文档内容
专题 5.1 相交线之六大考点
目录
【典型例题】..............................................................................................................................................................1
【考点一 对顶角、领补角的定义理解】........................................................................................................1
【考点二 对顶角、领补角性质的应用】........................................................................................................3
【考点三 垂线的定义的理解与应用】............................................................................................................6
【考点四 画垂线与点到直线的距离】............................................................................................................8
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】......................................................................................................11
【考点六 同位角、内错角、同旁内角的辨别】..........................................................................................15
【过关检测】............................................................................................................................................................18
【考点一 对顶角、领补角的定义理解】
例题1：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别
是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不合题意；
B、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、 的两边分别是 的两边的反向延长线， 与 是对顶角，故该选项符合题意；
D、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不合题意．故选：C．
例题2：（2023下·河北承德·七年级统考期末）下列四个选项中， 与 互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即
可判断．
【详解】解： 只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，
只有选项A中的 与 互为邻补角．
故选：A．
【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的定义．
【变式训练】
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考期中）如图， 和 是对顶角的是
（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，如果两个角有公共顶点，其中一个角的两边分别是另一个角的两边的
反向延长线，那么这两个角是对顶角．一般地，两条直线相交能形成两对对顶角．
【详解】解：A、 和 的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意；
B、 和 没有公共顶点，不是对顶角，不符合题意；
C、 和 是对顶角，符合题意；
D、 和 的两边不互为反向延长线，不是对顶角，不符合题意；
故选C．
2．（2023下·山东滨州·七年级校联考期中）下列选项中， 与 互为邻补角的是（ ）
A． B． C． D．【答案】D
【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即
可判断．
【详解】解： 只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，
只有选项D中的 与 互为邻补角．
