文档内容
第4讲 平面向量数量积的最值与范围问题（新高考专用）
目录
【真题自测】.................................................................................................................................2
【考点突破】...............................................................................................................................10
【考点一】求参数的最值(范围).....................................................................................................10
【考点二】求向量模、夹角的最值(范围).......................................................................................15
【考点三】求向量数量积的最值(范围)...........................................................................................21
【专题精练】...............................................................................................................................27
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学科网（北京）股份有限公司考情分析：
平面向量中的最值与范围问题，是高考的热点与难点问题，主要考查求向量的模、数量积、夹角及向量的
系数等的最值、范围．解决这类问题的一般思路是建立求解目标的函数关系，通过函数的值域解决问题，
同时，平面向量兼具“数”与“形”的双重身份，数形结合也是解决平面向量中的最值与范围问题的重要
方法．
真题自测
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交于B，C两
点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·北京·高考真题）在 中， ．P为 所在平面内的动点，且
，则⃑PA⋅⃑PB的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
3．（2024·天津·高考真题）在边长为1的正方形 中，点 为线段 的三等分点，
，则 ； 为线段 上的动点， 为 中点，则 的最
小值为 ．
4．（2022·天津·高考真题）在 中，点D为AC的中点，点E满足 .记 ，用
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学科网（北京）股份有限公司表示 ，若 ，则 的最大值为
5．（2022·浙江·高考真题）设点P在单位圆的内接正八边形 的边 上，则
的取值范围是 ．
6．（2021·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点， 且交AB
于点E． 且交AC于点F,则 的值为 ； 的最小值为
．
7．（2021·浙江·高考真题）已知平面向量 满足 .记向量 在
方向上的投影分别为x，y， 在 方向上的投影为z，则 的最小值为 .
参考答案：
题号 1 2
答案 A D
1．A
【分析】由题意作出示意图，然后分类讨论，利用平面向量的数量积定义可得
，或 然后结合三角函数的性质即可确定 的最大
值.
【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
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学科网（北京）股份有限公司当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，
则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
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学科网（北京）股份有限公司则：
，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
【点睛】本题的核心在于能够正确作出示意图，然后将数量积的问题转化为三角函数求最值的问题，考查
了学生对于知识的综合掌握程度和灵活处理问题的能力.
2．D
【分析】依题意建立平面直角坐标系，设 ，表示出⃑PA，⃑PB，根据数量积的坐标表示、辅助
角公式及正弦函数的性质计算可得；
【详解】解：依题意如图建立平面直角坐标系，则 ， ， ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，所以 在以 为圆心， 为半径的圆上运动，
设 ， ，
所以⃑PA=(3-cosθ,-sinθ)，⃑PB=(-cosθ,4-sinθ)，
所以⃑PA⋅⃑PB=(-cosθ)×(3-cosθ)+(4-sinθ)×(-sinθ)
，其中 ， ，
因为 ，所以 ，即⃑PA⋅⃑PB∈[-4,6]；
故选：D
3．
【分析】解法一：以 为基底向量，根据向量的线性运算求 ，即可得 ，设 ，求
，结合数量积的运算律求 的最小值；解法二：建系标点，根据向量的坐标运算求 ，即
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学科网（北京）股份有限公司可得 ，设 ，求 ，结合数量积的坐标运算求 的最小值.
【详解】解法一：因为 ，即 ，则 ，
可得 ，所以 ；
由题意可知： ，
因为 为线段 上的动点，设 ，
则 ，
又因为 为 中点，则 ，
可得
，
又因为 ，可知：当 时， 取到最小值 ；
解法二：以B为坐标原点建立平面直角坐标系，如图所示，
则 ，
可得 ，
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学科网（北京）股份有限公司因为 ，则 ，所以 ；
因为点 在线段 上，设 ，
且 为 中点，则 ，
可得 ，
则 ，
且 ，所以当 时， 取到最小值为 ；
故答案为： ； .
