文档内容
2.2探索直线平行的条件
考点一：平行线的定义和表示
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
平行线的表示: 我们通常用符号“//”表示平行。
任意两条直线，有两种位置关系，一种是相交，另一种是平行。
考点二：平行线的画法：
已知直线a和直线外的一个已知点P,经过点P画一条直线与已知直线a平行。
P
●
一、帖(线）
二、靠(尺） a
三、移(点)
四、画(线）考点三：平行公理
经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。
平行公理推论：
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
∵ b∥a b ∥ c ∴ a ∥c a
b
平行线具有传递性。 c
c
考点四、平行线的判定
1
a
判定1： 两条直线被第三条直线所截，如果
同位角相等，那么这两条直线平行。 2
简单说成：同位角相等, 两直线平行 b
c
判定2：两条直线被第三条直线所截，如果 a
内错角相等，那么这两条直线平行.
3
简单说成：内错角相等，两直线平行. 2
b
c
判定3：两条直线被第三条直线所截，
如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. a
简单说成：同旁内角互补，两直线平行 3
4
b
一个重要结论：同一平面内，垂直于同一直线的两条直线互相平行。题型一：平行线的理解
1．（2022·全国·七年级）下列说法正确的是 ( )
A．不相交的两条直线是平行线．
B．如果线段AB与线段CD不相交，那么直线AB与直线CD平行．
C．同一平面内，不相交的两条射线叫做平行线．
D．同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线．
2．（2021·山东泰安·七年级期中）下列说法不正确的是（ ）
A．平面内两条不相交的直线叫做平行线
B．一条直线的平行线有且只有一条
C．过直线外一点能画一条直线与已知直线平行
D．同一平面内，过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直
3．（2022·江苏常州·七年级期末）如图，已知A、B、C三点，过点A可画直线BC的平行
线的条数是（ ）
A．0条 B．1条 C．2条 D．无数条
题型二：平行公理及推论
4．（2022·江苏南京·七年级期末）下列说法错误的是（ ）
A．经过两点，有且仅有一条直线
B．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点之间的所有连线中，线段最短
D．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线平行
5．（2021·重庆市两江中学校七年级期中）下列命题中真命题的个数有（ ）
①有公共顶点且相等的两个角叫对顶角；②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；③平行于同一条直线的两条直线平行；④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤直线外一点到已知直线的垂线段就是该点到直线的距离．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．（2021·上海浦东新·七年级期中）下列语句正确的个数是（ ）
（1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
（2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行；
（3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；
（4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
题型三：平行线四大判定方法
7．（2022·福建·晋江市季延中学七年级期末）如图， 和 分别为直线 与直线 和 相
交所成角．如果 ，那么添加下列哪个条件后，可判定 ．（ ）．
A． B． C． D．
8．（2022·江苏苏州·七年级期末）如图所示，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线
上，则下列条件中能判定AB∥CD的是（ ）
A．∠1＝∠2 B．∠DAE＝∠B
C．∠D＋∠BCD＝180° D．∠3＝∠4
9．（2022·重庆巴蜀中学七年级期末）如图，下列四个选项中不能判断AD∥BC的是（
）A． B．
C． D．
题型四：平行线判定综合性问题
10．（2022·山东济南·七年级期末）（1）如图，已知 ， ，求证：
．
证明：∵ ，
∴∠______=∠______（两直线平行，______）
又∵ ，
∴∠______=∠______，
∴______ ______．（______，两直线平行）
（2）如图，已知 ， ，求证： ．
11．（2021·吉林长春·七年级期末）如图，如果∠1＝60°，∠2＝120°，∠D＝60°，那么AB
与CD平行吗？BC与DE呢？观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论．
解∵∠1＝60°（已知）
∠ABC＝∠1 （① ）
∴∠ABC＝60°（等量代换）
又∵∠2＝120°（已知）
∴（② ）+∠2＝180°（等式的性质）
∴AB∥CD （③ ）
又∵∠2+∠BCD＝（④ °）
∴∠BCD＝60°（等式的性质）
∵∠D＝60°（已知）
∴∠BCD＝∠D （⑤ ）
∴BC∥DE （⑥ ）
12．（2021·广东深圳·七年级期中）完成下面的推理过程：
如图，已知EF⊥AC于F，DB⊥AC于M，∠1＝∠2，∠3＝∠C．
(1)求证：AB∥MN；
(2)若∠BMN＝140°，∠ADM＝25°，求∠BAD的度数．
