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2022年重庆市中考数学试卷（B 卷）
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A、B、
C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂
黑．
1．（4分）（2022•重庆）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
2．（4分）（2022•重庆）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）（2022•重庆）如图，直线a∥b，直线m与a，b相交，若∠1＝115°，则∠2的度数为（
）
A．115° B．105° C．75° D．65°
4．（4分）（2022•重庆）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快
的时刻约为（ ）
第1页（共37页）A．3时 B．6时 C．9时 D．12时
5．（4分）（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：
2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
6．（4分）（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个
图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
7．（4分）（2022•重庆）估计 ﹣4的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
8．（4分）（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年
共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是
（ ）
A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400 D．400x2＝625
9．（4分）（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为
第2页（共37页）AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
10．（4分）（2022•重庆）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，过点C的切线与AB的延
长线交于点P，若AC＝PC＝3 ⊙，则PB的长为（⊙ ）
A． B． C． D．3
11．（4分）（2022•重庆）关于x的分式方程 + ＝1的解为正数，且关于y的不等式组
的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
12．（4分）（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得
式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣
m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，
给出下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
第3页（共37页）A．0 B．1 C．2 D．3
二．填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的
横线上．
13．（4分）（2022•重庆）|﹣2|+（3﹣ ）0＝ ．
14．（4分）（2022•重庆）在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差
别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红
球的概率为 ．
15．（4分）（2022•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径
画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
π
16．（4分）（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本
是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月
份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每
包米花糖与每包麻花的成本之比为 ．
三．解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（2022•重庆）计算：
（1）（x+y）（x﹣y）+y（y﹣2）；
（2）（1﹣ ）÷ ．
18．（8分）（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个
底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在
边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到
验证．按以上思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）
在△ADC和△CFA中，
第4页（共37页）∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠F＝90°，
