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微专题01 平面向量
【秒杀总结】
结论1：极化恒等式
1、平行四边形平行四边形对角线的平方和等于四边的平方和：
证明：不妨设 ， ，则 ，
（1）
（2）
（1）（2）两式相加得：
2、极化恒等式：
上面两式相减，得： ————极化恒等式
（1）平行四边形模式：
几何意义：向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”
平方差的 ．
（2）三角形模式： （M为BD的中点）
结论2：矩形大法：矩形所在平面内任一点到其对角线端点距离的平方和相等．
已知点O是矩形ABCD与所在平面内任一点，证明： ．
【证明】（坐标法）设 ，以AB所在直线为轴建立平面直角坐标系xoy，
则 ，设 ，则结论3：三点共线的充要条件
设 、 、 是三个不共线向量，则A、B、P共线 存在 使 ．
特别地，当P为线段AB的中点时， ．
结论4：等和线
【基本定理】
（一）平面向量共线定理
已知 ，若 ，则 三点共线；反之亦然．
（二）等和线
平面内一组基底 及任一向量 ， ，若点 在直线 上或者在平行
于 的直线上，则 （定值），反之也成立，我们把直线 以及与直线 平行的直线称为等和
线．
（1）当等和线恰为直线 时， ；
（2）当等和线在 点和直线 之间时， ；
（3）当直线 在点 和等和线之间时， ；
（4）当等和线过 点时， ；
（5）若两等和线关于 点对称，则定值 互为相反数；
B
1
B
P
Q l
O
A A
1
结论5：奔驰定理
【奔驰定理】若O为 内任一点，且 ，则【典型例题】
例1．在 中， 是 的中点， ，则 ____．
．
例2．正三角形内接于半径为2的圆O，点P是圆O上的一个动点，则 的取值范围是 ．
例3．已知圆 与 ，定点 ，A、B分别在圆 和圆 上，满足
，则线段AB的取值范围是 ．
例4．在平面内，已知 ， ， ，若 ，则 的取值范围
是（ ）
A． B． C． D．
例5．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若 ，则 （ ）
． B． C． D．
A例6．给定两个长度为1的平面向量 和 ，它们的夹角为 ，点 在以 为圆心的圆弧 上
变动．若 ，其中 ，则 的最大值是__________．
【过关测试】
一、单选题
1．（2023·北京西城·高三统考期末）在 中， ．P为 边上的动点，则
的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2023·北京昌平·高三统考期末）已知向量 满足 ，则
的最大值是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2023·广西桂林·统考一模）如图，在△ABC中，M为线段BC的中点，G为线段AM上一点且
，过点G的直线分别交直线AB、AC于P、Q两点， ， ，则
的最小值为（ ）
A． B．1 C． D．4
4．（2023·全国·高三专题练习）如图，在半径为4的扇形 中， ，点 是 上的一点，则
的最小值为（ ）A． B． C． D．
5．（2023·全国·高三专题练习）在平面内，定点 满足 ，
，动点P，M满足 ， ，则 的最大值是（ ）
A． B． C． D．
6．（2023·全国·高三专题练习） 中， ，O是 外接圆圆心，是
的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．5
7．（2023·全国·高三专题练习）AB为⊙C：(x－2)2＋(y－4)2＝25的一条弦， ，若点P为⊙C上一
动点，则 的取值范围是（ ）
A．[0，100] B．[－12，48] C．[－9，64] D．[－8，72]
8．（2023·全国·高三专题练习）在 中，D为三角形所在平面内一点，且 ，则
（
）
A． B． C． D．
9．（2023·全国·高三专题练习）已知向量 ， ， 满足 ， 在 方向上的投影为2，
，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
10．（2023·全国·高三专题练习）已知边长为2的菱形 中，点 为 上一动点，点 满足
， ，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
11．（2023·全国·高三专题练习） 是 所在平面上的一点,满足 ,若 ,则
的面积为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．8
12．（2023·全国·高三专题练习）在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切
的圆上．若 = + ，则 + 的最大值为A．3 B．2 C． D．2
二、多选题
13．（2023·全国·高三专题练习）在△ABC中， ， ，O为△ABC内的一点，设
，则下列说法正确的是（ ）
A．若O为△ABC的重心，则 B．若O为△ABC的内心，则
C．若O为△ABC的外心，则 D．若O为△ABC的垂心，则
14．（2023·全国·模拟预测）已知 ， ， 是互不相等的非零向量，其中 ， 是互相垂直的单位向量，
，记 ， ， ，则下列说法正确的是（ ）
A．若 ，则O，A，B，C四点在同一个圆上
B．若 ，则 的最大值为2
C．若 ，则 的最大值为
D．若 ，则 的最小值为
15．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”，奔驰定理：已知
O是△ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为 ， ， ，且 ．
设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有（
）
A．若 ，则
B．若 ， ， ，则
C．若O为△ABC的内心， ，则
D．若O为△ABC的垂心， ，则
16．（2023·全国·高三专题练习）重庆荣昌折扇是中国四大名扇之一，始于1551年明代嘉靖年间，明末已
成为贡品人朝，产品以其精湛的工业制作而闻名于海内外．经历代艺人刻苦钻研、精工创制，荣昌折扇逐步发展成为具有独特风格的中国传统工艺品，其精雅宜士人，其华灿宜艳女，深受各阶层人民喜爱．古人
曾有诗赞曰：“开合清风纸半张，随机舒卷岂寻常；金环并束龙腰细，玉栅齐编凤翅长，偏称游人携袖里，
不劳侍女执花傍；宫罗旧赐休相妒，还汝团圆共夜凉”图1为荣昌折扇，其平面图为图2的扇形COD，其
中 ，动点P在 上（含端点），连接OP交扇形OAB的弧 于点Q，且
，则下列说法正确的是（ ）
图1 图2
A．若 ，则 B．若 ，则
C． D．
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，圆О是边长为 的等边三角形ABC的内切圆，其与BC边相切
于点D，点M为圆上任意一点， （ ， ），则 可以取值为（ ）
A． B． C． D．1
18．（2023·全国·高三专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的
图形与“奔驰”轿车（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知 是
内的一点， 、 、 的面积分别为 、 、 ，则 .若
是锐角 内的一点， 、 、 是 的三个内角，且点 满足
，则（ ）A． 为 的垂心
B．
C．
D．
三、填空题
19．（2023·全国·高三专题练习）在 中，点 分别是线段 的中点，点 在直线 上，
若 的面积为2，则 的最小值是_____________.
20．（2023·四川南充·统考一模）已知向量 与 夹角为锐角，且 ，任意 ， 的最小
值为 ，若向量 满足 ，则 的取值范围为______．
21．（2023·上海徐汇·位育中学校考模拟预测）已知圆 半径为 是圆 上不重合的点， 则
的最小值为_____.
22．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足 ，若 ，则
的最小值是_____________．
23．（2023·全国·高三专题练习）已知平面向量 满足： 与 的夹角为
，记 是 的最大值，则 的最小值是__________．
24．（2023·全国·高三专题练习）点M在△ABC内部，满足 ，则
____________．
