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考点巩固卷 20 抛物线方程及其性质(六大考点)
考点01：抛物线的定义与方程
已知抛物线 y2 =2px(p>0) ， AB 是抛物线的焦点弦， 点 C 是 AB 的中点.A A'
垂直准线于A' ，BB' 垂直准线于B' ，CC' 垂直准线于C' ，CC' 交抛物线于点M，准
线交 x 轴于点 K . 求证：p p
|AF|=x + |BF|=x +
结论1： 1 2 ， 2 2
1 1
|CC' |= |AB|= (|A A' |+|BB' |)
2 2
结论2：
结论3：以 AB 为直径的圆与准线L相切；
证明：
CC' 是梯形AA'BB'
的中位线，
|AB|=|AF|+|BF|=|A A' |+|BB' |=2|CC' |=2r
结论4：∠AC'B=900
；
结论5：∠A'FB' =900
；
1．设抛物线 的焦点为F，直线l与C交于A，B两点， ，
，则l的斜率是（ ）
A．±1 B． C． D．±2
【答案】D
【分析】根据抛物线的定义得到如图的抛物线，得到 ，可求得 ，
做 在直角三角形 中，可求得 ，结合斜率的定义进行求解即可
【详解】下图所示为l的斜率大于0的情况．
试卷第2页，共59页如图，设点A，B在C的准线上的射影分别为 ， ， ，垂足为H．
设 ， ，则 ．
而 ，所以 ，
l的斜率为 ．同理，l的斜率小于0时，其斜率为 ．
另一种可能的情形是l经过坐标原点O，可知一交点为 ，则 ，
可求得 ，可求得l斜率为 ，
同理，l的斜率小于0时，其斜率为 ．
故选：D
2．设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于 ，
两点， ， ，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．22
【答案】B
【分析】设直线 的方程为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，联立 ，利用韦
1 1 2 2
达定理和抛物线的定义即可求解.
【详解】设抛物线 ： 的焦点为 ，过点 的直线与抛物线 相交于
， 两点，
设直线 的方程为 ，A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 ，可得 ，所以 ， ，
则 ．因为 ， ，所以 ， ，则 ，解得 或 ．因为 ，所以 ．
故选：B
3．若抛物线 上一点 到焦点的距离是该点到 轴距离的2倍．则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】D
【分析】根据抛物线的方程，结合抛物线的标准方程，得到抛物线的焦点和准线，利用抛
物线的定义，得到抛物线上的点 到焦点的距离，根据题意得到关于 的方程，求解
即可．
【详解】已知拋物线的方程为 ，可得 ．
所以焦点为 ，准线为 ： ．
抛物线上一点A(x ,y )到焦点F的距离等于到准线 的距离，
0 0
即 ，
又∵A到x轴的距离为 ，
由已知得 ，解得 ．
故选：D．
4．已知抛物线 的焦点为 是抛物线 上的一点， 为坐标原点， ，
则 （ ）
A．4 B．6 C．8 D．10
【答案】B
试卷第4页，共59页【分析】求出抛物线焦点和准线方程，设 ，结合 与抛物线方程，
得到 ，由焦半径公式得到答案.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ，
设 ，则 ，解得 或 （舍去），
则 ．
故选：B．
5．已知点 为平面内一动点，设甲： 的运动轨迹为抛物线，乙： 到平面内一定点的距
离与到平面内一定直线的距离相等，则（ ）
A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件
C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条
件
【答案】A
【分析】根据已知条件，结合充分条件、必要条件的定义，即可求解．
【详解】解：当直线经过定点时，点的轨迹是过定点且垂直于该直线的另一条直线，
当直线不经过该定点时，点的轨迹为抛物线，
故甲是乙的充分条件但不是必要条件．
故选：A．
6．已知点 在焦点为 的抛物线 上，若 ，则 （ ）
A．3 B．6 C．9 D．12
【答案】A
【分析】由抛物线的定义列方程可得.
【详解】抛物线 ，准线 ， ,
由抛物线的定义可知 ，解得 .
故选：A.7．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为 的直线与直线 交于点A，点M
在抛物线上，且满足|MA|=|MF|，则 （ ）
A．1 B． C．2 D．
【答案】C
【分析】由题意先求出过F且斜率为 的直线方程，进而可求出点 ，接着结合点M在抛
物线上且|MA|=|MF|可求出 ，从而根据焦半径公式|MF|=x +1即可得解.
M
【详解】由题意可得F(1,0)，故过F且斜率为 的直线方程为y=−(x−1)=−x+1，
令x=−1⇒y=2，则由题A(−1,2)，
因为|MA|=|MF|，所以 垂直于直线 ，故y =2，
M
又M在抛物线上，所以由22=4x ⇒x =1，
M M
试卷第6页，共59页所以|MF|=x +1=2.
M
故选：C.
8．点F抛物线 的焦点，A，B，C为抛物线上三点，若 ，则
（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】C
【分析】设 ，根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，再由
可得 为 的重心，从而可求出 ，再根据抛物线的定义可
求得结果.
【详解】设 ，
由 ，得 ，所以 ，准线方程为 ，
因为 ，所以 为 的重心，
所以 ，所以 ，
所以
，
故选：C9．已知抛物线 上一点 到准线的距离为 ，到直线 的距离为 ，
则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】D
【分析】点 到直线 的距离为 ，到准线 的距离为 ，利
用抛物线的定义得 ，当 ， 和 共线时，点 到直线 和准线
的距离之和的最小，由点到直线的距离公式求得答案.
【详解】由抛物线 知，焦点 ，准线方程为 ，根据题意作图如下；
点 到直线 的距离为 ，到准线 的距离为 ，
由抛物线的定义知： ，
试卷第8页，共59页所以点 到直线 和准线 的距离之和为 ，
且点 到直线 的距离为 ，
所以 的最小值为 .
故选：D
10．已知点 为抛物线 上一点，且点 到抛物线的焦点 的距离为
3，则 （ ）
A． B．1 C．2 D．4
【答案】C
【分析】由题意,根据抛物线的性质,抛物线 ,则抛物线焦点为 ，若
为 抛物线上一点,有 ,可得 ,解得 .
【详解】因为抛物线为 ,
则其焦点在 轴正半轴 上,焦点坐标为 ,
由于点 为抛物线 为上一点,且点 到抛物线的焦点F的距离为3,
所以点A到抛物线的焦点F的距离为 解得 ,
故选：C.
