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专题 6.6 解三角形的最值（范围）及
图形切割
题型一 利用基本不等式求最值（范围）
题型二 利用三角函数值域求角的范围
题型三 利用三角函数值域求边的范围
题型四 图形切割
题型五 角平分线的应用
题型六 中线的应用
题型七 解三角形的结构不良
题型一 利用基本不等式求最值（范围）
例1．（2023·湖北武汉·华中师大一附中校考模拟预测）已知 中，角 ， ， 所对
边分别为 ， ， ，若满足 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 面积的取值范围．
例2．（2023春·浙江·高二期中）已知平面向量 ， ，函
数 ．
(1)求 的单调增区间．
(2)在 ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，若 ， ，求 ABC周
长的取△值范围． △
练习1．（2023·全国·高三专题练习）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
且 ．
(1)求 ；
(2)求 的最小值．练习2．（2023·湖南·校联考模拟预测）在 中， 分别是角 所对的边，
向量 ，且 ．
(1)求角 的大小；
(2)若 ，求 外接圆半径的最小值．
练习3．（2023春·四川南充·高三四川省南充高级中学校考阶段练习）已知向量
，函数 .
(1)求函数 的最大值及相应自变量的取值集合；
(2)在 中，角 的对边分别为 ，若 ，求 面积的最大值.
练习4．（2023·河南洛阳·模拟预测）已知 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
若 .
(1)求 ；
(2)若 ， ，求 的面积的最大值.
练习5．（2023春·内蒙古赤峰·高三校考阶段练习）在 中，内角 ， ， 所对的边
为 ， ， ，且 ， ，则下列说法正确的是______.
① ；② ；③ 周长的最大值为3；④ 的最大值为 ．
题型二 利用三角函数值域求角的范围
例3．（2023春·全国·高三专题练习）锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，
C，若 ，则sinA的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
例4．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，内角 、 、 所对边分别为 、 、
，且 ．
(1)求角 ；
(2)求 的最大值．练习6．（2023春·全国·高三专题练习）锐角 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ，
， ， ，且 ，则 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
练习7．（2023春·河南南阳·高三河南省桐柏县第一高级中学校考期中）已知锐角 的
内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 ．
(1)求A；
(2)求 的取值范围．
练习8．（2023·陕西榆林·统考三模）已知 分别为 的内角 所对的边，
，且 ．
(1)求 ；
(2)求 的取值范围．
练习9．（2023春·河南平顶山·高三校联考阶段练习）已知 的内角A，B，C的对边
分别为a，b，c，若 的面积 ，则角 ______， 的最大
值为______．
练习10．（2023春·四川成都·高三成都实外校联考阶段练习）在 中，角A，B，C的
对边分别为a，b，c，且 ，则 的取值范围为______．
题型三 利用三角函数值域求边的范围
例5．（2023·重庆·统考模拟预测）在锐角 中，角A、B、C的对边分别为a、b，c，
其面积为S，且 ．
(1)求角A的大小；
(2)若 ，求S的取值范围．
例6．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知
．(1)求A的值；
(2)若 是锐角三角形，求 的取值范围．
练习11．（2023·全国·高三专题练习）在 中，角 的对边分别为 ，已知
，且 .
(1)求 的外接圆半径 ；
(2)求 内切圆半径 的取值范围.
练习12．（2023春·浙江宁波·高二余姚中学校考期中）在 中，角 的对边分别
为 ，且 .
(1)求角 ；
(2)若 为锐角三角形， 为 边的中点，求线段 长的取值范围.
练习13．（2023·高三单元测试）在锐角三角形 中，
，则 边上的高的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
练习14．（2023春·重庆万州·高三重庆市万州第二高级中学校考阶段练习）在锐角
中， 分别是角 所对的边， ，且 .
(1)求 ；
(2)若 周长的范围
练习15．（2023·全国·高三专题练习）在锐角 中，角A，B，C所对的边为a，b，
c，已知 ， ．
(1)求c；
(2)求 的取值范围．
题型四 图形切割例7．（2023春·陕西榆林·高三绥德中学校考阶段练习）在 中， 为
的角平分线上一点，且与 分别位于边 的两侧，若
(1)求 的面积;
(2)若 ，求 的长.
例8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在梯形 中，已知 ， ，
， ， ，求：
(1) 的长；
(2) 的面积．
练习16．（2023秋·浙江·高三浙江省永康市第一中学校联考期末）如图，在 中，点
在边 上，
(1)证明： ；
(2)若 ， ，求 .
练习17．（2023·山东·烟台二中校联考模拟预测）已知平面四边形ABCD中， ，
， ．
(1)求 ；(2)若 ， ，求四边形ABCD的面积．
练习18．（2023春·全国·高三专题练习）如图，在 中，内角 ， ， 的对边分别
为 ， ， ．已知 ， ， ，且 为 边上的中线， 为
的角平分线．
(1)求 及线段 的长；
(2)求 的面积．
练习19．（2023春·广东深圳·高三深圳外国语学校校考阶段练习）如图，在平面四边形
中，若 ， ， ， ，
．
(1)求B；
(2)求证： ．
练习20．（2023春·福建福州·高三福建省福州高级中学校考期中）如图，在△ABC中，点
D在边BC上，且 ， ， ．
(1)若 ，求 的值；
(2)若BC边上点E满足 ， ，求 ．
题型五 角平分线的应用
例9．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在非直角 中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ， 是角 的内角平分线，且 ，
则 等于（ ）
A． B． C． D．
例10．（2023·安徽合肥·合肥市第八中学校考模拟预测）已知 的内角 所对的
边分别为 ，且满足 .
