文档内容
第 2 讲 三角恒等变换与解三角形
目录
第一部分：知识强化
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
突破二：已知三角函数值求角问题
突破三：三角函数式化简
突破四：和（差）角公式逆应用
突破五：拼凑角
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
角度2：利用正弦定理解三角形
角度3：利用余弦定理解三角形
角度4：正余弦定理综合应用
突破七：判断三角形的形状
突破八：三角形面积相关问题
第三部分：冲刺重难点特训
第一部分：知识强化
1、两角和与差的正弦、余弦、正切公式
（1）
（2）
（3）
2、二倍角公式
①
② ； ；
③
3、降幂公式
①②
4、辅助角公式
(其中 )
5、正弦定理
6、余弦定理
；
7余弦定理的推论
；
；
8、三角形常用面积公式
① ；
② ；
③ （其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的内切圆半径）；
④ (其中， 是三角形 的各边长， 是三角形 的外接圆半径).
第二部分：重难点题型突破
突破一：三角函数式求值
1．（2022·河南省淮阳中学模拟预测（理））若 为第二象限角，且 ，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·黑龙江·哈九中模拟预测（理））已知 ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·吉林·东北师大附中模拟预测）求值 _________．
4．（2022·河南焦作·一模（理））计算： ___________.
突破二：已知三角函数值求角问题
1．（2022·海南华侨中学模拟预测）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D． 或
2．（2023·全国·高三专题练习）已知 ， ，且 ， ，则 的值
是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·陕西·蒲城县蒲城中学高三阶段练习（文））已知 ， ，且 ，
，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一课时练习）已知 ， 均为锐角，且 ， ，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·福建泉州·模拟预测）已知 ，且 ，则α=（ ）A． B． C． D．
突破三：三角函数式化简
1．（2022·广东汕头·高三期中） 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·山东·乳山市银滩高级中学高三阶段练习）已知函数 （ 且 ）的图像过定
点P，且角 的始边与x轴的正半轴重合，终边过点P，则 等于
___________.
3．（2022·全国·高三专题练习）化简： ＝________.
4．（2022·全国·高三专题练习）化简： 值是________．
5．（2022·山西忻州·高三阶段练习）（1）已知 ，求
；
（2）已知 ， ，且 ， ，求 的值．
突破四：和（差）角公式逆应用
1．（2022·江苏·高三专题练习） （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·全国·高三专题练习）在△ABC中，tanA＋tanB＋ ＝ tanA·tanB，则C的值为（ ）
A． B． C． D．3．（多选）（2022·全国·高三专题练习）已知 ，则 的可能
值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·江苏·海安市立发中学高三期中）在 中，若 ，则
_________.
5．（2022·陕西·模拟预测（理））已知 ， ， ，则
__________
突破五：拼凑角
1．（2022·湖北黄冈·高三阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津·高三期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖南·宁乡一中高三期中）已知 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·山西忻州·高三阶段练习）若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东烟台·高三期中）已知 ，则 ______．
突破六：利用正、余弦定理解三角形
角度1：三角形个数问题
1．（2022·陕西·西安市鄠邑区第二中学高二阶段练习）在 中， ， ， ，此三角形解的情况为（ ）
A．一个解 B．二个解 C．无解 D．无法确定
2．（2022·陕西咸阳·高二期中（理））在 中，若 ， ， ，则此三角形解的情况为
（ ）
A．无解 B．两解
C．一解 D．解的个数不能确定
3．（2022·吉林·延边第一中学高一期中）在 中，已知 ，则满足条件的三角形
（ ）
A．有2个 B．有1个 C．不存在 D．无法确定
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ，则此三角形（ ）
A．有一解 B．有两解 C．无解 D．无法判断有几解
5．（2022·陕西·武功县普集高级中学高二阶段练习）在 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已
知 ，则此三角形（ ）
A．无解 B．一解 C．两解 D．解的个数不确定
角度2：利用正弦定理解三角形
1．（2022·四川·成都市第二十中学校高三期中） 中， 已知 、 、 分别是角 、 、
的对边， 且 ， 、 、 成等差数列， 则角 （ ）
A． B． C． 或 . D． 或
2．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））已知 ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
若 ，则A＝（ ） △
A． B． C． D．
3．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（文）） 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足
， ， ，则 __________．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且
，则 _______．
5．（2022·江苏·常熟中学高三阶段练习）已知在 中， ， ， ，则
_________ ．角度3：利用余弦定理解三角形
1．（2022·河南·高三阶段练习（文））在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若 ，且
，则B＝______．
2．（2022·黑龙江·哈尔滨市剑桥第三高级中学有限公司高三阶段练习）在 中，角 的对边分别
为 ，若 ，且 ，则 的面积的最大值为___________.