∴① ．
∵EF∥BC，
∴② ．
又∵③ ，
∴△ADC≌△CFA（AAS）．
同理可得：④ ．
S△ABC ＝S△ADC +S△ABD ＝ S矩形ADCF + S矩形AEBD ＝ S矩形BCFE ＝ ah．
三．解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）
19．（10分）（2022•重庆）在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活
动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，
八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整
理、描述和分析（阅读时长记为x，6≤x＜7，记为6；7≤x＜8，记为7；8≤x＜9，记为8；…
以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，
七年级抽取的学生课外阅读时长：
6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，
七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
众数 a 9
中位数 8 b
8小时及以上所占百分比 75% c
第5页（共37页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，c＝ ．
（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以
上的学生人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积
极性更高？请说明理由．（写出一条理由即可）
20．（10分）（2022•重庆）反比例函数y＝ 的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象
与y＝ 的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
第6页（共37页）（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜ 的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积．
21．（10分）（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建
20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施
工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的
修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌
溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
22．（10分）（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点
处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头
C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A
的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据： ≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能
第7页（共37页）否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
23．（10分）（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的
各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞
c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G
（A），若 为整数，求出满足条件的所有数A．
24．（10分）（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A
（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求
PM+ AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣ x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y
第8页（共37页）＝﹣ x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l
上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并
把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
25．（10分）（2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ，D为BC的中点，E，F分
别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接
FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求
PD的长；
