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考点巩固卷 20 椭圆方程及其性质(十大考点)
考点01椭圆的定义
1．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，点P是椭圆C上的动点， ， ，
则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
2．已知点 满足方程 ，点 ．若 斜率为斜率为 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．已知点 ， 是椭圆 上关于原点对称的两点， ， 分别是椭圆 的左、右焦点，若
，则 （ ）
A．1 B．2 C．4 D．5
4．椭圆 上的一点 到左焦点 的距离为 是 的中点，则 等于_____.
5．已知椭圆 的左、右焦点分别为 为椭圆 上任意一点， 为圆 ：
上任意一点，则 的最小值为_____.
6．椭圆 ， 是左、右焦点，点 ，点 为椭圆上一动点，则 的最大值为
_____，最小值为_____．
考点02椭圆的标准方程
7．（多选）如果方程 表示焦点在x轴上的椭圆，则实数a的取值范围可以是（ ）
A． B． C． D．
8．已知m、n均为实数，方程 表示椭圆，且该椭圆的焦距为4，则n的取值范围是
_____.
9．已知椭圆的两焦点为 ，点 在椭圆上．若 的面积最大为12，则椭圆的标准方
程为_____．
10．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)中心在原点，一个焦点坐标为 ，短轴长为4；
(2)中心在原点，焦点在 轴上，右焦点到短轴端点的距离为2，到右顶点的距离为1.11．分别写出满足下列条件的椭圆的标准方程：
(1)焦点在 轴上，焦距为 ，且经过点 ；
(2)焦距为4，且经过点 ．
12．求适合下列条件的椭圆的标准方程：
(1)一个焦点为 ，长轴长是短轴长的2倍；
(2)经过点 ，离心率为 ，焦点在x轴上；
(3)经过两点 ， .
考点03椭圆的焦点三角形问题
13．已知椭圆C： 的左､右焦点分别是 ， ， 为椭圆C上一点，则下列结论不正确
的是（ ）A． 的周长为6 B． 的面积为
C． 的内切圆的半径为 D． 的外接圆的直径为
14．（多选）若 是椭圆 上一点， ， 为其左右焦点，且 不可能为钝角，则实数
的值可以是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
15．已知 是椭圆 上的点， 、 分别是椭圆的左、右焦点，若 ，则 的
面积为_____．
16．已知点 是椭圆 上的点，点 、 是椭圆的两个焦点．
(1)若 ，求 ；
(2)若 的面积为9，求 的大小．
17．已知点 在焦点为 的椭圆 上，若 ，求 的值．
考点04椭圆的简单几何性质18．曲线 与曲线 的（ ）.
A．长轴长相等 B．焦距相等 C．离心率相等 D．短轴长相等
19．若某卫星运行的轨道是以地心为一个焦点的椭圆，该卫星近地点离地面的距离为 km，远地点离地
面的距离为 km，地球的半径为 km，则通信卫星运行轨道的短轴长等于（ ）
A． B．
C． D．
20．设 为椭圆 的两个焦点， 为 上一点且在第二象限．若 为等腰三角形，则
点 的坐标为_____．
21．若一椭圆以原点为中心，一个焦点坐标为 ，且长轴长是短轴长的 倍，求该椭圆的标准方程．
22．已知中心在原点，以坐标轴为对称轴，椭圆过点 且与椭圆 有公共的焦点，求椭圆的标
准方程．
考点05求椭圆离心率
23． （2024届湖南省永州市高三一模数学试题）已知椭圆 的左、右焦点分别是
，点 是椭圆 上位于第一象限的一点，且 与 轴平行，直线 与 的另一个交点为 ，若，则 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
24．如图，A， 分别是椭圆 的左、右顶点，点 在以 为直径的圆 上（点
异于A， 两点），线段 与椭圆 交于另一点 ，若直线 的斜率是直线 的斜率的4倍，则椭圆
的离心率为（ ）
A． B． C． D．
25．已知 是椭圆 的左焦点，若过 的直线 与圆 相切，且 的倾斜角为
，则椭圆的离心率是（ ）
A． B． C． D．
26．已知椭圆 为椭圆的对称中心， 为椭圆的一个焦点， 为椭圆上一点，
轴， 与椭圆的另一个交点为点 为等腰直角三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
27．已知椭圆 的上、下焦点分别为 、 ，焦距为 ，与坐标轴不垂直的直线过 且与椭圆 交于 、 两点，点 为线段 的中点，若 ，则椭圆 的离心率为
_____．
28． （2023·河北秦皇岛·校联考二模）已知椭圆 的左､右焦点为 ，点 在椭圆上，
分别延长 ，交椭圆于点 ，且 ，则线段 的长为_____，椭圆的离
心率为_____.
考点06求椭圆离心率的取值范围
29．已知圆 与椭圆 ，若在椭圆 上存在一点 ，使得由点 所作
的圆 的两条切线的夹角为 ，则椭圆 的离心率的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
30．椭圆 （ ）的左、右焦点分别为 ， ，若椭圆上存在点P满足 ，
则椭圆C的离心率的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
31．若椭圆 上存在一点M，使得 （ ， 分别为椭圆的左、右焦点），
则椭圆的离心率e的取值范围为_____.
