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2.2 平方根与立方根
题型一 无理数的判断与实数的分类
1．在实数 ， ， ， ， 中，无理数共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【难度】0.85
【知识点】无理数、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查无理数的判断，根据无理数是无限不循环小数，进行判断即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：在实数 ， ， ， ， 中，无理数有 ， ， ，共3个；
故选：C．
2．在下列实数中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的立方根、无理数
【分析】本题考查了无理数的定义，算术平方根与立方根；根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不
循环小数．
【详解】解：选项A： 是分数，属于有理数．
选项B： ， 无法表示为整数或分数（5不是完全平方数），因此是无理数，负号不影响其性质．
选项C： ，因 ，故 ，是整数，属于有理数．
选项D： 是有限小数，属于有理数．
综上，只有选项B是无理数．
故选：B．
3．把下列各数的序号填入它们属于的集合内：
① ；② ；③7；④0；⑤ ；⑥ ；
⑦ 0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2）；
⑧ ；⑨ ．
【答案】见解析
【难度】0.85
【知识点】有理数的分类、求一个数的算术平方根、无理数、实数的分类
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题考查了无理数、有理数、实数的分类．熟练掌握无理数、有理数、实数的分类是解题的关键．
根据无理数的定义，负有理数的定义，正实数的定义作答即可．
【详解】解：由题意知， ， ，
（1）⑤ ，⑦ 0.1212212221…（相邻的两个1之间依次多一个2），⑨ 属于无理数；
（2）① ，② 属于负有理数；
（3）③7，⑤ ，⑥ ，⑧ ，⑨ 属于正实数．
故答案为：
题型二 求一个数的算术平方根/平方根
4．下列说法：
①任何数都有算术平方根；
② 的算术平方根是 ；
③ 是9的平方根
④ 的算术平方根是 ；
其中，不正确的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根
【分析】本题考查了算术平方根，平方根的定义，根据算术平方根和平方根的定义逐一判断各说法的正确
性．
【详解】解：①、负数没有算术平方根，故①错误；
②、当 时， 的算术平方根是 ，而非 ，故②错误；
③、9的平方根为±3，-3是9的平方根，故③正确；
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学科网（北京）股份有限公司④、 （因 ），故④正确，
综上，不正确的有①和②，共2个，
故选：A．
5． 的算术平方根是 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查了算术平方根，根据正的平方根是算术平方根，进行作答即可．
【详解】解：∵ ，
∴ 的算术平方根为 ．
故答案为： ．
题型三 算术平方根及其非负性
6． 所表述的意义是（ ）
A．25的平方根 B．25的算术平方根 C． 的平方根 D． 的算术平方根
【答案】B
【难度】0.94
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查算术平方根的概念辨析，根据算术平方根的定义，直接对应选项分析即可．
【详解】解： 表示25的算术平方根，
故选：B．
7．若实数 有算术平方根，则 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
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学科网（北京）股份有限公司【难度】0.94
【知识点】求一个数的算术平方根
【分析】本题考查算术平方根的性质，算术平方根的被开方数是非负的，即 ，求不等式解集即可．
【详解】解：若实数 有算术平方根，则被开方数 必须满足非负性，
即：
因此， 的取值范围是 ．
故选： D．
8．若 与 互为相反数，则 ．
【答案】
【难度】0.94
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、相反数的定义
【分析】本题考查了相反数和算术平方根、绝对值的性质，掌握非负数的性质是解题的关键．
根据算术平方根、绝对值非负性，可知两个非负数互为相反数，这两个数均为0，由此得出关于x，y方程
组，进而解题．
【详解】解：依题意得：
∵ 和 ，
∴ ，
∴ ，即 ．
故答案为 6．
9．已知 ，则 的值为 ．
【答案】9
【难度】0.85
【知识点】利用算术平方根的非负性解题
【分析】本题考查了算术平方根的非负性，解二元一次方程组，根据非负性得到 ，由
此即可求解．
【详解】解：∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
解得， ，
∴ ，
故答案为：9 ．
10．（24-25八年级上·湖南常德·期末）已知： ， ， 满足 ．
(1)求 ， ， 的值；
(2)请判断以 ， ， 为边构成的 的形状，并说明理由．
【答案】(1) ； ；
(2)直角三角形，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】绝对值非负性、利用算术平方根的非负性解题、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，正确求出a、b、c的值是解题的关键．
