文档内容
2.2 探索直线平行的条件
同位角、内错角、同旁内角的概念
知识点一
（1）同位角概念：两条直线被第三条直线所截，位置相同的一对角。
注：如下图，位置相同指：①两个角都在第三条直线c的同一侧；②且两个角都在两条直线a、b的上方
（或下方）。例：∠1与∠5都在c的右侧，且都在a、b的上方，则∠1与∠5为同位角
（2）内错角的概念：两直线被第三条直线所截，在两条直线之内，并且分别在第三条直线两侧的一对角
（位置完全错开的角）
注：如下图，位置完全错开指：①两个角在第三条直线c的不同侧；②且两个角在两条直线a、b的上下不
同位置（即都在两条直线的内侧）。例：∠2与∠8分别在c的左右两侧，且∠2在a的下方，∠8在b的
上方（即∠2、∠8在a、b内侧），则∠2与∠8为内错角
（3）同旁内角：两直线被第三条直线所截，在第三条直线同侧，并且在两条直线之内的一对角。
注：如下图，同旁内角指：①两个角在第三条直线c的同一侧；②且两个角在a、b两条直线的内侧
例：∠2与∠5，两个角都在直线c的右侧，且都在a、b两条直线的内侧，则∠2与∠5为同旁内角。
注：同位角、内错角和同旁内角是3条直线直角的位置关系，且无角度间大小关系。
平行线的概念
知识点二
（1）同一平面两条直线间的关系：①平行；②相交
（2）平行线概念：在同一平面内，不相交的两条直线
注：①平行的概念，必须加前提条件“在同一平面内”；②必须是两条直线间的关系（非“射线”、“线
段”）（3）平行公理：经过线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行
注：与垂线性质比较相似，但也存在不同的地方。相同点：过一点都有且仅能作一条线与已知直线平行
（垂直）；不同点：垂直性质中，这个点可以在直线外，也可以在直线上，但在平行公理中，这个点必须
在直线外。
平行线的判定
知识点三
（1）判定方法一：同位角相等，两直线平行
（2）判定方法二：内错角相等，两直线平行
（3）判定方法三：同旁内角互补，两直线平行
（4）在同一平面内，若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行。即：若a⊥c，且b⊥c，则a∥b
（5）平行线的传递性：若l∥l，l∥l，则l∥l（用共面知识可证明，此处不证）。
1 3 2 3 1 2
题型一 识别三线八角
【例题1】（2022秋•唐河县期末）如图，下列图形中的 和 不是同位角的是
A． B．C． D．
解题技巧提炼
方法一、定义法：如下图：
** 错误的表达式 **确定第三条直线截另外2条直线，从而找出8个角
例：确定直线c截a、b两条直线，则在直线c的两侧有∠1、∠2、∠3、∠4、
∠5、∠6、∠7、∠8这8个角，则3类角的关系必定是在这8个角中寻找
** 错误的表达式 **根据角的名字（特点）确定位置关系。注意，位置关系包含
2个部分：a.与第三条直线的位置关系；b.与被截两条直线的位置关系
例：同位角，即：在第三条直线的同一侧，且在被截两条直线的同一侧。则∠8
与∠4符合同位角关系。
内错角，即：在第三条直线的两侧（错开），且在被截两条直线的内侧。则∠8
与∠2符合内错角关系。
同旁内角，即：在第三条直线的同侧，且在被截两条直线的内侧。则∠8与∠3符
合同旁内角关系。
方法二、像形识别法：** 错误的表达式 **同位角：F ** 错误的表达式 **内
错角：Z ** 错误的表达式 **同旁内角：C
【变式1-1】（2022秋•榆树市期末）如图，直线 ， 被直线 所截，则 与 是A．对顶角 B．同位角 C．内错角 D．同旁内角
【变式1-2】（2022秋•宛城区期末）如图所示，下列结论中正确的是
A． 和 是同位角 B． 和 是同旁内角
C． 和 是内错角 D． 和 是对顶角
【变式1-3】（2022秋•南阳期末）如图，下列判断：① 与 是同位角；② 与 是同旁内角；
③ 与 是内错角；④ 与 是同位角．其中正确的是
