文档内容
第4讲 平面向量数量积的最值与范围问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】.................................................................................................................................3
【考点一】求参数的最值(范围)......................................................................................................3
【考点二】求向量模、夹角的最值(范围)........................................................................................4
【考点三】求向量数量积的最值(范围)............................................................................................5
【专题精练】.................................................................................................................................7
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的
系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，
同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要
方法．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则⃑PA⋅⃑PB的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
4．（2022·天津·高考真题）在 中，点D为AC的中点，点E满足 .记 ，用
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学科网（北京）股份有限公司表示 ，若 ，则 的最大值为
5．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是 ．
6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为 ； 的最小值为
．
7．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
考点突破
【考点一】求参数的最值(范围)
一、单选题
1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
直线分别交 于点 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
2．（2022·全国·模拟预测）在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．9 B．8 C．4 D．2
二、多选题
3．（2024·山西晋中·模拟预测）在 中， 为边 上一点且满足 ，若 为边 上一点，
且满足 ， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
4．（2024·江苏·二模）在长方形ABCD中， ， ，点E，F分别为边BC和CD上两个动点
（含端点），且 ，设 ， ，则（ ）
A． ， B． 为定值
C． 的最小值50 D． 的最大值为
三、填空题
5．（2024·天津·一模）已知平行四边形 的面积为 ， ，且 .若F为线段
上的动点，且 ，则实数 的值为 ； 的最小值为 .
6．（2024·上海松江·二模）已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，且 ， ，
，则 的取值范围是 .
规律方法：
利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)OA＝⇔λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
【考点二】求向量模、夹角的最值(范围)
一、单选题
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学科网（北京）股份有限公司1．（2024·河北石家庄·二模）在平行四边形 中， ，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．2
二、多选题
3．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知 是同一平面内的四点，且
，则（ ）
A．当点 在直线 的两侧时，
B．当点 在直线 的同侧时，
C．当点 在直线 的两侧时， 的最小值为3
D．当点 在直线 的同侧时，
4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量 满足： 为单位向量，且 和 相互垂直，又
对任意 不等式 恒成立，若 ，则（ ）
A． B．
C．当 时， 最小 D． 的最小值为
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学科网（北京）股份有限公司三、填空题
5．（2023·天津河西·一模）在梯形 中， ，且 ， ， 分别为线段 和 的中
点，若 ， ，用 ， 表示 ．若 ，则 余弦值的最小值为
．
6．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形 中， ， 是 的中点， ，
若设 ，则 可用 ， 表示为 ；若 的面积为 ，则 的最小值为
．
规律方法：
找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包
括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．
【考点三】求向量数量积的最值(范围)
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·开学考试）如图，已知圆 的半径为2，弦长 ， 为圆 上一动点，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M
在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．[5,7] C． D．
二、多选题
3．（2024·山东潍坊·二模）已知向量 ， ， 为平面向量， ， ， ， ，则
（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．若 ，则 的最小值为
4．（2024·福建龙岩·一模）已知点 与圆 是圆 上的动点，则（ ）
A． 的最大值为
B．过点 的直线被圆 截得的最短弦长为
C．
D． 的最小值为
三、填空题
5．（2024·天津·二模）在四边形 中， 为 中点． 记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为
．
6．（2024·天津·一模）在 中， ，则 ；若点 为 所在
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学科网（北京）股份有限公司平面内的动点，且满足 ，则 的取值范围是 ．
规律方法：
向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征
直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等
问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点 在圆 上，点 的坐标为 为原点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系 中，设 ， ，动点P满足 ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知 ， ，P是曲线 上一个动点，则 的最
大值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在等腰 中， 的外接圆圆心
为 ，点 在优弧 上运动，则 的最小值为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A．4 B．2 C． D．
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形 的边长为 ，动点 在 边上（包括端点），
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·北京海淀·三模）已知 为单位向量，向量 满足 ， ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．（2024·安徽·模拟预测）已知 是圆O： 的直径，M，N是圆O上两点，且 ，
则 的最小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．
8．（2024·辽宁·模拟预测）在矩形 中， ， 为 中点， 为平面 内一点，
.则 的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·重庆·阶段练习） 的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若 ，
则（ ）
A． B．
C．角A的最大值为 D． 面积的最大值为
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学科网（北京）股份有限公司10．（2024·河南·三模）已知平面向量 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 一定可以作为一个基底
B． 一定有最小值
C．一定存在一个实数 使得
D． 的夹角的取值范围是
11．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是动点．下列
命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的轨迹的长度等于2
B．若 ，则 的轨迹方程为
C．若 ，则 的轨迹与圆 没有交点
D．若 ，则 的最大值为3
三、填空题
12．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均为正方
形 各边的中点（如图），若 在 上，且 ，则 的最大值为 ．
13．（22-23高二下·上海浦东新·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：
“平面内到两个定点 、 的距离之比为定值 （ 且 ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以
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学科网（北京）股份有限公司他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 中， 、 ，点 满
足 ，则 的最小值为 .
14．（2023·山东·二模）已知直线 过圆 的圆心，且与圆相交于 ， 两点， 为椭圆
上一个动点，则 的最大值与最小值之和为 ．
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