（1）几个非负数的和为0，那么这几个非负数的值都为0，据此求解即可；
（2）根据（1）所求可证明 ，则可证明 是直角三角形．
【详解】（1）解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
∴ ， ， ；
（2）解：以 ， ， 为边构成的 是直角三角形，理由如下：
∵ ， ， ，
∴ ， ，
∴ ，
∴ 是直角三角形．
题型四 求一个数的立方根
11．已知 与 互为相反数，则 与 的积的立方根为 ．
【答案】
【难度】0.85
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学科网（北京）股份有限公司【知识点】相反数的定义、利用算术平方根的非负性解题、求一个数的立方根
【分析】本题考查相反数的定义，算术平方根与平方式的非负性，以及立方根，掌握非负性，利用非负性
进行求解是本题的关键．根据题意可以列出式子 ，利用二次根式与平方式的非负性可
求出 与 的值，即可求出 与 的积的立方根．
【详解】解： 与 互为相反数
即
，
， ；
，
，
与 的积的立方根为： ．
故答案为： ．
12．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求一个数的平方根、求一个数的算术平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查算术平方根、平方根、立方根的定义，根据算术平方根、平方根、立方根的定义及符号
规则逐一分析选项．
【详解】解：A： ，而非 ，错误；
B： ，故错误；
C： ，故错误；
D： ，正确．
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学科网（北京）股份有限公司故选：D．
13．下列说法正确的是（ ）
A． 的平方根是9
B．立方根等于它本身的数有两个，0和1
C． 是49的算术平方根
D．4是16的一个平方根
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、求一个数的立方根
【分析】本题考查了平方根、立方根、算术平方根，根据平方根、立方根、算术平方根的概念逐项判断即
可得出答案，熟练掌握平方根和立方根的概念是解此题的关键．
【详解】解：A、 的平方根是 ，故原选项说法错误，不符合题意；
B、立方根等于它本身的数是0，1， ，故原选项说法错误，不符合题意；
C、 是49的算术平方根，故原选项说法错误，不符合题意；
D、4是16的一个平方根，故原选项说法正确，符合题意；
故选：D．
14．已知 的算术平方根是 的立方根是2，求 的平方根．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的平方根
【分析】本题考查了算术平方根，立方根和平方根的概念，熟练掌握算术平方根，立方根和平方根的概念
是解题的关键．
先根据 的算术平方根是 求出 ，再由立方根的定义求出 ，即可求解 ，最后由平方根的
定义求解即可．
【详解】解： 的算术平方根是 ，
，
解得
的立方根是 ，
，
，
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学科网（北京）股份有限公司，
的平方根是 ．
题型五 根据平方根或立方根解方程
15．求下列各式中 的值：
(1) ；
(2) ．
【答案】(1) 或
(2)
【难度】0.85
【知识点】利用平方根解方程、求一个数的立方根
【分析】本题考查了利用平方根的定义和立方根的定义解方程，熟练掌握平方根的定义和立方根的定义是
解题的关键．
（1）利用平方根的定义求解；
（2）利用立方根的定义求解．
【详解】（1）解： ，
所以 或 ．
所以 或 ．
（2）解： ．
所以 ．
所以 ．
所以 ．
16．（24-25八年级下·山东菏泽·期末）已知 是 121 的平方根，求 x，y的值．
【答案】 ； 或
【难度】0.85
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】该题考查了平方根和立方根，根据 求出 ，根据 是 121 的平方根，
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学科网（北京）股份有限公司得出 ，即可解答．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∵ 是 121 的平方根，
∴ ，
时， ．
时， ．
17．（24-25八年级下·黑龙江大庆·期中）求下列各式中 的值：
(1)
(2)
【答案】(1) ，
(2)
【难度】0.85
【知识点】利用平方根解方程、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查了利用平方根，立方根的定义解方程．
（1）移项，利用平方根的定义解方程即可；
（2）利用立方根的定义解方程即可．
【详解】（1）解：
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学科网（北京）股份有限公司解得 ， ；
（2）解：
∴
解得：
题型六 估算无理数的大小
18．估计 的值在（ ）
A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间
【答案】D
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算
【分析】本题主要考查无理数的估算，掌握算术平方根的意义，是解题的关键．要确定 的值所在区
间，需先估算 的范围，再通过加法运算判断结果的位置.
