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考点巩固卷 20 抛物线方程及其性质(六大考点)
考点01：抛物线的定义与方程
1．设抛物线 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点， ， ，则l的
斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
2．设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点， ，
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
3．若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的2倍．则 （ ）A． B．1 C． D．2
4．已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点， ，则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
5．已知点 为平面内一动点，设甲： 的运动轨迹为抛物线，乙： 到平面内一定点的距离与到平面内一
定直线的距离相等，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
6．已知点 在焦点为 的抛物线 上，若 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
7．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为 的直线与直线 交于点A，点M在抛物线上，且
满足|MA|=|MF|，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
8．点F抛物线 的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
9．已知抛物线 上一点 到准线的距离为 ，到直线 的距离为 ，则 的最
小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知点 为抛物线 上一点，且点 到抛物线的焦点 的距离为3，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
考点02：与抛物线有关距离的最值问题
11．已知抛物线方程为: ，焦点为 .圆的方程为 ，设 为抛物线上的点， 为圆上的一点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
12．已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 两点， 是 的中点，点
是 上一点，若点 的纵坐标为1，直线 ，则 到 的准线的距离与 到 的距离之和的
最小值为（ ）
A． B． C． D．
13．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 ，点 ，若点
分别在 上运动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
14．已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线上任意一点，当 取最小值时，
点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
15．已知点 ，点 是抛物线 上任一点， 为抛物线 的焦点，则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
16．在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足线段PE的中点在曲线
上，则 的最小值为（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
17．已知点 分别是抛物线 和直线 上的动点，若抛物线 的焦点为 ，则
的最小值为（ ）
A．3 B． C． D．4
18．设 为抛物线C： 上的动点， 关于 的对称点为 ，记 到直线 、 的距离
分别 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
19．已知点 ，抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点，当 运动到 时，
，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
20．已知抛物线 的焦点为 ， ，点 是抛物线 上一动点，则 的最小值是
（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
考点03：抛物线的焦点弦问题
21．已知抛物线C： 的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦 与弦 的交点
恰好为F，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
22．设O为坐标原点，直线 过抛物线 （ ）的焦点，且与 交于 两点，
为 的准线，则（ ）A． B．
C． 的面积为 D．以 为直径的圆与l有两个交点
23．已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，倾斜角为 的直线 过点 且与 交于 ， 两
点，若 的面积为 ，则（ ）
A．
B．
C．以 为直径的圆与 轴仅有1个交点
D． 或
24．已知抛物线 ，过动点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线 相切于点 ，则 面
积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
25．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 且斜率为 的直线与 交于 两点，
为 的中点，且 于点 的垂直平分线交 轴于点 ，四边形 的面积为 ，
（ ）
A． B． C． D．
26．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，直线 过其焦点 且与 交于 两点，
若直线 的斜率为 ，则 （ ）A． B． C． D．
27．在平面直角坐标系 中，已知过点 的抛物线 的焦点为 ，过点 作两条
相互垂直的直线 ， ，直线 与 相交于 ， 两点，直线 与 相交于 ， 两点，则 的
最小值为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．12
28．双曲线 和抛物线 （ ）的公共焦点为 ，过点 的直线交抛物线于 ， 两点，
若 中点的横坐标为6，则 （ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
29．设抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，则 的最小值为
（ ）
A．1 B． C． D．
30．设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线在第一象限交于点 ，与 轴交于点 ，
若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
考点04：抛物线的简单几何性质
31．点 在抛物线 上，若点 到点 的距离为6，则点 到 轴的距离为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
