文档内容
考向08 平抛运动-备战2022年高考一轮复习考点微专题
解决目标及考点:
1. 基本平抛规律
2. 有约束的平抛
3. 临界问题
【例题1】(多选)(2017·江西南昌3月模拟)如图所示，空间有一底面处于水平地面上的正方体框架ABCD
—ABCD，从顶点A沿不同方向平抛一小球(可视为质点).关于小球的运动，下列说法正确的是( )
1 1 1 1
A.落点在ABCD内的小球，落在C点时平抛的初速度最大
1 1 1 1 1
B.落点在BD上的小球，平抛初速度的最小值与最大值之比是1∶
1 1
C.运动轨迹与AC相交的小球，在交点处的速度方向都相同
1
D.运动轨迹与AC相交的小球，在交点处的速度方向都相同
1
【答案】 ABC
【解析】 依据平抛运动规律有h＝gt2，得飞行时间t＝，水平位移x＝v，落点在ABCD内的小球，h相
0 1 1 1 1
同，而水平位移x 最大，则落在C点时平抛的初速度最大，A项正确.落点在BD上的小球，由几何关系
AC1 1 1 1
可知最大水平位移x ＝L(L为正方体的棱长)，最小水平位移x ＝L，据v＝x，可知平抛运动初速度的最
max min 0
小值与最大值之比v ∶v ＝x ∶x ＝1∶，B项正确.凡运动轨迹与AC相交的小球，位移偏转角β相同，
min max min max 1
设速度偏转角为θ，由平抛运动规律有tan θ＝2tan β，故θ相同，则运动轨迹与AC相交的小球，在
1
交点处的速度方向都相同，C项正确，同理可知D项错误.
一、平抛基本条件：具有水平初速度，且只受重力的作用。
二、基本规律
1.位移关系 2.速度关系
3.分析方向：水平方向匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动
4.规律的应用
(1) 飞行时间：由t＝知，时间取决于下落高度h，与初速度v无关.
0
(2) 水平射程：x＝vt＝v，即水平射程由初速度v和下落高度h共同决定，与其他因素无关.
0 0 0
(3) 落地速度
v＝＝，以θ表示落地速度与水平正方向的夹角，有tan θ＝＝，落地速度与初速度v和下落高度h有关.
0
(4) 速度改变量因为平抛运动的加速度为恒定的重力加速度g，所以做平抛运动的物体在任意相等时间间隔Δt内的速度
改变量Δv＝gΔt是相同的，方向恒为竖直向下，如图所示.
(5) 两个重要推论
(1)做平抛运动的物体在任意时刻的瞬时速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点，即x＝.
B
推导：
→x＝
B
(2)做平抛运动的物体在任意时刻任意位置处，有 tan θ＝2tan α.（记 忆 ：
速度角的正切值=位移角正切值的2倍，速度的比较大）
考点:基本规律
【例题2】如图所示为足球球门，球门宽为L.一个球员在球门中心正前方距离球门s处高高跃起，将足球
顶入球门的左下方死角(图中P点).球员顶球点的高度为h，足球做平抛运动(足球可看成质点)，则( )
A.足球位移的大小x＝
B.足球初速度的大小v＝
0
C.足球末速度的大小v＝
D.足球初速度的方向与球门线夹角的正切值tan θ＝
【答案】 B
【解析】 足球位移大小为x＝＝，A错误；根据平抛运动规律有：h ＝
gt2，＝vt，解得v＝，B正确；根据动能定理mgh＝mv2－mv2可得v ＝
0 0 0
＝，C错误；足球初速度方向与球门线夹角的正切值tan θ＝＝，D错误.
【拓展】多个物体的平抛运动1.若两物体同时从同一高度(或同一点)抛出，则两物体始终在同一高度，二者间距只取决于两物体
的水平分运动.
2.若两物体同时从不同高度抛出，则两物体高度差始终与抛出点高度差相同，二者间距由物体的水
平分运动和竖直高度差决定.
3.若两物体从同一点先后抛出，两物体竖直高度差随时间均匀增大，二者间距取决于两物体的水平
分运动和竖直分运动.
4.两条平抛运动轨迹的相交处只是两物体的可能相遇处，两物体必须同时到达此处才会相遇.