考点02：与抛物线有关距离的最值问题
结论：抛物线最值问题关键⇒①内连准线，外连焦点 ②三点共线
Ⅰ当 Q(x Q ,y Q ) 为抛物线内任意一点，F' 为准线上一点，当 P,Q F' 三点共线时，则
p
|PF|+|PQ| |PF|+|PQ|
min
=|F'Q|=x
Q
+
2
的最小， （内部连准线）Ⅱ当
Q(x
Q
,y
Q
) 为抛物线外任意一点，F'
为准线上一点，当
P,Q,F
三点共线时，则
√ ( p) 2
(d+|PQ|) =|FQ|= x − +y
|PF' |+|PQ| d+|PQ| min Q 2 Q2
的最小，即 最小， （外部连焦
点）
11．已知抛物线方程为: ，焦点为 .圆的方程为 ，设 为抛物
线上的点， 为圆上的一点，则 的最小值为（ ）
A．6 B．7 C．8 D．9
【答案】C
【分析】根据抛物线定义将点到焦点的距离转化为点到直线的距离，即 ，从而
得到 ， 三点共线时和最小；再由 在圆上，
得到最小值.
【详解】
试卷第10页，共59页由抛物线方程为 ，得到焦点 ，准线方程为 ，过点 做准线的垂线，
垂足为 ，
因为点 在抛物线上，所以 ，
所以 ，当 点固定不动时， 三点共线，即 垂直于准线
时和最小，
又因为 在圆上运动，由圆的方程为 得圆心 ，半径 ，所以
，
故选：C.
12．已知过抛物线 的焦点 且倾斜角为 的直线交 于 两点，
是 的中点，点 是 上一点，若点 的纵坐标为1，直线 ，则 到
的准线的距离与 到 的距离之和的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先联立 与抛物线方程，结合已知、韦达定理求得 ，进一步通过抛物线定
义、三角形三边关系即可求解，注意检验等号成立的条件.
【详解】由题得 的焦点为 ，设倾斜角为 的直线 的方程为 ，与 的方程 联立得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，故 的方程为 .
1 1 2 2
由抛物线定义可知点 到准线的距离等于点 到焦点 的距离，
联立抛物线 与直线 ，化简得 ，
由 得 与 相离.
分别是过点 向准线、直线 以及过点 向直线 引垂
线的垂足，连接 ，
所以点 到 的准线的距离与点 到直线 的距离之和 ,等
号成立当且仅当点 为线段 与抛物线的交点，
所以 到 的准线的距离与 到 的距离之和的最小值为点 到直线 0
的距离，即 .
故选：D.
试卷第12页，共59页13．已知抛物线 的焦点 到准线的距离为2，圆 ，点
，若点 分别在 上运动，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线的几何性质可得 ，则 ，设 ，得
， ，进而 ，结合换元法和
二次函数的性质即可求解.
【详解】因为焦点 到准线的距离为2，所以 ，所以抛物线 ，
所以圆 的圆心 恰好在焦点 处，所以 ，
设 ，则 ，
所以 ，
令 ，则 ，
所以
，
当 ，即 时， 取得最小值，最小值为 .
故选：D.14．已知抛物线 的焦点为 ，点 ，若点 为抛物线上任意一点，当
取最小值时，点 的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】设点 在准线上的射影为 ，则根据抛物线的定义把问题转化为求 取
得最小值，数形结合求解即可.
【详解】抛物线 的焦点为 ，准线为 ，
设点 在准线上的射影为 ，如图，
则根据抛物线的定义可知 ，
求 的最小值，即求 的最小值，
试卷第14页，共59页显然当 ， ， 三点共线时 取得最小值，
此时 点的横坐标为 ，则 ，解得 ，即 .
故选：D.
15．已知点 ，点 是抛物线 上任一点， 为抛物线 的焦点，则
的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】设 ，由抛物线焦半径公式及两点间距离公式，转化为关于 的函数关系，
利用换元法转化为二次函数求最值即可.
【详解】由题意得 ，抛物线 的准线方程为 ，
设 ，则 ， ，
故 ．
令 ，则 ，由 ，得 ，
所以 ，
令 ，则 ，所以 ，
故当 ，即 时， 取得最小值 ．
故选：A．16．在直角坐标系xOy中，已知点 ， ， ，动点P满足线段PE的中
点在曲线 上，则 的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】设P(x,y)，由题意求出P的轨迹方程，继而结合抛物线定义将 的最小
值转化为M到直线l的距离，即可求得答案.
【详解】设P(x,y)，则PE的中点坐标为 ，代入 ，可得 ，
故动点P的轨迹是以F为焦点，直线l： 为准线的抛物线，
由于 ，故 在抛物线 内部，
过点P作 ，垂足为Q，则 ，（抛物线的定义），
故当且仅当M，P，Q三点共线时， 最小，即 最小，
最小值为点M到直线l的距离，所以 ，
故选：B．
17．已知点 分别是抛物线 和直线 上的动点，若抛物线 的焦点为 ，
则 的最小值为（ ）
试卷第16页，共59页A．3 B． C． D．4
【答案】C
【分析】按点 在直线 上及右侧、左侧分类，借助对称的思想及两点间线段最短列式
求出并判断得解.
【详解】设 的坐标为 ，则 ，抛物线 的焦点 ，准线方程
为 ，
当点 在直线 上及右侧，即 时， ，当且仅当 是 与直线
的交点时取等号，
此时 ，当且仅 时取等号，
当点 在直线 左侧，即 时，点 关于 的对称点是 ，则
，
，
当且仅当 是 与直线 的交点，且 时取等号，而 ，
所以 的最小值为 .
故选：C
18．设 为抛物线C： 上的动点， 关于 的对称点为 ，记 到直线 、的距离分别 、 ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据题意得到 ，再利用抛物线的定义
结合三角不等式求解.
【详解】抛物线C： 的焦点为F(1,0)，准线方程为 ，
如图，
因为 ，且 关于 的对称点为 ，所以 ，
所以
.
当 在线段 与抛物线的交点时， 取得最小值，且最小值为 .
故选：D
19．已知点 ，抛物线 的焦点为 为抛物线上一动点，当 运动到
时， ，则 的最小值为（ ）
A．6 B．5 C．4 D．3
【答案】A
【分析】
试卷第18页，共59页利用抛物线的定义结合三点共线即可解决.