【详解】解：∵ ，
∴ ，
∴ ，
故选：D．
19．司南是中国古人利用磁铁制作的一种指南工具．如图，司南的形状像一把汤匙，它的长度与最大宽度
之比为 ，若 介于两个连续整数 和 之间，则 的值是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，先估算出 ，即可得到 ，即可解答．
【详解】解： ，
，即 ，
，
无理数 的值介于两个连续整数 和 之间，
．
故选：C．
20．一个正方形的面积是 ，通过估算，它的边长在整数 与 之间，则 ．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算
【分析】本题考查估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键．
根据算术平方根的定义估算无理数 的大小即可．
【详解】解；一个正方形的面积是 ，它的边长为 ，
， ，且 ，
，
在整数 与 之间，
，
故答案为： ．
21．满足 的所有整数x的和是 ．
【答案】2
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算
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学科网（北京）股份有限公司【分析】本题主要考查无理数大小的估算，解题的关键是掌握算术平方根的定义，灵活使用夹逼法进行估
算．首先通过对 ， 大小的估算，可得满足 的所有整数，进而对其求和．
【详解】解： ，
，
，
又 ，
，
满足 的所有整数有 ， ， ， ，
它们和为 ，
故答案为： ．
题型七 已知平方根/立方根求数或代数式
22．已知 的立方根是2， 的算术平方根是3，求 的平方根．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查了立方根和算术平方根以及平方根的概念理解，熟练掌握立方根和算术平方根以及平方
根的概念是解题的关键．
先根据立方根的定义求出 ，再由算术平方根的定义求出 ，然后得到 的值，即可求解平方根．
【详解】解：∵ 的立方根是2，
∴ ，
∴ ；
∵ 的算术平方根是3，
∴ ，
而 ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴其平方根为 ．
23．已知 的算术平方根是 ， 的立方根是2，求 的平方根．
【答案】
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数
【分析】本题考查平方根，立方根和算术平方根，根据平方根，立方根和算术平方根的定义进行求出即可．
【详解】解：由题意，得： ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
24．已知 的平方根是 ， 的立方根是1，求 的值．
【答案】4
【难度】0.85
【知识点】已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、求一个数的算术平方根
【分析】本题考查平方根，立方根的应用，根据平方根和立方根的定义列出方程求出x，y是解题关键．
利用平方根、立方根定义，一个数的平方根平方得原数，一个数的立方根立方得原数，列出关于x和y的
方程，求出x与y的值，代入原式计算即可得到结果．
【详解】解：∵ 的平方根是 ，
∴
∴ ，
∵ 的立方根是1，
∴ ，
∴ ，
∴ ．
25．已知正数 的平方根是 和 ， 的立方根为 ， 是 的整数部分．
(1)求 ， ， ， 的值；
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学科网（北京）股份有限公司(2)求 的算术平方根．
【答案】(1) ， ， ，
(2)4
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、已知一个数的平方根，求这个数、已知一个数的立方根，求这个数、
无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查平方根，立方根的性质，无理数的估算，算术平方根的计算．
（1）根据正数的平方根互为相反数求出 和 的值，根据立方根的计算求 的值，估算 ，找出其整数
部分，得到 的值；
（2）将（1）中求得的值代入代数式中求值，再求算术平方根即可．
【详解】（1）解：由题意得 ，
，
，
∵ 的立方根为 ，
，
，
∵ 是 的整数部分，且 ，
；
（2）由（1）可知 ， ， ，
，
算术平方根为 ．
26．（24-25八年级上·河北邯郸·期中）已知 的立方根是 ， 的算术平方根是 ， 是 的