（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：
AM+AF＝ AE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连
接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出
线段B′G的长度的最小值．
第9页（共37页）第10页（共37页）2022年重庆市中考数学试卷（B 卷）
参考答案与试题解析
一．选择题（共12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了序号为A、B、
C、D的四个选项，其中只有一个正确的，请将答题卡上题号右侧的正确答案所对应的方框涂
黑．
1．（4分）（2022•重庆）﹣2的相反数是（ ）
A．﹣2 B．2 C．﹣ D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：﹣2的相反数是：﹣（﹣2）＝2，
故选：B．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（4分）（2022•重庆）下列北京冬奥会运动标识图案是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．是轴对称图形，故此选项符合题意；
D．不是轴对称图形，故此选项不合题意．
故选：C．
【点评】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是
第11页（共37页）寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（4分）（2022•重庆）如图，直线a∥b，直线m与a，b相交，若∠1＝115°，则∠2的度数为（
）
A．115° B．105° C．75° D．65°
【分析】根据平行线的性质，可以得到∠1＝∠2，然后根据∠1的度数，即可得到∠2的度
数．
【解答】解：∵a∥b，
∴∠1＝∠2，
∵∠1＝115°，
∴∠2＝115°，
故选：A．
【点评】本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用平行线的性质解答．
4．（4分）（2022•重庆）如图是小颖0到12时的心跳速度变化图，在这一时段内心跳速度最快
的时刻约为（ ）
A．3时 B．6时 C．9时 D．12时
【分析】直接由图形可得出结果．
【解答】解：由图形可知，在这一时段内心跳速度最快的时刻约为9时，
故选：C．
【点评】本题主要考查了折线统计图的意义，理解横纵轴表示的意义是解题的关键．
5．（4分）（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：
第12页（共37页）2，则△ABC与△DEF的周长之比是（ ）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【分析】根据两三角形位似，周长比等于相似比即可求解．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，且相似比为1：2，
∴△ABC与△DEF的周长之比是1：2，
故选：A．
【点评】本题考查了位似三角形的性质，明确两三角形位似，周长比等于相似比是解题的
关键．
6．（4分）（2022•重庆）把菱形按照如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，第③个图案中有5个菱形，…，按此规律排列下去，则第⑥个
图案中菱形的个数为（ ）
A．15 B．13 C．11 D．9
【分析】根据前面三个图案中菱形的个数，得出规律，第n个图案中菱形有（2n﹣1）个，从
而得出答案．
【解答】解：由图形知，第①个图案中有1个菱形，
第②个图案中有3个菱形，即1+2＝3，
第③个图案中有5个菱形即1+2+2＝5，
……
则第n个图案中菱形有1+2（n﹣1）＝（2n﹣1）个，
∴第⑥个图案中有2×6﹣1＝11个菱形，
故选：C．
【点评】本题主要考查了图形的变换规律，归纳出第n个图案中菱形的个数为2n﹣1，是解
题的关键．，体现了从特殊到一般的数学思想．
第13页（共37页）7．（4分）（2022•重庆）估计 ﹣4的值在（ ）
A．6到7之间 B．5到6之间 C．4到5之间 D．3到4之间
【分析】用夹逼法估算无理数的大小即可得出答案．
【解答】解：∵49＜54＜64，
∴7＜ ＜8，
∴3＜ ﹣4＜4，
故选：D．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，无理数的估算常用夹逼法，用有理数夹逼无理数
是解题的关键．
8．（4分）（2022•重庆）学校连续三年组织学生参加义务植树，第一年共植树400棵，第三年
共植树625棵．设该校植树棵数的年平均增长率为x，根据题意，下列方程正确的是
（ ）
A．625（1﹣x）2＝400 B．400（1+x）2＝625
C．625x2＝400 D．400x2＝625
【分析】第三年的植树量＝第一年的植树量×（1+年平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：根据题意得：400（1+x）2＝625，
故选：B．
【点评】考查列一元二次方程解决实际问题，读懂题意，找到等量关系列方程是解决本题
的关键．
9．（4分）（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O．E、F分别为
AC、BD上一点，且OE＝OF，连接AF，BE，EF．若∠AFE＝25°，则∠CBE的度数为（ ）
A．50° B．55° C．65° D．70°
【分析】利用正方形的对角线互相垂直平分且相等，等腰直角三角形的性质，三角形的内
角和定理和全等三角形的判定与性质解答即可．
【解答】解：∵ABCD是正方形，