4．
【分析】法一：根据向量的减法以及向量的数乘即可表示出 ，以 为基底，表示出 ，由
可得 ，再根据向量夹角公式以及基本不等式即可求出．
法二：以点 为原点建立平面直角坐标系，设 ，由 可得点 的轨迹为
以 为圆心，以 为半径的圆，方程为 ，即可根据几何性质可知，当且仅当 与
相切时， 最大，即求出．
【详解】方法一：
，
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学科网（北京）股份有限公司，
，当且仅当 时取等号，而
，所以 ．
故答案为： ； ．
方法二：如图所示，建立坐标系：
，
，
，所以点 的轨迹是以 为圆心，以 为半径
的圆，当且仅当 与 相切时， 最大，此时 ．
故答案为： ； ．
5．
【分析】根据正八边形的结构特征，分别以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立
平面直角坐标系，即可求出各顶点的坐标，设 ，再根据平面向量模的坐标计算公式即可得到
，然后利用 即可解出．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】以圆心为原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，如图所示：
则 , ，设
,于是 ，
因为 ，所以 ，故 的取值范围是 .
故答案为： ．
6． 1
【分析】设 ，由 可求出；将 化为关于 的关系式
即可求出最值.
【详解】设 ， ， 为边长为1的等边三角形， ，
，
， 为边长为 的等边三角形， ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
所以当 时， 的最小值为 .
故答案为：1； .
7．
【分析】设 ，由平面向量的知识可得 ，再结合柯西不等式即可
得解.
【详解】由题意，设 ，
则 ，即 ，
又向量 在 方向上的投影分别为x，y，所以 ，
所以 在 方向上的投影 ，
即 ,
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司当且仅当 即 时，等号成立，
所以 的最小值为 .
故答案为： .
【点睛】关键点点睛：
解决本题的关键是由平面向量的知识转化出 之间的等量关系，再结合柯西不等式变形即可求得最小
值.
考点突破
【考点一】求参数的最值(范围)
一、单选题
1．（23-24高一下·河北沧州·阶段练习）如图，在 中， 是 的中点， 是 的中点，过点 作
直线分别交 于点 ， ，且 ，则 的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．4 D．
2．（2022·全国·模拟预测）在 中，点F为线段BC上任一点（不含端点），若
，则 的最小值为（ ）
A．9 B．8 C．4 D．2
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学科网（北京）股份有限公司二、多选题
3．（2024·山西晋中·模拟预测）在 中， 为边 上一点且满足 ，若 为边 上一点，
且满足 ， ， 为正实数，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为1 B． 的最大值为
C． 的最大值为12 D． 的最小值为4
4．（2024·江苏·二模）在长方形ABCD中， ， ，点E，F分别为边BC和CD上两个动点
（含端点），且 ，设 ， ，则（ ）
A． ， B． 为定值
C． 的最小值50 D． 的最大值为
三、填空题
5．（2024·天津·一模）已知平行四边形 的面积为 ， ，且 .若F为线段
上的动点，且 ，则实数 的值为 ； 的最小值为 .
6．（2024·上海松江·二模）已知正三角形 的边长为2，点 满足 ，且 ， ，
，则 的取值范围是 .
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A A BD AC
1．A
【分析】计算得 ，再利用三点共线结论得系数和为1，即 ，再利用基本不
等式求出最值即可.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】因为 是 的中点，且 ，
所以 .
因为 三点共线，所以 ，
即 ，所以 ，
当且仅当 时，等号成立.
故选：A.
2．A
【分析】根据向量共线定理得推论得到 ，再利用基本不等式“1”的妙用求解最小值.
【详解】因为点F为线段BC上任一点（不含端点），
所以 ，
故 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，
故选：A
3．BD
【分析】根据 三点公式求得 ，结合基本不等式判断即可.
【详解】因为 ，所以 ，
又 ，
因为 、 、 三点共线，所以 ，
又 ， 为正实数，所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故A错误，B正确；
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学科网（北京）股份有限公司，
当且仅当 ，即 ， 时取等号，故C错误，D正确.
故选：BD
4．AC
【分析】根据题设结合 的位置可确定参数范围，判断A；取特殊位置计算 的值，可判断B；根据
数量积的运算律结合三角恒等变换可判断C；举出反例可判断D.