证明：（1）∵EF⊥AC，DB⊥AC，
∴∠CFE＝∠CMD＝90°（________________）
∴EF∥DM（同位角相等，两直线平行）
∴∠2＝∠CDM（________________）
∵∠1＝∠2（已知）∴∠1＝∠CDM（等量代换）
∴MN∥CD（________________）
∴∠C＝∠________（两直线平行，同位角相等）
∵∠3＝∠C（已知）
∴∠3＝∠AMN（等量代换）
∴AB∥MN（内错角相等，两直线平行）
（2）∵AB∥MN（已证）
∴∠BMN＋∠B＝180°（________________）
∵∠BMN＝140°（已知）
∴∠B＝40°
∵∠BAD＋∠B＋∠ADB＝180°（________________）
∴∠BAD＝180°－∠B－∠ADB＝180°－40°－25°＝115°
一、单选题
13．（2021·重庆·七年级期中）下列说法正确的有（ ）
①两点之间的所有连线中，线段最短；
②相等的角叫对顶角；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；
⑤两点之间的距离是两点间的线段；
⑥在同一平面内的两直线位置关系只有两种：平行或相交．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
14．（2021·河北唐山·七年级期末）如图，在平面内经过一点作已知直线 的平行线，可
作平行线的条数有（ ）
A．0条 B．1条 C．0条或1条 D．无数条
15．（2021·全国·七年级课时练习）下列说法中，错误的有（ ）．①若 与 相交， 与 相交，则 与 相交；
②若 ，那么 ；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种．
A．3个 B．2个 C．1个 D．0个
16．（2021·全国·七年级专题练习）已知：如图所示， ，则下列结论正确的是
（ ）
A． B． C． D．
17．（2021·全国·七年级专题练习）已知直线a，b，c是同一平面内的三条不同直线，下面
四个结论：
①若 则 ；②若 则 ；③若 则 ；④若 且
与 相交，则 与 相交，其中，结论正确的是（ ）
A．①② B．③④ C．①②③ D．②③④
18．（2020·浙江·七年级阶段练习）如图，直线a，b被直线c所截，现给出下列四个条件：
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ，其中能判定 的
条件的序号是（ ）A．（1），（2） B．（1），（3） C．（1），（4） D．（3），（4）
19．（2021·江苏淮安·七年级期末）如图，工人师傅在工程施工中，需在同一平面内弯制
一个变形管道ABCD，使其拐角∠ABC＝150°，∠BCD＝30°，则（ ）
A．AB//BC B．BC//CD C．AB//DC D．AB与CD相交
20．（2021·天津滨海新·七年级期末）如图所示，点E在AC的延长线上，下列条件中能判
断AB//CD的是（ ）
A． B． C． D．
21．（2021·吉林·长春市第一〇八学校七年级阶段练习）如图，射线 平分 ，且
．求证： ．22．（2021·山东·淄博市张店区实验中学七年级期中）已知：如图，∠D=∠A，∠B=∠FCB
求证：ED//CF
一：选择题
23．（2022·黑龙江大庆·七年级期末）如图，下列能判定AB CD的条件有（）个．
（1） ；（2） ；（3） ；（4） ．
A．1 B．2 C．3 D．4
24．（2022·全国·七年级）如图，不能说明AB//CD的有（ ）①∠DAC=∠BCA；②∠BAD=∠CDE；③∠DAB+∠ABC=180°；④∠DAB=∠DCB
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
25．（2020·山东临沂·七年级期中）如图, ∥ , ；① ；② ；
③∠2=∠4,下列说法中，正确的是( )
A．只有①正确 B．只有②正确 C．①和②正确 D．①②③都正确
26．（2021·浙江·七年级期末）如图，在下列四组条件中，能判断 的是（ ）
A． B． C． D．
27．（2020·四川·广安市广安区五福学校七年级期中）下列说法正确的是（ ）
A．经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线
B．互相垂直的两条直线一定相交
C．直线外一点到已知直线的垂线段叫点到直线的距离
D．两条直线都平行于第三条直线则这两条直线平行
28．（2022·全国·七年级）已知如图直线a，b被直线c所截，下列条件能判断a∥b的是(
)
A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠1＝∠4 D．∠2+∠5＝180°
29．（2019·天津津南·七年级期末）如图，如果∠D+∠EFD=180°，那么( )A．AD∥BC B．EF∥BC C．AB∥DC D．AD∥EF
30．（2019·安徽合肥·七年级期末）已知：如图，在 中，点 ， 、 分别在 、
、 上，连接 、 、 ，则下列条件中，不能判定 的有：（ ）
① ;② ;③; ;④ ;⑤
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
二、填空题
31．（2021·全国·七年级专题练习）直线a∥b，b∥c，则直线a与c的位置关系是________．
32．（2021·青海海东·七年级期末）观察如图所示的长方体，用符号（“ ”或“ ”）
表示下列两棱的位置关系： _____ ， _____ ， _____ ．33．（2021·全国·七年级课时练习）如图，若 ，则__ __根据是__；若 ，
则__ __，根据是__；若 ，则__ __，根据是__．
34．（2020·黑龙江·牡丹江市田家炳实验中学七年级期中）给出下列说法：
（1）两条直线被第三条直线所截，同位角相等；
（2）平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交；