第14页（共37页）∴∠AOB＝∠AOD＝90°，OA＝OB＝OD＝OC．
∵OE＝OF，
∴△OEF为等腰直角三角形，
∴∠OEF＝∠OFE＝45°，
∵∠AFE＝25°，
∴∠AFO＝∠AFE+∠OFE＝70°，
∴∠FAO＝20°．
在△AOF和△BOE中，
，
∴△AOF≌△BOE（SAS）．
∴∠FAO＝∠EOB＝20°，
∵OB＝OC，
∴△OBC是等腰直角三角形，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠CBE＝∠EBO+∠OBC＝65°．
故选：C．
【点评】本题主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判
定与性质，三角形的内角和定理，熟练掌握正方形的性质是解题的关键．
10．（4分）（2022•重庆）如图，AB是 O的直径，C为 O上一点，过点C的切线与AB的延
长线交于点P，若AC＝PC＝3 ⊙，则PB的长为（⊙ ）
A． B． C． D．3
【分析】连结OC，根据切线的性质得到∠PCO＝90°，根据OC＝OA，得到∠A＝∠OCA，根
据AC＝PC，得到∠P＝∠A，在△APC中，根据三角形内角和定理求得∠P＝30°，根据含
第15页（共37页）30度角的直角三角形的性质得到OP＝2OC＝2r，在Rt△POC中，根据tanP＝ 求出 O
⊙
的半径r即可得出答案．
【解答】解：如图，连结OC，
∵PC是 O的切线，
∴∠PCO⊙＝90°，
∵OC＝OA，
∴∠A＝∠OCA，
∵AC＝PC，
∴∠P＝∠A，
设∠A＝∠OCA＝∠P＝x°，
在△APC中，∠A+∠P+∠PCA＝180°，
∴x+x+90°+x＝180°，
∴x＝30°，
∴∠P＝30°，
∵∠PCO＝90°，
∴OP＝2OC＝2r，
在Rt△POC中，tanP＝ ，
∴ ＝ ，
∴r＝3，
∴PB＝OP﹣OB＝2r﹣r＝r＝3．
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质，体现了方程思想，在△APC中，根据三角形内角和定理求
得∠P＝30°是解题的关键．
第16页（共37页）11．（4分）（2022•重庆）关于x的分式方程 + ＝1的解为正数，且关于y的不等式组
的解集为y≥5，则所有满足条件的整数a的值之和是（ ）
A．13 B．15 C．18 D．20
【分析】解分式方程得得出x＝a﹣2，结合题意及分式方程的意义求出a＞2且a≠5，解不
等式组得出 ，结合题意得出a≤7，进而得出2＜a≤7且a≠5，继而得出所有满
足条件的整数a的值之和，即可得出答案．
【解答】解：解分式方程得：x＝a﹣2，
∵x＞0且x≠3，
∴a﹣2＞0且a﹣2≠3，
∴a＞2且a≠5，
解不等式组得： ，
∵不等式组的解集为y≥5，
∴ ＜5，
∴a＜7，
∴2＜a＜7且a≠5，
∴所有满足条件的整数a的值之和为3+4+6＝13，
故选：A．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，解一元一次不等式，一元一次不
等式的整数解，正确求解分式方程，一元一次不等式组，一元一次不等式是解决问题的关
键．
12．（4分）（2022•重庆）对多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n任意加括号后仍然只含减法运算并将所得
式子化简，称之为“加算操作”，例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣
m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…，
给出下列说法：
第17页（共37页）①至少存在一种“加算操作”，使其结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其结果与原多项式之和为0；
③所有的“加算操作”共有8种不同的结果．
以上说法中正确的个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据括号前是“+”，添括号后，各项的符号都不改变判断①；根据相反数判断②；
通过例举判断③．
【解答】解：①如（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，（x﹣y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣
n，故①符合题意；
②x﹣y﹣z﹣m﹣n的相反数为﹣x+y+z+m+n，不论怎么加括号都得不到这个代数式，故
②符合题意；
③第1种：结果与原多项式相等；
第2种：x﹣（y﹣z）﹣m﹣n＝x﹣y+z﹣m﹣n；
第3种：x﹣（y﹣z）﹣（m﹣n）＝x﹣y+z﹣m+n；
第4种：x﹣（y﹣z﹣m）﹣n＝x﹣y+z+m﹣n；
第5种：x﹣（y﹣z﹣m﹣n）＝x﹣y+z+m+n；
第6种：x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n；
第7种：x﹣y﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣y﹣z+m+n；
第8种：x﹣y﹣z﹣（m﹣n）＝x﹣y﹣z﹣m+n；故③符合题意；
正确的个数为3，
故选：D．
【点评】本题考查了整式的加减，解题的关键是注意可以添加1个括号，也可以添加2个括
号．
二．填空题（共4个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的
横线上．
13．（4分）（2022•重庆）|﹣2|+（3﹣ ）0＝ 3 ．
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性质计算可得答案．
【解答】解：原式＝2+1＝3．