【详解】对于A，由题意知当E和B重合时， ，此时 取最小值 ， 取到最大值1；
当F和D重合时， ，此时 取最小值 ， 取到最大值1，A正确；
对于B，当E和B重合时， ， ；
当 分别位于 的中点时，满足 ，
此时 ， ，由此可知 不为定值，B错误；
对于C，
，
由 ，得 ，即 ,
即 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司设 ， ，
则
，（ 为辅助角， ），
当 时， 取到最小值50，即 的最小值50，C正确，
对于D，当 时， ，
则
，故D错误，
故选：AC
【点睛】难点点睛：解答本题的难点是选项C的判断，解答时要利用向量的加减以及向量数量积的运算律
结合三角代换以及恒等变换进行求解.
5． /0.5
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算即可求出第一空，建立平面直角坐标系，依据条件建立方程，
结合基本不等式求解第二空即可.
【详解】
因为 所以 ，
由 共线，则 ，解得
作 ，以 为原点建立平面直角坐标系，
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学科网（北京）股份有限公司设 且 ，则 ，而 的面积为 ，
则 ，故 ，
则 ，
则 ，
当且仅当 时取“=”，
所以 的最小值为
故答案为： ； .
6．
【分析】取 的中点 ，由题意可得 ，从而推得 三点共线，进而得出
，即可得出答案.
【详解】取 的中点 ，则 ，
又 ，又因为 ，
故 三点共线，即点 在中线 上运动，
在正三角形 中， ，
又 ， ，则 ，
故 .
故答案为：
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学科网（北京）股份有限公司规律方法：
利用共线向量定理及推论
(1)a∥b a＝λb(b≠0)．
(2)OA＝⇔λOB＋μOC(λ，μ为实数)，则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
【考点二】求向量模、夹角的最值(范围)
一、单选题
1．（2024·河北石家庄·二模）在平行四边形 中， ，则 的取
值范围是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·全国·模拟预测）已知向量 ， 满足 ， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C．8 D．2
二、多选题
3．（2024·甘肃武威·模拟预测）已知 是同一平面内的四点，且
，则（ ）
A．当点 在直线 的两侧时，
B．当点 在直线 的同侧时，
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学科网（北京）股份有限公司C．当点 在直线 的两侧时， 的最小值为3
D．当点 在直线 的同侧时，
4．（23-24高一下·四川成都·期中）已知向量 满足： 为单位向量，且 和 相互垂直，又
对任意 不等式 恒成立，若 ，则（ ）
A． B．
C．当 时， 最小 D． 的最小值为
三、填空题
5．（2023·天津河西·一模）在梯形 中， ，且 ， ， 分别为线段 和 的中
点，若 ， ，用 ， 表示 ．若 ，则 余弦值的最小值为
．
6．（23-24高三上·天津宁河·期末）在平行四边形 中， ， 是 的中点， ，
若设 ，则 可用 ， 表示为 ；若 的面积为 ，则 的最小值为
．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 A A ACD ABD
1．A
【分析】根据向量的运算律及数量积定义计算即可.
【详解】设与 同方向的单位向量 ，与 同方向的单位向量 ，与 同方向的单位
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学科网（北京）股份有限公司向量 ，
由题意，所以 ，
所以 ，即 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，
所以 ，即 .
故选：A
2．A
【分析】设 且 ，建立直角坐标系，得到 ，求得
，得到 ，结合基本不等式和函数
上的单调性，即可求解.
【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系，设 且 ，
因为 ，可得 ，
则 ，
所以 ，
又因为向量 满足 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司，
则 ，
设 ，因为 ，当且仅当 ，
所以 ，
又因为 在 上为单调递增函数，
所以 ，即 的最小值为 .
故选：A.
3．ACD
【分析】依据 在直线 的同侧或两侧分类研究，在两侧时由数量积和模的运算计算结果，可判断
A、C；在同侧时利用数量积的三角形式求解可判断B，结合平面向量基本定理，判断答案D.
【详解】
设 ，由 ， ，
得
；由 ，得 ， ，
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学科网（北京）股份有限公司当点 在直线 的两侧时，如图①， ，
所以 ，即 ，故A正确；
因为 ，
所以当 时， 的最小值为3，故C正确；
当点 在直线 的同侧时，如图②，
，
所以 ，故B错误；
设 ，则 ，
即 解得 ，
所以 ，即 ，故D正确．
故选：ACD.