【详解】
由抛物线的定义可知， ，
所以 ，所以抛物线的方程为 ，
过点 作 垂直抛物线的准线，垂足为 ，
则 ，
当且仅当 和 三点共线时等号成立.
故选：A.
20．已知抛物线 的焦点为 ， ，点 是抛物线 上一动点，则
的最小值是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．8
【答案】A
【分析】
根据抛物线焦半径公式得到 ，数形结合得到最小值.
【详解】由题意得 ，
由抛物线焦半径公式可知， ，
故 ，显然连接 ，与抛物线交点为 ，此时 取得最小值，即当 三点共线时， 最小，
最小值为 ，
故 的最小值为3.
故选：A
考点03：抛物线的焦点弦问题
p p
|AF|= |BF|=
1−cosα 1+cosα
结论1：
如图所示：
p
|AF|=x +
A 2
，
证明：根据定义
p
|BF|=x +
B 2
,
根据定义
试卷第20页，共59页p
∴|BF|=
1+cosα
2p
|AB|=x +x +p=
1 2 sin2α
结论2：
p p
|AB|=|AF|+|BF|
|AF|=
1−cosα
|BF|=
1+cosα
证明：根据焦比公式得 ，其中 ，
p p 2p
|AB|=|AF|+|BF|= + =
1−cosα 1+cosα sin2α
p2
S =
ΔAOB 2sinα
结论3：
p
d= sinα
O AB d 2
证明：设 到 的距离为 ，则 ，
1 1 2p p p2
S = ⋅|AB|⋅d= ⋅ ⋅ ⋅sinα=
ΔAOB 2 2 sin2α 2 2sinα
则
|AF| |BF|
=cosα, =cosα
AB P
|AP| |BP|
结论4：若 交准线于点 ,则
如图所示：
|AF| |AP|
= 水平 =cosα
|AP| =|AF|=x + p |AP|=
|AP|
水平
|AP| |AP|
水平
水平 A 2 cosα cosα
证明： , ，则
|BF| |BP|
= 水平 =cosα
|BP| =|BF|=x + p |BP|=
|BP|
水平
|BP| |BP|
水平
水平 B 2 cosα cosα
, ，则
|AF|
=λ
cosα=
λ−1
|AF|=
λ+1
p
|BF|
λ+1 2
结论5：设 ,则 ，
|AF| 1+cosα λ−1 p λ+1
=λ⇒ =λ⇒cosα= |AF|= = p
|BF| 1−cosα λ+1 1−cosα 2
，
证明：21．已知抛物线C： 的焦点为F，在抛物线C上存在四个点P，M，Q，N，若弦
与弦 的交点恰好为F，且 ，则 （ ）
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】由抛物线的方程可得焦点F的坐标，应用抛物线焦点弦性质 ，
， ， ，结合三角的恒等变换的化简可得
，即可求解.
【详解】由抛物线 得 ，则 ， ，
不妨设PQ的倾斜角为 ，
则由 ， 得 ， ，
所以 ， ，
得 ， ，
所以 .
故选：B.
试卷第22页，共59页22．设O为坐标原点，直线 过抛物线 （ ）的焦点，且与
交于 两点， 为 的准线，则（ ）
A． B．
C． 的面积为 D．以 为直径的圆与l有两个交点
【答案】C
【分析】对于A，求出直线 与 轴的交点，可得抛物线的焦点，从而可求出 ，对于
B，将直线方程代入抛物线方程化简，利用根与系数的关系，结合弦长公式可求得|MN|，
对于C，先求出点 到直线 的距离，然后结合|MN|可求出 的面积，对于D，设
线段 的中点为 ，求出点 到直线 的距离进行判断.
【详解】对于A，当 时， ，所以抛物线的焦点为 ，所以 ，得 ，
所以A错误，
对于B，由选项A可知 ，设 ，
由 ，得 ，
所以 ，
所以 ，所以B错误，对于C，点 到直线 的距离为 ，由选项B可知 ，
所以 的面积为 ，所以C正确，
对于D，抛物线的准线为 ，设线段 的中点为 ，则 ，
则点 到准线 的距离为 ，
所以以 为直径的圆与准线 相切，所以以 为直径的圆与准线 只有一个交点，所以
D错误，
故选：C
23．已知抛物线 的焦点为 ， 为坐标原点，倾斜角为 的直线 过点 且与
交于 ， 两点，若 的面积为 ，则（ ）
A．
B．
C．以 为直径的圆与 轴仅有1个交点
D． 或
【答案】C
试卷第24页，共59页【分析】设直线 ，M(x ,y )，N(x ,y )，联立直线与抛物线方程，消元、列
1 1 2 2
出韦达定理，由 求出 ，即可判断 ，再由弦长公式求出
|MN|即可判断 ，利用抛物线的几何意义判断 ，求出 ， ，由 即可判断
.
【详解】
依题意 ，设直线 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2
由 ，整理得 ，则 ，
所以 ， ，
所以 ，
解得 ，所以 ，
又 ，解得 ，
所以 ，又 ，所以 ，故 错误；
因为 ，故 错误；
因为 ，又线段 的中点到 轴的距离为 ，
所以以 为直径的圆与 轴相切，即仅有 个交点，故 正确；
因为 ，若 ，则 ，解得 或 ；
若 ，则 ，解得 或 ；
即 、 或 、 ，
所以 或 ，故 错误.
故选： .
24．已知抛物线 ，过动点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线 相切于点
，则 面积的最小值是（ ）
A．6 B．9 C．12 D．18
【答案】B
【分析】设直线 与抛物线联立方程，建立等式化简计算可得 ，
，同理可得 ， ，有 ，设直线 与抛
试卷第26页，共59页物线联立方程，建立等式计算可得 ，而P(x ,y )在直线 , 上，建立等式计算可
0 0
得 ，根据三角形面积公式计算即可.
【详解】设 ，
因为点 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线 相切于点 ，
所以直线 , 斜率均存在，
故设直线 ，
则 ，
所以 ，因为 ，代入化简得 ，得 ，
所以直线 ，整理得 ，
设直线 ，同理可得 ，
所以 ，即 ，
设直线 ，
，
所以 ， ，得 ，
因为抛物线 的焦点为 ，所以设直线 恒过抛物线焦点 ，
而P(x ,y )在直线 , 上，
0 0
所以 ，即 是方程 是方程的两实数根，
所以 ， 解得 ，即
所以 ，
设 到直线 的距离为 ，则 ，
所以 ，当 时， 面积的最小为 .