【例题3】如图所示，A、B两小球从相同高度同时水平抛出，经过时间t在空中相遇.若两球的抛出速度都
变为原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为( )
A.t B.t C. D.
【答案】 C
【解析】 设A、B两小球的抛出点间的水平距离为L，分别以水平速度v、v抛出，经过时间t的水平位
1 2
移分别为x、x，根据平抛运动规律有x＝vt，x＝vt，又x＋x＝L，则t＝；若两球的抛出速度都变为
1 2 1 1 2 2 1 2
原来的2倍，则两球从抛出到相遇经过的时间为t′＝＝，故选项C正确.
考点: 有约束条件的平抛（竖直平面、斜面、曲面）
【例题4】【竖直平面】(多选)从竖直墙的前方A处，沿AO方向水平发射三颗弹丸a、b、c，在墙上留下
的弹痕如图所示，已知Oa＝ab＝bc，则a、b、c三颗弹丸(不计空气阻力)( )
A.初速度之比是∶∶
B.初速度之比是1∶∶
C.从射出至打到墙上过程速度增量之比是1∶∶
D.从射出至打到墙上过程速度增量之比是∶∶
【答案】 AC
【解析】 水平发射的弹丸做平抛运动，竖直方向上是自由落体运动，水平方向上是匀速直线运动.又因
为竖直方向上Oa＝ab＝bc，即Oa∶Ob∶Oc＝1∶2∶3，由h＝gt2可知t∶t∶t＝1∶∶，由水平方向x＝
a b c
vt可得v∶v∶v＝1∶∶＝∶∶，故选项A正确，B错误；由Δv＝gt，可知从射出至打到墙上过程速度
0 a b c
增量之比是1∶∶，故选项C正确，D错误.
竖直平面的约束情况下，水平位移相等，竖直高度不等，所以突破口就在竖直的位移。可从位移出
发首先得到时间的条件，有了时间的条件后就容易得到初速度、位移、运动相关的结论。
需要注意的是三个数的比值计算过程中容易犯错，需谨慎。【例题5】【斜面】(多选)如图所示，倾角为θ的斜面上有A、B、C三点，现从这三点分别以不同的初速
度水平抛出一小球，三个小球均落在斜面上的D点，今测得AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，由此可判断(不计空气
阻力)( )
A.A、B、C处三个小球运动时间之比为1∶2∶3
B.A、B、C处三个小球落在斜面上时速度与初速度间的夹角之比为1∶1∶1
C.A、B、C处三个小球的初速度大小之比为3∶2∶1
D.A、B、C处三个小球的运动轨迹可能在空中相交
【答案】 BC
【解析】 由于沿斜面AB∶BC∶CD＝5∶3∶1，故三个小球竖直方向运动的位移之比为9∶4∶1，运动时间
之比为3∶2∶1，A项错误；斜面上平抛的小球落在斜面上时，速度与初速度之间的夹角α满足tan α＝
2tan θ，与小球抛出时的初速度大小和位置无关，因此B项正确；同时tan α＝，所以三个小球的初速
度大小之比等于运动时间之比，为3∶2∶1，C项正确；三个小球的运动轨迹(抛物线)在D点相切，因此不
会在空中相交，D项错误.
【例题6】(多选)如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v正对斜面顶点B水
0
平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，空气阻力不计，则下列说法中正确的是( )
A.若小球以最小位移到达斜面，则t＝
B.若小球垂直击中斜面，则t＝
C.若小球能击中斜面中点，则t＝
D.无论小球到达斜面何处，运动时间均为t＝
【答案】 AB
【解析】 小球以最小位移到达斜面时即位移与斜面垂直，位移与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝＝，
即t＝，A正确，D错误；小球垂直击中斜面时，速度与竖直方向的夹角为θ，则tan θ＝，即t＝，B正
确；小球击中斜面中点时，令斜面长为2L，则水平射程为Lcos θ＝vt，下落高度为Lsin θ＝gt2，联立
0
两式得t＝，C错误.
2.对着斜面平抛（垂直落到斜面上）
方法：分解速度.
v＝v，
x 0
v＝gt，
y
tan θ＝＝，
可求得t＝.1.顺着斜面平抛
方法：分解位移.
x＝vt，
0
y＝gt2，
tan θ＝，
可求得t＝.
