文档内容
专题
3-4
平面向量及其应用
01专题网络·思维脑图（含基础知识梳理、常用结论与技巧）
02考情分析·解密高考
03高频考点·以考定法（三大命题方向+四道高考预测试题，高考必考·5分）
命题点1 平面向量的数量积运算
命题点2 平面向量的线性运算
命题点3 平面向量综合应用
高考猜题
04创新好题·分层训练（ 精选8道最新名校模拟试题+8道易错提升）解三角形是新高考中必考点，一般以一道小题 形式出现，一般作为选择题或者是填空题的
形式出现，难度不大。
真题多维细目表
考点 考向 考题
① 平面向 2023新全国Ⅰ卷T3 新高考Ⅱ卷T13
量的数量积运算 全国乙卷（文）T6 全国甲（文）T3 (理) T4
解三角形
2022 新高考Ⅱ卷T4 全国乙卷T3 全国甲T13
2021 新高考Ⅱ卷T15 新全国Ⅰ卷T10（多选）
全国乙卷（文）T13 （理）T14
全国甲（文）T13 （理）T14
2022 新全国Ⅰ卷T3
2023乙卷（理）T12
② 平面向
量的线性运算
③平面向量综合应用
命题点1 平面向量数量积运算
典例01 （2023·全国新课标Ⅰ卷）已知向量 ，若 ，则（ ）A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】根据向量的坐标运算求出 ， ，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．
【详解】因为 ，所以 ， ，
由 可得， ，
即 ，整理得： ．
故选：D．
典例02（多选题）（2021·全国高考Ⅰ卷）已知 为坐标原点，点 ， ，
， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】AC
【分析】A、B写出 ， 、 ， 的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据向量的
坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.
【详解】A： ， ，所以 ，
，故 ，正确；
B： ， ，所以
，同理，故 不一定相等，错误；
C：由题意得： ，
，正确；
D：由题意得： ，
，故一般来说 故错误；
故选：AC
命题点2 平面向量的线性运算
典例01 （2022·全国新高考Ⅰ卷）在 中，点D在边AB上， ．记 ，则
（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据几何条件以及平面向量的线性运算即可解出．
【详解】因为点D在边AB上， ，所以 ，即 ，
所以 ．
故选：B．
典例02 （2020·新高考Ⅱ卷）在 中，D是AB边上的中点，则 =（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据向量的加减法运算法则算出即可.【详解】
故选：C
【点睛】本题考查的是向量的加减法，较简单.
命题点3 平面向量综合应用
典例01 1．（2023·全国高考乙卷）已知 的半径为1，直线PA与 相切于点A，直线PB与 交
于B，C两点，D为BC的中点，若 ，则 的最大值为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】如图所示， ，则由题意可知: ，
由勾股定理可得
当点 位于直线 异侧时或PB为直径时，设 ，则：
，则
当 时， 有最大值 .
当点 位于直线 同侧时，设 ，
则：，
，则
当 时， 有最大值 .
综上可得， 的最大值为 .
故选：A.
此类综合题中难度较大。本题中对于向量与解析几何结合问题一般来说采用数形结
合思想，将向量的运算通过角度转化成数量积运算，通过设夹角，将向量转化成关于夹角的数量积，从而再利用
辅助角公式即可。
预计2024年高考会向量数量积运算问题，并以单选或者是多选的形式出现
一、单选题
1．若 是夹角为 的两个单位向量， 与 垂直，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由题意先分别算出 的值，然后将“ 与 垂直”等价转换为
，从而即可求解.
【详解】由题意有 ，
又因为 与 垂直，所以 ，
整理得 ，解得 .
故选：B.
2．如图，在平行四边形ABCD中，E是对角线AC上靠近点 的三等分点，点F在BE上且为中点，若
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用向量加减法的几何意义即三角形法则与平行四边形法则，进行运算即可.
【详解】 点F在BE上且为中点，且E是对角线AC上靠近点 的三等分点，
则
，
故选：A.
二、多选题
3．已知向量 ， ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．若 ，则 B．存在 ，使得
C．向量 是与 共线的单位向量D． 在 上的投影向量为
【答案】BCD【分析】根据向量关系依次计算判断即可.