故选：B
25．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，过 且斜率为 的直线与
交于 两点， 为 的中点，且 于点 的垂直平分线交 轴于点 ，四边
形 的面积为 ， （ ）
A． B． C． D．
试卷第28页，共59页【答案】A
【分析】写出直线 的方程，与抛物线联立，利用韦达定理求出点 坐标，然后通过计
算得到四边形 为平行四边形，进而根据面积公式计算即可.
【详解】由题意可知， ，直线 的方程为 ．
设 ，由 ．得 ．
所以 ，所以 ．由 ，得 ．
如图所示，作 轴于点 ，则 ．
因为 ，故 ，
，又 ，
故 ．又 ，得四边形 为平行四边形．
所以其面积为 ，解得 ．
故答案为： ．
26．已知抛物线 的焦点为 ，准线与 轴交于点 ，直线 过其焦点 且与交于 两点，若直线 的斜率为 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】利用斜率已知，即角的正切值已知，结合抛物线的几何性质，来解直角三角形求
一条焦半径，再利用抛物线的两焦半径的倒数和为定值，从而去求另一条焦半径，最后求
得弦长.
【详解】
如图作 垂直于准线，垂足为 ，可知设 ，
直线 的斜率为 得， ，
则 ，由勾股定理得： ，
即 ，化简得： ，解得 ，
再设过焦点 的直线 为y=k(x−1)与抛物线 联立消元得：
，设交点A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
试卷第30页，共59页则 ，
而 ，
当 时，解得 ，此时 ，
当 时，解得 ，此时 ，
故选：D.
27．在平面直角坐标系 中，已知过点 的抛物线 的焦点为 ，
过点 作两条相互垂直的直线 ， ，直线 与 相交于 ， 两点，直线 与 相交于
， 两点，则 的最小值为（ ）
A．32 B．20 C．16 D．12
【答案】A
【分析】由点在抛物线上求出 的值，即可求出抛物线方程，设直线 方程为
，则 方程为 ， ， ， ， ，联立直
线与抛物线方程，消元、列出韦达定理，表示出|MN|、|PQ|，再由基本不等式计算可得.
【详解】因为点 在抛物线 上，所以 ，解得 或
（舍去），
所以抛物线 ，则 ，依题意直线 的斜率存在且不为 ，
设直线 方程为 ，则 方程为 ，M(x ,y )，N(x ,y )，
1 1 2 2， ，
联立直线 方程与抛物线方程 得 ，
则 ， ， ，同理 ， ，
所以 ，
，
所以 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值为 ；
故选：A
28．双曲线 和抛物线 （ ）的公共焦点为 ，过点 的直线交抛物
线于 ， 两点，若 中点的横坐标为6，则 （ ）
A．16 B．12 C．10 D．8
【答案】A
【分析】求出双曲线的焦点坐标，进而求出 值，再结合中点坐标公式和抛物线的焦点弦
公式计算可得.
试卷第32页，共59页【详解】由题意可得双曲线的交点为 ，
所以 ，即 ，
设 的横坐标分别为 ，
中点的横坐标为6，即
由抛物线的焦点弦公式可得 ，
故选：A.
29．设抛物线 的焦点为 ，过焦点 的直线与抛物线 相交于 ， 两点，则
的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】C
【分析】联立方程得韦达定理，即可根据焦点弦公式求解.
【详解】由 得 ， ，
由题意可知直线 的斜率存在，故设其方程为 ，
联立 与 可得 ，
设A(x ,y ),B(x ,y )，则 ，故 ，
1 1 2 2
因此 ，当且仅当 时取等号，
故选：C30．设抛物线 的焦点为 ，过 的直线 与抛物线在第一象限交于点 ，与
轴交于点 ，若 ，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由题意可求得 的坐标为 ，进而可求的 的斜率.
【详解】 为 的中点，过点 作 垂直于 轴于点 为
的中位线，
则 的坐标为 ，而 ，则直线 的斜率为 .
故选：C．
考点04：抛物线的简单几何性质
试卷第34页，共59页抛物线标准方程 的几何性质
范围： ， ，
抛物线 （ ）在y轴的右侧，开口向右，这条抛物线上的任意一点 M的
坐标 的横坐标满足不等式 ；当x的值增大时， 也增大，这说明抛物线向右上
方和右下方无限延伸．抛物线是无界曲线．
对称性：关于x轴对称
抛物线 （ ）关于x轴对称，我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．抛
物线只有一条对称轴．
顶点：坐标原点
抛物线 （ ）和它的轴的交点叫做抛物线的顶点．抛物线的顶点坐标是
．
离心率： ．
抛物线 （ ）上的点M到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物
线的离心率．用e 表示， ．
抛物线的通径
通过抛物线的焦点且垂直于对称轴的直线被抛物线所截得的线段叫做抛物线的通径．
因为通过抛物线 （ ）的焦点而垂直于x轴的直线与抛物线两交点的坐标
分别为 ， ，所以抛物线的通径长为 ．这就是抛物线标准方程中 的一
种几何意义．另一方面，由通径的定义我们还可以看出， 刻画了抛物线开口的大小，
值越大，开口越宽； 值越小，开口越窄．
31．点 在抛物线 上，若点 到点 的距离为6，则点 到 轴的距离为（ ）A．4 B．5 C．6 D．7
【答案】A
【分析】由抛物线的定义知，点 到焦点的距离等于点 到准线的距离，结合点 和准线
的位置，求点 到 轴的距离.
【详解】抛物线 开口向右，准线方程为 ，
点 到焦点的距离为6，则点 到准线的距离为6，
点 在y轴右边，所以点 到y轴的距离为4．
故选：A．
32． 是抛物线 的焦点，以 为端点的射线与抛物线相交于 ，与抛物线的准线
相交于 ，若 ，则
3
A． B． C． D．
2
【答案】D
【详解】由题意，设 的横坐标为 ，则由抛物线的定义，可得 ．则 ．所
以 ．所以 ．故本题答案选 ．
33．已知双曲线 的右焦点 是抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点，
2
且它们的公共弦过点 ，则双曲线 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据题意结合双曲线以及抛物线的对称性可推出它们的公共弦垂直于x轴，由此
分别利用抛物线和双曲线方程求得公共弦长，可得 的关系式，即可求得答案.