4．ABD
【分析】根据条件得到 ，再数形结合，得到 ，从而判断出选项A正确；再利用选项A的结
果，得到 ，利用夹角公式，即可求得 ，从而得出选项B正确；由 得到
，即可判断出选项C和D的正误，从而得出结果.
【详解】因为 为单位向量，且 和 相互垂直，所以 ，得到 ，
对于选项A，如图，设 ， ，则 ， ，
又对任意 不等式 恒成立，所以 ，故选项A正确，
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学科网（北京）股份有限公司对于选项B，由选项A知， ，得到 ，所以 ，
又 ，所以 ，所以选项B正确，
又因为 ， ， ， ，
所以 ，
当 时， ，即 ，故选项C错误，选项D正确，
故选：ABD.
5．
【分析】空（1）使用向量线性运算求解即可；
空（2）以 与 为基底，用数量积的形式表示出 ，再由基本不等式求解即可.
【详解】
如图，由已知，
.
∴ .
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学科网（北京）股份有限公司设 ，即 与 的夹角为 ，
，
若 ，则 ，
∴ ，
又∵ ， ，∴由基本不等式，
∴ .
当且仅当 ，即 时，等号成立.
故答案为： ， .
【点睛】关键点睛：解决本题第2空的关键，是用以 为夹角的两个向量作为基底，将垂直关系转化
为数量积的形式，再借助基本不等式求解.
6．
【分析】根据题意，利用平面向量的线性运算法则，以及向量数量积的运算公式以及模的运算公式，结合
基本不等式，即可求解.
【详解】如图所示，根据向量的运算法则，
可得 ，
设 ，因为 的面积为 ，可得 ，即 ，
又由
，当且仅当 时，等号成立，
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学科网（北京）股份有限公司所以 的最小值为 .
故答案为： ； .
规律方法：
找两向量的夹角时，要注意“共起点”以及向量夹角的取值范围是[0，π]．若向量a，b的夹角为锐角，包
括a·b>0和a，b不共线；若向量a，b的夹角为钝角，包括a·b<0和a，b不共线．
【考点三】求向量数量积的最值(范围)
一、单选题
1．（23-24高三下·江西·开学考试）如图，已知圆 的半径为2，弦长 ， 为圆 上一动点，则
的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
2．（2024·江西·一模）如图，正六边形的边长为 ，半径为1的圆O的圆心为正六边形的中心，若点M
在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则 的取值范围为（ ）
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学科网（北京）股份有限公司A． B．[5,7] C． D．
二、多选题
3．（2024·山东潍坊·二模）已知向量 ， ， 为平面向量， ， ， ， ，则
（ ）
A． B． 的最大值为
C． D．若 ，则 的最小值为
4．（2024·福建龙岩·一模）已知点 与圆 是圆 上的动点，则（ ）
A． 的最大值为
B．过点 的直线被圆 截得的最短弦长为
C．
D． 的最小值为
三、填空题
5．（2024·天津·二模）在四边形 中， 为 中点． 记
，用 表示 ；若 ，则 的最大值为
．
6．（2024·天津·一模）在 中， ，则 ；若点 为 所在
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学科网（北京）股份有限公司平面内的动点，且满足 ，则 的取值范围是 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4
答案 C B BCD ACD
1．C
【分析】取 的中点 ，连接 、 ，根据数量积的运算律得到 ，再求出 即可
求出 的范围，从而得解.
【详解】取 的中点 ，连接 、 ，
则
，
又 ，
所以 ， ，
即 ，
所以 ， ．
故 的取值范围为 ．
故选：C
2．B
【分析】根据题意，由平面向量数量积的运算化简，可得 ，再由 的范围，即可得
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学科网（北京）股份有限公司到结果.
【详解】由题意可得，
，
当 与正六边形的边垂直时， ，
当点 运动到正六边形的顶点时， ，
所以 ，则 ，即 .
故选：B
3．BCD
【分析】对A，设 ，根据 可得 ，从而可得 的范围；
对B，化简 ，根据点到圆上的点的距离求解最大值即可；对C，化简 ，再结合 满
足圆的方程求范围即可；对D，根据 满足圆的方程进行三角换元求解最值即可.