故选：D．
【点睛】本题考查邻补角，关键是掌握邻补角的定义．
【考点二 对顶角、领补角性质的应用】
例题：（2023下·河南驻马店·七年级统考期中）如图，直线 相交于点O．
(1)写出 的邻补角．
(2)写出 的对顶角．
(3)如果 ，求 的度数．
【答案】(1) 的邻补角是 ； 的邻补角是：
(2) 的对顶角是 的对顶角是
(3)132°
【分析】（1）根据邻补角的定义进行求解即可；
（2）根据对顶角的定义进行求解即可；
（3）根据邻补角互补，对顶角相等进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意得， 的邻补角是 ； 的邻补角是： ；
（2）解：由题意得， 的对顶角是 的对顶角是 ；
（3）解：∵ ，
∴ ．
【点睛】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角相等，邻补角互补是解
题的关键．
【变式训练】1．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，已知直线 与 相交于点F， 平分 ，若
，则 度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了角平分线的定义及对顶角相等等知识点．先根据角平分线的定义得出 ，再
根据对顶角相等即可得出答案．
【详解】解：∵ 平分 ，
∴ ，
∴ ．
故选：C．
2．（2023上·山东滨州·七年级校考期中）如图，直线 相交于点O， 平分 ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了角的计算：1直角 ；1平角 ，角平分线的定义和对顶角的性质．
（1）根据角平分线定义和对顶角相等即可得到结论；
（2）由题意得 ，根据 ，得到 ，然后与（1）的计算方法一样．
【详解】（1）解：∵ ， 平分 ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ ， ，
∴ ．
又∵ 平分 ，
．
3．（2023上·四川眉山·七年级统考期末）如图，直线 相交于点 ， 平分 ，且
．
(1)求 的度数；
(2)若 平分 ，求 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设 ，由角平分线的定义可得 ，从而得到 ，再
由平角的定义进行计算即可得到答案；
（2）由邻补角的定义可得 ，由角平分线的性质可得 ，由对顶角相等
可得 ，从而即可得到 的度数．
【详解】（1）解： 设 ，
平分 ，
（角平分线定义），，
（平角定义），
，
，
；
（2）解： ，
，
平分 ，
，
又 （对顶角相等），
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、平角的定义、邻补角的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识
点是解题的关键．
【考点三 垂线的定义的理解与应用】
例题：（2023下·河南洛阳·七年级统考期中）如图所示，下列说法不正确的是（ ）
A．点 到 的垂线段是线段 B．点 到 的垂线段是线段
C．线段 是点D到 的垂线段 D．线段 是点 到 的垂线段
【答案】C
【分析】根据垂线段的定义逐个判断即可．
【详解】解：A、点 到 的垂线段是线段 ，正确，故此选项不符合题意；
B、点 到 的垂线段是线段 ，正确，故此选项不符合题意；
C、线段 是点 到 的垂线段，原说法错误，故此选项符合题意；
D、线段 是点 到 的垂线段，正确，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查了垂线段的定义，熟练掌握过直线外一点作这条直线的垂线，这点与垂足构成的线段叫
垂线段是解此题的关键．【变式训练】
1．（2023下·广东佛山·七年级校考阶段练习）如图， ， ，垂足为点D，则下面的结
论正确的有（ ）
① 与 互相垂直；
② 与 互相垂直；
③点A到 的垂线段是线段 ；
④点C到 的垂线段是线段 ；
⑤线段 的长度是点A到 的距离．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【分析】根据垂线的定义，点到直线的距离的概念，逐一判断，即可解答．
【详解】解： ，
与 互相垂直，故①正确；
，垂足为点D，
与 不垂直，故②错误；
点A到 的垂线段是线段 ，故③错误；
点C到 的垂线段是线段 ，故④正确；
线段 的长度是点A到 的距离，故⑤正确，
故选：B．
【点睛】本题考查了垂线的定义，点到直线的距离的概念，熟知点到直线是垂线段的长度是解题的关键．
2．（2023上·江苏·七年级专题练习）如图，P是直线l外一点，A，B，C三点在直线l上，且 于点
B， ，则下列结论中正确的是（ ）
①线段 的长度是点P到直线l的距离；②线段 是A点到直线 的距离；③在 三条线
段中， 最短；④线段 的长度是点P到直线l的距离A．①②③ B．③④ C．①③ D．①②③④
【答案】C
