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2025二轮复习专项训练11
平面向量
[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答
题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉
及向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查平面向量的基本运算，中低等难
度；平面向量在解答题中一般为中等难度．
【练前疑难讲解】
一、平面向量的线性运算
常用结论：
(1)已知O为平面上任意一点，则A，B，C三点共线的充要条件是存在s，t，使得OC＝sOA
＋tOB，且s＋t＝1，s，t∈R.
(2)在△ABC中，AD是BC边上的中线，则AD＝(AB＋AC)．
(3)在△ABC中，O是△ABC内一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O是△ABC的重心．
二、平面向量的数量积
1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
2．若A(x，y)，B(x，y)，则|AB|＝.
1 1 2 2
3．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，则cos θ＝＝.
1 1 2 2
三、平面向量的综合运算
解决向量的综合性问题时，根据向量的几何意义或者数量积的定义与坐标运算研究最值问
题及图形的几何性质．
一、单选题
1．（2023·全国·高考真题）已知向量 满足 ，且 ，则
（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·吉林延边·一模）如图，在 中， ， 为 上一点，
且 ，若 ，则 的值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B． C． D．
二、多选题
3．（2024·广东·一模）已知向量 ， ，则下列结论正确的是
（ ）
A．若 ，则
B．若 ，则
C．若 与 的夹角为 ，则
D．若 与 方向相反，则 在 上的投影向量的坐标是
4．（2022·广东·二模）如图，已知扇形OAB的半径为1， ，点C、D分别为线
段OA、OB上的动点，且 ，点E为 上的任意一点，则下列结论正确的是（ ）
A． 的最小值为0 B． 的最小值为
C． 的最大值为1 D． 的最小值为0
学科网（北京）股份有限公司三、填空题
5．（2022·上海虹口·二模）已知向量 ， 满足 ， ， ，则
.
6．（2023·上海杨浦·三模）对任意两个非零的平面向量 和 ，定义 ，若平
面向量 、 满足 ， 与 的夹角 ，且 和 都在集合
中，则
【基础保分训练】
一、单选题
1．（2024·山西朔州·一模）已知 ，且 ，则 （ ）
A． B． C．4 D．
2．（2023·广东茂名·一模）在 中， ， ，若点M满足 ，则
（ ）
A． B． C． D．
3．（2023·安徽·一模）在三角形 中， ， ， ，则
（ ）
A．10 B．12 C． D．
4．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量 ，若 ，则
（ ）
A． B． C．1 D．2
学科网（北京）股份有限公司5．（2023·重庆·模拟预测）在正方形 中，动点 从点 出发，经过 ， ，到达 ，
，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·浙江温州·二模）物理学中，如果一个物体受到力的作用，并在力的方向上发生
了一段位移，我们就说这个力对物体做了功，功的计算公式： （其中 是功，
是力， 是位移）一物体在力 和 的作用下，由点 移动到点
，在这个过程中这两个力的合力对物体所作的功等于（ ）
A．25 B．5 C． D．
7．（23-24高三上·宁夏银川·阶段练习）如果向量 ， 的夹角为 ，我们就称 为向量
与 的“向量积”， 还是一个向量，它的长度为 ，如果 ，
， ，则 （ ）
A． B．16 C． D．20
8．（2023·福建福州·二模）已知 ，若 与 的夹角为 ，则 在 上的投影
向量为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2023·河北·模拟预测）下列命题不正确的是（ ）
A．若 ，则
B．三个数 成等比数列的充要条件是
C．向量 共线的充要条件是有且仅有一个实数 ，使
学科网（北京）股份有限公司D．已知命题 时， ，则命题 的否定为： 时，
10．（2023·广东汕头·二模）在 中，已知 ， ， ，BC，AC边
上的两条中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． 的余弦值为 D．
11．（22-23高一下·浙江衢州·阶段练习）已知向量 ， ，则正确的是
（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 与 的夹角为钝角，则 D．若向量是 与 同向的单位向量，则
三、填空题
12．（2023·广西·模拟预测）已知向量 ，且 ，则
.
13．（22-23高三下·湖南长沙·阶段练习）设平面向量 ， 的夹角为 ，且 ，
则 在 上的投影向量是 .
14．（21-22高一下·北京·阶段练习）如图，四边形 为平行四边形，
，若 ，则 的值为 ．
学科网（北京）股份有限公司【能力提升训练】
一、单选题
1．（2023·陕西铜川·一模）已知单位向量 ， 的夹角为 ，向量 ，
且 ，则 的值为（ ）
A．1 B． C． D．2
2．（2022·全国·一模）如图，在△ 中，点M是 上的点且满足 ，N是
上的点且满足 ， 与 交于P点，设 ，则 （ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·山东烟台·三模）如图，边长为2的等边三角形的外接圆为圆 ， 为圆 上任
一点，若 ，则 的最大值为（ ）
学科网（北京）股份有限公司A． B．2 C． D．1
4．（2023·四川绵阳·模拟预测）在 中，点 满足 与
交于点 ，若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2023·湖北·模拟预测）已知平面非零向量 满足 ，则 的最小值
为（ ）
A．2 B．4 C．8 D．16
6．（23-24高三上·河南·阶段练习）在 中，点 是边 的中点，且 ，点 满
足 （ ），则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·山西长治·模拟预测）平面上的三个力 作用于一点，且处于平衡状态.若
学科网（北京）股份有限公司与 的夹角为45°，则 与 夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·浙江宁波·模拟预测）已知 是边长为1的正三角形， 是
上一点且 ，则 （ ）
A． B． C． D．1
二、多选题
9．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ，且 ， 的夹角为 ，点P在以
O为圆心的圆弧 上运动，若 ，x， ，则 的值可能为（ ）
A．2 B． C． D．1
10．（2023·福建·一模）平面向量 满足 ，对任意的实数t，
恒成立，则（ ）
A． 与 的夹角为 B． 为定值
C． 的最小值为 D． 在 上的投影向量为
11．（2023·福建·模拟预测）已知向量 ， ，则（ ）
A． B．
C． 在 上的投影向量是 D． 在 上的投影向量是
三、填空题
12．（2023·广东广州·一模）已知向量 ，且 ，则 ，
学科网（北京）股份有限公司在 方向上的投影向量的坐标为 .
13．（2023·山东菏泽·一模）已知夹角为 的非零向量 满足 ， ，
则 .
14．（23-24高三上·全国·阶段练习）已知向量 满足 ，则
．
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