32． （2021·陕西西安·统考一模）已知椭圆 的左、右焦点分别为 、 ，半焦距为 ，
是椭圆上异于左、右顶点的任意一点，若存在以 为半径的圆内切于 （ 的面积满足），则椭圆的离心率的取值范围是_____．
33．已知椭圆 的一个焦点为 ，椭圆 上存在点 ，使得 ，则椭圆 的离
心率取值范围是_____．
34．已知点 是椭圆 ： 的右焦点，点 关于直线 的对称点 在 上，其中
，则 的离心率的取值范围为_____.
考点07直线与椭圆的位置关系
35．在椭圆 上求一点 ，使点 到直线 的距离最大时，点 的坐标为（ ）
A． B．
C． D．
36．已知直线 与椭圆 ，分别求直线l与椭圆C有两个公共点、只有一个公共点和
没有公共点时m的取值范围．
37．如图，已知直线 和椭圆 ．m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？
(2)有且只有一个公共点？
(3)没有公共点？
38．已知直线 与椭圆 相交于不同两点，求实数 的取值范围．
考点08椭圆的弦长问题
39．（多选）已知过点 的直线与椭圆 交于 、 两点，则弦长 可能是（ ）
A．1 B． C． D．3
40．过椭圆 的左焦点引直线交椭圆于A，B两点，且 ，则直线方程为_____．
41．已知椭圆 的左焦点为 ，直线l： 与椭圆C交于A、B两点．
(1)求线段AB的长；
(2)求 的面积．42．已知椭圆 的离心率为 ，焦距为 ，斜率为 的直线 与椭圆 有两个不
同的交点 ， .
(1)求椭圆 的方程；
(2)若 ，求 的最大值.
43．已知椭圆 的下焦点 、上焦点为 ，离心率为 .过焦点 且与 轴不垂直的直
线 交椭圆 于 ， 两点.
(1)求 的值；
(2)求 （ 为坐标原点）面积的最大值.
44．已知椭圆 ： 的左、右焦点分别为 、 ， 是椭圆 上一动点，
，椭圆 的离心率为 ，直线 过点 交椭圆 于不同的两点 ， .
(1)求椭圆 的方程：(2)若三角形 的面积为 ，求直线 的方程.
考点09椭圆的中点弦问题
45．已知椭圆方程为 ，其右焦点为F（4，0），过点F的直线交椭圆与A，B两点．
若AB的中点坐标为 ，则椭圆的方程为（ ）
A． B．
C． D．
46．若椭圆 的弦 被点 平分，则 所在直线的方程为（ ）
A． B．
C． D．
47．已知椭圆 ，直线 依次交 轴、椭圆 轴于点 四点．若
，且直线 斜率 ．则椭圆 的离心率为（ ）
A． B． C． D．
48．已知椭圆 的长轴长为 ，且与 轴的一个交点是 ，过点 的
直线与椭圆C交于A，B两点，且满足 ，若M为直线AB上任意一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．1 B． C．2 D．
49．已知圆 ，圆 ，动圆 与圆 外切并且与圆 内切，圆心 的
轨迹为曲线
(1)求 的方程；
(2)是否存在过点 的直线交曲线 于 两点，使得 为 中点？若存在，求该直线方程，若不存
在，请说明理由．
50．阿基米德是古希腊著名的数学家、物理学家，他利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率 等于椭
圆的长半轴长与短半轴长的乘积 已知椭圆 的右焦点为 ，过 作直线 交椭圆
于 两点，若弦 中点坐标为 ，则椭圆的面积为（ ）
A． B． C． D．
考点10直线与椭圆的综合问题
51．已知椭圆 ： 的离心率为 ，且经过点 ．
(1)求 的方程；
(2)过椭圆 外一动点 作椭圆 的两条切线 ， ，斜率分别为 ， ，若 恒成立，证明：存
在两个定点，使得点 到这两定点的距离之和为定值．52．在平面直角坐标系 中，已知椭圆 ： 的离心率为 ，短轴长为2.
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆上顶点，点 是椭圆 上异于顶点的任意一点，直线 交 轴于点 ，点 与点 关于
轴对称，直线 交 轴于点 .问：在 轴的正半轴上是否存在点 ，使得 ？若存在，
求点 的坐标；若不存在，请说明理由.
53．已知椭圆 ： 的焦点为 ， ，且过点 .
（1）求椭圆 的方程；
（2）设椭圆的上顶点为 ，过点 作直线交椭圆于 ， 两点，记直线 ， 的斜率分别为 ，
，试判断 是否为定值？若为定值，求出该定值；若不是定值，说明理由.54．已知圆 上有一动点 ，点 的坐标为 ，四边形 为平行四边形，线段
的垂直平分线交 于点 .
（Ⅰ）求点 的轨迹 的方程；
（Ⅱ）过点 作直线与曲线 交于 两点，点 的坐标为 ，直线 与 轴分别交于
两点，求证：线段 的中点为定点，并求出 面积的最大值.
55．已知椭圆 ： ， 为椭圆 的右焦点，三点 ， ，
中恰有两点在椭圆 上.
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)设点 为椭圆 的左右端点，过点 作直线交椭圆 于 ， 两点（不同于 ），求证：直
线 与直线 的交点 在定直线上运动，并求出该直线的方程.56．已知 和 是椭圆 的左、右顶点，直线 与椭圆 相交于M，N两
点，直线 不经过坐标原点 ，且不与坐标轴平行，直线 与直线 的斜率之积为 ．
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)若直线OM与椭圆 的另外一个交点为 ，直线 与直线 相交于点 ，直线PO与直线 相交于点
，证明：点 在一条定直线上，并求出该定直线的方程．