试卷第36页，共59页【详解】抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点为 ，
2
由题意知双曲线 的右焦点 是抛物线C :y2=2px(p>0)的焦点，
2
可得 ，设它们的公共弦为 ,由题意知 过点 ，
根据双曲线以及抛物线的对称性可知 轴，
将 代入C :y2=2px(p>0)中，得 ，故 ，
2
将 代入 中，可得 ，
则 ，所以 ，
即 ，（ 舍去），
故选：B
34．过抛物线C： 的焦点F且倾斜角为锐角的直线l与C交于A，B两点，
过线段AB的中点N且垂直于l的直线与C的准线交于点M，若 ，则l的斜率为
（ ）
A．2 B． C．1 D．
【答案】D
【分析】设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作 垂足分别为，计算得到 ，得到 ，得到直线MN的倾斜角是150°，从
而得到直线l的倾斜角是60°，即可求得直线l的斜率.
【详解】设抛物线的准线为m，分别过点A，N，B作 垂足分别为
，
因为直线l过抛物线的焦点，所以 ，
又N是线段AB的中点，|MN|＝|AB|，
所以 ，
所以 ，则直线MN的倾斜角是150°.
又MN⊥l，所以直线l的倾斜角是60°，斜率是 .
故选：D
35．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点， ，垂足
为 ， 与 轴交点为 ，若 ，且 的面积为 ，则 的方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据抛物线定义，结合图形特征，用p表示三角形面积列式可求抛物线方程.
试卷第38页，共59页【详解】由抛物线定义知 ，所以 为等边三角形， 为 的中点，
所以 ， ，
的面积 ，所以 的方程为 .
故选：A.
36．已知点 是抛物线 的焦点，过点 作两条互相垂直的直线分别与拋
物线交于点 和 ，且 ，则四边形 面积的最小值为（ ）
A．4 B．8 C．16 D．32
【答案】B
【分析】首先根据焦半径公式表示条件，再利用直线与抛物线方程联立，利用韦达定理表
示条件，可求得 ，再利用弦长公式表示四边形的面积，利用基本不等式求最值.
【详解】设 ， ， ， ， ，
， ， ，
所以 ，即 ，①
设直线 : ，联立抛物线方程 ，
得 ，得 ， ，②，将②代入①得，
所以 ，因为直线 与 垂足，则 ，
则四边形 面积
，当 时，等号成立，
所以四边形 面积的最小值是8.
故选：B
37．过抛物线 的焦点 作直线交抛物线于 ， 两点（点 在第一象限）．若
，则 （ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】根据已知条件作出图形，利用抛物线的定义及相似三角形的性质即可求解.
【详解】设抛物线的准线为 ，过点 作 于点 ,过点 作 于点 ,过点 作
于点 ,交 轴于点 ，如图所示，
试卷第40页，共59页由 ，得 ，解得 ，
所以 ， .
设 ，
因为 ，
所以 ,
又 ,
故 ，解得 ，
所以 .
故选：A.
38．已知抛物线C： ，圆C′： ，若C与C′交于MN两点，
圆C′与x轴的负半轴交于点P．现有如下说法：
①若 PMN为直角三角形，则圆C′的面积为 ；
△
② ；③直线PM与抛物线C相切．
则上述说法正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D【分析】对①，根据抛物线的对称性可得直线 过焦点 且与 轴垂直，进而求得面积；
对②，根据圆C′与x轴的负半轴交于点P判断即可；对③，设 ，联立直线 与
抛物线方程，根据判别式判断即可.
【详解】①抛物线C的焦点为 ，由对称性可知， ，
于是直线 过焦点 且与 轴垂直，故 ，圆 的面积为 ，故①正确；
②因圆C′与x轴的负半轴交于点P，故 ，故②正确；
③设 ，由抛物线定义可知， ，
所以 ，直线 的方程为 ，与抛物线 联立可得
，
又 ，化简可得 ，故 ，
所以直线 与抛物线 相切，故③正确.
故选：D
39．已知双曲线 的离心率为2，抛物线 的焦点为 ，过 过
直线 交抛物线于 两点，若 与双曲线的一条渐近线平行，则 （ ）
试卷第42页，共59页A．16 B． C．8 D．
【答案】D
【分析】现根据双曲线的离心率，求出渐近线的斜率，继而根据点斜式求得直线AB的方
程，联立直线和抛物线方程，结合韦达定理和焦点弦公式，即可求解.
【详解】解：由题意得 ，
故双曲线的渐近线方程为 ，
又 与双曲线的一条渐近线平行，不妨设直线 的斜率为 ，又 ，
故 的直线方程为： ，联立直线方程和抛物线方程得： ，
所以 ，所以 .
故选：D.
40．已知点 在抛物线 的准线上，过 的焦点且斜率为 的直线
与 交于 两点.若 ，则 （ ）
A．1 B． C． D．3
【答案】D
【分析】根据条件求出抛物线方程，由已知可设直线 的方程为 ，
，联立直线与抛物线方程组可得根与系数的关系式，求得 的
表达式，由 ，得 ，将根与系数的关系式代入化简，
即可求得答案.
【详解】由点 在抛物线 的准线上，可得 ，
故 ，焦点为 ，则设直线 的方程为 ，
联立 ，可得 ， ，
设 ，
则 ，
则 ，
又 ，故 , ，
由 ，得 ，
整理可得 ，
即 ，
即 ，故 ，
故选∶D．
考点05：抛物线的中点弦问题
设 为抛物线 的弦， ， ，弦AB的中点为 ．
（1）弦长公式： （ 为直线 的斜率，且
）．
（2） ，
（3）直线 的方程为 ．
41．过抛物线 焦点的直线 交抛物线于 两点，已知 ，线段
试卷第44页，共59页的垂直平分线交 轴于点 ，则 （ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】B
【分析】设直线 的方程为 ，利用设而不求法求弦长|AB|的表达式，再求线段
的垂直平分线，由条件列方程求 可得结论.
【详解】抛物线 的焦点 的坐标为 ，
由题意可知：直线 的斜率不为 ，但可以不存在，且直线 与抛物线必相交，
可设直线 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立方程 ，消去x可得 ，
则 ，
可得 ，即 ，
设 的中点为P(x ,y )，则 ， ，
0 0
可知线段 的垂直平分线方程为 ，
因为 在线段 的垂直平分线上，则 ，可得 ，
联立方程 ，解得 ，
故选：B.
