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考点巩固卷 17 空间中的平行与垂直（八大考点）
考点01 判断平行，垂直的有关命题
1．已知 是两条不重合的直线， 是两个不重合的平面，下列结论正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
2．直线a，b互相平行的一个充分条件是（ ）
A．a，b都平行于同一个平面 B．a，b与同一个平面所成角相等
C．a，b都垂直于同一个平面 D．a平行于b所在平面
学科网（北京）股份有限公司 13．已知平面 ，直线 ，若 且 ，则“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知 是两条不同的直线， ， 是两个不重合的平面，则有下列命题
① ， ， ；
② ， ， ；
③ ， ， ；
④ ， .
其中正确命题的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面，则下列结论中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
6．若直线 不平行于平面 ，且 ，则下列结论成立的是（ ）
A． 内不存在与 异面的直线 B． 内存在与 平行的直线
C． 内存在唯一一条直线与 相交 D． 内存在与 垂直的直线
考点02 平行的判定定理
7．下列正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，P分别为其所在棱的中点，则能满足 平面
MNP的是（ ）
A． B．
学科网（北京）股份有限公司 2C． D．
8．如图，在直三棱柱 中，D，F分别是 的中点．
(1)若E为CD的中点，O为侧面 的中心，证明： 平面 ；
(2)若 ，侧面 为菱形，求三棱锥 的体积．
9．在直三棱柱 中， 是 的中点．
(1)求证： //平面 ；
学科网（北京）股份有限公司 3(2)求三棱锥 的体积；
10．如图，在直三棱柱 中， ， ， .
(1)求三棱柱 的侧面积；
(2)设 为 的中点，求证： 平面 .
11．如图，在几何体 中，已知四边形 是正方形， ，
分别为 的中点， 为 上靠近点 的四等分点.
学科网（北京）股份有限公司 4(1)证明： //平面 ；
(2)证明：平面 //平面 .
12．如图：在正方体 中， 为 的中点.
(1)试判断直线 与平面 的位置关系，并说明理由；
(2)若 为 的中点，求证：平面 平面 .
考点03 补全平行的条件
13．如图，在四棱锥 中， 底面 ，底面 是矩形， .
学科网（北京）股份有限公司 5(1)求点 到平面 的距离.
(2)若 是 的中点， 是 上靠近点 的三等分点，棱 上是否存在一点 使 平面 ？证明
你的结论并求 的长.
14．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形， ，点 为线段 上
的点，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ，且在线段 上存在一点 ，使得 平面 .请确定点 的位置.并证明你的结论.
15．如图 平面 ， 是矩形， ， ，点 是 的中点，点 是 边上的
学科网（北京）股份有限公司 6任意一点．当 是 的中点时，线段 上是否存在点 ，使得平面 平面 ，若存在指出点
位置并证明，若不存在说明理由．
16．如图：在正方体 中，M为 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)在线段 上是否存在一点N，使得平面 平面 ，说明理由.
17．如图，ABCD为直角梯形，∠C＝∠CDA＝90°， ，P为平面ABCD外一点，且
PB⊥BD．
学科网（北京）股份有限公司 7(1)求证：PA⊥BD；
(2)若PC与CD不垂直，求证：PA≠PD；
(3)若直线l过点P，且直线l∥直线BC，试在直线l上找一点E，使得直线PC∥平面EBD．
18．如图1，已知菱形 的对角线 交于点 ，四边形 是平行四边形.将三角形 沿
线段 折起到 的位置，如图2所示.
(1)求证： ；
(2)在线段 上是否分别存在点 ，使得平面 平面 ？若存在，请指出点 的位
置，并证明；若不存在，请说明理由.
考点04 平行的性质定理
19．设 是两条直线， 是两个平面，若 ， ，则下列说法一定正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 8A． B．
C． 是两条异面直线 D．
20．如图， 是棱长为1正方体 的棱 上的一点，且 平面 ，则 与 的
位置关系为_____；线段 的长度为_____.
21．如图，空间几何体 中，四边形 是矩形， 平面 ，平面 平面 ．
(1)求证： ；
(2)求证： ．
22．在四棱锥 中， 平面 ，点 分别为
的中点．
学科网（北京）股份有限公司 9(1)求证： 平面 ；
(2)过点 的平面交 于点 ，求 的值．
23．在平面四边形 中（如图1）， ， ， ，E是AB中点，现将△ADE沿
DE翻折得到四棱锥 （如图2），
(1)求证：平面 平面 ；
(2)图2中，若F是 中点，试探究在平面 内是否存在无数多个点 ，都有直线 平面 ，若
存在，请证明．
学科网（北京）股份有限公司 1024．如图，在四棱锥 中，底面ABCD为平行四边形，M为PA的中点，E是PC靠近C的一个三
等分点．
(1)若N是PD上的点， 平面ABCD，判断MN与BC的位置关系，并加以证明．
(2)在PB上是否存在一点Q，使 平面BDE成立？若存在，请予以证明，若不存在，说明理由．
考点05 垂直的判定定理
25．如图，在直三棱柱 中， ， ， 分别是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： .
学科网（北京）股份有限公司 1126．如图， 中， ， 是正方形，平面 平面 ，若 、 分别是 、
的中点．
(1)求证： ∥平面 ;
(2)求证：平面 平面 ．
27．如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上， .
(1)证明： 平面 ；
(2)若 ， ，求四棱锥 的体积.