（3）相等的两个角是对顶角；
（4）三条直线两两相交，有三个交点；
（5）若a⊥b，b⊥c，则a⊥c．
其中正确的有________个
35．（2021·福建莆田·七年级期末）如图，给出下列条件：① ；②
；③ ；④ ；⑤ ．其中，一定能判定 ∥ 的条件有
_____________（填写所有正确的序号）．
36．（2021·山东·青岛经济技术开发区第四中学七年级阶段练习）如图，如果要使
，那么需要添加的一个条件是_______（只要写出一个即可）.
三、解答题37．（2022·山东济南·七年级期末）如图，在方格纸中，点C在直线AB外，
(1)请作直线BC，则直线AB与直线BC的位置关系为______；
(2)过点C，作直线 ．
38．（2021·全国·七年级课时练习）已知如图， ，试判断 与 的位置
关系，并说明理由．
39．（2021·全国·七年级专题练习）完成下面的证明．
已知：如图，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°．
求证：AB∥EF．
证明：∵∠1+∠2＝180°，
∴AB∥ （ ）．
∵∠3+∠4＝180°，
∴ ∥ ．
∴AB∥EF（ ）．
40．（2019·北京大兴·七年级期末）已知：如图，直线 被直线 所截， ，，求证： .完成下面的证明.
证明：∵ 被直线 所截， ，
∴
∵ ，
∴ ，
∴ // ( )(填推理的依据)
41．（2019·江苏南京·七年级期末）在 ABC中，BD平分∠ABC，交AC于点D，
DE∥BC，交AB 于点E，F是BC上一点△，且∠BDF＝∠BDE，求证：DF∥AB．
42．（2019·全国·七年级单元测试）如图所示，已知EF平分
，求证：（1） .（2）
.43．（2019·全国·七年级课时练习）猜想：当点E在两条直线AB，CD之外时（如图1和
2），∠BED，∠B，∠D满足怎样的关系时，有AB∥CD？对猜想进行证明．
44．（2019·江苏苏州·七年级期中）如图，直线AB∥CD，E、F是AB、CD上的两点，直线
l与AB、CD分别交于点G、H，点P是直线l上的一个动点（不与点G、H重合），连接
PE、PF．
（1）当点P与点E、F在一直线上时，∠GEP＝∠EGP，∠FHP＝60°，则∠PFD＝
．
（2）若点P与点E、F不在一直线上，试探索∠AEP、∠EPF、∠CFP之间的关系，并证
明你的结论．1．D
【详解】
A、同一平面内不相交的两条直线是平行线，故此说法错误；
B、两条线段不相交也可以不平行，故此说法错误；
C、同一平面内，不相交的两条射线可以平行，也可以既不平行也不相交，故此说法错误；
D、同一平面内，没有公共点的两条直线是平行线，此说法正确，
故选D．
2．B
【解析】
【详解】
解：A、平面内两条不相交的直线叫做平行线，此选项正确；
B、一条直线的平行线无数条，此选项错误；
C、过直线外一点能画一条直线与已知直线平行，此选项正确；
D、过直线外一点能画一条直线与已知直线垂直，此选项正确；
故选：B．
3．B
解：如图，
根据过直线外一点有且只有1条直线与已知直线平行，
故选：B．
4．D
解：由垂线的性质、线段的性质、直线的性质可知 、 、 正确；
A、根据直线的性质可知选项正确，不符合题意；
B、根据垂线的性质可知选项正确，不符合题意；
C、根据线段的性质可知选项正确，不符合题意；
D、由平行公理可知选项不正确，需要保证该点不在已知直线上，符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了垂线的性质、线段的性质、直线的性质、平行公理，解题的关键是掌握相关的概念．
5．A
【解析】
【分析】
根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）可判断①；同一平面内，过直
线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，可判断②；平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定
可判断③；同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，可判断④；直线外一点到已知直线的垂线段
长度就是该点到直线的距离，可判断⑤，综合即可得出选项．
【详解】
解：根据对顶角的定义（有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角）判断①错误，是假命题；
同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故②错误，是假命题；
平行于同一条直线的两条直线平行，根据平行线的判定可得③正确，是真命题；
同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④错误，是假命题；
直线外一点到已知直线的垂线段长度就是该点到直线的距离，故⑤错误，是假命题；
综上可得只有③正确，是真命题，
故选：A．
【点睛】
题目主要考查真假命题的判断，包括对顶角，平行线和垂线的性质，点到直线的距离等，理解题意，熟练掌握各
个定理是解题关键．
6．C
【解析】
【分析】
由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】
解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确；
经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确；
平面内，平行具有传递性，故（3）正确；
同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确，
∴正确的有（1）、（3）、（4），
故选：C．
【点睛】
本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键．
7．A
【解析】
【分析】通过同位角相等两直线平行进行判定即可.