故答案为：3．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算性质是解题关键．
14．（4分）（2022•重庆）在不透明的口袋中装有2个红球，1个白球，它们除颜色外无其他差
第18页（共37页）别，从口袋中随机摸出一个球后，放回并摇匀，再随机摸出一个球，两次摸出的球都是红
球的概率为 ．
【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，再
由概率公式求解即可．
【解答】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中两次摸出的球都是红球的结果有4种，
∴两次摸出的球都是红球的概率为 ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的
结果，适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回试验还是不放回试验．
用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）（2022•重庆）如图，在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝2，以B为圆心，BC的长为半径
画弧，交AD于点E．则图中阴影部分的面积为 ．（结果保留 ）
π π
【分析】先根据锐角三角函数求出∠AEB＝30°，再根据扇形面积公式求出阴影部分的面积．
【解答】解：∵以B为圆心，BC的长为半径画弧，交AD于点E，
∴BE＝BC＝2，
在矩形ABCD中，∠A＝∠ABC＝90°，AB＝1，BC＝2，
∴sin∠AEB＝ ＝ ，
第19页（共37页）∴∠AEB＝30°，
∴∠EBA＝60°，
∴∠EBC＝30°，
∴阴影部分的面积：S＝ ＝ ，
π
故答案为： ．
π
【点评】本题考查有关扇形面积的相关计算、矩形的性质，掌握扇形面积公式和矩形的性
质的应用，其中根据锐角三角函数求出角的度数是解题关键．
16．（4分）（2022•重庆）特产专卖店销售桃片、米花糖、麻花三种特产，其中每包桃片的成本
是麻花的2倍，每包桃片、米花糖、麻花的售价分别比其成本高20%、30%、20%．该店五月
份销售桃片、米花糖、麻花的数量之比为1：3：2，三种特产的总利润是总成本的25%，则每
包米花糖与每包麻花的成本之比为 4 ： 3 ．
【分析】先根据比例设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻
花的成本为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，由三种特产的总
利润是总成本的25%列方程可得 ＝ ，从而解答此题．
【解答】解：设该店五月份销售桃片、米花糖、麻花的数量分别为x，3x，2x，每包麻花的成本
为y元，每包米花糖的成本为a元，则每包桃片的成本是2y元，
由题意得：20%•2y•x+30%•a•3x+20%•y•2x＝25%（2xy+3ax+2xy），
15a＝20y，
∴ ＝ ，
则每包米花糖与每包麻花的成本之比为4：3．
故答案为：4：3．
【点评】本题考查三元高次方程的应用，解本题要理解题意，通过找出等量关系即可求解．
三．解答题（共2个小题，每小题8分，共16分）
17．（8分）（2022•重庆）计算：
（1）（x+y）（x﹣y）+y（y﹣2）；
（2）（1﹣ ）÷ ．
第20页（共37页）【分析】（1）根据平方差公式、单项式乘多项式可以解答本题；
（2）根据分式的加法和除法可以解答本题．
【解答】解：（1）（x+y）（x﹣y）+y（y﹣2）
＝x2﹣y2+y2﹣2y
＝x2﹣2y；
（2）原式＝ ÷
＝ •
＝ ．
【点评】本题考查分式的混合运算、平方差公式和单项式乘多项式，解答本题的关键是明
确它们各自的计算方法．
18．（8分）（2022•重庆）我们知道，矩形的面积等于这个矩形的长乘宽，小明想用其验证一个
底为a，高为h的三角形的面积公式为S＝ ah．想法是：以BC为边作矩形BCFE，点A在
边FE上，再过点A作BC的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到
验证．按以上思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规过点A作BC的垂线AD交BC于点D．（只保留作图痕迹）
在△ADC和△CFA中，
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠F＝90°，
∴① ∠ ADC ＝∠ F ．
∵EF∥BC，
∴② ∠ 1 ＝∠ 2 ．
又∵③ AC ＝ AC ，
∴△ADC≌△CFA（AAS）．
同理可得：④ △ ADB ≌△ BEA （ AA S ） ．
S△ABC ＝S△ADC +S△ABD ＝ S矩形ADCF + S矩形AEBD ＝ S矩形BCFE ＝ ah．
第21页（共37页）【分析】根据矩形的性质、垂直的定义得出∠F＝∠ADC＝90°，再根据EF∥BC，推出∠1＝
∠2，进而证明△ADC≌△CFA（AAS），同理可得：④△ADB≌△BEA（AAS），最后得出三
角形的面积公式为S＝ ah．
【解答】证明：
∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠F＝90°，
∴∠ADC＝∠F，
∵EF∥BC，
∴∠1＝∠2，
∵AC＝AC，
在△ADC与△CFA中
，
∴△ADC≌△CFA（AAS）．
同理可得：④△ADB≌△BEA（AAS），
∴S△ABC ＝S△ADC +S△ABD ＝ S矩形ADCF + S矩形AEBD ＝ S矩形BCFE ＝ ah．
故答案为：①∠ADC＝∠F，②∠1＝∠2，③AC＝AC，④△ADB≌△BEA（AAS）．
第22页（共37页）【点评】本题主要考查了基本作图、全等三角形、矩形的判定与性质，掌握5种基本作图，