32． 是抛物线 的焦点，以 为端点的射线与抛物线相交于 ，与抛物线的准线相交于 ，若，则
3
A． B． C． D．
2
33．已知双曲线 的右焦点 是抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点，且它们的公共
2
弦过点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
34．过抛物线C： 的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，过线段AB的中
点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若 ，则l的斜率为（ ）
A．2 B． C．1 D．
35．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点， ，垂足为 ， 与
轴交点为 ，若 ，且 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
36．已知点 是抛物线 的焦点，过点 作两条互相垂直的直线分别与拋物线交于点
和 ，且 ，则四边形 面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
37．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点（点 在第一象限）．若 ，则
（ ）A．2 B．3 C．4 D．5
38．已知抛物线C： ，圆C′： ，若C与C′交于MN两点，圆C′与x轴的
负半轴交于点P．现有如下说法：
①若 PMN为直角三角形，则圆C′的面积为 ；
△
② ；③直线PM与抛物线C相切．
则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
39．已知双曲线 的离心率为2，抛物线 的焦点为 ，过 过直线 交抛物线
于 两点，若 与双曲线的一条渐近线平行，则 （ ）
A．16 B． C．8 D．
40．已知点 在抛物线 的准线上，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 两
点.若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
考点05：抛物线的中点弦问题
41．过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 两点，已知 ，线段 的垂直平分线交
轴于点 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
42．已知抛物线C： 的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点 （ ），则当 取最大值时， （ ）
A．2 B． C．3 D．
43．已知抛物线 ，过点 的直线 与 相交于A，B两点，且 为弦AB的中点，则直线
的斜率为（ ）
A． B． C． D．−2
44．已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
45．已知直线 恒过抛物线C： 的焦点F，且与C交于点A，B，过线段
AB的中点D作直线 的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜率分别为 ， ， ，则 的
取值范围是（ ）
A． B． C． D．
46．若抛物线 上两点 ， 关于直线 对称，且 ，则 中点坐标为
（ ）
A． B． C． D．
47．已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，若 ，则直线l
的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
48．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 、 两点，线段 的中点为 ，则直
线 的斜率的最大值为（ ）A． B． C． D．
49．如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，B两点，线段
AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形 的面积等于8，则E的方
程为（ ）
A． B． C． D．
50．若斜率为 （ ）的直线 l 与抛物线 和圆M： 分别交于A，B和C，D．且
，则当 面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
考点06：直线与抛物线的综合问题
51．抛物线 的图象经过点 ，焦点为 ，过点 且倾斜角为 的直线 与抛物线
交于点 ， ，如图．
(1)求抛物线 的标准方程；(2)当 时，求弦|AB|的长；
(3)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ．证明：直线 过定点．
52．设 ， 为曲线 上两点， 与 的横坐标之和为4.
(1)若 与 的纵坐标之和为4，求直线 的方程.
(2)证明：线段 的垂直平分线过定点.
53．已知抛物线C： （ ）的焦点为F，过点 且斜率为1的直线经过点F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得当直线AB经过点
M时，满足 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
54．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点， .
(1)求E的方程；
(2)直线 ，过l上一点P作E的两条切线 ，切点分别为M，N.求证：直线 过定点，并求
出该定点坐标.
55．已知动圆 过点(0,1)，且与直线 相切于点 ，设动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作曲线的两条切线 分别与曲线 相切于点 ，与 轴分别交于 两点.记 ，
， 的面积分别为 、 、 ．
（i）证明：四边形 为平行四边形；
（ii）证明： 成等比数列.
56．在平面直角坐标系 中，顶点在原点 的抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若抛物线 不经过第二象限，且经过点 的直线 交抛物线 于 ， ，两点（ ），过
作 轴的垂线交线段 于点 .①当 经过抛物线 的焦点 时，求直线 的方程；
②求点A到直线 的距离的最大值.
57．如图所示，抛物线 的准线过点 ，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两点，作线段
的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.
58．已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分别过A、B两点
作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物线E交于M、N两点，直线DF
与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
59．已知平面内一动圆过点 ，且在 轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设点 是圆 上的动点，曲线 上有四个点 ，其中 是 的中点， 是的中点，记 的中点为 .
①求直线 的斜率：
②求 面积的最大值.
60．已知抛物线 ，其焦点为 ，点 在抛物线C上，且 ．
(1)求抛物线 的方程；
(2) 为坐标原点， 为抛物线上不同的两点，且 ，
（i）求证直线 过定点；
（ii）求 与 面积之和的最小值．
