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第 1 讲 平面向量
[考情分析] 1.平面向量是高考的热点和重点，命题突出向量的基本运算与工具性，在解答
题中常与三角函数、直线和圆锥曲线的位置关系问题相结合，主要以条件的形式出现，涉及
向量共线、数量积等.2.常以选择题、填空题的形式考查，中低等难度．
考点一 平面向量的线性运算
核心提炼
共线定理及推论
(1)已知向量a＝(x，y)，a≠0，b＝(x，y)，
1 1 2 2
则a∥b⇔b＝λa⇔xy－xy＝0.
1 2 2 1
(2)若OA＝λOB＋μOC，
则A，B，C三点共线⇔λ＋μ＝1.
例1 (1)(2022·德州模拟)如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的
六边形开口，可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，设
AB＝a，AF＝b，若BM＝MC，EF＝3EN，则MN等于( )
A.a＋b B．－a＋b
C．－a＋b D.a＋b
(2)在△ABC中，AE＝－2CE，F为边AB上一点，BE与CF交于点O，若AO＝AB＋yAC，
则y等于( )
A. B. C. D．2
规律方法 向量线性运算问题的求解方法
(1)进行向量的线性运算时，要尽可能地将向量转化到同一个平行四边形或三角形中，利用
平行四边形法则、三角形法则求解．(2)应用平面几何知识，如三角形的中位线、相似三角形的性质等，可以简化运算．
(3)在平面向量的化简或运算中，要根据平面向量基本定理恰当地选取基底，变形要有方向，
不能盲目转化．
跟踪演练1 (1)(2022·石家庄模拟)在平行四边形ABCD中，M，N分别是AD，CD的中点，
若BM＝a，BN＝b，则BD等于( )
A.a＋b B.a＋b
C.a＋b D.a＋b
(2)(2022·张家口检测)已知向量a＝(1－2m，1)，向量b＝(3m＋1,2)，若a∥b，则实数m＝
________.
考点二 平面向量的数量积
核心提炼
1．若a＝(x，y)，则|a|＝＝.
2．若A(x，y)，B(x，y)，
1 1 2 2
则|AB|＝.
3．若a＝(x，y)，b＝(x，y)，θ为a与b的夹角，
1 1 2 2
则cos θ＝＝.
例2 (1)(2022·新高考全国Ⅱ)已知向量a＝(3,4)，b＝(1,0)，c＝a＋tb，若〈a，c〉＝〈b，
c〉，则t等于( )
A．－6 B．－5 C．5 D．6
(2)(2022·益阳调研)如图，已知等腰△ABC中，AB＝AC＝3，BC＝4，点P是边BC上的动点，
则AP·(AB＋AC)( )
A．为定值10 B．为定值6
C．最大值为18 D．与P的位置有关
规律方法 求向量数量积的三种方法
(1)定义法．
(2)利用向量的坐标运算．
(3)利用数量积的几何意义．
跟踪演练2 (1)如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为边DC的中点，F为BE的中
点，则AF·AE等于( )A．3 B．2 C. D.
(2)(2022·厦门集美中学模拟)已知向量a，b，c满足a＋b＋c＝0，(a－b)·(a－c)＝0，|b－c|＝
9，则|a|＝________.
考点三 平面向量的综合应用
核心提炼
向量求最值的常用方法
(1)利用三角函数求最值．
(2)利用基本不等式求最值．
(3)建立坐标系，设变量构造函数求最值．
例3 (1)(2022·临川模拟)在△ABC中，点D在线段AC上，且满足|AD|＝|AC|，点Q为线段
BD上任意一点，若实数x，y满足AQ＝xAB＋yAC，则＋的最小值为( )
A．4 B．4 C．8 D．4＋2
(2)已知在菱形ABCD中，AC＝2，BD＝2，点E为CD上一点，且CE＝2ED，则∠AEB的余
弦值为( )
A. B. C. D.
规律方法 用向量法解决平面几何问题，通常是建立平面直角坐标系将问题坐标化，然后利
用向量的坐标运算解有关问题，这样可以避免繁杂的逻辑推理，同时加强了数形结合思想在
解题中的应用．
跟踪演练3 (1)在平面四边形ABCD中，AC＝(－2,3)，BD＝(6,4)，则该四边形的面积为(
)
A. B．2 C．13 D．26
(2)(2022·漳州质检)已知△ABC是边长为2的正三角形，P为线段AB上一点(包含端点)，则
PB·PC的取值范围为( )
A. B.
C．[0,2] D．[0,4]