【详解】对A，设 ，根据 有 ，
即 ，为圆心为(1,0)，半径为 的圆，又 的几何意义为原点到圆
上 的距离，则 ，故A错误；
对B，
(1 )
，则转化为求圆 上的点到 ,1 的距离最大值，
2
为 ，故B正确；
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学科网（北京）股份有限公司对C， ，因为 ，故 ，故C正确；
对D，因为 ，故 ，
又因为 ，故 ，
，
故当 时，取最小值 取最小值 ，故D正确.
故选：BCD
4．ACD
【分析】对A利用圆外点到圆上点距离最值模型即可判断；对B，利用弦长公式即可判断；对C，根据投
影向量与向量数量积之间的关系即可即可；对D，根据向量共线定理并结合向量减法的线性运算转化为圆
心到直线的距离即可.
【详解】对A，圆 的圆心坐标 ，半径 ，
将原点 代入圆的方程有 ，则原点在圆外，
则 ，则 ，故A正确；
对B，将B(2,1)代入圆方程得 ，则点 在圆内，
设圆心到过点 的直线距离为 ，则 ,
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学科网（北京）股份有限公司而被截的弦长为 ，
则弦长最短为 ，故B错误；
对C，作出 在 上投影向量 ，
则 ，因为 ，
即 ，
则 ，故C正确；
对D，对 与 共线，则 的最小值为点 到直线 的距离，
易知直线 的方程为 ，则点 到直线 的距离 ，故D正确.
故选：ACD.
5．
【分析】利用给定的基底，利用向量的线性运算求出 ；利用数量积的运算律及定义，余弦定理、基本
不等式求出最大值即得.
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学科网（北京）股份有限公司【详解】由 是 中点， ，得 ；
在四边形 中，令 ，由 ，得 ，
由 ，得 ，在 中，由余弦定理得，
，即 ，当且仅当 时取等号，
由 ，得 ， ，
因此
，
所以 的最大值为 .
故答案为： ；
6．
【分析】借助模长与数量积的关系即可得 ，取 中点 ，借助向量的线性运算可得
，逐项计算即可得其取值范围.
【详解】 ，
故 ，
，
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学科网（北京）股份有限公司取 中点 ，则 ，
， ，
故 ，
故 .
故答案为： ； .
规律方法：
向量数量积最值(范围)问题的解题策略
(1)形化：利用平面向量的几何意义将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征
直接进行判断．
(2)数化：利用平面向量的坐标运算，把问题转化为代数中的函数最值与值域、不等式的解集或方程有解等
问题，然后利用函数、不等式或方程的有关知识来解决．
专题精练
一、单选题
1．（23-24高三上·北京昌平·期末）已知点 在圆 上，点 的坐标为 为原点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·河南郑州·二模）在平面直角坐标系 中，设 ， ，动点P满足 ，
则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
32 / 46
学科网（北京）股份有限公司3．（2024·北京平谷·模拟预测）已知 ， ，P是曲线 上一个动点，则 的最
大值是（ ）
A．2 B． C． D．
4．（23-24高三上·湖南长沙·阶段练习）在等腰 中， 的外接圆圆心
为 ，点 在优弧 上运动，则 的最小值为（ ）
A．4 B．2 C． D．
5．（2024·江苏扬州·模拟预测）已知菱形 的边长为 ，动点 在 边上（包括端点），
则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·北京海淀·三模）已知 为单位向量，向量 满足 ， ，则 的最大值为（ ）
A．1 B．2 C． D．4
7．（2024·安徽·模拟预测）已知 是圆O： 的直径，M，N是圆O上两点，且 ，
则 的最小值为（ ）
A．0 B．-2 C．-4 D．
8．（2024·辽宁·模拟预测）在矩形 中， ， 为 中点， 为平面 内一点，
.则 的取值范围为（ ）
A． B．
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学科网（北京）股份有限公司C． D．
二、多选题
9．（23-24高一下·重庆·阶段练习） 的内角A，B、C的对边分别为a，b，c，若 ，
则（ ）
A． B．
C．角A的最大值为 D． 面积的最大值为
10．（2024·河南·三模）已知平面向量 ，则下列说法正确的有（ ）
A． 一定可以作为一个基底
B． 一定有最小值
C．一定存在一个实数 使得
D． 的夹角的取值范围是
11．（2024·福建泉州·模拟预测）在平面直角坐标系 中，已知 是动点．下列
命题正确的是（ ）
A．若 ，则 的轨迹的长度等于2
B．若 ，则 的轨迹方程为
C．若 ，则 的轨迹与圆 没有交点
D．若 ，则 的最大值为3
三、填空题
12．（23-24高三下·安徽·阶段练习）已知正方形 的边长为2，中心为 ，四个半圆的圆心均为正方
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学科网（北京）股份有限公司形 各边的中点（如图），若 在 上，且 ，则 的最大值为 ．
13．（22-23高二下·上海浦东新·期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名.他发现：
“平面内到两个定点 、 的距离之比为定值 （ 且 ）的点的轨迹是圆”.后来人们将这个圆以
他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，在平面直角坐标系 中， 、 ，点 满
足 ，则 的最小值为 .
