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考点巩固卷 18 空间向量与立体几何(九大考点)
考点01 空间向量及其运算
1．已知三棱锥 ，点M，N分别为 ， 的中点，且 ， ， ，用 ， ，
表示 ，则 等于（ ）
A． B．C． D．
2．已知空间向量 ，且 ，则 与 的夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
3．设空间向量 ， ，若 ，则 _____．
4．在长方体 中，设 ， ，则 _____．
5．如图，在棱长为 的正四面体 中， 分别为棱 的中点，则 _____．
6．已知向量 ，若 ，则 _____．
考点02空间共面向量定理
7．已知点 ， ， ， 分别位于四面体的四个侧面内，点 是空间任意一点，则“
”是“ ， ， ， 四点共面”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
8．已知 ，若 三向量共面，
则实数 等于（ ）
A．1 B．2
C．3 D．4
9．（多选）在下列条件中，使M与A，B，C不一定共面的是（ ）
A． B．C． D．
10．设 ， ， 是三个不共面的向量，现在从① ；② ；③ ；④ ；⑤ 中选出可
以与 ， 构成空间的一个基底的向量，则所有可以选择的向量为_____（填序号）.
11．如图，从 所在平面外一点O作向量 .求证：
(1) 四点共面；
(2)平面 平面 .
12．如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分
别为 ， ， ， 的重心．求证：E，F，G，H四点共面．考点03求平面的法向量
13．已知向量 ，平面α的一个法向量 ，若 ，则（ ）
A． B．
C． D．
14．已如点 ， ， 者在平面 内，则平面 的一个法向量的坐标可以是（ ）
A． B． C． D．
15．（多选）已知平面 与平面 平行，若 是平面 的一个法向量，则平面 的法向量可能为
（ ）
A． B． C． D．
16．（多选）已知平面 内两向量 ，且 ，若 为平面 的一个
法向量，则（ ）
A． B．
C． D．
17．在正方体 中，棱长为2，G，E，F分别为 ，AB，BC的中点，求平面GEF的一个
法向量．
考点04 利用空间向量证明平行，垂直18．如图所示，在正方体 中，E是棱DD 的中点，点F在棱C D 上，且 ，若
1 1 1
∥平面 ，则 （ ）
A． B． C． D．
19．如图，正三棱柱 中， 分别是棱 上的点， .
证明：平面 平面 .
20．如图所示，已知矩形 和矩形 所在的平面互相垂直，点 ， 分别在对角线 ， 上，
且 ， ．求证： .21．如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，平面 平面 ， ， ，
， ， 分别是 ， 的中点. 求证： 平面 .
22．如图，在三棱柱 中， 平面 ，D，E分别为棱AB， 的中点， ，
， .证明： 平面 .23．如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， 底面 ，E是 的中点，已知
， ．
(1)求证： ；
(2)求证：平面 平面 ．
考点05 求空间角
24．如图，在棱锥 中， ， ， 两两垂直， ， ， ，则直线 与平面
所成角的正弦值为（ ）A． B． C． D．
25．如图，在几何体中， ， ， ， ， ，
平面 ，则直线 与平面 所成角的正弦值为_____.
26．如图，在四棱锥 中， ， ， ，E为PC的中点.
(1)求证： 平面PAD；
(2)若 ，平面 平面ABCD，求二面角 的余弦值.27．如图，在长方体 中，点 ， 分别在棱 上，且 ， ．
(1)证明： ；
(2)若 ， ， ，求平面 与平面 夹角的余弦值．
28．如图，正三棱柱 中， ， ， ， ， .
(1)试用 ， ， 表示 ；
(2)求异面直线 与 所成角的余弦值.29．如图，等腰直角 ， ， ， 、 分别为 、 中点，将 沿 翻折成
，得到四棱锥 ， 为 中点.
(1)证明： 平面 ；
(2)若直线 与平面 成角为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
考点06 已知夹角求其他量
30．如图，在四棱锥 中，已知 平面 ，且四边形 为直角梯形，
， ， .点 是线段 上的动点，当直线 与 所成的角最
小时，则线段 的长为_____31．如图，在长方体 中， 为线段 上的动点，当直线 与平面
所成角的正弦值取最大值时， _____.