全等三角形、矩形的判定与性质的应用，其中全等的证明是解题关键．
三．解答题（共7个小题，每小题10分，共70分）
19．（10分）（2022•重庆）在“世界读书日”到来之际，学校开展了课外阅读主题周活动，活
动结束后，经初步统计，所有学生的课外阅读时长都不低于6小时，但不足12小时，从七，
八年级中各随机抽取了20名学生，对他们在活动期间课外阅读时长（单位：小时）进行整
理、描述和分析（阅读时长记为x，6≤x＜7，记为6；7≤x＜8，记为7；8≤x＜9，记为8；…
以此类推），下面分别给出了抽取的学生课外阅读时长的部分信息，
七年级抽取的学生课外阅读时长：
6，7，7，7，7，8，8，8，8，8，8，8，9，9，9，9，9，10，10，11，
七、八年级抽取的学生课外阅读时长统计表
年级 七年级 八年级
平均数 8.3 8.3
众数 a 9
中位数 8 b
8小时及以上所占百分比 75% c
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 8 ，b＝ 8. 5 ，c＝ 65% ．
（2）该校七年级有400名学生，估计七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以
上的学生人数．
（3）根据以上数据，你认为该校七，八年级学生在主题周活动中，哪个年级学生的阅读积
极性更高？请说明理由．（写出一条理由即可）
第23页（共37页）【分析】（1）根据众数的定义可求出七年级学生的课外阅读时长的众数，即a的值；根据中
位数的定义可求出八年级学生的课外阅读时长的中位数，即b的值，根据频率＝ 可
求出八年级学生的课外阅读时长在8小时及以上所占百分比，即C的值；
（2）求出样本中七年级学生课外阅读时长在9小时及以上的学生所占的百分比，即可估计
总体中所占的百分比，进而求出相应人数；
（3）由中位数、众数的比较得出结论．
【解答】解：（1）七年级学生的课外阅读时长出现次数最多的是8小时，因此七年级学生的
课外阅读时长的众数是8小时，即a＝8；
将八年级学生的课外阅读时长从小到大排列，处在中间位置的两个数的平均数为 ＝
8.5，因此中位数是8.5小时，即b＝8.5；
c＝ ×100%＝65%，
故答案为：8，8.5，65%；
（2）400× ＝160（人），
答：七年级在主题周活动期间课外阅读时长在9小时及以上的大约有160人；
（3）八年级参与的积极性更高，理由：八年级学生课外阅读时长的中位数，众数均比七年
级的高．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数以及样本估计总体，理解中位数、众数的定义是正
确解答的前提．
第24页（共37页）20．（10分）（2022•重庆）反比例函数y＝ 的图象如图所示，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象
与y＝ 的图象交于A（m，4），B（﹣2，n）两点．
（1）求一次函数的表达式，并在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象；
（2）观察图象，直接写出不等式kx+b＜ 的解集；
（3）一次函数y＝kx+b的图象与x轴交于点C，连接OA，求△OAC的面积．
【分析】（1）将A，B两坐标先代入反比例函数求出m，n，然后由待定系数法求函数解析式．
（2）根据直线在曲线下方时x的取值范围求解．
（3）由直线解析式求得C点的坐标，然后根据三角形面积公式即可求解．
【解答】解：（1）∵（m，4），（﹣2，n）在反比例函数y＝ 的图象上，
∴4m＝﹣2n＝4，
解得m＝1，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
把（1，4），（﹣2，﹣2）代入y＝kx+b中得 ，
第25页（共37页）解得 ，
∴一次函数解析式为y＝2x+2．
画出函数y＝2x+2图象如图；
（2）由图象可得当0＜x＜1或x＜﹣2时，直线y＝﹣2x+6在反比例函数y＝ 图象下方，
∴kx+b＜ 的解集为x＜﹣2或0＜x＜1．
（3）把y＝0代入y＝2x+2得0＝2x+2，
解得x＝﹣1，
∴点C坐标为（﹣1，0），
∴S△AOC ＝ ＝2．
【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是掌握函数与方程及不等
式的关系．
21．（10分）（2022•重庆）为保障蔬菜基地种植用水，需要修建灌溉水渠．
（1）计划修建灌溉水渠600米，甲施工队施工5天后，增加施工人员，每天比原来多修建
20米，再施工2天完成任务，求甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠多少米？
第26页（共37页）（2）因基地面积扩大，现还需修建另一条灌溉水渠1800米，为早日完成任务，决定派乙施
工队与甲施工队同时开工合作修建这条水渠，直至完工．甲施工队按（1）中增加人员后的
修建速度进行施工．乙施工队修建360米后，通过技术更新，每天比原来多修建20%，灌
溉水渠完工时，两施工队修建的长度恰好相同．求乙施工队原来每天修建灌溉水渠多少米？
【分析】（1）根据题意可知：甲原来工作5天的工作量+后来2天的工作量＝600，可以列出
相应的方程，然后求解即可；
（2）根据题意可知：甲、乙施工的长度都是900米，再根据题意可知，两个工程队施工天数
相同，即可列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验．
【解答】解：（1）设甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠x米，则原计划每天施工（x﹣
20）米，
由题意可得：5（x﹣20）+2x＝600，
解得x＝100，
答：甲施工队增加人员后每天修建灌溉水渠100米；
（2）设乙施工队原来每天修建灌溉水渠m米，则技术更新后每天修建水渠m（1+20%）＝