3．（2022·黑龙江·密山市第四中学高三阶段练习）设 的内角 的对边分别为 ，
，则 __．
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，已知 ，则 的面积S为
___________．
5．（2022·全国·高三专题练习）已知三角形的三边分别是 ， ， ，则该三角形的内切圆的半径是
________.
6．（2022·全国·高三专题练习）在 ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若c（acos B－
bcosA）＝16，a－b＝2，∠C＝ ，则c的值等于___．
角度4：正余弦定理综合应用
1．（2022·河南·驻马店市第二高级中学高三阶段练习（理））在 中，内角 ， ， 所对的边分别
为 ．已知 ．则 （ ）
A． B． C． D．
2．（2022·河南驻马店·高三阶段练习（理））钝角 的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知
， ，且 ，则 的周长为（ ）
A．9 B． C．6 D．
3．（2022·山东省实验中学高三阶段练习）在 中，角 所对的边为 ，若
，且 的面积 ，则 的取值范围是______．
4．（2022·江西赣州·高三期中（理）） 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，c是a，b的等比中项，且 的面积为 ，则 _________．
5．（2022·江西·高三阶段练习（文））已知 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
，角 的平分线 交 于点M，若 ，则 ______．
6．（2022·重庆南开中学高三阶段练习）在 中， 为 上一点， ， ，则
______；若 ，则 ______．
突破七：判断三角形的形状
1．（2022·山西忻州·高三阶段练习）在 中，角A，B，C的对边分别为a，b，c， ，
则 为（ ）
A．钝角三角形 B．正三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
2．（2022·江西·崇仁县第二中学高三阶段练习（文））在 中，已知 ，那么
一定是（ ）
A．等腰直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰或直角三角形 D．等边三角形
3．（2022·四川·模拟预测（文））在 中，角 的对边分别为 ，已知三个向量
， 共线，则 的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C．有一个角是 的直角三角形 D．等腰直角三角形
4．（2022·全国·高三专题练习）在 中，若 ， ，则 一定是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．无法确定
5．（2022·全国·高三专题练习）在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 ，
，则 是（ ）
A．钝角三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形突破八：三角形面积相关问题
1．（2022·贵州·模拟预测（文））在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， 是边 上一
点， 平分 ，且 ，若 ，则 的最小值是（ ）
A． B．6 C． D．4
2．（2022·河南·高三阶段练习（理））在 中，已知 ，AC＝4，则 的面积为
（ ）
A．2 B． C．4 D．
3．（2022·全国·高三阶段练习（理））已知 的内角 所对的边分别为 ，记 的面积为
.若 ，则 的最大值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·天津二十中高三阶段练习）已知 是 内的一点， 且
，则 的最小值是（ ）
A．8 B．4 C．2 D．1
5．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）在 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，
， ，若点M满足 ，且 ，则 的面积
为_________________．
6．（2022·江苏常州·高三期中）在 中， ， ， 边上的中线长为
，则 的面积为______．
7．（2022·四川省成都市新都一中高三阶段练习（文））在 中， ，点D在线段AC上，且
， ，则 面积的最大值为_________．
8．（2022·全国·高三专题练习）在 中，内角 的对边分别为 ，且 ， ，
，则 的面积为_______．
第三部分：冲刺重难点特训
一、单选题
1．（2022·安徽·砀山中学高三阶段练习）若 ，则 （ ）A． B． C． D．
2．（2022·江苏南通·高三期中）已知 ， ，则 等于( )
A． B． C． D．
3．（2022·河南·汝阳县一高高三阶段练习（理））若 ，则 （ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖北·宜都二中高三期中） 等于（ ）
A． B． C． D．2
5．（2022·广东肇庆·高三阶段练习） 的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
6．（2022·广东肇庆·高三阶段练习）《周髀算经》是我国最早的数学典籍，书中记载：我国早在商代时
期，数学家商高就发现了勾股定理，亦称商高定理三国时期数学家赵爽创制了如图1的“勾股圆方图”
（以弦为边长得到的正方形 是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成），用数形
结合法给出了勾股定理的详细证明.现将“勾股圆方图”中的四条股延长相同的长度得到图2.在图2中，若
， ，G，F两点间的距离为 ，则“勾股圆方图”中小正方形的面积为（ ）
A．9 B．4 C．3 D．8
7．（2022·宁夏·银川一中高三阶段练习（理））已知 ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
ABC是锐角三角形，且满足 ，△若 ABC的面积 ，则 的取值
△ △范围是（ ）
A． B．
C． D．
8．（2022·江西省丰城中学高三期中（文））已知 是 内部的一点， ， ， 所对的边分别
为 ， ， ，若 ，则 与 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022·重庆·高三阶段练习）在 中， ， ， 为内角 ， ， 的对边， ，记 的
面积为 ，则（ ）
A． 一定是锐角三角形 B．
C．角 最大为 D．
10．（2022·河北·高三阶段练习）已知 ， ，则 （ ）
A． B． C． D．3
三、填空题
11．（2022·江西赣州·高三阶段练习（文））若 是第二象限角，且
，则 等于___________.
12．（2022·全国·高三阶段练习（理））锐角 中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，有
，且 ，则 的取值范围为________________．
13．（2022·天津·高三期中）在 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 ， ，
成等差数列，若 ，则b边的最小值为______.
14．（2022·河南安阳·高三阶段练习（文））在 中，角 所对的边分别为 ，若
，且 ，则 __________．