学科网（北京）股份有限公司 1228．如图， 中， ，四边形 是正方形，平面 平面 ，若G，F分别
是 ， 的中点.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 .
29．如图， 是棱长为4的正方体，E是 的中点.
(1)证明： ;
(2)求三棱锥 的体积.
学科网（北京）股份有限公司 1330．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面ABCD， ，点M是SD的中点，
且交SC于点N.
(1)求证： 平面ACM；
(2)求证： ；
(3)求证：平面 平面AMN.
考点06 补全垂直的条件
31．已知平面 ， 和直线 ，给出以下条件：① ；② ；③ ；④ .要想得到 ，
则所需要的条件是_____．（填序号）
32．在四棱锥 中， 是等边三角形，且平面 平面 ， ，
．
学科网（北京）股份有限公司 14(1).在AD上是否存在一点M，使得平面 平面 ，若存在，请证明；若不存在，请说明理由；
(2).若 的面积为 ，求三棱锥 的体积．
33．如图，在正方体 中， 分别是棱 的中点.
(1)求证： ；
(2)若点 分别在 上，且 .求证： ；
(3)棱 上是否存在点 ，使平面 平面 ？若存在，确定点P的位置，若不存在，说明理由.
学科网（北京）股份有限公司 1534．如图所示，正四棱锥 中， 为底面正方形的中心，已知侧面 与底面 所成的二面
角的大小为 ， 是 的中点.
(1)请在棱 与 上各找一点 和 ，使平面 平面 ，作出图形并说明理由；
(2)求异面直线 与 所成角的正切值；
(3)问在棱 上是否存在一点 ，使 侧面 ，若存在，试确定点 的位置；若不存在，说明理由．
35．如图，已知四棱锥 的底面 为等腰梯形， ， 与 相交于点
O，且顶点P在底面上的射影恰为O点．又 ．
(1)求异面直线 与 所成角的余弦值；
(2)求二面角 的大小；
(3)设点M在棱 上，且 ，问 为何值时， 平面 ．
学科网（北京）股份有限公司 1636．如图，在四棱锥A－BCDE中，四边形BCDE为菱形， ， ，AE＝AC，点G是棱
AB上靠近点B的三等分点，点F是AC的中点．
(1)证明： ∥平面CEG．
(2)点H为线段BD上一点，设 ，若AH⊥平面CEG，试确定t的值．
考点07 垂直的性质定理
37．如图，四边形 是边长为2的正方形， 平面 ，且 为 的中
点．
(1)求证： ；
(2)设平面 平面 与直线 所成的角为 ，求 ．
学科网（北京）股份有限公司 1738．如图， 和 都垂直于平面 ，且 ， 是 的中点
(1)证明：直线 //平面 ；
(2)若平面 平面 ，证明：直线 平面 .
39．如图，在六面体 中， ，平面 菱形ABCD. 证明：
(1)B， ， ，D四点共面；
(2) .
学科网（北京）股份有限公司 1840．如图，已知在三棱锥 中， ，点 分别为棱 的中点，且平面 平面
.
(1)求证： 平面 ；
(2)求证： .
41．如图，在三棱柱 中， ， 分别为棱BC， 的中点.
(1)求证: ∥平面 ；
(2)若平面 平面 ， ， ，点 满足 ，且 ，求实数 的值.
学科网（北京）股份有限公司 1942．如图，四棱锥 的底面为梯形， ， ， 底面 ，平面 平面
，点 在棱 上，且 .
(1)证明： 平面 ；
(2)证明： .
考点08 平行，垂直的综合应用
43．下列命题正确的是（ ）
（1）已知平面 和直线m，n，若 ， ，则 ；
（2）已知平面 ， 和直线m，n，且m，n为异面直线， ， ．若直线 满足 ， ，
， ，则 与 相交，且交线平行于 ；
（3）已知平面 ， 和直线m，n，若 ， ， ， ，则 ；
（4）在三棱锥 中， ， ， ，垂足都为P，则P在底面上的射影是三角
形 的垂心
A．（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
A B C D
44．（多选）在正方体 中，点 为棱 的中点，点 是正方形 1 1 1 1内一动点（含边
界），则下列说法中不正确的是（ ）
学科网（北京）股份有限公司 20A．
B．存在点 使得 平面
C．存在点 使得 平面
D．平面 截正方体所得的两部分体积比为7：17（或17：7）
45．（多选）如图，正方体 中，M，N，Q分别是AD， ， 的中点，
，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则 平面MPN
B．若 ，则 平面MPN
C．若 平面MPQ，则
D．若 ，则平面MPN截正方体所得的截面是五边形
46．如图，在四棱锥 中， 平面 ，正方形 的边长为2，E是PA的中点．
学科网（北京）股份有限公司 21(1)求证： 平面 ；
(2)若 ，线段PC上是否存在一点F，使 平面 ？若存在，求出PF的长度；若不存在，请说
明理由．（用坐标法解答不给分）
47．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 平面 ， 是棱 上
的动点（不与 重合）， 交平面 于点 .
(1)求证： 平面 ；
(2)求证：平面 平面 ；
(3)若 是 的中点，平面 将四棱锥 分成五面体 和五面体 ，记它们的体积
分别为 ，直接写出 的值.
48．如图所示，在多面体 中，四边形 是正方形， 是等边三角形， ，且
， ， 分别是 ， 的中点.
学科网（北京）股份有限公司 22(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 平面 ，求四棱锥 的体积.
学科网（北京）股份有限公司 23