【分析】本题考查了点到直线的距离及垂线段最短等知识点．点到直线的距离，即过这一点做目标直线的
垂线，由这一点至垂足的距离．熟记相关结论是解题关键．
【详解】解：∵ 于点B，
∴线段 的长度是点P到直线l的距离，故①正确，④错误；
∵ ，
∴线段 的长度是A点到直线 的距离，故②错误；
根据垂线段最短，在 三条线段中， 最短，故③正确；
故选：C．
【考点四 画垂线与点到直线的距离】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图，所有小正方形的边长
都为1个单位长度， 、 、 都在格点上．
(1)过点 作直线 的垂线，垂足为 ；
(2)过点 作直线 ，垂足为 ，直线 交 于点 ；
(3)点 到直线 的距离等于__________个单位长度．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【分析】（1）根据垂线的定义作出图形即可；
（2）根据垂线的定义作出图形即可；
（3）线段 的长即为点A到直线 的距离．【详解】（1）解：如图，直线 即为所求．
（2）解：如图，直线 即为所求．
（3）解：由（1）中图可得：点A到直线 的距离等于2个单位长度．
【点睛】本题考查作图-应用与设计作图，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解垂线的定义，
属于中考常考题型．
【变式训练】
1．（2023下·河南许昌·七年级校考期中）如图，网格线的交点叫格点，格点P是 的边OB上的一点
（请利用三角板和直尺借助网格的格点画图）．
(1)过点P画 的垂线，交 于点E；过点P画 的垂线，垂足为F；
(2)线段 的长度是点P到______的距离，线段______的长度是点E到直线OB的距离，所以线段
这三条线段大小关系是______（用“＜”号连接），理由是______．
【答案】(1)图见解析
(2) ， ， ，垂线段最短
【分析】（1）如图，找点 ，连接 ，与 交点即为 ，过 点作竖直的线，与 交点即为 ；
（2）根据点到直线的距离的定义、垂线段最短即可求解．
【详解】（1）解：由题意作图如下， 是 的垂线， 是 的垂线．（2）解：线段 的长度是点P到 的距离，线段 的长度是点E到直线OB的距离，
由垂线段最短可知， ，
故答案为： ， ， ，垂线段最短．
【点睛】本题考查了作垂线，垂线段最短．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
2．（2023下·安徽六安·七年级六安市第九中学校考阶段练习）如图，在直角三角形 中， ，
， ．请解答下列问题：
(1)点B到 的距离是 ，点A到 的距离是 ；
(2)请在图中作出点C到 的垂线段 ；
(3) （填“ ”、“ ”、“ ”），理由是 ．
【答案】(1)8，6
(2)见解析
(3)
【分析】（1）根据点到直线的距离的定义求解；
（2）过 点作 的垂线，垂足为 ；
（3）根据垂线段最短进行判断．
【详解】（1）解：点B到 的距离是 ，点A到 的距离是 ；
故答案为：8，6；
（2）如图， 为所作；（3） ，理由是垂线段最短．
故答案为： ；垂线段最短．
【点睛】本题考查了点到直线的距离，垂线段最短，熟练掌握点到直线距离的概念是解答本题的关键．直
线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到这条直线的距离．
【考点五 利用垂线的定义求角的度数】
例题：（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）已知：直线 、 相交于点 ， 于点 ，
．
(1)如图1，求 的度数．
(2)如图2，过点 画出直线 的垂线 ，请直接写出图中所有与 互补的角．
【答案】(1)
(2) 、 、
【分析】本题主要考查了垂线，互余和互补的性质，找出角度之间的数量关系是解题关键．
（1）由平角的性质，得到 ，进而得出 ，即可求出 的度数；
（2）利用互余和互补的性质，分别得到 、 、 、 的度数，再根据与
互补的角的度数为 ，即可得到答案．
【详解】（1）解： ，
，
，
，，
，
，
；
（2）解：由（1）可知， ， ，
，
，
，
，
，
，
，
与 互补的角的度数为 ，
与 互补的角有 、 、 ．
【变式训练】
1．（2023下·河北沧州·七年级校考阶段练习）如图，直线 与 相交于点 ， 是 的平分线，
， ．
(1)至少写出三对相等的角（直角除外）；
(2)已知 ，求 的度数．
【答案】(1) ， ，
(2)
【分析】（1）根据角平分线的定义、对顶角的性质即可求得答案．
（2）根据角平分线的定义、对顶角的性质可求得 ，进而可求得答案．
【详解】（1）∵ 是 的平分线，
∴ ．∵直线 与 相交于点 ，
∴ ， ．
所以，相等的三对角为 ， ， ．
（2）∵直线 与 相交于点 ，
∴ ．
∵ 是 的平分线，
∴ ．
∵ ，
∴ ．
∴ ．
【点睛】本题主要考查角平分线、对顶角、垂直的定义，掌握角平分线的定义是解题的关键．
2．（2023下·广东佛山·七年级佛山市第四中学校联考阶段练习）如图，直线 ， 相交于点O，且