【详解】
A.∵ ，∴∠3=180 º-∠2=62 º=∠1，∴能判定 ，此选项正确；
B.∵ ，∴∠3=180 º-∠4=52 º≠∠1，∴不能判定 ，此选项错误；
C.∵ ，∴∠3≠∠1，∴不能判定 ，此选项错误；
D.∵ ，∴∠3=∠28º≠∠1，∴不能判定 ，此选项错误；
故选：A
【点睛】
此题考查平行线的判定，掌握同位角相等两直线平行是解答此题的关键.
8．D
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案．
【详解】
解：A、当∠1＝∠2时，可得：AD∥BC，故本选项不合题意；
B、当∠DAE＝∠B时，可得AD∥BC，故本选项不合题意；
C、当∠D＋∠BCD＝180°时，可得：AD∥BC，故本选项不合题意；
D、当∠3＝∠4时，可得：AB∥CD，故本选项符合题意；
故选：D
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题的关键．
9．D
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定定理分析得出答案．
【详解】
解：A、已知 ，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；
B、已知 ，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；
C、已知 ，那么AD∥BC，故此选项不符合题意；
D、已知 ，那么AB∥CD，不能推出AD∥BC，故此选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键．平行线的判定定理：同位角相等，两直
线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
10．（1） ；内错角相等； ； ；内错角相等；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）根据 的性质得出 ，利用等式性质得出 即可；
（2）根据 的性质得出， ，利用等式性质得出 即可．
【详解】
（1）证明：∵ ，
∴ （两直线平行，内错角相等），
又∵ ，
∴ ，
∴ ．（内错角相等，两直线平行），
故答案为：2，3，内错角相等；1，2；AC，DE，内错角相等；
（2）证明：∵ ，
∴ ，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
【点睛】
本题考查平行线的性质与判定，等式的性质，掌握平行线的性质与判定是解题关键．
11．对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【解析】
【分析】
先求出∠ABC＝60°，即可证明∠ABC+∠2＝180°得到AB∥CD，然后求出∠BCD＝∠D 即可证明BC∥DE．
【详解】
解∵∠1＝60°（已知）
∠ABC＝∠1 （对顶角相等），∴∠ABC＝60°（等量代换），
又∵∠2＝120°（已知），
∴∠ABC+∠2＝180°（等式的性质），
∴AB∥CD （同旁内角互补，两直线平行），
又∵∠2+∠BCD＝180°，
∴∠BCD＝60°（等式的性质），
∵∠D＝60°（已知），
∴∠BCD＝∠D （等量代换），
∴BC∥DE （内错角相等，两直线平行），
故答案为：对顶角相等；∠ABC；同旁内角互补，两直线平行；180；等量代换；内错角相等，两直线平行．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，对顶角相等，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的判定条件．
12．(1)见解析；垂直的定义；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；∠AMN；
(2)两直线平行，同旁内角互补；三角形的内角和定理
【解析】
【分析】
（1）由于 ， 得到 ，根据平行线的性质得 ，而∠1=∠2，则 ，
根据平行线的判定得到 ，所以 ，又 ，于是 ，然后根据平行线的判定即
可得到 ；
(2)由于 利用平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补可求得∠B的度数，再利用三角形的内角和即可
求解.