整数部分．
(1)求 ， ， 的值；
(2)求 的平方根．
【答案】(1) ， ， ；
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学科网（北京）股份有限公司(2) 的平方根为 ．
【难度】0.65
【知识点】求一个数的算术平方根、求一个数的平方根、已知一个数的立方根，求这个数、无理数整数部
分的有关计算
【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根概念，无理数的估算，熟练掌握相关概念及运算法则是
解题的关键．
（ ）根据立方根，算术平方根的定义，无理数估算求出的 ， ， 的值即可；
（ ）把 ， ， 的值先代入 求解，然后根据平方根的概念即可得出结果．
【详解】（1）解：∵ 的立方根是 ， 算术平方根是 ，
∴ ， ，
∴ ， ，
∵ ，即 ，
∴ 整数部分 ，
∴ ， ， ；
（2）解：由（ ）得， ， ， ，
∴ ，
∴ 的平方根为 ．
题型一 估算无理数的大小
1．实数与数轴上的点一一对应．如图，A，B，C，D是数轴上的四个点，这四个点中最适合表示 的是
（ ）．
A．点 B．点 C．点 D．点
【答案】C
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学科网（北京）股份有限公司【难度】0.65
【知识点】估计算术平方根的取值范围、实数与数轴、无理数的大小估算
【分析】本题考查估算无理数的大小，数轴表示数，掌握算术平方根的定义以及数轴表示数的方法是正确
解答的关键，根据算术平方根的定义估算无理数 的大小，再由点A、B、C、D在数轴上的位置进行判
断即可．
【详解】解： ， ，
，
又 ，
，
由点A、B、C、D在数轴上的位置可知，点C最适合表示 ，
故选：C．
2．（24-25八年级下·安徽芜湖·期末）黄金分割数 是一个具有特殊美学意义和广泛应用的无理数，它
的近似值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【难度】0.65
【知识点】估计算术平方根的取值范围、无理数的大小估算
【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，熟练掌握无理数的估算是解题的关键．
先求得 ， ，进一步计算即可求得．
【详解】解：∵ ， ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
故选：C．
3．（2025·浙江·中考真题）【阅读理解】
同学们，我们来学习利用完全平方公式：
近似计算算术平方根的方法．
例如求 的近似值．
因为 ，
所以 ，
则 可以设成以下两种形式：
① ，其中 ；
② ，其中 ．
小明以①的形式求 的近似值的过程如图．
因为 ，
所以 ，
即 ．
因为 比较小，
将 忽略不计，
所以 ，
即 ，
得 ，
故 ．
【尝试探究】
（1）请用②的形式求 的近似值（结果保留2位小数）．
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学科网（北京）股份有限公司【比较分析】
（2）你认为用哪一种形式得出的 的近似值的精确度更高，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）用①的形式得出的 的近似值的精确度更高，理由见解析
【难度】0.85
【知识点】估计算术平方根的取值范围
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，正确理解题意是解题的关键．
（1）设 ，其中 ，则仿照题意可得 ， 比较小，将 忽略不计，则
，据此可得 ，则 ；
（2）可求出 ，据此可得结论．
【详解】解：（1）设 ，其中 ，
∴ ，
∴ ，
∵ 比较小，将 忽略不计，
∴ ，
∴ ，
∴ ；
（2）用①的形式得出的 的近似值的精确度更高，理由如下；
∵ ， ，
∴ ，
∴用①的形式得出的 的近似值的精确度更高．
题型二 与算术平方根/立方根有关的规律探索
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学科网（北京）股份有限公司4．（24-25七年级下·山东滨州·期中）根据以下表格里的数据：
2.024 20.24 202.4 2024 20240
1.422 4.499 14.22 44.99 142.2
则 ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】估计算术平方根的取值范围