．
(1)若 ，求 的度数．
(2)若 ，求 的度数．
【答案】(1) 的度数为
(2) 的度数为
【分析】（1）利用垂直的定义和对顶角相等即可求解；
（2）利用平角的定义和垂直的定义即可求解．
【详解】（1）∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
（2）∵ ，且 ，∴ ，
∵ ，
∴
∴ ．
【点睛】本题考查了垂线、对顶角相等、邻补角互补等知识，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题
的关键．
3．（2023下·吉林白城·七年级校联考阶段练习）如图，直线 、 相交于点O， ．
(1)若 ，求 的度数；
(2)若 平分 ，求 与 的度数．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据 得到 ，结合 即可得到答案；
（2）根据 平分 得到 ，结合 即可得到答案；
【详解】（1）解：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ；
（2）解：∵ 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ；
【点睛】本题考查角平分线有关计算，垂直的定义，解题的关键是根据同角加等角得到的角度相等得到．．
【考点六 同位角、内错角、同旁内角的辨别】
例题：（2023上·七年级课时练习）如图所示，直线 与 被直线 所截得的内错角是
；直线 与 被直线 所截得的内错角是 ； 的内错角是 ．
AI
【答案】 和 和 和
【分析】根据内错角的概念，结合图形中各角的位置即可顺利完成填空．
【详解】直线 与 被直线 所截得的内错角是 和 ；直线 与 被直线 所截得的内错角
是 和 ； 的内错角是 和 ．
故答案为： 和 ； 和 ； 和 ．
【点睛】本题考查了内错角的概念，熟练掌握两个角分别在截线的两侧，且在两条直线之间，具有这样位
置关系的一对角叫做内错角是解题的关键．
【变式训练】
1．（2023下·黑龙江绥化·七年级校考期中）如图， 的同旁内角是 ， 的内错角是 ，
的同位角是 ．
【答案】
【分析】两直线被第三条直线所截，同位角位于两直线同侧，第三条直线的同旁；内错角位于两直线之间，
第三条直线的两侧；同旁内角位于两直线之间，第三条直线的同侧．
【详解】解：由图可得： 的同旁内角是 ；的内错角是 ；
的同位角是 ，
故答案为： ； ； ．
【点睛】本题涉及到三线八角的知识，熟练掌握同位角、内错角、同旁内角的定义是关键．
2．（2023下·河北邢台·七年级邢台三中校考阶段练习）如图，
（1）当直线 、 被直线 所截时， 的内错角是 ；
（2） 的同位角是 ；
（3） 的同旁内角是 ．
【答案】 、 、 、
【分析】（1）根据内错角的定义进行解答即可；
（2）根据同位角的定义进行解答即可；
（3）根据同旁内角的定义进行解答即可．
【详解】解：（1）当直线 、 被直线 所截时， 的内错角是 ．
故答案为： ．
（2） 的同位角是 、 ．
故答案为： 、 ．
（3） 的同旁内角是 、 、 ．
故答案为： 、 、 ．
【点睛】本题主要考查了同位角，内错角和同旁内角的定义，解题的关键是熟练掌握定义，同位角：在截
线同旁,被截线相同的一侧的两角；内错角：在截线两旁,被截线之内的两角；同旁内角：在截线同旁,被截
线之内的两角．
3．（2023下·浙江·七年级专题练习）如图，填空．（1）若直线 ， 被直线 所截，则 与 是同位角；
（2）若直线 ， 被直线 所截，则 与 是内错角；
（3） 与 是直线 和直线 被直线 所截构成的 角；
（4） 与 是直线 和直线 被直线 所截构成的 角；
（5）图中 的同旁内角有 个，它们是 ．
【答案】 内错 同位 3 ， ，
【分析】根据同位角、内错角、同旁内角的定义逐个求解即可．
【详解】解：（1）若直线 ， 被直线 所截，则 与 是同位角；
（2）若直线 ， 被直线 所截，则 与 是内错角；
（3） 与 是直线 和直线 被直线 所截构成的内错角；
（4） 与 是直线 和直线 被直线 所截构成的同位角；
（5）图中 的同旁内角有3个，它们是 ， ， ，
故答案为： ， ， ，内错， ， ，同位，3， ， ， ．
【点睛】本题考查了同位角、内错角、同旁内角的定义，能根据图形找出同位角、内错角和同旁内角是解
此题的关键．一、单选题
1．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）下列各图中， 与 是对顶角的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了对顶角的定义，根据对顶角的定义判断即可．有一个公共点，并且一个角的两边分别
是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角．
【详解】解：A、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不合题意；