42．已知抛物线C： 的焦点为F，动直线l与抛物线C交于异于原点O的A，B两点，
以线段OA，OB为邻边作平行四边形OAPB，若点 （ ），则当 取最大值
时， （ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】根据题意，由抛物线的方程可得焦点坐标以及准线方程，然后分别过A、B、M
向准线作垂线， 取最大值即直线AB过焦点F(1,0)时，再结合点差法代入计算，即可
得到结果.
【详解】
由题可知焦点F(1,0)，准线 ，设线段AB的中点为 ，即为OP中点，
则 ， ．分别过A、B、M向准线作垂线，垂足分别为 ， ， ，
试卷第46页，共59页如图所示．
则 ，当直线AB过焦点F(1,0)时取等号，此时
．
设 、 ，直线AB的斜率为k，
由 ，两式相减，得 ，所以 ，
即 ，得 ，所以 ，又 ，所以 ．
故选：B．
43．已知抛物线 ，过点 的直线 与 相交于A，B两点，且 为弦AB
的中点，则直线 的斜率为（ ）
A． B． C． D．−2
【答案】D
【分析】直线 与 相交于A，B两点，且点 为弦AB的中点，利用点差法求解.
【详解】解：设 ，
因为直线 与 相交于A，B两点，所以 ，
由题意得 ，
故选：D
44．已知直线 交抛物线 于 两点，且 的中点为 ，则直线 的
斜率为（ ）A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据题意，设 ，结合“点差法”，即可直线 的斜率，得到答案.
【详解】设 ，代入抛物线 ，可得 ，
两式相减得 ，
所以直线 的斜率为 ，
又因为 的中点为 ，可得 ，
所以 ，即直线 的斜率为 .
故选：C.
45．已知直线 恒过抛物线C： 的焦点F，且与C交于
点A，B，过线段AB的中点D作直线 的垂线，垂足为E，记直线EA，EB，EF的斜
率分别为 ， ， ，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】将直线与方程联立后得到与横坐标有关韦达定理后结合题意计算或者设出直线与
抛物线相交两点坐标，借助三点共线计算得到 为定值，即只需计算 的范围即可，结
合题意由中点公式计算即可得.
【详解】解法一：
因为直线 恒过C的焦点F，所以 ，
试卷第48页，共59页则 ，抛物线C： ，把 代入C的方程，
得 ，设A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2
则 ， ，所以 ，
所以 ， ，
则
，
，所以 ，由 ，
得 ；
解法二：
因为直线 恒过C的焦点F，所以 ，
则 ，抛物线C： ，
设 ， ，
由A，B，F三点共线得 ，得 ，
又 ，所以，
由直线AB的斜率为t得 ，
得 ，则 ，所以 ，
由 ，得 .
故选: B.
46．若抛物线 上两点 ， 关于直线 对称，且 ，则
中点坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据已知条件求得 ，进而求得 中点坐标.
【详解】因为抛物线 上两点 ， 关于直线 对称，
故 和直线 垂直，
试卷第50页，共59页所以 ，故 ，
又 ，所以 ，
故 中点坐标是 ，即
故选：B
47．已知抛物线C： ，过点 的直线l与抛物线C交于A，B两点，若
，则直线l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】利用点差法求解即可.
【详解】设 ，则 作差得 .因为 ，
所以P是线段AB的中点，所以 ，则直线l的斜率 .
故选：A
48．已知抛物线 的焦点为 ，过点 的直线交 于 、 两点，线段 的
中点为 ，则直线 的斜率的最大值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】分析可知直线 与 轴不重合，设直线 的方程为 ，设点 、
，将直线 的方程与抛物线 的方程联立，利用韦达定理求出点 的坐标，利用基本不等式可求得直线 斜率的最大值.
【详解】易知抛物线 的焦点为 ，设点 、 ，
若直线 与 轴重合，则直线 与抛物线 只有一个公共点，不合乎题意，
设直线 的方程为 ，联立 可得 ，
，由韦达定理可得 ，则 ，
故点 ， ，
若直线 的斜率取最大值，则 ，所以， ，
当且仅当 时，即当 时，等号成立，
故直线 斜率的最大值为 .
故选：A.
49．如图，已知抛物线E： 的焦点为F，过F且斜率为1的直线交E于A，
B两点，线段AB的中点为M，其垂直平分线交x轴于点C， 轴于点N.若四边形
的面积等于8，则E的方程为（ ）
试卷第52页，共59页A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据 求出 的坐标，然后得 的方程，令 ，得 的坐标，利用直角
梯形的面积求出 ，可得抛物线方程.
【详解】易知 ，直线AB的方程为 ，四边形OCMN为直角梯形，且
.
设 ， ， ，则 ，
所以 ，所以 ， ，∴ .
所以MC直线方程为 ，∴令 ，∴ ，∴ .
所以四边形OCMN的面积为 ，∴ .
故抛物线E的方程为 .
故选：B.
50．若斜率为 （ ）的直线 l 与抛物线 和圆M： 分别交于A，
B和C，D．且 ，则当 面积最大时k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】由条件可得 的中点与 的中点重合，设此点为 ，则
，求出当 面积最大时 的长，结合此时 列出不等式，解出 ，得出答案.
【详解】因为 ，则 的中点与 的中点重合，设此点为 ，
则
当 ，即 ，时， 取最大值，
令 ， ， ，
,
由 ,得 ，
试卷第54页，共59页由 ，得 ，
.