【分析】本题主要考查了算术平方根的估算，被开方数的小数点每向左移动两位，那么开方的结果的小数
点就向左移动一位，据此求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ，
故答案为： ．
5．观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律：
(1)观察算式规律，计算 ＝ ； ＝ ．
(2)用含正整数 的式子表示上述算式的规律： ．
(3)计算： ．
【答案】(1) ；
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】求一个数的算术平方根、与算术平方根有关的规律探索题
【分析】本题考查了实数的运算，算术平方根，数字的变化规律探究，从数字找规律是解题的关键．
（1）根据算术平方根进行计算即可求解；
（2）从数字找规律，即可解答；
（3）从数字找规律，进行计算即可解答．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】（1）解： ，
故答案为： ；
（2）解：用含正整数n的式子表示上述算式的规律： ；
故答案为： ；
（3）解：
．
6．已知 ， ， ，则 （ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【难度】0.65
【知识点】求一个数的立方根、与立方根有关的规律探索
【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质
成为解题的关键．
将21400分解为 ，再利用立方根的性质 求解即可．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选A．
7．求59319的立方根，解答如下：
① ，又 ， ，∴能确定59319的立
方根是个两位数．
②59319的个位数是9，又 ，∴能确定59319的立方根的个位数是9．
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学科网（北京）股份有限公司③划去59319后面的三位319得到数59，而 ，则 ，可得 ，由
此能确定59319的立方根的十位数是3，因此59319的立方根是39．根据以上步骤求出314432的立方根是
．
【答案】68
【难度】0.65
【知识点】与立方根有关的规律探索
【分析】本题考查立方根，根据题意所给方法确定314432的立方根是个两位数，再确定个位、十位上的数，
即可解答．
【详解】解： ，
又 ，
，
∴能确定314432的立方根是个两位数．
314432的个位数是2，
又 ，
∴能确定314432的立方根的个位数是8．
划去314432后面的三位432得到数314，而 ，则 ，
可得 ，由此能确定314432的立方根的十位数是6，
因此314432的立方根是68，
故答案为68．
8．已知 ， ，依据立方根运算规律得： ．
【答案】
【难度】0.65
【知识点】与立方根有关的规律探索
【分析】本题考查了实数的运算与立方根，根据被开方数的小数点向左或向右移动三位，立方根的小数点
向左或向右移动一位，求解即可，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：∵ ， ，
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学科网（北京）股份有限公司∴ ，
∴ ，
故答案为： ．
题型三 算术平方根/立方根的应用
9．如图 是由8个同样大小的立方体组成的二阶魔方，体积为 ．
(1)求这个魔方的棱长；
(2)图 中阴影部分是一个正方形 ，求阴影部分的面积及其边长．
(3)把正方形 放到数轴上，如图 ，使得点A与1重合，数轴上有一个动点E，若 ，则点E
在数轴上表示的数为______．
【答案】(1)2
(2)阴影部分的面积为2，边长为
(3) 或 ．
【难度】0.65
【知识点】立方根的实际应用、实数与数轴、算术平方根的实际应用
【分析】（1）根据立方体的体积公式，直接求棱长即可；
（2）根据棱长，求出每个小正方体的棱长，进而可得小正方形的对角线，即阴影部分图形的边长，即可
得解；
（3）分当动点 在点A左边和右边两种情况求解．
本题主要考查实数与数轴、立方根的综合应用，解决此题的关键是能求出每个小正方形的边长．
【详解】（1）解：设这个魔方的棱长为x，
则 ，
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学科网（北京）股份有限公司解得：
故这个魔方的棱长为2；