B、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不符合题意；
C、 的两边分别是 的两边的反向延长线， 与 是对顶角，故该选项符合题意；
D、 的两边不是 的两边的反向延长线， 与 不是对顶角，故该选项不合题意．
故选：C．
2．（2023下·内蒙古巴彦淖尔·七年级校考阶段练习）如图，O为直线 上一点， ，若 ，
则 的度数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据垂直的定义得到 ，可得 ，继而得到答案．
【详解】解： ，
，
，
，
，
故选：B．【点睛】本题考查的是垂直的定义，掌握垂直的定义是解题的关键．
3．（2023下·天津宝坻·七年级校考阶段练习）P为直线m外一点，A，B，C为直线m上三点，
，则点P到直线m的距离（ ）
A．等于 B．等于 C．小于 D．不大于
【答案】D
【分析】本题主要考查了点到直线的距离，熟知垂线段最短是解题的关键，根据垂线段最短和点到直线的
距离的定义得出即可．
【详解】解：根据垂线段最短得出点P到直线m的距离是不大于 ，
故选D．
4．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图所示，有下列五种说法：① 和 是
同位角；② 和 是内错角；③ 和 是同旁内角；④ 和 是同位角；⑤ 和 是同旁内角；
其中正确的是（ ）
A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②④⑤
【答案】D
【分析】本题考查了同位角、 内错角以及同旁内角的定义，根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义寻
找出各角之间的关系， 再比照五种说法判断对错， 即可得出结论 ．
【详解】解： 根据内错角、 同位角以及同旁内角的定义分析五种说法 ．
① 和 是同位角， 即①正确；
② 和 是内错角， 即②正确；
③ 和 是内错角， 即③不正确；
④ 和 是同位角， 即④正确；
⑤ 和 是同旁内角， 即⑤正确 ．
故选：D．
5．（2023下·河北沧州·七年级校考期中）如图，直线 相交于 点， 于 点， ，
则 的度数为（ ）A． B． C． D．
【答案】D
【分析】互余关系求出 ，对顶角相等，得到 即可；
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
故选D．
【点睛】本题考查垂直的定义，对顶角相等．解题的关键是正确的识图，理清角度之间的和差关系．
二、填空题
6．（2023下·山东烟台·六年级统考期末）如图，直线 相交于点 ，若 ，则 的度数为
．
【答案】 / 度
【分析】根据对顶角相等求出 ，再根据互为邻补角的两个角的和等于 列式计算即可得解．
【详解】解： ， 对顶角相等 ，
，
与 互为邻补角，
．
故答案为： ．
【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，熟记概念与性质并准确识图是解题的关键．
7．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级哈尔滨市第十七中学校校考阶段练习）如图所示的四个图形中， 和
是同位角的是 ．（填序号）【答案】①②④
【分析】根据同位角的定义，逐一判断选项，即可得到答案．
【详解】解：①∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；
②∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角；
③∠1与∠2分别是四条直线中的两对直线的夹角，不符合同位角的定义，故它们不是同位角；
④∠1和∠2在两条直线的同侧，也在第三条直线的同侧，故它们是同位角．
故答案为：①②④．
【点睛】本题主要考查同位角的定义，掌握同位角的定义：“两条直线被第三条直线所截，在两条直线的
同侧，在第三条直线的同旁的两个角，叫做同位角”，是解题的关键．
8．（2023上·四川巴中·七年级四川省巴中中学校考阶段练习）如图，从P处走到公路m有三条线路可走，
为了尽快赶到公路上，应选择的线路是 ，理由是： ．
【答案】 垂线段最短
【分析】本题考查了垂线的性质在实际生活中的运用．关键是掌握垂线段的性质:垂线段最短．
从直线外一点向这条直线所画的线段中只有垂直线段最短，据此解答即可
【详解】根据“垂线段最短”的性质，可得应选择的线路是 ，理由是:垂线段最短
故答案为: ，垂线段最短
9．（2023上·吉林松原·七年级校联考期末）如图，直线 、 相交于点O，射线 平分 ，
．若 ，则 的度数为 ．
【答案】 /55度【分析】本题考查了图形中角的计算，涉及到角平分线的定义、垂直的定义，根据角平分线与垂直的概念
结合图形中角之间的关系即可求解．
【详解】解：∵ ，射线 平分 ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
10．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考期中）直线 与直线 相交于点O，过点O作射线 垂直于
