有两条切线过原点 ，
设切线 ，则圆心到直线的距离 ，解得 或 ，
当 时，切线方程为 ，A正确；
当 时，切线方程为 ，即 ，B正确；
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】另两条切线与直线 平行且相距为1，又由 ，
设切线 ，则 ，解得 ，
即切线方程分别为 ， ；
整理可得两切线方程为 和 ，
所以C正确，D不正确.
故选：D.
61．已知圆C的方程为 ，直线 ，点P是直线l上的一动点，过P作圆C的两条切
线，切点分别为A，B，当四边形PAOB的面积最小时，直线AB的方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】先判断出四边形PAOB的面积最小时 点的位置，根据圆与圆的交线的求法求得正确答案.
【详解】依题意可知 ，
所以 ，
所以 最小时， 最小，此时 ，
的斜率为 ，所以此时直线 的斜率为 ，也即此时直线 的方程为 ，
由 解得 ，则 ，
以 为圆心，半径为 的圆的方程为 ，
即 ，与 两式相减并化简得： .
故选：A
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】62．（多选）圆 和圆 的交点为 ，则有（ ）
A．公共弦 所在直线方程为
B．线段 中垂线方程为
C．公共弦 的长为
D． 为圆 上一动点，则 到直线 距离的最大值为
【答案】ABD
【分析】直接把两圆的方程作差判断A；利用直线方程的点斜式写出线段 的中垂线方程判断B；求出
公共弦长判断C；由 到 的距离加上 的半径判断D．
【详解】对于A，由 与 ，两式作差可得 ，即 ，
∴公共弦 所在直线方程为 ，故A正确；
对于B，圆 的圆心为 ，
圆 的圆心 ，
的中点坐标 ， ，
∴ 的中垂线的斜率为 ，可得 的中垂线方程为 ，
即 ，故B正确；
对于C，圆心 到直线 的距离 ，半径为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】则 ，故C错误；
对于D， 为圆 上一动点，圆心 到直线 的距离为 ，半径 ，
则 到直线 的距离的最大值为 ，故D正确．
故选：ABD
63．过点 作圆 的两条切线 ，切点分别为A，B，求直线 的方程.
【答案】
【分析】法一：由点 的特殊性，数形结合可得两切点坐标，由两点式方程可得；法二：利用相切性
质，两直角互补，得四边形共圆，将直线 转化为两圆相交弦方程求解即可.
【详解】由 ，得 ，
设圆心为 ，则 ，圆C半径为 ，
已知 ，过点 作圆 的两条切线 ，切点分别为A，B，
法一： 如图可知，两切点分别为
由两点式可得直线方程为 ；
法二：连接 ，则 ，
则四边形 有外接圆，且 为直径，
设 中点为 ， 为圆心，则 ， ，
则圆 半径为 ，方程为： ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】化为一般方程为： ①，
又圆 ： ②，
② ①得， ，化简得 .
故两圆相交弦即 的直线方程为 .
考点12 与圆有关的最值问题
64．已知 ， ，若动点 满足 ，直线 与 轴、 轴分别交于两点
，则 的面积的最小值为（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】D
【分析】由 得 的轨迹为圆心为 ，半径为 的圆，根据点到直线得距离公式求解圆
上点到直线的最小距离，即可根据面积公式求解.
【详解】设 ，由 可得 ，
化简可得 ，故动点 的轨迹为圆心为 ，半径为 的圆，
圆心 到 的距离为 ，
故圆上的点到直线 的最小距离为 ，
由于 ，所以 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】故 的面积的最小值为 ，
故选：D
65．若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足 ，则 的最小值为是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，设 ，由
已知条件应用两点距离公式求P的轨迹方程，进而可得 ，求出 代入 配方法求最值
可得答案.
【详解】以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，
建立平面直角坐标系，则 ， ，
设 ，因为 ，所以 ，
两边平方并整理，得 ，即 ，
所以点P的轨迹是以 为圆心， 为半径的圆，
则 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】因为 ，所以 ，
由 ，得 ，
所以 ，
由此可知 的最小值为 ．
故选：A.
66．（多选）设动直线 交圆 于 ， 两点（点 为圆
心），则下列说法正确的有（ ）
A．直线 过定点 B．当 取得最大值时，
C．当 最小时，其余弦值为 D． 的最大值为24
【答案】ABD
【分析】A选项，将直线方程整理为 ，然后得到 ，解方程即可得到定点；B选
项，根据弦长最大是直径得到 最大时经过圆心，然后列方程求解即可；C选项，根据几何知识得到当
直线 与过点 和 的直线垂直时 最小，然后利用勾股定理和余弦定理求余弦值即可；D选
项，根据外心的结论得到 ，然后求最值即可.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】【详解】对于选项A，由动直线 ，可得： ，由 ，即 ，
即直线 过定点 ，即选项A正确；
对于选项B，当 取得最大值时，直线 过点 ，即 ，即选项B正确；
对于选项C，当 最小时，此时 最小，当 最小时，直线 与过点 和 的直线垂直，
则 ，即 ，由余弦定理可得 ，即选项C错
误；
对于选项D， ，即 的最大值为24，即选项D
正确，
故选：ABD．
67．（ 2023·河南开封·统考三模）已知点M在圆 上，直线 与x轴、y轴的交点分别
A、B，则 的最小值为 .
【答案】
【分析】求出 ， ，设 ，根据 得到 ，得到 ，故
.
【详解】 中，令 得 ，令 得 ，
故 ， ．
其中 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】设 ，点M在圆上运动时，始终有 ，
设 ，则有 ，
又有 ，可得 ，
即 ，所以 ，故 ，
∴ ．
故答案为：
68．已知圆 ，直线 .
(1)求证：直线l与圆C恒有两个交点；
(2)若直线l与圆C交于点A，B，求 面积的最大值，并求此时直线l的方程.
【答案】(1)证明见解析
(2)面积最大值为 ， 或 .
【分析】（1）先证明直线过定点，再说明定点在圆内即可；
（2）注意到 ，所以当 时，可以求出 面积的最大值，注意验
证取等条件，进一步由点到直线的距离公式可以求出参数 ，由此即可得解.
【详解】（1）因为直线 可变形为 ，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】所以 ，解得 ，
故直线经过的定点为 .
将点 代入圆的方程有 ，
所以点 在圆C的内部，所以直线l与圆C恒有两交点.
（2）由（1）知 ，因为 ，
所以当 时， 面积最大，
此时 为等腰直角三角形， 面积最大值为 ，其中 为圆的半径.
此时点C到直线l的距离， ，
所以 可以取到 ，
所以 ，解得 或 .
故所求直线l的方程为 或 .
69．已知圆C过点 ， ，且圆心C在直线 上.
(1)求圆C的方程；
(2)若点P在圆C上，点 ，M为AP的中点，O为坐标原点，求 的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆 的方程为： ，将 、 ，两点坐标代入圆的一般方程，将圆心
代入， 得出关于 的方程组，解出这三个未知数的值，可得出圆 的一般方
程.
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】（2）设 ， ，计算出点 的轨迹方程，得到其轨迹方程为 ，分析出OM与
圆 相切时 最大，计算即可得到答案.
【详解】（1）设圆 的方程为： ，
则有 ，解得 ．
∴圆 的方程为： ．
（2）由（1）知圆 ，
设 ， ，
则 ，所以
又P在圆 上，
所以 ，
所以 ，
即M的轨迹方程为 .
数形结合易知，当OM与圆 相切时， 取最大值，
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】此时 ，
.
所以 的最大值为 .
资料整理【淘宝店铺：向阳百分百】