(1)
解：垂直的定义；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；∠AMN；；
(2)
解：两直线平行，同旁内角互补；三角形的内角和定理
【点睛】
本题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质是解题的关键.
13．B
【解析】
【分析】
根据所学的相关知识,逐一判断即可．
【详解】
解：①两点之间的所有连线中，线段最短，故①说法正确．
②相等的角不一定是对顶角，故②说法错误．
③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故③说法错误．④同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故④说法错误．
⑤两点之间的距离是两点间的线段的长度，故⑤说法错误．
⑥在同一平面内，两不重合的直线的位置关系只有两种：相交和平行，故⑥说法正确．
综上所述，正确的结论有2个．
故选： ．
【点睛】
本题主要考查对平行线的定义，两点间的距离，相交线等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解
此题的关键．
14．C
【解析】
【分析】
根据平行公理的定义：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，可直接得结论．
【详解】
解：在同一平面内，当这个点在直线上时，此时可作0条与已知直线平行的线，，
当这个点在直线外时，可以作一条直线于已知直线m的平行．
故选C．
【点睛】
本题考查了平行线的定义．掌握平行线的定义是解决本题的关键．
15．A
【解析】
【分析】
依次判断所给内容的正误，即可得．
【详解】
解：①若a与c相交， b与c相交，则a与b相交；错误，符合题意，a与b还有可能平行，如图所示：
②若a//b，b//c那么a//c；正确，不符合题意；
③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；错误，符合题意；应为“经过直线外一点，有且只有一条直线与已
知直线平行，”
④在同一平面内，两条直线的位置关系有平行、相交、垂直三种；错误，符合题意，因为垂直是相交的特殊情况，
综上，①③④错误，
故选A．【点睛】
本题考查了平行线，解题的关键是熟记平行公理及其推论和平面内两条直线的位置关系．
16．A
【解析】
【分析】
根据平行线的判定直接判断即可．
【详解】
证明： ，
（内错角相等，两直线平行）．
故选：A．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，解题关键是准确识图，熟练运用平行线的判定定理进行证明．
17．A
【解析】
【分析】
根据平行公理及其推论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，
那么这两条直线也互相平行进行分析即可求解．
【详解】
①根据“同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”判定：若 则
；故说法正确；
②若 则 ，故说法正确；
③根据“在同一平面内，垂直于同一条直线的两直线平行”判定：若 则 ；说法错误；
④若 且 与 相交，则 与 不一定相交，故说法错误
故正确的有：①②
故选：A
【点睛】
本题主要考查平行公理及其推论，解题的关键是熟练掌握同一平面内两直线的位置关系．
18．A
【解析】
【分析】
由同位角相等，两直线平行判断（1），由 得到 再利用同位角相等，两直线平行判断
（2），由 是邻补角，不能判定两直线平行，可判断（3）， 不是同位角，也不是内错角，不能
判定两直线平行，可判断（4）．
【详解】解：
故（1）可判定；
故（2）可判定；
，不能判定 故（3）不能判定；
，不能判定 故（4）不能判定．
故选：
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键．
19．C
【解析】
【分析】
根据同旁内角互补，两直线平行即可解答．
【详解】
解：∵∠ABC＝150°，∠BCD＝30°
∴AB//DC．
故选C．
【点睛】
本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键．
20．B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定逐项判断即可．
【详解】
解：A、∵∠3=∠4，
∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意；
B、∵∠1=∠2，
∴AB∥CD，此选项符合题意；
C、∵ ，
∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意；
D、∵ ，∴AC∥BD，不能判断AB∥CD，此选项不符合题意，