，已知 ，则 ．
【答案】 或 ．
【分析】此题考查了垂线的性质，对顶角相等，几何图形中角度的计算，根据题意分射线 在 中
和射线 在 中两种情况讨论，然后根据角的和差关系求解即可．解题的关键是熟练掌握垂线的性
质，对顶角相等．
【详解】如图所示，当射线 在 中时，
∵
∴
∵
∴
∴ ；
如图所示，当射线 在 中时，
∵∴
∵
∴
∴ ；
综上所述， 或 ．
故答案为： 或 ．
三、解答题
11．（2023下·七年级课时练习）如图，直线 相交于点 是 内部的一条射线．
(1)写出 和 的邻补角；
(2)写出图中所有的对顶角．
【答案】(1) 的邻补角为 的邻补角为
(2) 与 互为对顶角， 与 互为对顶角
【解析】略
12．（2023下·河南新乡·七年级统考期中）如图，直线 ， 相交于点 ，且 ．
(1)图中， 的对顶角是 ， 的邻补角是 ；
(2)若 ： ＝ ： ，求 的度数．
【答案】(1) ， 和
(2)
【分析】（1）根据对顶角的定义与邻补角的定义，结合图形，即可求解；
（2）根据题意得出 ， ，进而即可求 的度数．
【详解】（1）解：如图所示的对顶角是 ， 的邻补角是 和 ；
故答案为： ， 和 ．
（2）解： ， ，
，
，
，
∴
【点睛】本题主要考查垂线、对顶角与邻补角的定义,角的和差关系，熟练掌握垂线的定义、角的和差关系
是解决本题的关键．
13．（2023下·山东威海·六年级统考期末）如图， 的一边 在网格线上，另一边 经过点M，点
B和点M均为格点．请完成下列问题：
(1)过点M作 的垂线，垂足为点N；
(2)过点M作 的垂线，交 于点P；
(3)找出图中与 相等的角（不再添加字母）：___________：理由是_________．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3) ，同角的余角相等
【分析】（1）根据网格的特点和垂线的概念作图即可；（2）根据网格的特点和垂线的概念作图即可；
（3）根据同角的余角相等求解即可．
【详解】（1）如图所示， 即为所求；
（2）如图所示， 即为所求；
（3）图中与 相等的角： ．理由如下：
∵
∴
∵
∴
∴
∴图中与 相等的角： ．理由是同角的余角相等．
【点睛】本题考查了作图，垂线的定义，同角的余角相等，解决本题的关键是掌握基本作图方法．
14．（2023下·七年级课时练习）如图，已知直线 与 相交于点 是 的平分线， 是
的平分线．
(1)若 ，求 的度数；
(2)无论 为多少度时，均有 ，为什么？
【答案】(1)
(2)无论 为多少度，均有【详解】（1）因为 ，所以 ．
因为 分别是 和 的平分线，
所以 ．
所以 ．
（2）因为 分别是 和 的平分线，
所以 ．
因为 ，
所以 ．
所以无论 为多少度，均有 ．
15．（2023上·江苏宿迁·七年级统考期末）如图，已知 ．
(1) （填＞、＜、＝），理由是
(2)已知 ，则
(3)如果 ，求 的度数（用含n的代数式表示）．
(4)图中互补的角有： ．
【答案】(1)=,同角的余角相等
(2)
(3)
(4) 和 ， 和 ．
【分析】（1）根据同角的余角相等即可解答；
（2）先根据角的和差求得 ,再根据余角的定义即可解答；
（3）先根据角的和差求得 ,再根据余角的定义即可解答；
（4）根据余角的定义即可解答．【详解】（1）解：∵ ，
∴ ,
∴ （同角的余角相等）．
故答案为：=，同角的余角相等．
（2）解：∵ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∴ ．
故答案为 ．
（3）解：∵ ，
∴ ，
∵ ,
∴ ,
∴ ．
故答案为 ．
（4）解：∵ ，
∴ ，
∴互余的角有： 和 ， 和 ．
故答案为 和 ， 和 ．
【点睛】本题主要考查了余角的定义、余角的性质、垂直的定义、角的和差等知识点，理解余角的性质是
解答本题的关键
16．（2023上·黑龙江哈尔滨·七年级校考开学考试）如图1， 是直线 上的一点， ， 平分
．(1)若 ，求 的度数；
(2)将图1中的 绕顶点 顺时针旋转至图2的位置．
①探究 和 的度数之间的关系，并说明理由；
②在 的内部有一条射线 ， 内部有一条射线 ，且
，试确定 与 的度数之间的关系，并说明理由．
【答案】(1)
(2)① ，理由见解析；②
【分析】（1）由垂线的定义得 ，从而得到 ，由邻补角的定义计算可
得 ，最后由角平分线的性质即可得到答案
（2）①先分别表示出 和 ，再找出其中的关系即可；②根据题意得出 ，
，代入 得到
，再将 ， 代入进行
计算即可．
【详解】（1）解： ，
，
，
，
，
平分 ，
；
（2）解：① ，
理由如下：
根据题意可得： ，
，
，
平分 ，
，，
；
②画出图如图所示：
，
则 ，
，
，
整理得： ，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题主要考查了角平分线的性质、垂线的定义、与余角和补角有关的计算、角的计算，熟练掌握
角平分线的性质、垂线的定义，准确进行计算是解题的关键．