（2） 棱长为2，
每个小立方体的棱长都是1，
阴影部分 ；
阴影部分正方形 的边长为： ；
（3） 正方形 的边长为 ，点A与1重合， ，
动点E在点 左边时，数轴上表示的数为： ，
动点E在点 右边时，数轴上表示的数为： ，
故答案为： 或 ．
10．天气晴朗时，一个人能看到大海的最远距离s（单位：千米）可用公式 来估计，其中h（单
位：米）是眼睛离海平面的高度．
(1)如果小天站在岸边观察，当眼睛离海平面的高度是1.6米时，能看到多远？
(2)若小天登上岸边的一个观望台A，已知小天眼睛离观望台地面的高度是 米，他想看到距离岸边大约
10千米处的一个货轮B，则观望台至少离海平面高多少米才可以看得见？
【答案】(1)5千米
(2) 米
【难度】0.65
【知识点】算术平方根的实际应用、已知字母的值 ，求代数式的值
【分析】本题主要考查了求代数式的值和平方根，解题的关键是正确理解题意，掌握平方根的定义．
（1）将 代入，即可求解；
（2）根据题意代入 求出h的值，即可求解．
【详解】（1）解：因为 ，
所以 ，
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学科网（北京）股份有限公司所以 （舍）或 ，
答：能看到5千米远；
（2）解：当 时，可得 ，
解得 ，
（米）．
则观望台至少离海平面高为 米．
11．（24-25八年级下·湖北孝感·期末）如图，在五边形 中， ， ， ， ，
， ， ，连接 、 ．
(1)求 和 的长；
(2)求五边形 的面积．
【答案】(1) ；
(2)12
【难度】0.85
【知识点】求一个数的算术平方根、用勾股定理解三角形、判断三边能否构成直角三角形
【分析】本题考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键．
（1）由 ， ，可得 ， ，根据勾股定理可得 ， ；
（2）再由勾股定理的逆定理证明 ，继而根据五边形 的面积
求解即可．
【详解】（1）解： ， ，
， ，
， ，
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学科网（北京）股份有限公司， ， ， ，
， ，
， ；
（2）解： ，
，
，
五边形 的面积为：
．
12．【阅读理解】
素材1：任何一个无理数，都介于两个相邻的整数之间，如 ，是因为 ；
素材2：因为 介于2和3之间，所以 的整数部分是2，小数部分是 ．
素材3： 系列纸的长与宽的比例均符合 ，其中 纸的面积约为 ．
【问题解决】
(1)设 纸张的宽为 ，则长为 ，根据边长与面积的关系，得 ，即
，由边长的实际意义，得 ，那么 的整数部分是________，小数部分是
________；
(2)如图，按照国际标准，将A0纸沿长边对折，便成两张A1纸；将A1纸沿长边对折，便成两张A2纸；将
A2纸沿长边对折，便成两张A3纸；将A3纸沿长边对折，便成两张A4纸，那么请你计算A0纸的宽介于哪
两个相邻的整数之间．（参考数据： ， ， ， ， ）
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学科网（北京）股份有限公司【答案】(1)21，
(2)A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间
【难度】0.65
【知识点】无理数的大小估算、无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查无理数的整数部分和小数部分，掌握知识点是解题的关键．
（1）根据 ，即可解答；
（2）设 纸的宽为 ，根据面积求出 的值，继而确定在两个相邻的整数之间，即可解答．
【详解】（1）解：∵ ，
∴ 的整数部分是21，小数部分是 ．
（2）法1： 纸的面积为 ，
纸的面积为 ．
设 纸的宽为 ，长为 ，
，
由边长的实际意义，得 ，
，且 ， ，
答：A0纸的宽介于84和85两个相邻整数之间．
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学科网（北京）股份有限公司法2：由题意得， 纸的宽为 ，且
，
纸的宽介于84与85两个相邻的整数之间．
题型四 确定无理数的整数部分
13．阅读材料：一个实数的整数部分为不大于这个数的最大整数，小数部分为这个数与它的整数部分的差
的绝对值．例如：1.4的整数部分为1，小数部分为 ； 的整数部分为1，小数部分为 ；
再如， 的整数部分为 ，小数部分为 ．由此得到：若 ，其中x是整数，且
，则 ， ．根据材料，回答下列问题：
(1)若 ，其中m是整数，且 ，则 ， ；
(2)若 ，其中a是整数，且 ，求 的值；