1.2m米，
由题意可得： ，
解得m＝90，
经检验，m＝90是原分式方程的解，
答：乙施工队原来每天修建灌溉水渠90米．
【点评】本题考查一元一次方程的应用、分式方程的应用，解答本题的关键是明确题意，找
出等量关系，列出相应的分式方程和一元一次方程．
22．（10分）（2022•重庆）湖中小岛上码头C处一名游客突发疾病，需要救援．位于湖面B点
处的快艇和湖岸A处的救援船接到通知后立刻同时出发前往救援．计划由快艇赶到码头
C接该游客，再沿CA方向行驶，与救援船相遇后将该游客转运到救援船上．已知C在A
的北偏东30°方向上，B在A的北偏东60°方向上，且在C的正南方向900米处．
（1）求湖岸A与码头C的距离（结果精确到1米，参考数据： ≈1.732）；
（2）救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，在接到通知后，快艇能
否在5分钟内将该游客送上救援船？请说明理由．（接送游客上下船的时间忽略不计）
第27页（共37页）【分析】（1）延长CB到D，则CD⊥AD于点D，根据题意可得∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝
900米，BC∥AN，所以∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，然后根据含30度角的直角三角形即
可解决问题；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，根据救援船的平均速度为150米/分，快艇的
平均速度为400米/分，列出方程150x+（400x﹣900）＝1559，进而可以解决问题．
【解答】解：（1）如图，延长CB到D，则CD⊥AD于点D，
根据题意可知：∠NAC＝∠CAB＝30°，BC＝900米，BC∥AN，
∴∠C＝∠NAC＝30°＝∠BAD，
∴AB＝BC＝900米，
∵∠BAD＝30°，
第28页（共37页）∴BD＝450米，
∴AD＝ BD＝450 （米），
∴AC＝2AD＝900 ≈1559（米）
答：湖岸A与码头C的距离约为1559米；
（2）设快艇在x分钟内将该游客送上救援船，
∵救援船的平均速度为150米/分，快艇的平均速度为400米/分，
∴150x+（400x﹣900）＝1559，
∴x≈4.5，
答：快艇能在5分钟内将该游客送上救援船．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解决本题的关键是掌握方向角定
义．
23．（10分）（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数N，若N能被它的
各数位上的数字之和m整除，则称N是m的“和倍数”．
例如：∵247÷（2+4+7）＝247÷13＝19，∴247是13的“和倍数”．
又如：∵214÷（2+1+4）＝214÷7＝30……4，∴214不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数A是12的“和倍数”，a，b，c分别是数A其中一个数位上的数字，且a＞b＞
c．在a，b，c中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为F（A），最小的两位数记为G
（A），若 为整数，求出满足条件的所有数A．
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）设A＝ （a+b+c＝12，a＞b＞c），根据“和倍数”的定义表示F（A）和G（A），代入
中，根据 为整数可解答．
【解答】解：（1）∵357÷（3+5+7）＝357÷15＝23……12，
∴357不是“和倍数”；
∵441÷（4+4+1）＝441÷9＝49，
∴441是9的“和倍数”；
（2）设A＝ （a+b+c＝12，a＞b＞c），
由题意得：F（A）＝ ，G（A）＝ ，
第29页（共37页）∴ ＝ ＝ ＝ ，
∵a+c＝12﹣b， 为整数，
∴ ＝ ＝ ＝ ＝7+ （1﹣b），
∵1＜b＜9，
∴b＝3，5，7，9，
∴a+c＝9，7，5，3，
①当b＝3，a+c＝9时， （舍）， ，
则A＝732或372；
②当b＝5，a+3＝7时， ，
则A＝156或516；
③当b＝7，a+c＝5时，此种情况没有符合的值；
④当b＝9，a+c＝3时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数A为：732或372或156或516．
【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．
24．（10分）（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A
（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）点P为直线AB上方抛物线上一动点，过点P作PQ⊥x轴于点Q，交AB于点M，求
PM+ AM的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）的条件下，点P′与点P关于抛物线y＝﹣ x2+bx+c的对称轴对称．将抛物线y
＝﹣ x2+bx+c向右平移，使新抛物线的对称轴l经过点A．点C在新抛物线上，点D在l
上，直接写出所有使得以点A、P′、C、D为顶点的四边形是平行四边形的点D的坐标，并
第30页（共37页）把求其中一个点D的坐标的过程写出来．
【分析】（1）将点A、B坐标分别代入抛物线解析式，解方程即可；
（2）利用△AQM∽△AOB，得MQ：AQ：AM＝3：4：5，则PM+ ，设P（m，﹣
），M（m，﹣ ），Q（m，0），用含m的代数式表示出PM+2MQ，利用二次
函数的性质可得答案；