故选：C．
考点06：直线与抛物线的综合问题
1、直线与抛物线的位置关系有三种情况：
相交（有两个公共点或一个公共点）；相切（有一个公共点）；相离（没有公共点）．
2、以抛物线 与直线的位置关系为例：
（1）直线的斜率 不存在，设直线方程为 ，
若 ，直线与抛物线有两个交点；
若 ，直线与抛物线有一个交点，且交点既是原点又是切点；
若 ，直线与抛物线没有交点．
（2）直线的斜率 存在．
设直线 ，抛物线 ，
直线与抛物线的交点的个数等于方程组 ，的解的个数，
即二次方程 （或 ）解的个数．
①若 ，
则当 时，直线与抛物线相交，有两个公共点；
当 时，直线与抛物线相切，有个公共点；
当 时，直线与抛物线相离，无公共点．
②若 ，则直线 与抛物线 相交，有一个公共点．
51．抛物线 的图象经过点 ，焦点为 ，过点 且倾斜角为 的
直线 与抛物线 交于点 ， ，如图．(1)求抛物线 的标准方程；
(2)当 时，求弦|AB|的长；
(3)已知点 ，直线 ， 分别与抛物线 交于点 ， ．证明：直线 过定点．
【答案】(1) (2) (3)证明见解析
【分析】（1）由曲线 图象经过点 ，可得 ，则得抛物线 的标准方
程；
（2）写出 的方程,和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得 ，则
；
（3）设直线 的方程为 ， ， ， ， ，和抛
物线方程联立，消元后，由韦达定理可得 ， ．直线 的方程为
，和抛物线方程联立，消元后，由韦达定理可得 ，同理可得 ，由
，可得 ，则直线 的方程为 ，由
试卷第56页，共59页对称性知，定点在 轴上，令 ，可得 ，则的直线 过定点 ．
【详解】（1）曲线 图象经过点 ，所以 ，所以 ，
所以抛物线 的标准方程为 ．
（2）由（1）知 ，当 时， ,所以 的方程为 ，
联立 ，得 ，则 ，
由 ，所以弦 ．
（3）由（1）知 ，直线 的斜率不为0，设直线 的方程为 ，
， ， ， ，
联立 得 ， ，
因此 ， ．
设直线 的方程为 ，联立 得 ，
则 ，因此 ， ，得 ，
同理可得 ，
所以 ．
因此直线 的方程为 ，
由对称性知，定点在 轴上，
令 得，，
所以，直线 过定点 ．
52．设 ， 为曲线 上两点， 与 的横坐标之和为4.
(1)若 与 的纵坐标之和为4，求直线 的方程.
(2)证明：线段 的垂直平分线过定点.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）曲线 ，由题可得直线 的斜率不为0,设直线 方程为：
， ， ，与抛物线方程联立，利用根与系数的关系，即可得出直
线 的方程.
（2）设线段 的中点为 ，利用中点坐标公式可得 坐标，用 表示.,利用点斜
式即可得出直线线段 的垂直平分线的方程，进而证明结论.
【详解】（1）∵曲线 ，由题可得直线 的斜率不为0，设直线 方程为：
， ， ，
联立 ，化为： ，
，
， ，
解得 ，
，解得 ，
试卷第58页，共59页直线 的方程为： ，即 .
（2）设线段 的中点为 ，
， ，
则线段 的垂直平分线的方程为： ，
化为： ，
可得直线 经过定点 .
53．已知抛物线C： （ ）的焦点为F，过点 且斜率为1的直线经过点
F．
(1)求抛物线C的方程；
(2)若A，B是抛物线C上两个动点，在x轴上是否存在定点M（异于坐标原点O），使得
当直线AB经过点M时，满足 ？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理
由．
【答案】(1) (2)存在；
【分析】（1）根据点斜式求解直线方程，即可求解焦点坐标，进而可得 ，
（2）联立直线与抛物线方程得韦达定理，结合向量垂直的坐标运算，即可求解.
【详解】（1）由题意过点 且斜率为1的直线方程为 ，即 ，令
，则 ，
∴点F的坐标为(1,0)，∴ ，
∴ ．抛物线C的方程为 ．
（2）由（1）得抛物线C： ，假设存在定点 ，
设直线AB的方程为 （ ），A(x ,y )，B(x ,y )，
1 1 2 2由 ，得 ，
∴ ， ， ，
∵ ，∴ ，
∴
，
∴ 或 （舍去），
当 时，点M的坐标为 ，满足 ， ，
∴存在定点 ．
54．已知抛物线 的焦点为F，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两
点， .
(1)求E的方程；
(2)直线 ，过l上一点P作E的两条切线 ，切点分别为M，N.求证：直线
过定点，并求出该定点坐标.
【答案】(1) (2)证明见详解；定点坐标为
试卷第60页，共59页【分析】（1）根据已知条件，设直线 的方程为 ，设A(x ,y ),B(x ,y )，
1 1 2 2
联立抛物线方程，根据抛物线的弦长求得 ，即得答案；
（2）设直线 的方程为 ， ， ，联立抛物线方程，得到韦达
定理，利用导数的几何意义，设出切线 与 的方程，两者联立，可求出 ，即可
证得直线 过定点，并得出该定点坐标.
【详解】（1）
由已知， ，过F且斜率为2的直线与E交于A，B两点，
设 的方程为 ，A(x ,y ),B(x ,y ),
1 1 2 2
联立 ，得 ，则 ，
则 ，
所以 ，
解得 ，
故抛物线E的方程为： .
（2）设直线 的方程为 ， ， ，
联立 ，得 ，，即 ，
所以 ， ，
令 ，当 时，
可化为 ，则 ，
则在 处的切线 的方程为： ，
即 ，
同理可得切线 的方程为： ，
联立 与 的方程，解得 ，
所以 ，则 ，满足 ，
则直线 的方程为 ，
所以直线 过定点，该定点坐标为 .
55．已知动圆 过点(0,1)，且与直线 相切于点 ，设动点 的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)过点 作曲线的两条切线 分别与曲线 相切于点 ，与 轴分别交于 两
点.记 ， ， 的面积分别为 、 、 ．
（i）证明：四边形 为平行四边形；
（ii）证明： 成等比数列.
试卷第62页，共59页【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）证明见解析
【分析】（1）设出圆心 ，利用条件建立方程，再化简即可得出结果；
（2）（ⅰ）设出两条切线方程，从而求出 的坐标，再利用向量的加法法则即可得
出证明；
（ⅱ）利用（ⅰ）中条件，找出边角间的关系，再利用面积公式即可求出结果.
【详解】（1）设圆心 ，由题意得： ，
化简整理得： ，所以曲线 的方程为： ．
（2）（ⅰ）设 ， ，因为 ，所以 ，
∴直线 的方程为： ，即 ，令 ，得到 ，
同理可得直线 的方程为： ，令 ，得到 ，
∴ ， ，联立 ，消 解得 ，
所以 ，
又 ，∴ ，
所以四边形 为平行四边形；
（ⅱ）由（ⅰ）知直线 的方程为 ，又 ，所以 ，
即 ，
同理可知直线 的方程为 ，又因为 在直线 ， 上，设 ，则有 ，
所以直线 的方程为： ，故直线 过点 ，
∵四边形 为平行四边形，∴ ， ，
∴ ， ， ， ，
∴ ，
∵ ， ， ，
∴
，
即 ，
故 成等比数列．
56．在平面直角坐标系 中，顶点在原点 的抛物线 经过点 .