14．（2023·山东·二模）已知直线 过圆 的圆心，且与圆相交于 ， 两点， 为椭圆
上一个动点，则 的最大值与最小值之和为 ．
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D C D D C C C A BCD BC
题号 11
答案 ACD
1．D
【分析】设 ，利用平面向量数量积的坐标运算结合直线与圆的位置关系可得结果.
【详解】设 ，因点 的坐标为 ，所以 ，
则 ，
设 ，即 ，
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学科网（北京）股份有限公司依题意，求t的范围即求直线 与圆 有公共点时在y轴上截距的范围，
即圆心 到 的距离 ，解得 ，
所以 的取值范围为 ，
故选：D.
2．C
【分析】设出点P(x,y)，利用数量积的坐标表示得到点 的轨迹，结合直线与圆的关系进行求解即可.
【详解】设P(x,y)，则 ， ，
则 ，即 ，
化为 ，则点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆，
又 ，所以 三点共线，
显然当直线 与此圆相切时， 的值最大.
又 ,
则 ,
则 .
故选：C.
3．D
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学科网（北京）股份有限公司【分析】根据向量数量积的坐标运算可得 ，再利用直线与圆的位置关系数形结合即可得
解.
【详解】因为 ，即 ，
则曲线 表示以坐标原点O为圆心，半径为1的上半圆，并记为 ，
设点P(x,y)，则 ，
所以 ，令 ，则 ，
故直线 （斜率为 ，纵截距为 ）与曲线 有公共点，如图所示：
直线 过点 ，则 ，即 ，
直线 与曲线 相切，则 ，解得 或 （舍去），
所以 ，则 ，所以 的最大值为 .
故选：D.
4．D
【分析】根据题意，由正弦定理可得圆 的外接圆直径，从而可得 ，代入计算，即可
得到结果.
【详解】由已知 ，所以圆 的外接圆直径为 ，
因为 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 ，
所以 ，
因为 ，即 ，所以 时，取到最小值 ．
故选：D．
5．C
【分析】建立平面直角坐标系，利用向量积的坐标计算将目标式化简，求出取值范围即可.
【详解】
如图，作 ，以 为原点，建立平面直角坐标系，
易知 ， ， ，
设 ，且x∈[0,2]，故 ， ，
故 ，而 ， .
故选：C
6．C
【分析】设 ， ，根据 求出 ，再根据 得到 ，最后根据向
量模的坐标表示及二次函数的性质计算可得.
【详解】依题意设 ， ，
由 ，所以 ，则 ，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，且 ，
所以 ，即 ，
所以 ，当且仅当 时取等号，
即 的最大值为 .
故选：C
7．C
【分析】取 的中点C，结合垂径定理与数量积的运算表示出 后，借助三角函数值域即
可得解.
【详解】设 的中点为C，∵ ， ，
则 ，
∵C为 的中点，∴ ，
设向量 与 的夹角为 ，
∴ ，
又 ，∴ 的最小值为 .
故选：C.