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解答的关键．
21．见解析
【解析】
【分析】
首先根据角平分线的定义 ，再由 和对顶角相等即可得出 ，从而得
到答案．
【详解】
证明：∵ 平分 （已知）
∴ （角平分线的定义）
∵ （对顶角相等）
又∵ （已知）
∴ （等量代换）
∴ （同旁内角互补，两直线平行）
【点睛】
本题考查的是平行线的判定，用到的知识点为同旁内角互补，两直线平行．
22．见解析；
【解析】
【分析】
因为∠D=∠A，∠B=∠FCB，利用内错角相等两直线平行可求得ED∥AB，AB∥CF，根据平行于同一条直线的两直
线平行可得ED∥CF．
【详解】
证明：∵∠A=∠D
∴DE∥AB
∵∠B=∠BCF
∴AB∥CF
∴DE∥CF
【点睛】
本题主要考查了内错角相等，两直线平行的判定，还有平行于同一条直线的两直线平行的判定．
23．C
【解析】
【分析】
根据平行线的判定定理分别进行判断即可．【详解】
解：当∠B+∠BCD=180°，AB CD，符合题意；
当∠1=∠2时，AD BC，不符合题意；
当∠3=∠4时，AB CD，符合题意；
当∠B=∠5时，AB CD，符合题意．
综上，符合题意的有3个，
故选：C．
【点睛】
本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．
24．C
【解析】
【分析】
选项①∠DAC和∠BCA 属于内错角，选项②∠BAD和∠CDE属于同位角，选项③∠DAB和∠ABC属于同旁内
角，根据两直线平行的三大定理进行判断，选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．
【详解】
选项①∵∠DAC=∠BCA ∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）；
选项②∵∠BAD=∠CDE∴AB∥CD（同位角相等，两直线平行）；
选项③∵∠DAB+∠ABC=180°∴AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）；
选项④不符合两直线平行的判定定理，不能判定哪两条直线平行．
故选C．
【点睛】
本题考查了两直线平行的判定定理：（一）同位角相等，两直线平行；（二）内错角相等，两直线平行；（三）
同旁内角互补，两直线平行．找准两个角是同位角，内错角还是同旁内角，然后再进行判断．
25．C
【解析】
【分析】
由平行线的性质得，∠1和∠4为同位角，∠2和∠3为同位角，∠1和∠2互余，根据等量代换即可解答．
【详解】
因为直线 ∥ ,
∴∠1＝∠4，∠2＝∠3，∠1＋∠2＝90°
∴∠1＋∠3＝90°， ，①②正确．
故选：C．
【点睛】
本题主要考查两直线平行的性质，注意等量代换在题目中的应用．26．B
【解析】
【分析】
根据平行线的判定方法一一判断即可．
【详解】
解：∵∠1=∠2，∴AD∥BC，故A选项不符合题意；
∵∠ABD=∠BDC∴AB∥CD，故B选项符合题意；
∵∠3=∠4，∴AD∥BC，故C选项不符合题意；
∵∠ABC+∠BAD=180°，∴AD∥CB．故D选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
27．D
【解析】
【分析】
根据垂直公理、点到直线的距离的定义和平行线的判定定理逐一判断即可．
【详解】
A． 在同一平面内，经过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，缺少条件，故本选项错误；
B． 在同一平面内，互相垂直的两条直线一定相交，缺少条件，故本选项错误；
C． 直线外一点到已知直线的垂线段的长度叫点到直线的距离，故本选项错误；
D． 两条直线都平行于第三条直线则这两条直线平行，故本选项正确．
故选D．
【点睛】
此题考查的是垂线和平行线的公理和性质，掌握垂直公理、点到直线的距离的定义和平行线的判定定理是解决此
题的关键．
28．A
【解析】
【详解】
试题解析：∵∠1=∠2，
∴a∥b；
故选A．
29．D
【解析】
【分析】
由 是 被 所截产生的同旁内角，结合已知条件可得答案．【详解】
解： ∠D+∠EFD=180°，
AD∥EF，
故选D．
【点睛】
本题考查的是：平行线的判定，同旁内角互补，两直线平行，掌握这个判定定理是解题的关键．
30．C
【解析】
【分析】
先观察已知角的位置关系，根据平行线的判定定理判断通过已知角可得哪两条直线平行，可得出结论.
【详解】
① ，根据内错角相等，两直线平行，可判断 ；
② ，根据内错角相等，两直线平行，可判断 ;
③ ，根据同位角相等，两直线平行，可判断 ；
④ ，根据同位角相等，两直线平行，可判断 ；
⑤ ，根据同旁内角互补，两直线平行，可判断 ；
故不能判定 的有②④⑤，共三个，选C.
【点睛】
本题考查平行线的判定定理，本题中每组条件都可判断直线平行，但是有三个不能判断题目所需的直线平行，所
以依据平行线的判定定理，要找准截线和被截线.