(1)求抛物线 的方程；
(2)若抛物线 不经过第二象限，且经过点 的直线 交抛物线 于 ， ，两点（
试卷第64页，共59页），过 作 轴的垂线交线段 于点 .
当 经过抛物线 的焦点 时，求直线 的方程；
①求点A到直线 的距离的最大值.
②
【答案】(1) 或 (2)① ；②
【分析】（1）分类讨论焦点所在位置，结合抛物线的标准方程运算求解；
（2）根据题意可得 .①求得 ，进而可得直线 ，联立求点 得坐
标，即可得方程；②联立方程，利用韦达定理可证直线 经过定点 ，即可得结果.
【详解】（1）若抛物线 的焦点在 轴上时，可设抛物线 的方程为 ，
且抛物线过点 ，所以 ，解得 ；
若抛物线 的焦点在 轴上时，可设抛物线 的方程为 ，
且抛物线过点 ，所以 ，解得 ；
综上所述：抛物线 的方程为 或 .
（2）因为抛物线 不经过第二象限，由（1）可知，抛物线 的方程为 ，
且F(1,0), ，①当 经过抛物线 的焦点 时，令 ，得 ，
在 中，令 ，得 ，
又因为 ，则 ，可得直线 ，
由 ，解得 或 ，即 ，
所以直线 ，即 ；
②设 ， ， ，
由 ，消去 整理得 ，
所以 ， ， ，
且 ，即 ，
则 ，
令 ，得
，
所以直线 经过定点 ，
所以当 ，即点A以直线 的距离取得最大值，为 .
试卷第66页，共59页57．如图所示，抛物线 的准线过点 ，
(1)求抛物线的标准方程;
(2)若角 为锐角，以角 为倾斜角的直线经过抛物线的焦点 ，且与抛物线交于A、B两
点，作线段 的垂直平分线 交 轴于点 ，证明: 为定值，并求此定值.
【答案】(1)y2＝8x(2)证明见解析，8
【分析】（1）根据准线过点 即可求出p，进而可知抛物线标准方程；
（2）假设直线 的方程，与抛物线联立，进而可以得到 与其中垂线的交点坐标，进
而可以表示出中垂线方程，进而求点 的坐标，再求 即可.
【详解】（1）解:(1)由题意得
∴抛物线的方程为
（2）设 ，直线AB的斜率为
则直线方程为
将此式代入 ，得 ，
故
设 的中垂线为直线m，设直线m与 的交点为则
故直线m的方程为
令 得点P的横坐标为
故
∴ 为定值8
58．已知抛物线E的准线方程为： ，过焦点F的直线与抛物线E交于A、B两点，分
别过A、B两点作抛物线E的切线，两条切线分别与y轴交于C、D两点，直线CF与抛物
线E交于M、N两点，直线DF与抛物线E交于P、Q两点.
(1)求抛物线E的标准方程；
(2)证明： 为定值.
【答案】(1) (2)证明见解析
【分析】（1）由抛物线的准线方程求解 ，即可求解抛物线标准方程.
（2）设出直线AB的方程，然后与抛物线方程联立，韦达定理，推出两切线方程，进而求
试卷第68页，共59页得点 ，点 ，从而求出直线 方程，联立抛物线方程，结合弦长公
式求出|MN|,|PQ|，代入运算化简即可证明.
【详解】（1）因为抛物线的准线为： ，设 ，则 ，所以 ，
故抛物线E的标准方程为 .
（2）易知抛物线E的焦点 ，
设直线AB的方程为 ，A(x ,y )、B(x ,y )，
1 1 2 2
联立 可得 ，
由韦达定理可得 ， ，
接下来证明抛物线E在点A处的切线方程为 ，
联立 可得 ，即 ，即 ，
所以，直线 与抛物线E只有唯一的公共点，
所以，AC的方程为 ，
同理可知，直线BD的方程为 ，
在直线AC的方程中，令 ，可得 ，即点 ，
同理可得点 ，所以，直线 的方程为 ，即 ，
设点 、 ，联立 ，可得 ，由韦达定理可得 ， ，
所以 ，
同理可得 ，
所以
，
故 为定值 .
59．已知平面内一动圆过点 ，且在 轴上截得弦长为2，动圆圆心的轨迹为曲线 .
(1)求曲线 的方程；
(2)设点 是圆 上的动点，曲线 上有四个点 ，其中 是 的
中点， 是 的中点，记 的中点为 .
①求直线 的斜率：
②求 面积的最大值.
【答案】(1) (2)① ；②
试卷第70页，共59页【分析】（1）设动圆圆心 ，根据题意结合距离公式运算求解；
（2）①设 ，根据中点利用同构可得 为方程
的两根，利用韦达定理分析证明；②根据题意可得
，结合圆的方程可得 ，进而可得最值.
【详解】（1）设动圆圆心 ，
当 时，由已知得 ，即 ；
当 时，点 的轨迹为点 ，满足 .
综上可知，点 的轨迹方程为 .
（2）①设 .
由题意得， 的中点 在抛物线 上，即 .
又 ，将 代入得 ，
同理可得 ，
可知 为方程 的两根，所以 .
所以直线 的斜率为0；②由 得 ，
所以 ，
又因为 ，
所以 .
又因为点 在圆上，则 ，且 .
设 的面积为S，则 ，
当 时，S有最大值48.
所以 面积的最大值为48.
60．已知抛物线 ，其焦点为 ，点 在抛物线C上，且
．
(1)求抛物线 的方程；
(2) 为坐标原点， 为抛物线上不同的两点，且 ，
（i）求证直线 过定点；
（ii）求 与 面积之和的最小值．
【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）
【分析】（1）利用焦半径公式建立方程，解出参数，得到抛物线方程即可.
（2）（i）设出 ，利用给定条件建立方程求出 ，最后得到定点即可.
（ii）利用三角形面积公式写出面积和的解析式，再利用基本不等式求最小值即可.
试卷第72页，共59页【详解】（1）抛物线 ，
其焦点为 ，准线方程为 ，
可得 ，且 ，
解得 （另一个根舍去）， ，
则抛物线的方程为 ；
（2）
（i）
如图，设 的方程为 ， ，
联立 ，可得 ，
则 ，又 ， ，
由 ，可得 ，解得 （另一个根舍去），
所以直线 恒过定点 ；
（ii）由上小问可得 ，不妨设 ，
则 与 面积之和为 ，，
当且仅当 ， 时，上式取得等号，
则 与 面积之和的最小值为 ．
试卷第74页，共59页
