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参考答案
一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的．
1. C 2. D 3. A. 4. B 5. B 6. B. 7. D. 8. A
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目的要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9. BD 10. ACD. 11. ABD
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12. . 13. ． 14.
四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤.
15. （1）[方法一]：正余弦定理综合法
由余弦定理得 ，所以 .
由正弦定理得 .
[方法二]【最优解】：几何法
过点A作 ，垂足 为E．在 中，由 ，可得 ，又 ，所
以 ．
在 中， ，因此 ．
（2）[方法一]：两角和的正弦公式法
由于 ， ，所以 .
由于 ，所以 ，所以 .
所以
.
由于 ，所以 .
所以 .
[方法二]几何法+两角差的正切公式法
在（1）的方法二的图中，由 ，可得
，从而 ．又由（1）可得 ，所以
．
[方法三]：几何法+正弦定理法
在（1）的方法二中可得 ．
在 中， ，
所以 ．
在 中，由正弦定理可得 ，
由此可得 ．
[方法四]：构造直角三角形法
如图，作 ，垂足为E，作 ，垂足为点G．
在（1）的方法二中可得 ．
由 ，可得 ．
在 中， ．
由（1）知 ，所以在 中， ，
从而 ．
在 中， ．
所以 ．
16. （1）连接 ,
由三棱台 中， 是 的中点可得 ,所以四边形 为平行四边形，故 ,
平面 , 平面 ,故 平面 ,
又 平面 ，且 平面 ， ，
所以平面 平面 ，又平面 平面 ,
平面 平面 ,故 ,
由于 是 的中点,故 是 的中点，
故点 在边 的中点处， 平面 ;
（2）因为 平面 ， 平面 ,
所以 ,又 平面 ,
故 平面 ,由于 平面 ,所以 ,
由（1）知： 在边 的中点， 是 的中点,
所以 ,进而 ，
连接 ,由
所以四边形 为平行四边形，
故 ,由于 平面 ，因此 平面 ，
故 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系；设 ，
则 ，
故 ，
设平面 的法向量为 ，
则 ，取 ，则 ，
又 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 的最大值为 .
17. （1）由题意，当P点在长轴端点时，取 ，则
①，当P点在短轴端点时，取 ，则 ②，
由②得 ，故 代入①，可得 ， ，
故椭圆E的标准方程为 .
（2）
如图1，若四边形 为平行四边形，又 ，则 ，即 为矩形，
设 ，则 ，又 ，则 ，
于是 ，故平行四边形 的面积为
.
（3）
如图2，设 ，则 ，且 ，
因 且 ，故 ，则 ；
因 ，则 因 ，故 ，则 .
由 联立解得： ，
因点Q在椭圆E上，则得 ，将 代入化简得： ，
解得 ， ，即点P坐标为 .
18. （1） ，，
，
切线平行于直线 ： ，
，解得： ；
（2） ，
，
当 时，显然 ，故 在 上单调递增；
令 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递增，
由于 ，故当 时， ，
，故 在 上单调递增；
故 在 上单调递增；
当 时，令 ， ，
当 时， ，故 在 上单调递减，
由于 ，故当 时， ，
，故 在 上单调递增；
故函数 的单调递增区间为： ， ，无单调递减区间；
（3）当 时，需要证明： ，恒有 成立，
即 ，
化简得： ，
即证： ，
当 时， ，又 ，
，
当 时，记 ，则 ，
记 ，则 ，
， ，
所以当 ， 单调递增，所以 ，
所以 在 单调递增，所以 ，
综上：对任意 ，恒有 成立．
19. （1）由题意，当 时， ， ，或 ，
或 ，
， ，
①若 ，则 或 ；
②若 ，则 或 ；
综上所述，满足条件的 可能为 ；
（2）先证当正整数 时， 是以2为首项，2为公差的等差数列，且 ，
①由（1）得， 或 ，又 ， ，
当 时， 是以2为首项，2为公差的等差数列，且 ；
②假设当 （ 且 ）时，
是以2为首项，2为公差的等差数列，且 ，
若 ，则 ，
由题意，则必有 ，使得 ， ，
是以2为首项，2为公差的等差数列，
，与 矛盾，
，
当 时， 是以2为首项，2为公差的等差数列，且 ；
由①②得，当正整数 时， 是以2为首项，2为公差的等差数列，且 ，
数列 为等差数列；
（3）设 （ 且 ），则必有 ，使得 ，此时 ，
要使 最小，则需 ，且 ，且 ，
此时取 ，则满足 ，
当 正 整 数 取 最 小 值 时 ， ， ， … ，
，
， ， 的最小值为3035．