32．正四棱柱 中， 与平面 所成角的正弦值为 ，则异面直线 与 所成
角的余弦值为_____．
33．如图，平行六面体 中，底面ABCD和侧面BCC B 都是矩形，E是CD的中点，
1 1
DE⊥CD，AB＝2BC＝2，且平面BCC B 与平面DEB的夹角的余弦值为 ，则线段DE的长度为_____．
1 1 1 1 1
34．如图，在直三棱柱 中， ， ， 为 上一点．若二面角
的大小为 ，则 的长为_____．35．三棱锥 中， ， ，记二面角 的大小为 ，当
时，直线 与 所成角的余弦值的取值范围是_____.
考点07 求异面直线，点到面或者面到面的距离
36．如图，已知正方体ABCD﹣ABC D 的棱长为2，点P为线段BC 上的动点，则点P到直线AC的距离
1 1 1 1 1
的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
37．（多选）如图，正方体 的棱长为2， 为线段 中点， 为线段 中点，则
（ ）
A．点 到直线 的距离为 B．直线 到直线 的距离为2
C．点 到平面 的距离为 D．直线 到平面 的距离为
38．（多选）如图，在棱长为1正方体 中， 为 的中点， 为 与 的交点，
为 与 的交点，则下列说法正确的是（ ）A． 与 垂直
B． 是异面直线 与 的公垂线段，
C．异面直线 与 所成的角为
D．异面直线 与 间的距离为
39．如图，在三棱柱 中，底面 为正三角形，且侧棱 底面 ，底面边长与侧棱长
都等于2， ， 分别为 ， 的中点，则平面 与平面 之间的距离为_____．
40．已知在边长为6的正方体 中，点 分别为线段 和 上的动点，当
_____时，线段 取得最小值_____.
41．如图，在棱长为1的正方体 中， 为线段 的中点，F为线段 的中点．(1)求直线 \到直线 的距离；
(2)求直线 到平面 的距离．
考点08 求点到线的距离
42．如图， 是棱长为 的正方体，若 在正方体内部且满足 ，则
到 的距离为（ ）
A． B．
C． D．
43．（多选）已知正方体 的棱长为1，点 分别是 的中点， 在正方体内部且满足 ，则下列说法正确的是（ ）
A．点 到直线 的距离是 B．点 到平面 的距离为
C．点 到直线 的距离为 D．平面 与平面 间的距离为
44．如图，在四棱锥 中， 平面 ，底面 为正方形，且 ， 为棱
的中点，点 在 上，且 ，则 的中点 到直线 的距离是_____．
45．如图，该几何体是由等高的半个圆柱和 个圆柱拼接而成，点 为弧 的中点，且 ， ， ，
四点共面.
(1)证明：平面 平面 ；
(2)若平面 与平面 所成二面角的余弦值为 ，且线段 长度为2，求点 到直线 的距离.考点09点的存在性问题
46．如图，长方体 中，点E，F分别是棱 ， 上的动点（异于所在棱的端点）.给出
以下结论：①在F运动的过程中，直线 能与AE平行；②直线 与EF必然异面；③设直线AE，AF
A B C D
分别与平面
1 1 1 1
相交于点P，Q，则点 可能在直线PQ上.其中所有正确结论的序号是（ ）
A．①② B．①③ C．②③ D．①②③
47．图①是直角梯形 ， ， ，四边形 是边长为 的菱形，并且 ，
以 为折痕将 折起，使点 到达 的位置，且 .
(1)求证：平面 平面 ；
(2)在棱 上是否存在点 ，使得点 到平面 的距离为 ？若存在，求出直线 与平面 所
成角的正弦值；若不存在，请说明理由.48．已知正四棱台 的体积为 ，其中 .
(1)求侧棱 与底面 所成的角；
(2)在线段 上是否存在一点P，使得 ？若存在请确定点 的位置；若不存在，请说明理由.
49．如图，在三棱台 中，若 平面 ， ， ， ，
为 中点， 为棱 上一动点（不包含端点）．
(1)若 为 的中点，求证： 平面 ；
(2)是否存在点 ，使得平面 与平面 所成角的余弦值为 ？若存在，求出 长度；若不存在，请说明理由．
50．如图在四棱锥 中，侧面 底面 ，侧棱 ，底面 为直角梯形，
其中 ， ， ， 为 的中点．
(1)求二面角 的正弦值；
(2)线段 上是否存在 ，使得它到平面 的距离为 ? 若存在，求出 的值；若不存在，说明理
由．
51．如图1所示，在四边形 中， ， 为 上一点， ， ，
将四边形 沿 折起，使得 ，得到如图2所示的四棱锥．(1)若平面 平面 ，证明： ；
(2)点 是棱 上一动点，且直线 与平面 所成角的正弦值为 ，求 ．
