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专题 6.3 平面向量的应用
练基础
1．（2021·重庆九龙坡区·高三二模）已知等边 的边长为 为它所在平面内一点，且
，则 的最大值为（ ）
A． B．7 C．5 D．
2．（2021·浙江高一期末）在 中， ，则 （
）
A．5∶3∶4 B．5∶4∶3 C． D．
3．【多选题】（2021·浙江高一期末）已知 中，角 的对边分别为 为 边上的
高，以下结论：其中正确的选项是（ ）
A． B． 为锐角三角形
C． D．
4．【多选题】（2021·麻城市实验高级中学高三其他模拟）已知点 为 外接圆的圆心， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
5．（2021·河北高一期中）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“勾股圆方图”，后人称
其为“赵爽弦图”.类比赵爽弦图，由3个全等的小三角形拼成如图所示的等边 ，若 的边长为 ﹐且 ，则 的面积为___________.
6．（2021·苏州市第三中学校高一期中）在 中， ， ， ，点 是
内（包括边界）的一动点，且 ，则 的最大值是_________．
7．（2021·河南商丘市·高一月考）在平面直角坐标系 中，非零向量 ，在圆
上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围是______．
8．（2021·浙江高三月考）已知平面向量 夹角为 ，且平面向量 满足
记 为 （ ）的最小值，则 的最大值是__________．
9．（2021·江苏苏州市·高一月考）我们知道，“有了运算，向量的力量无限”.实际上，通过向量运算证明
某些几何图形的性质比平面几何的“从图形的己知性质推出待证的性质”简便多了.下面请用向量的方法证
明“三角形的三条高交于一点”.已知 ， ， 是 的三条高，求证： ， ， 相交
于一点.
10．（2021·浙江高一期末）甲船在静水中的速度为40海里/小时，当甲船在点A时，测得海面上乙船搁浅
在其南偏东 方向的点P处，甲船继续向北航行0.5小时后到达点B，测得乙船P在其南偏东 方向，
（1）假设水流速度为0，画出两船的位置图，标出相应角度并求出点B与点P之间的距离．（2）若水流的速度为10海里/小时，方向向正东方向，甲船保持40海里/小时的静水速度不变，从点B走
最短的路程去救援乙船，求甲船的船头方向与实际行进方向所成角的正弦值．
练提升
TIDHNE
1．（2020·江苏高考真题）在△ABC中， D在边BC上，延长AD到P，使得
AP=9，若 （m为常数），则CD的长度是________．
2．（2021·宁夏石嘴山市·高三二模（理））△ABC内角A，B，C的对边分別为a，b，c，
，则角B的值为________；若a＋c＝6，则AC边的中线的最小值
为________．
3．（2021·全国高三专题练习（理）） 中，内角 所对的边分别是 ，且
，则角 =__________；设点 是 的中点，若 ，则线段 的
取值范围是__________.
4．（2021·浙江高一期末）在 中， ，G为其重心，直线 经过点G，且与射线 、
分别交于D、E两点，记 和 的面积分别为 ，则当 取得最小值时， 的
值为______．
5．（2021·上海普陀区·高三二模）如图，在△ 中， ， ， ．若 为△ 内部的点且满足 ，则 ________．
6．（2021·浙江高三其他模拟）已知单位向量 ， 与非零向量 满足 ， ，
则 的最大值是______.
7．（2021·上海浦东新区·华师大二附中高三三模）已知边长为2的正方形 边上有两点P､Q，满足
，设O是正方形的中心，则 的取值范围是___________.
8．（2021·浙江嘉兴市·高三其他模拟）已知平面内不同的三点O，A，B满足 ，若
时， 的最小值为 ，则 ___________.
9．（2021·江西南昌市·高一期末）已知 ， ， 分别是 内角 ， ， 所对的边，且满足
，若角 的角平分线交边 于点 ，且 ， ，求：
（1）求 的值；
（2）求边 的值．
10．（2021·山东泰安市·高一月考）三角形ABC中， ，点E是边BC上的动点，当E为BC中点时，
（1）求 和 ;
（2） 是 延长线上的点， ，当 在 上运动时，求 的最大值.
练真题
TIDHNE
1．（2020·全国高考真题（理））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则cosB=（ ）
A． B． C． D．
2．（2020·全国高考真题（文））在△ABC中，cosC= ，AC=4，BC=3，则tanB=（ ）
A． B．2 C．4 D．8
3.（2021·全国高考真题（理））2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848.86
（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有
A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影 满足 ， ．由C
点测得B点的仰角为 ， 与 的差为100；由B点测得A点的仰角为 ，则A，C两点到水平
面 的高度差 约为（ ）（ ）A．346 B．373 C．446 D．473
4．（2021·全国高考真题（理））魏晋时刘徽撰写的《海岛算经》是关测量的数学著作，其中第一题是测
海岛的高．如图，点 ， ， 在水平线 上， 和 是两个垂直于水平面且等高的测量标杆的高
度，称为“表高”， 称为“表距”， 和 都称为“表目距”， 与 的差称为“表目距的
差”则海岛的高 （ ）
A． 表高 B． 表高
C． 表距 D． 表距
5.（2021·全国高考真题（理））已知 是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且
，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．6．（2021·全国高考真题）记 是内角 ， ， 的对边分别为 ， ， .已知 ，点 在
边 上， .
（1）证明： ；
（2）若 ，求 .