【详解】对A，若 ，则 ，则 ，故A错误；
对B，要使 ，则 ，则 ，因为 ，所以 ，故存在 ，使得
，故B正确；
对C，因为 ，所以 ，又 ，所以向量 是与 共线的单
位向量，故C正确；
对D，因为 为单位向量，则 在 上的投影向量为 ，故D正确.
故选：BCD.
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A·新题速递
1．（2022上·山西运城·高三统考期中）已知向量 ，且 ，则 等于（ ）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【分析】根据 得到 ，再计算 即可.
【详解】因为 ， ，
所以 ，解得 .
所以 ， ， .
故选：A2．（2023·海南海口·海南华侨中学校考二模）如图，在 中， 是 的中点，
与 交于点 ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据向量之间的共线关系，结合共线定理的推论，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得
答案.
【详解】在 中，设 ，由 ，可得 ，故
．
又 是 的中点， ，所以 ，所以 ．
由点 三点共线，可得 ，解得 ，
故 ．
故选：A．
3．（2023·杭州·模拟预测）已知向量 ，若 ，则向量 在向量 上的
投影向量为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据向量垂直求出 后，利用向量的坐标运算写出 的坐标，再根据投影向量的概念即可求解.【详解】依题意得 ，所以 ，解得 ，
所以 ，所以 ，
则向量 在向量 上的投影向量为 ．
故选：D．
4．（2023上·山东烟台·高三统考期中）在平行四边形ABCD中， ，
则 （ ）
A．2 B． C． D．4
【答案】A
【分析】根据题意，将 与 都用 与表示，再求数量积即可.
【详解】在平行四边形ABCD中，如图所示：
因为 ，所以 是 的中点，即 ，
， ,
因为 ，所以 ，
因此， .
故选：A.
5．（2023·河北沧州·校考三模）在 中，若 ， ， ，则
的取值范围为（ ）A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据三角形外心的性质，结合正弦定理、平面向量数量积的定义、圆的几何性质进行求解即可.
【详解】因为 ，
所以 为 的外心，且 为 外接圆上一动点，
又 ， ，
所以 外接圆的半径 .
如图，作 ，垂足为 ，则 .
所以，当 与圆相切时， 取最值，即 在 处取最大值6，
在 处取最小值 ，
故选：B
二、多选题
6．（2023上·云南楚雄·高三统考期中）设非零向量 ， 满足 ， ，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC【分析】根据 得到 ，即可判断AB选项；根据数量积的运算律得到 ，
即可判断CD选项.
【详解】因为 ，所以 ，
即 ，所以 ，A错误，B正确.
因为 ，所以 ，所以 ，C正确，D错误.
故选：BC.
7．（2023上·福建莆田·高三莆田第十中学校考期中）已知平面向量 满足： ，且
， ，则下列结论正确的是（ ）
A．平面向量 的夹角为
B．与向量 共线的单位向量为
C．
D． 的最大值为
【答案】AC
【分析】根据条件，得到 ，再对各个选项逐一分析判断即可求出结果.
【详解】因为 ，所以 ，又 ，得到 ，
对于选项A，因为 ，又 ，所以 ，所以选项A正确；
对于选项B，因为 ，所以与向量 共线的单位向量为 ，所以选项B错误；
对于选项C，因为 ，得到 ，所以选项C正确；对于选项D， ，所以选项D错误，
故选：AC.