【例题7】【曲面】如图所示，薄半球壳ACB的水平直径为AB，C为最低点，半径为R.一个小球从A点以
速度v水平抛出，不计空气阻力.则下列判断正确的是( )
0
A.只要v足够大，小球可以击中B点
0
B.v取值不同时，小球落在球壳上的速度方向和水平方向之间的夹角可以相同
0
C.v取值适当，可以使小球垂直撞击到半球壳上
0
D.无论v取何值，小球都不可能垂直撞击到半球壳上
0
【答案】 D
【解析】 小球做平抛运动，竖直方向有位移，v再大也不可能击中B点，A错误；v不同，小球会落在半
0 0
球壳内不同点上，落点和A点的连线与AB的夹角φ不同，由推论tan θ＝2tan φ可知，小球落在半球
壳的不同位置上时的速度方向和水平方向之间的夹角θ也不相同，若小球垂直撞击到半球壳上，则其速度
反向延长线一定经过半球壳的球心，且该反向延长线与AB的交点为水平位移的中点，而这是不可能的，故
B、C错误，D正确.
如图所示，由半径和几何关系制约时间t：
h＝gt2，
R±＝vt.
0
联立两方程可求t.
考点：临界问题
【例题8】(2015·新课标全国Ⅰ·18)一带有乒乓球发射机的乒乓球台如图所示.水平台面的长和宽分别为
L和L，中间球网高度为h.发射机安装于台面左侧边缘的中点，能以不同速率向右侧不同方向水平发射乒
1 2乓球，发射点距台面高度为3h.不计空气的作用，重力加速度大小为g.若乒乓球的发射速率v在某范围内
通过选择合适的方向，就能使乒乓球落到球网右侧台面上，则v的最大取值范围是( )
A.＜v＜L
1
B.＜v＜
C.＜v＜
D.＜v＜
【答案】 D
【解析】 发射机无论向哪个方向水平发射，乒乓球都做平抛运动. 当 速
度v最小时，球沿中线恰好过网，有：
3h－h＝ ①
＝vt ②
1 1
联立①②两式，得v＝
1
当速度v最大时，球斜向右侧台面两个角发射，有
＝vt ③
2 2
3h＝gt2 ④
2
联立③④两式，得v＝
2
所以使乒乓球落到球网右侧台面上，v的最大取值范围为＜v＜，选项D正确.
1.如图，将a、b两小球以不同的初速度同时水平抛出，它们均落在水平地面上的P点，a球抛出时的高度
较b球高，P点到两球起抛点的水平距离相等，不计空气阻力.与b球相比，a球( )
A.初速度较大
B.速度变化率较大
C.落地时速度一定较大
D.落地时速度方向与其初速度方向的夹角较大
2.在一堵竖直高墙前x远处的高台上水平抛出A、B两小球，若两球抛出的初速度v>v，A、B两球分别打
A B
到高墙a、b两点，则有(不计空气阻力)( )
A.a点在b点的上方
B.a点在b点的下方
C.A球打到a点的速率一定大于B球打到b点的速率
D.A球打到a点的速率一定小于B球打到b点的速率3.(2018·福建福州调研)从距地面h高度水平抛出一小球，落地时速度方向与水平方向的夹角为θ，不计
空气阻力，重力加速度为g，下列结论中正确的是( )
A.小球初速度为tan θ
B.小球着地速度大小为
C.若小球初速度减为原来的一半，则平抛运动的时间变为原来的两倍
D.若小球初速度减为原来的一半，则落地时速度方向与水平方向的夹角变为2θ
4.(2017·广东佛山二模)2016年起，我国空军出动“战神”轰-6K等战机赴南海战斗巡航.如图2，某次战
备投弹训练，飞机在水平方向做加速直线运动的过程中投下一颗模拟弹.飞机飞行高度为h，重力加速度为
g，不计空气阻力，则以下说法正确的是( )
A.在飞行员看来模拟弹做平抛运动
B.模拟弹下落到海平面的时间为
C.在飞行员看来模拟弹做自由落体运动
D.若战斗机做加速向下的俯冲运动，此时飞行员一定处于失重状态
5.如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4 m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗
子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视为质点的小物件以v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水平
地面上，空气阻力不计，取g＝10 m/s2.则v的取值范围是( )
A.v＞7 m/s
B.v＜2.3 m/s
C.3 m/s＜v＜7 m/s
D.2.3 m/s＜v＜3 m/s
6.如图所示，小球由倾角为45°的斜坡底端P点正上方某一位置Q处自由下
落，下落至P点的时间为t，若小球从同一点Q处以速度v水平向左抛出，恰好垂直撞在斜坡上，运动时
1 0
间为t，不计空气阻力，则t∶t等于( )
2 1 2
A.1∶2
B.∶1
C.1∶
D.1∶
7.(2017·河南百校联盟4月模拟)如图5所示，斜面体ABC固定在水平地面上，斜面的高AB为 m，倾角为
θ＝37°，且D是斜面的中点，在A点和D点分别以相同的初速度水平抛出一个小球，结果两个小球恰能
落在地面上的同一点，则落地点到C点的水平距离为( )
A. m
B. m
C. m
D. m
8.一阶梯如图6所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小 球
以水平速度v飞出，g取10 m/s2，空气阻力不计，欲打在第四台阶 上，则v的取值范围是( )
A. m/sh>h，由t
a b c
＝，得t>t>t，又Δv＝gt，则知Δv>Δv>Δv，A、B项错误.速度变化快慢由加速度决定，因为a＝a
a b c a b c a b
＝a＝g，则知三个小球飞行过程中速度变化快慢相同，C项错误.由题给条件可确定小球落在左边斜面上
c
的瞬时速度不可能垂直于左边斜面，而对右边斜面可假设小球初速度为v时，其落到斜面上的瞬时速度v
0
与斜面垂直，将v沿水平方向和竖直方向分解，则v＝v，v＝gt，且需满足＝＝tan θ(θ为右侧斜面倾
x 0 y
角)，由几何关系可知tan θ＝，则v＝gt，而竖直位移y＝gt2，水平位移x＝vt＝gt2，可以看出x＝y，
0 0
而由题图可知这一关系不可能存在，则假设不能成立，D项正确.
11.【答案】 (1) (2)R
【解析】 (1)设炮弹的质量为m，炮弹做平抛运动，其恰好垂直打在圆弧的中点C时，如图，由几何关系
可知，其水平分速度和竖直分速度相等，即v＝v＝v
y x 0
又v＝gt 得t＝
y
(2)设高地P离A的高度为h，则有
h＝g(2t)2 ； h－R＝gt2
0 0解得h＝R
12.【答案】 D
【解析】 小球水平抛出，其做平抛运动，由平抛运动规律知，
若落到a点，则有
Rsin α＝vt Rcos α＝gt2 得v＝·sin α
a a ； a a
若落到b点，则有Rsin β＝vt Rcos β＝gt2
b b ； b
得v＝·sin β
b
则＝，故D正确.
13.【答案】 (1)3 m/s (2)5.35 m/s
【解析】 (1)设小球落入凹槽时竖直速度为v，则
y
v＝gt＝10×0.4 m/s＝4 m/s
y
v＝vtan 37°＝3 m/s.
0 y
(2)小球落入凹槽时的水平位移x＝vt＝3×0.4 m＝1.2 m
0
则小滑块的位移为s＝ m＝1.5 m
小滑块上滑时，由牛顿第二定律有mgsin 37°＋μmgcos 37°＝ma
解得a＝8 m/s2
根据公式s＝vt－at2
解得v＝5.35 m/s.
14.【解析】 (1)如图甲所示，设球刚好擦网而过，则击球点到擦网点的水平位移x＝3 m，竖直位移y
1 1
＝h－h＝(2.5－2) m＝0.5 m，根据位移关系x＝vt，y＝gt2，可得v＝x，代入数据可得v＝3 m/s，即所
2 1 1
求击球速度的下限.
设球刚好打在边界线上，则击球点到落地点的水平位移x＝12 m，竖直位移y＝h＝2.5 m，代入速度公式
2 2 2
v＝x，可求得v＝12 m/s，即所求击球速度的上限.欲使球既不触网也不越界，则击球速度v应满足3
2
m/s