A．①、② B．①、②、④ C．②、③、④ D．①、②、③、④
【变式1-4】（2022•东阳市校级开学）图中， 和 是同位角的是
A． B． C． D．
【变式1-5】（2022春•秀山县校级月考）如图，直线 ， 被 所截，则 与 是A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．邻补角
题型二 平行线的判定
【例题2】（2022春•东莞市期中）如图，点 在 的延长线上，下列条件不能判定 的是
A． B． C． D．
解题技巧提炼
1）借助平行公理及推论证平行：证平行中，理清需要证明的是哪两条线，然后再
观察题干，看那些已知条件的某部分与证平行的3类角有关系，则优先考虑以此
展开证明推导。
2）转化法论证平行：在证明的过程中，有些题目并不能很明确的发现3类角之间
的关系，通常需要寻找中间角，将已知角进行转化，最终推导出3类角之间的关
系。
【变式2-1】（2022春•济南期中）如图，将木条 ， 与 钉在一起， ， ，要使木条
与 平行，木条 旋转的度数至少是A． B． C． D．
【变式2-2】（2021秋•晋江市校级期末）如图， 和 分别为直线 与直线 和 相交所成角．如果
，那么添加下列哪个条件后，可判定
A． B． C． D．
【变式2-3】（2022春•江汉区校级月考）如图，点 在 的延长线上，下列条件中能判定 的
是
A． B． C． D．
【变式2-4】（2022春•秦淮区校级月考）如图所示，下列条件中能判定 是
A． B． C． D．
【变式2-5】（2021秋•船山区期末）如图，有下列一些条件：
① ，
② ，
③ ，
④ ，
⑤ ，
⑥ ．其中能判断直线 的有
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
题型三 平行线间的面积问题
【例题3】正方形网格中的交点，我们称之为格点如图所示的网格图中，每个小正方形的边长都为 1．现
有格点 、 ，那么，在网格图中找出格点 ，使以 、 和格点 为顶点的三角形的面积为2．这样的
点可找到的个数为
A．7 B．8 C．9 D．10
解题技巧提炼
两条平行线之间，距离相等。故同底三角形，因高也相等，所以面积相等。在解
此类题型时，先确定公共底，然后在与底平行的直线上寻找三角形的另一个顶
点，这样组成的三角形面积相等。
【变式3-1】（2022春•宝山区校级月考）如图，已知直线 ，点 、 在直线 上，点 、 在直
线 上，如果 的面积和 的面积之比为 ，那么 的值为 ．【变式3-2】（2022春•松江区校级期中）如图，四边形 中， ， 、 相交于点 ，
的面积等于2， 的面积等于1，那么 的面积等于 ．
【变式3-3】（2021春•株洲期末）如图，直线 ，点 在 上，若 ， ，三角形
的面积为6，则三角形 的面积为 ．
【变式3-4】（2021春•湘乡市期末）如图，已知 ， 的面积是15，则 面积等于
．
【变式3-5】如图所示，直线 ， 是 上的动点，当点 的位置变化时，三角形 的面积
（填“变大”“变小”或者“不变” ．
题型四 平行线的判定的综合应用
【例题4】（2021秋•遂川县期末）如图， 平分 ，若 ， ，求证： ．解题技巧提炼
解题的关键是熟练掌握基本知识．
【变式4-1】（2021秋•晋江市期末）如图，如果直线 与 交于点 ， ， ，
试判断 与 是否平行，并说明理由．
【变式4-2】（2022秋•北京期中）如图，已知 ， ， ，求证： ．
【变式 4-3】（2022 春•邛崃市期中）如图： ， 平分 ， 平分 ，
，求证： ．请完成下面的解题过程．
解： 平分 ， 平分 （已知）
， （角平分线的定义）
又 （已知）
．
又 （已知）．
【变式4-4】（2022春•新城区校级期末）如图，已知 中，点 、 、 分别在线段 、 、
上，且 ， ．请说明 的理由．
【变式4-5】（2022春•清镇市期中）如图所示，已知： ， ， ， ．
求证： ．