(1)求 ；
(2)若 在 上， 是 的角平分线，且 ，求 的最小值.
练习21．（2023春·吉林长春·高三长春十一高校考期中）记 的内角 ､ ､ 的对边
分别为 ､ ､ ，已知 .
(1)证明： ；
(2)若 ， ，角 的内角平分线与边 交于点 ，求 的长.
练习22．（2023春·天津武清·高三天津英华国际学校校考阶段练习）在 中，角A，
B，C的对边分别为a，b，c，已知 ，若角A的内角平分
线AD的长为3，则 的最小值为（ ）
A．12 B．24 C．27 D．36
练习23．（2023·全国·高三专题练习）在 ABC中，角 所对的边分别是 ，其中
， ， .若B的角△平分线BD交AC于点D，则 ______.
练习24．（2023春·全国·高三专题练习）已知 的内角 的对边分别为 ，
且 .
(1)求角B；
(2)设 的角平分线 交 于点D，若 ，求 的面积的最小值.
练习25．（2023·全国·高三专题练习）记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，
分别以a，b，c为边长的三个正三角形的面积依次为 ， ， ．已知 ．(1)求 ；
(2)若 外接圆面积为 ，求 的最大值；
(3)若 ，且 的角平分线 ，求 ．
题型六 中线的应用
例11．（2023春·辽宁大连·高三校联考期中）在 中，内角A，B，C的对边分别为
a，b，c， ， .
(1)求 ；
(2)若 的面积为 ，求 边上的中线 的长.
例12．（2023春·福建福州·高三福建省连江第一中学校考期中）记 的内角A， ，
的对边分别为 ， ， ，点 为 边的中点．若 ， ， ，则
的面积为 __．
练习26．（2023春·湖北孝感·高三湖北省汉川市第一高级中学校联考期中）已知a、b、c
分别为 内角A、B、C的对边，且 .
(1)求 ；
(2)若中线 ，求 面积的最大值.
练习27．（2023春·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）如图，在 中，
已知 边上的两条中线 相交于点 ，则 的
余弦值为__________.
练习28．（2023春·山东淄博·高三山东省淄博实验中学校考期中）已知在 中，AD为
BC边上的中线，且 ， ，则 的最小值为________．
练习29．（2023·全国·模拟预测）在 中，角 所对的边分别为 ， ， ，，点 在线段 上，设 .
(1)若 是 的平分线， ，求 的大小；
(2)若 是 边上的中线， ， ，求 的周长.
练习30．（2023春·四川成都·高三成都市锦江区嘉祥外国语高级中学校联考期中）在
中，角 的对边分别为 ，且 的面积为
(1)求角 的大小；
(2)若 是 的一条中线，求线段 的长.
题型七 解三角形的结构不良
例13．（2023·山西·校联考模拟预测）如图，在 中， 为边 上一点，
.
(1)求角 ；
(2)从下面两个条件中选一个，求角 .
① ；
② .
例14．（2023·重庆·统考三模）在① ，② ，③
，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答．
问题：锐角 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知________．
(1)求A；
(2)若 ， 为AB的中点，求CD的取值范围．练习31．（2023·北京·高三专题练习） 的内角 的对边分别为 ， ，
且______．
在① ，② ，这两个条件中任选一个，补充在横线中，并解答．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
(1)求 的面积；
(2)若 ，求 ．
练习32．（2023·江苏南通·统考模拟预测）在① ，②
这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并完成解答
记 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知______.
(1)求角C的大小；
(2)若点D在AB边上，且 ， ，求 的值.
练习33．（2023·安徽阜阳·安徽省临泉第一中学校考三模）在 中，角A，B，C所对
边长分别为a，b，c，满足 .
(1)求 的大小；
(2) ，点D在BC上， ，在① ，② ，③
这三个条件中任选一个作为条件，求 的面积.
练习34．（2023·北京·人大附中校考三模）在 中，a，b，c分别为内角A，B，C所
对的边，且满足 ．
(1)求角A的大小；
(2)试从条件①②③中选出两个作为已知，使得 存在且唯一，写出你的选择
___________，并以此为依据求 的面积．(注：只需写出一个选定方案即可)条件①： ；条件②： ；条件③： ．
注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解
答，按第一个解答计分．
练习35．（2023·江苏无锡·校联考三模）已知 的内角 ， ， 所对的边分别是 ，
， ，且______.
在① ；② ；③ 这三个条
件中任选一个，补充在上面横线上，并加以解答.
(1)求 ；
(2)若 ， ，点 为 的中点，点 满足 ，且 ， 相交于点 ，
求 .
（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分）