（3）根据原来抛物线和新抛物线的对称轴知，抛物线向右平移 个单位，则平移后抛物线
解析式为y'＝﹣ ，设D（4，t），C（c，﹣ ），分AP'与DC为对
角线或P'D与AC为对角线或AD与P'C为对角线，分别利用中点坐标公式可得方程，从
而解决问题．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣ x2+bx+c与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B（0，3）．
∴ ，
∴ ．
∴抛物线的函数表达式为y＝﹣ ；
（2）∵A（4，0），B（0，3），
∴OA＝4，OB＝3，
第31页（共37页）由勾股定理得，AB＝5，
∵PQ⊥OA，
∴PQ∥OB，
∴△AQM∽△AOB，
∴MQ：AQ：AM＝3：4：5，
∴AM＝ ， ，
∴PM+ ，
∵B（0，3），A（4，0），
∴l ：y＝﹣ ，
AB
∴设P（m，﹣ ），M（m，﹣ ），Q（m，0），
∴PM+2MQ＝﹣ ＝﹣ ，
∵﹣ ，
∴开口向下，0＜m＜4，
∴当m＝1时，PM+ 的最大值为 ，此时P（1， ）；
（3）由y＝﹣ 知，对称轴x＝ ，
∴P'（2， ），
∵直线l：x＝4，
∴抛物线向右平移 个单位，
∴平移后抛物线解析式为y'＝﹣ ，
设D（4，t），C（c，﹣ ），
①AP'与DC为对角线时，
第32页（共37页），
∴ ，
∴D（4， ），
②P'D与AC为对角线时，
，
∴ ，
∴D（4，﹣ ），
③AD与P'C为对角线时，
，
∴ ，
∴D（4， ），
综上：D（4， ）或（4，﹣ ）或（4， ）．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，待定系数法求函数
解析式，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质等知识，根据平行四边形的
顶点坐标，利用中点坐标公式列方程是解题的关键，同时注意分类讨论．
25．（10分）（2022•重庆）在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2 ，D为BC的中点，E，F分
别为AC，AD上任意一点，连接EF，将线段EF绕点E顺时针旋转90°得到线段EG，连接
FG，AG．
（1）如图1，点E与点C重合，且GF的延长线过点B，若点P为FG的中点，连接PD，求
PD的长；
第33页（共37页）（2）如图2，EF的延长线交AB于点M，点N在AC上，∠AGN＝∠AEG且GN＝MF，求证：
AM+AF＝ AE；
（3）如图3，F为线段AD上一动点，E为AC的中点，连接BE，H为直线BC上一动点，连
接EH，将△BEH沿EH翻折至△ABC所在平面内，得到△B′EH，连接B′G，直接写出
线段B′G的长度的最小值．
【分析】（1）连接CP，判断出△FCG为等腰直角三角形，进而判断出CP⊥FG，进而得出
DP＝ BC，再求出BC，即可求出答案；
（2）过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，先判断出△EGA≌△EFH（SAS），得出AG＝
FH，∠EAG＝∠H＝45°，进而判断出△AGN≌△AMF（AAS），即可得出结论；
（3）先求出BE＝ ，再判断出点B'是以点E为圆心， 为半径的圆上，再判断出点G
在点A 右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，进而得出EF最大时，B'G最小，即可求出
答案．
【解答】（1）解：如图1，连接CP，
由旋转知，CF＝CG，∠FCG＝90°，
∴△FCG为等腰直角三角形，
∵点P是FG的中点，
第34页（共37页）∴CP⊥FG，
∵点D是BC的中点，
∴DP＝ BC，
在Rt△ABC中，AB＝AC＝2 ，
∴BC＝ AB＝4，
∴DP＝2；
（2）证明：如图2，
过点E作EH⊥AE交AD的延长线于H，
∴∠AEH＝90°，
由旋转知，EG＝EF，∠FEG＝90°，
∴∠FEG＝∠AEH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵AB＝AC，点D是BC的中点，
∴∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC＝45°，
∴∠H＝90°﹣∠CAD＝45°＝∠CAD，
∴AE＝HE，
∴△EGA≌△EFH（SAS），
∴AG＝FH，∠EAG＝∠H＝45°，
∴∠EAG＝∠BAD＝45°，
∵∠AMF＝180°﹣∠BAD﹣∠AFM＝135°﹣∠AFM，
∵∠AFM＝∠EFH，
∴∠AMF＝135°﹣∠EFH，
∵∠HEF＝180°﹣∠EFH﹣∠H＝135°﹣∠EFH，
∴∠AMF＝∠HEF，
∵△EGA≌△EFH，
∴∠AEG＝∠HEF，
∵∠AGN＝∠AEG，
∴∠AGN＝∠HEF，
∴∠AGN＝∠AMF，
第35页（共37页）∵GN＝MF，
∴△AGN≌△AMF（AAS），
∴AG＝AM，
∵AG＝FH，
∴AM＝FH，
∴AF+AM＝AF+FH＝AH＝ AE；
（3）解：∵点E是AC的中点，
∴AE＝ AC＝ ，
根据勾股定理得，BE＝ ＝ ，
由折叠直，BE＝B'E＝ ，
∴点B'是以点E为圆心， 为半径的圆上，
由旋转知，EF＝EG，
∴点G在点A 右侧过点A与AD垂直且等长的线段上，
∴B'G的最小值为B'E﹣EG，
要B'G最小，则EG最大，即EF最大，
∵点F在AD上，
∴点F在点A或点D时，EF最大，最大值为 ，
∴线段B′G的长度的最小值 ﹣ ．
第36页（共37页）【点评】此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等腰
直角三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，作出辅助线构造出全等三角形
是解本题的关键．
第37页（共37页）