31．平行
【解析】
【分析】
根据平行于同一条直线的两条直线互相平行，可得答案．
【详解】
解：∵直线a∥b，b∥c，
∴a∥c，
则直线a与c的位置关系是平行，
故答案为：平行．
【点睛】
此题考查平行公理及推论，解题关键在于掌握：平行于同一条直线的两条直线互相平行．
32．
【解析】
【分析】根据垂直、平行的定义以及平行公理进行判断即可．
【详解】
解：在平面A-B-C-D中，直线AD、BC和AB、CD无公共点，因此AD//BC，AB//CD；
在平面A-B-A-B 中，直线AB、AA 相交成直角，因此AB⊥AA；
1 1 1 1
在平面C-D-D-C 中，直线CD、DC 无公共点，则CD//DC 结合AB//CD得AB//DC ．
1 1 1 1 1 1 1 1
故填：//,⊥，//．
【点睛】
本题主要考查了垂直、平行的定义以及平行公理，掌握平行于同一条直线的两条直线相互平行是解答本题的关键．
33． 同位角相等，两直线平行 内错角
相等，两直线平行 同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】
直接利用平行线的判定方法分别得出答案．
【详解】
若 ，则 根据是同位角相等，两直线平行；
若 ，则 ，根据是内错角相等，两直线平行；
若 ，则 ，根据是同旁内角互补，两直线平行．
故答案为： ， ，同位角相等，两直线平行； ， ，内错角相等，两直线平行； ， ，同旁内角
互补，两直线平行．
【点睛】
此题主要考查了平行线的判定，正确掌握相关判定方法是解题关键．
34．1
【解析】
【分析】
根据各小题的描述情况，判断各小题的正误，即可得到答案．
【详解】
解：（1）∵两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故（1）不正确；
（2）∵平面内的一条直线和两条平行线中的一条相交，则它与另一条也相交，故（2）正确；
（3）∵对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故（3）不正确；
（4）∵三条直线两两相交，也可能是交于同一个点，故（4）不正确；
（5）∵若a b，b c，则a c，故（5）不正确，
正确的只有（2）一个选项，
故答案为：1．
【点睛】
本题主要考察了平面内直线的位置关系，平行公理的应用、直线相交交点个数问题，解题的关键在于画出题意所示的直线位置图，以此判断说法的正误．
35．①③④
【解析】
【分析】
根据平行线的判定方法对各小题判断即可解答．
【详解】
① ∵ ，
∴ ∥ （同旁内角互补，两直线平行），正确；
② ∵ ，
∴ ∥ ，错误；
③ ∵ ，
∴ ∥ （内错角相等，两直线平行），正确；
④ ∵ ，
∴ ∥ （同位角相等，两直线平行），正确；
⑤ 不能证明 ∥ ，错误，
故答案为：①③④．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解答的关键．
36．
【解析】
【分析】
可根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行.找到相应位置的角并叙
述其数量关系，即可得到答案.
【详解】
和 是同位角，所以 可判断 ，填① ；
∠EAC和∠C是同旁内角，所以∠EAC+∠C=180°可判断 ，填②∠EAC+∠C=180°；
∠EAB和∠B是内错角，所以∠EAB=∠B可判断 ，填③∠EAB=∠B；
故填①、②、③之一即可.
【点睛】
本题考查平行线的判定定理，能根据所给图形，找到以AE和BC为被截线的内错角、同位角、同旁内角，并根据
判定定理叙述其数量关系是解决本题的关键.
37．(1)见解析，垂直
(2)见解析
【解析】
【分析】（1）根据直线的定义作图即可，根据位置关系判断直线AB与直线BC垂直；
（2）根据直线平移的性质作图即可．
(1)
解：图，直线BC即为所求．直线AB与直线BC的位置关系为垂直，
故答案是：垂直；
(2)
解：如图，直线CD即为所求．
【点睛】
此题考查了作图能力：作直线，作平行线，熟记直线的定义及直线平移的性质是解题的关键．
38． ，理由见解析
【解析】
【分析】
过E作EF∥AB，根据平行线的性质即可证明∠FEC=∠C，根据内错角相等，两直线平行即可证得EF∥CD，进而证
得AB∥CD．
【详解】
．
如图：过 作 ．
，
，
，
，
，又 ，
．
【点睛】
本题考查了平行线的判定，正确作出辅助线是解决本题的关键．
39．CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行
【解析】
【分析】
先由∠1+∠2＝180°，得到AB∥CD，再由∠3+∠4＝180°，得到CD∥EF，最后得到AB∥EF．
【详解】
证明：如图所示：
∵∠1+∠2＝180°（已知），
∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行），
∵∠3+∠4＝180°（已知），
∴CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行），
∴AB∥EF（若两直线同时平行于第三直线，则这两直线也相互平行），
故答案为：CD；同旁内角互补，两直线平行；CD；EF；若两直线同时平行于第三条直线，则这两条直线也相互
平行．
【点睛】
本题考查了平行线判定定理当中的两条：第一条：同旁内角互补，两直线平行；第二条：两条直线同时平行于第
三条直线，则这两条直线也相互平行；熟记并灵活运用这两条定理是解本题的关键．
40．∠3； ；AB ；CD;同旁内角互补，两直线平行
【解析】
【分析】
由对顶角相等可得 ∠3 ，进而可证 ∠ 3 ，然后根据同旁内角互补，两直线平行即可证明结
论成立.