(3)若 ，其中p是整数，且 ，求 的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【难度】0.65
【知识点】无理数整数部分的有关计算
【分析】本题考查了估算无理数的大小及无理数整数部分的计算，根据题意，确定无理数的整数部分是解
题的关键．
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学科网（北京）股份有限公司（1）根据 即可得出结论；
（2）先得出 ，进而求出 ， ，代入求出值即可；
（3）先求出 ，代入求值即可．
【详解】（1）解：∵ ， ，其中 是整数，且
则 ；
（2）解： ，
，
∵a是整数， ，
， ，
∴ ．
（3）∵ ，
∴ ，
∵ ，其中 是整数，且 ，
∴根据题意得， ，
．
题型一 利用算术平方根的非负性对代数式变形
1．已知实数 、 、 满足 ，求 的值．
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学科网（北京）股份有限公司【答案】2
【难度】0.65
【知识点】利用算术平方根的非负性解题、已知字母的值 ，求代数式的值、运用完全平方公式进行运算
【分析】本题主要考查了二次根式的性质，二次根式非负数的性质，完全平方公式，解题的关键是熟练掌
握二次根式性质，先将原方程化为 ，进而求出a、b、c的值，
再代入计算即可．
【详解】解： ，
，
，
，
，
，
，
．
题型二 算术平方根的实际应用
2．综合实践
今年1月16日，距离地球最近的外行星火星冲日，冲日是说火星、地球和太阳排成近似一条直线（如图所
示）．冲日期间，火星距离地球最近、最亮和整夜可见．请根据下表相关的数据信息解答下列各题：
行星 质量m 绕太阳公转的轨道半径 绕太阳的公转周期T
地球 年
火星 年
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学科网（北京）股份有限公司(1)计算 的值；
(2)计算火星绕太阳的公转周期 ；（公式： ，结果保留一位小数．参考数据： ）
(3)估算相邻两次火星冲日的时间间隔t．（公式： ）
【答案】(1)
(2)约 年
(3) 年
【难度】0.65
【知识点】有理数乘除混合运算、含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根、已知字母的值 ，
求代数式的值
【分析】（1）根据有理数的除法计算即可；
（2）根据公式，变形后，代入估算即可；
（3）根据公式，变形后，代入估算即可；
本题考查了有理数的除法，立方的计算，算术平方根的计算，公式的变形计算，熟练掌握运算法则，正确
进行公式变形是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意，得
（2）解：由公式： ，
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学科网（北京）股份有限公司得 ，
又 ， ， 年，
故 ，
又 ，
故 （年）．
（3）解：由 ，
得 （年）．
3．（1）如图1，分别把两个面积为 的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形拼成一个面积为
的大正方形，则大正方形的边长为_____cm；
（2）如图2，若正方形的面积为 ，小丽同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为 的长方
形纸片，使它的长和宽之比为 ，但她不知道能否裁得出来．小明见了说：“一定能用一块面积大的纸
片裁出一块面积小的纸片！”你同意小明的说法吗?请说明理由．
（3）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是 ，设圆的周长为 ，正方形的周长为 ，请比较
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学科网（北京）股份有限公司与 的大小；
【答案】（1） ；（2）不同意，理由见解析；（3） ．
【难度】0.4
【知识点】算术平方根的实际应用、实数的大小比较、无理数的大小估算
【分析】本题考查的是算术平方根的概念和二次根式的运算．熟练掌握正方形面积公式，长方形面积公式，
圆面积公式，是解题的关键．
（1）取大正方形面积的算术平方根，即得；
（2）设长方形纸片的长为 ，宽为 ，得 ，解得 ，根据正方形的边长为9，
，得小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片；