8．（2023上·安徽·高三安徽省宿松中学校联考开学考试）已知 ， ， ，
A，B两点不重合，则（ ）
A． 的最大值为2
B． 的最大值为2
C．若 ， 最大值为
D．若 ， 最大值为4
【答案】AD
【详解】A选项，由已知A，B为单位圆上任意两点， ， ，A正确；
B选项，设D为 的中点，则 ，
由于A，B两点不重合，所以 ，则 ，故B错误；
C选项，当P，A，B共线时， ，故C错误；
D选项，当P，A，B共线时，若 坐标分别为 与 或 与 时，
两点重合，此时 ，若 坐标不同时为 与 时，此时 ⊥ ，则 ，
故 ，故D正确.故选：AD
B·易错提升
一、单选题
1．（2023·福建漳州·福建省漳州第一中学统考模拟预测）已知 ， ， 均为单位向量，且满足
，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】利用平面向量数量积的性质进行运算即可．
【详解】 ， ，则 ，即 ，则
故选：C
2．（2023·山西晋城·统考三模）已知向量 ，则 是 的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】利用向量平行的坐标公式计算，得出 ，进而利用充分不必要条件的定义判断即可．【详解】若 ，则 ，解得 或 ，则 是 的充分不必要条件；
故选：A
3．（2023·河北·联考模拟预测）在菱形 中， ，，设
，则 （ ）
A． B． C． D．0
【答案】B
【分析】作出菱形 的草图，根据图形和已知条件，可知各向量之间夹角，再利用向量的数量积公式，
及可求出结果.
【详解】如图，
由于在菱形 中， ，
所以 ， , ，
，且 ；
所以 ； ；
； .
所以 .
故选：B.
4．（2023·河北唐山·高三阶段练习）若平面向量 两两的夹角相等，且 ，则（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
【答案】C
【分析】分类讨论，再由向量求模公式，即可求解.
【详解】当 两两的夹角均为0°时，显然 ；当 两两的夹角均为120°时，
，
故选：C.
5．（2023·湖北武汉·武汉二中校联考模拟预测）如图，已知 是半径为2，圆心角为 的扇形，点
分别在 上，且 ，点 是圆弧 上的动点（包括端点），则 的最小值为
（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系，设 ，则 ，
利用平面向量的坐标运算得 ，结合基本不等式即可求得最值.
【详解】如图，以 为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系则 ，设 ，则 ，
所以 ，
因为 ，所以 ，又 ，则 ，所以 ，当
且仅当 时，等号成立
则 的最大值为 ，所以 的最大值为 ，即 的最小值为 .
故选：A.
二、多选题
6．（2023·广东珠海·珠海市第一中学校考模拟预测）已知 ，下列结论正确的
是（ ）
A．与向量 垂直且模长是2的向量是 和
B．与向量 反向共线的单位向量是
C．向量 在向量 上的投影向量是
D．向量 与向量 所成的角是锐角，则 的取值范围是
【答案】BC
【分析】利用平面向量的运算性质即可求得结果.【详解】对于A，向量的模 不符合，故A不正确.
对于B，向量 的相反向量为 ，与相反向量同向的单位向量是 ，故B正确.
对于C，向量 在向量 上的投影为 ，
与向量 同向的单位向量 ，所以向量 在向量 上的投影向量是
，故C正确.
对于D， 时，向量 与 同向共线，夹角为0，不是锐角，故D不正确.
故选：BC.
7．（2023·安徽淮南·统考二模）已知单位向量 ， ，则下列命题正确的是（ ）
A．向量 ， 不共线，则
B．若 ， ，且 ，则
C．若 ，记向量 ， 的夹角为θ，则θ的最小值为 .
D．若 ，则向量 在向量 上的投影向量是
【答案】AC
【详解】单位向量 ， ，
对于A，向量 ， 不共线， ，因此 ，A正确；
对于B， ， ，且 ，则 ，即 ，而 ，解得 ，于是 ，B错误；
对于C，由 得： ，解得 ，
因此 ，而 ，于是 ，即θ的最小值为 ，C正确；
对于D， ，则 ，向量 在向量 上的投影向量是 ，D错误.
故选：AC
8．（2023·浙江·统考一模）已知O为坐标原点，点 ， ，
，则（ ）
A． B．
C． D．
【答案】ABC
【分析】利用平面向量的坐标表示与旋转角的定义推得 是正三角形，从而对选项逐一分析判断即可.
【详解】对于A，因为 ， ， ，
所以 ， ，
故 是正三角形，则 ，故A正确；
对于B，因为 是正三角形， 是 的外心，
所以 是 的重心，故 ，即 ，故
B正确；对于C， ，故C正确；
对于D，因为 ，则 ，
所以 ，故D错误.
故选：ABC．