【详解】
证明：∵ 被直线 所截， ，
∴ 3 .
∵ ，
∴ 180°，∴AB//CD(同旁内角互补，两直线平行)(填推理的依据)
【点睛】
本题考查了行线的判定方法，熟练掌握平行线的行线的判定方法是解答本题的关键.平行线的判定方法：①两同位
角相等，两直线平行； ②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行.
41．证明见解析.
【解析】
【分析】
利用角平分线和平行线的性质可得∠BDE=∠DBE，由∠BDF＝∠BDE得∠BDF＝∠DBE，从而得出结论.
【详解】
∵BD平分∠ABC，
∴∠DBE=∠DBF，
∵DE∥BC，
∴∠BDE=∠DBF，
∴∠BDE=∠DBE，
∵∠BDF＝∠BDE，
∴∠BDF＝∠DBE，
∴DF∥AB．
【点睛】
此题主要考查了平行线的性质与判定，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等；内错角相等，两直线平行；
同时还考查了平分线的性质.
42．(1)详见解析；（2）详见解析
【解析】
【分析】
（1）根据题意可得 ，从而可证 ；
（2）由 得 ，从而可证
【详解】
（1）∵EF平分∠AEC
∴ ，
∵∠DAC=∠AED,∠ACB=∠CED,
∴
∴ ；
（2）∵ ， ，
∴
∴ .
【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握“内错角相等，两直线平行”是解决本题的关键.
43．（1）当∠B=∠BED+∠D时，有AB∥CD．证明见解析；（2）当∠B=∠BED+∠D时，有AB∥CD．证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）过点E作EF∥AB，由∠B=∠BED+∠D，结合题意，得到AB∥CD；
（2）设BE与CD交于点O．结合题意推得∠BOD=∠B，从而得到AB∥CD．
【详解】
（1）当∠B=∠BED+∠D时，有AB∥CD．证明如下：
如图1，过点E作EF∥AB，则∠B+∠FEB=180°，
∵∠B=∠BED+∠D，
∴∠FEB+∠BED+∠D=180°，
∴EF∥CD，
∴AB∥CD；
（2）当∠B=∠BED+∠D时，有AB∥CD．证明如下：
如图2，设BE与CD交于点O．
∵∠BOD=∠BED+∠D，∠B=∠BED+∠D，
∴∠BOD=∠B，
∴AB∥CD．
【点睛】
本题考查平行线的判定，解题的关键是掌握平行线判定的方法.
44．（1）120°；（2）①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP；②当E、F在直线l的同侧时，
∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质和邻补角定义计算可得结论；
（2）分两种情况
当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，
①当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，分别根据平行线的性质证明可得结论．
②【详解】
（1）如图1，∵AB∥CD，
∴∠GEP＝∠PFH，∠EGP＝∠PHF＝60°，
∵∠GEP＝∠EGP，
∴∠PFH＝60°，
∴∠PFD＝180°﹣60°＝120°，
故答案为120°；
（2）分两种情况：
①当E、F在直线l的两侧时，∠EPF＝∠AEP+∠CFP，理由是：
如图2，过P作PQ∥AB，
∵AB∥C，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP＝∠EPQ，∠CFP＝∠FPQ，
∴∠EPQ+∠FPQ＝∠AEP+∠CFP，
即∠EPF＝∠AEP+∠CFP；
②当E、F在直线l的同侧时，∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°，理由是：
如图3，过P作PQ∥AB，
∵AB∥CD，
∴PQ∥AB∥CD，
∴∠AEP+∠EPQ＝180°，∠CFP+∠FPQ＝180°，
∴∠EPQ+∠FPQ+∠AEP+∠CFP＝360°，即∠EPF+∠AEP+∠CFP＝360°．