（3）设圆的半径为r，正方形的边长为a，则 ，解得 ，得 ；由 ，解得
，得 ，得 ，即得 ．
【详解】解：（1）∵大正方形面积为2，
∴大正方形边长为 ；
故答案为： ；
（2）不同意小明的说法，
∵面积为81的正方形纸片的边长为： ，长方形纸片的长和宽之比为 ，
∴设长方形纸片的长为 ，宽为 ，
∵长方形纸片面积为60，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司故小丽不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，
（3）设圆的半径为r，正方形的边长为a，
则圆面积 ，
∴ ，
∴ ；
∵正方形面积 ，
∴ ，
∴ ，
∵ ， ，
且 ，
∴ ，
即 ．
4．某校的数学兴趣小组开展主题为“纸张中的奥秘”的探究活动．
【探究一】正方形纸张的对角线的长
如图1，该小组用了两个面积为 的小正方形分别沿着对角线剪开，将所得的4个直角三角形拼在一起，
得到一个面积为 的大正方形．
（1）根据上述操作过程，小正方形的对角线的长为_____；
【探究二】A型纸中的奥秘
根据国际标准， 系列纸为长方形，其中A4纸的宽为 ．将A0纸沿长边对折、裁开，便成A1纸；将
A1纸沿长边对折、裁开，便成A2纸；将A2纸沿长边对折、裁开，便成A3纸；将A3纸沿长边对折、裁开，
便成A4纸；……将A4纸按如图2所示的方式折叠．
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学科网（北京）股份有限公司根据上述操作过程，
（2）直接写出A4纸的长；
（3）求A0纸的长和宽；（结果保留根号）
【探究三】拓展迁移
该兴趣小组类比A型纸，设计了一种长方形纸张，该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个
相同的小长方形，这5个小长方形的长宽比与大长方形的长宽比相同，记该种长方形纸张为 型纸．他们
用5个边长为 的正方形，通过剪拼得到宽为 的 型纸的长，截取该长度，画出一张 型纸．
（4）根据上述描述，请你借助5个图3的正方形，剪拼得到M型纸的长，并在图4中画出这张 型纸．
（说明：不需要尺规作图，但需要保留类似于图2的裁切线和设计的操作步骤）
【答案】（1） （2） （3）长为 ，宽为 （4）图见解析
【难度】0.4
【知识点】算术平方根的实际应用、折叠问题
【分析】本题考查折叠的性质，算术平方根的实际应用，熟练掌握折叠的性质，算术平方根的定义，是解
题的关键：
（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，进行求解即可；
（2）根据折叠得到A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比即为： ，进行求解即可；
（3） 纸是由 纸经过4次折叠后得到的，进而得到 纸的长和宽均为 纸的长和宽的4倍，进行
求解即可；
（4）设 型纸的长为 ，宽为 ，根据题意得到 ，得到M型纸的长为 ，而5个小正方形的
面积恰好为 ，进而得到M型纸的长为5个小正方形构成的一个大正方形的边长，画图即可．
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学科网（北京）股份有限公司【详解】解：（1）由图可知，小正方形的对角线的长即为大正方形的边长，
∵大正方形的面积为 ，
∴大正方形的边长为 ，即小正方形的对角线长为 ；
故答案为： ；
（2）由图可知，折叠上去的斜边正好与长方形的长相等，
∴A型纸的长与宽的比为正方形的对角线与边长的比，
由（1）可知，正方形的对角线与边长的比为 ，
∴故A型纸的长与宽的比为 ，
∵ 纸的宽为 ，
∴ 纸的长为 ；
（3）∵ 纸是由 纸经过4次折叠后得到的，
∴ 纸的长和宽均为 纸的长和宽的4倍，
∵ 纸的长为 ，宽为 ，
∴ 纸的长和宽分别为 和 ；
（4）设 型纸的长为 ，宽为 ，
∵该长方形纸张沿着长边的五等分点所连线段裁开成5个相同的小长方形，
∴小长方形的长为 ，宽为 ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
∴ ，
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学科网（北京）股份有限公司∴M型纸的长为 ，
∵5个小正方形的面积恰好为 ，
∴将5个小正方形按照如下图剪拼成一个大正方形的边长即为M型纸的长，
因此如下图即为所求：
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