8．A
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学科网（北京）股份有限公司【分析】建系，设 ，根据向量的坐标运算结合辅助角公式可得 ，再
结合正弦函数的有界性分析求解.
【详解】如图，建立平面直角坐标系，
则 ，
因为 ，可设 ，
则 ，
可得 ，
其中 ，
因为 ，所以 .
故选：A.
9．BCD
【分析】首先将向量的数量积转化为 ，再根据余弦定理和基本不等式，三角形的面积公式，即
可求解.
【详解】 ，故A错误；
根据余弦定理 ，则 ，故B正确；
由A知， ， ，则 ，故C正确；
， ，当 时， 面积的最大值为 ，故D正确.
故选：BCD
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学科网（北京）股份有限公司10．BC
【分析】对A：借助基底的定义与向量共线定理计算即可得；对B：借助模长定义计算即可得；对C：借助
模长与数量积的关系计算即可得；对D：找出反例即可得.
【详解】对A：若 ，即 ，即 ，此时 不能作基底，故A错误；
对B： ，
故 有最小值❑√2，故B正确；
对C：若 ，则有
即 ，即 ，即 ，
解得 ，即当 时， ，故C正确；
对D：由A知，若 ，则 ，即 只能同向不能反向，
故 的夹角不可能为 ，故D错误.
故选：BC.
11．ACD
【分析】对于A，确定M点轨迹，即可判断；对于B，结合双曲线定义进行判断；对于C，求出M点轨迹
方程，联立方程或利用向量数量积判断与圆的交点情况，即可判断；对于D，求出动点M的轨迹方程，进
而求解数量积最值，即可判断.
【详解】选项A：因为 ，所以 的轨迹为线段 ，
从而 的轨迹的长度等于2，故A正确；
选项B：因为 ，由双曲线的定义知， 的轨迹是以 为焦点的双曲线的右支，
而结论的方程中未限制范围，故B错误；（由 ，得 的轨迹方程为 ）
选项C：解法一：由 ，得 ，
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学科网（北京）股份有限公司化简得， ，联立 ，得 ，
这与 矛盾，所以方程组无解，故 的轨迹与圆 没有交点，故C正确；
解法二：若有交点M(x,y)，则 ，
又 ，矛盾，
所以 的轨迹与圆 没有交点，故C正确；
选项D：
解法一：由 得， ，
化简得 ，
所以 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
等于 在 轴上的投影的长度，
由图知其最大值为3，故D正确；
解法二：同法一得 的轨迹是以 为圆心，半径为 的圆，
，由圆的方程知 可取到最大值3，故D正确；
解法三：由 得， ，
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学科网（北京）股份有限公司当 在 的反向延长线上时取等号，
① ；
②当 在 的反向延长线上，且 时，
满足条件 ，此时 ，
所以 的最大值为3，故D正确；
故选：ACD．
12．
【分析】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，设
， ,又 ，利用向量的坐标运算，结合三角函数的恒
等变形与性质求解即可.
【详解】如图，以线段BC所在直线为x轴，线段BC的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，
设 ，
又 ，
则 ，
，即
，
解得 ，
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学科网（北京）股份有限公司,
因为 ，则 ，
所以当 时， 取得最大值1，
则 的最大值为 .
故答案为： .
13．
【分析】设点 ，利用已知条件求出点 的轨迹方程，利用平面向量数量积的运算性质可得出
，求出 的最小值，即可得出 的最小值.
【详解】设点 ，由 可得 ，整理可得 ，
化为标准方程可得 ，
因为 为 的中点，
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学科网（北京）股份有限公司所以，
，
记圆心为 ，当点 为线段 与圆 的交点时，
取最小值，此时， ，
所以， .
故答案为： .
14．
【分析】
求出圆的圆心 ，根据题意可得 、 ，利用平面向量的线性运算可得
，即可求解.
【详解】圆 ，圆心 ，半径 ，
因为直线 过圆 的圆心，且与圆相交于 ， 两点，
所以 ，又椭圆 ，则 ， ，右焦点为 ，
所以
，
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学科网（北京）股份有限公司又 ，即 ，所以 ，
即 ，所以 的最大值为 ，最小值为 .
则 的最大值与最小值之和为 .
故答案为：
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