文档内容
2022年重庆市中考数学试卷（A卷）
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．（4分）（2022•重庆）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
2．（4分）（2022•重庆）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（4分）（2022•重庆）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度
数为（ ）
A．40° B．50° C．130° D．150°
4．（4分）（2022•重庆）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时
间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
第1页（共37页）A．5m B．7m C．10m D．13m
5．（4分）（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若
△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ ）
A．4 B．6 C．9 D．16
6．（4分）（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方
形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
7．（4分）（2022•重庆）估计 ×（2 + ）的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
8．（4分）（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该
快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
9．（4分）（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB
上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
第2页（共37页）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
10．（4分）（2022•重庆）如图，AB是 O的切线，B为切点，连接AO交 O于点C，延长AO
交 O于点D，连接BD．若∠A＝⊙∠D，且AC＝3，则AB的长度是⊙（ ）
⊙
A．3 B．4 C．3 D．4
11．（4分）（2022•重庆）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤﹣2，且
关于y的分式方程 ＝ ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（
）
A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13
12．（4分）（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，
然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣
y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．
下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
第3页（共37页）A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对
应的横线上．
13．（4分）（2022•重庆）计算：|﹣4|+（3﹣ ）0＝ ．
14．（4分）（2022•重庆）有三张完全一样正面分π别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并
洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取
的两张卡片上的字母相同的概率是 ．
15．（4分）（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，
分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为 ．
（结果不取近似值）
16．（4分）（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟
和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：
9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫
的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相
等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）（2022•重庆）计算：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）（ ﹣1）÷ ．
18．（8分）（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是
AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首
先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使
问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
第4页（共37页）证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴ ①
∵AD∥BC，
∴ ②
又 ③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 ④
∴S△BCE ＝S△EFB +S△EFC ＝ S矩形ABFE + S矩形EFCD ＝ S矩形ABCD ．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上．
19．（10分）（2022•重庆）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工
作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记
录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为
三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占
百分比
A 90 89 a 26.6 40%
B 90 b 90 30 30%
第5页（共37页）根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ ，b＝ ，m＝ ；
（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等
级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理
由（写出一条理由即可）．
20．（10分）（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ 的图象相
交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞ 的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
第6页（共37页）21．（10分）（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约
定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的
速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的
速度．
22．（10分）（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人
行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D
在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以
经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
23．（10分）（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个
位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记
G（M）＝ ，P（M）＝ ．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有
满足条件的M．
第7页（共37页）24．（10分）（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c与直线AB交于点
A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P
作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点
E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一
点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ
25．（10分）（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动
点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到
线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，
CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，
点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面
内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，
请直接写出 的值．
第8页（共37页）第9页（共37页）2022年重庆市中考数学试卷（A卷）
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题12个小题，每小题4分，共48分）在每个小题的下面，都给出了代号为
A、B、C、D的四个答案，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的
方框涂黑．
1．（4分）（2022•重庆）5的相反数是（ ）
A．﹣5 B．5 C．﹣ D．
【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可．
【解答】解：5的相反数是﹣5，
故选：A．
【点评】本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号：一
个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．不要把相反数的意义
与倒数的意义混淆．
2．（4分）（2022•重庆）下列图形是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
【分析】根据轴对称图形的概念求解．
【解答】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
B．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；
D．是轴对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
【点评】本题考查了轴对称图形，关键是掌握好轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是
寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
3．（4分）（2022•重庆）如图，直线AB，CD被直线CE所截，AB∥CD，∠C＝50°，则∠1的度
数为（ ）
第10页（共37页）A．40° B．50° C．130° D．150°
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补即可得出答案．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠1+∠C＝180°，
∴∠1＝180°﹣∠C＝180°﹣50°＝130°．
故选：C．
【点评】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．
4．（4分）（2022•重庆）如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度h（m）随飞行时
间t（s）的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为（ ）
A．5m B．7m C．10m D．13m
【分析】根据函数的图象的最高点对应的函数值即可得出答案．
【解答】解：观察图象，当t＝3时，h＝13，
∴这只蝴蝶飞行的最高高度约为13m，
故选：D．
【点评】本题考查了函数的图象，掌握函数的图象的最高点对应的函数值即为这只蝴蝶飞
行的最高高度是解题的关键．
5．（4分）（2022•重庆）如图，△ABC与△DEF位似，点O为位似中心，相似比为2：3．若
△ABC的周长为4，则△DEF的周长是（ ）
第11页（共37页）A．4 B．6 C．9 D．16
【分析】根据位似图形是相似图形，相似三角形的周长比等于相似比，可以求得△DEF的
周长．
【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，相似比为2：3．
∴C△ABC ：C△DEF ＝2：3，
∵△ABC的周长为4，
∴△DEF的周长是6，
故选：B．
【点评】本题考查位似变换，解答本题的关键是明确相似三角形的周长比等于相似比．
6．（4分）（2022•重庆）用正方形按如图所示的规律拼图案，其中第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，第③个图案中有13个正方形，第④个图案中有17个正方
形，此规律排列下去，则第⑨个图案中正方形的个数为（ ）
A．32 B．34 C．37 D．41
【分析】根据图形的变化规律得出第n个图形中有4n+1个正方形即可．
【解答】解：由题知，第①个图案中有5个正方形，
第②个图案中有9个正方形，
第③个图案中有13个正方形，
第④个图案中有17个正方形，
…，
第n个图案中有4n+1个正方形，
∴第⑨个图案中正方形的个数为4×9+1＝37，
第12页（共37页）故选：C．
【点评】本题主要考查图形的变化规律，根据图形的变化得出第n个图形中有4n+1个正方
形是解题的关键．
7．（4分）（2022•重庆）估计 ×（2 + ）的值应在（ ）
A．10和11之间 B．9和10之间 C．8和9之间 D．7和8之间
【分析】先计算出原式得6+ ，再根据无理数的估算可得答案．
【解答】解：原式＝ + ＝6+ ，
∵9＜15＜16，
∴3＜ ＜4，
∴9＜6+ ＜10．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小：利用完全平方数和算术平方根对无理数的大小进
行估算．也考查了算术平方根．
8．（4分）（2022•重庆）小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该
快递店揽件日平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．200（1+x）2＝242 B．200（1﹣x）2＝242
C．200（1+2x）＝242 D．200（1﹣2x）＝242
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为x，关系式为：第三天揽件数＝第一天揽件数×
（1+揽件日平均增长率）2，把相关数值代入即可．
【解答】解：设该快递店揽件日平均增长率为x，
根据题意，可列方程：200（1+x）2＝242，
故选：A．
【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找到关键描述语，就能找到等量关
系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
9．（4分）（2022•重庆）如图，在正方形ABCD中，AE平分∠BAC交BC于点E，点F是边AB
上一点，连接DF，若BE＝AF，则∠CDF的度数为（ ）
第13页（共37页）A．45° B．60° C．67.5° D．77.5°
【分析】根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质，可以得到∠ADF的度数，从而可
以求得∠CDF的度数．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD＝BA，∠DAF＝∠ABE＝90°，
在△DAF和△ABE中，
，
△DAF≌△ABE（SAS），
∠ADF＝∠BAE，
∵AE平分∠BAC，四边形ABCD是正方形，
∴∠BAE＝ ∠BAC＝22.5°，∠ADC＝90°，
∴∠ADF＝22.5°，
∴∠CDF＝∠ADC﹣∠ADF＝90°﹣22.5°＝67.5°，
故选：C．
【点评】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质，解答本题的关键是求出
∠ADF的度数．
10．（4分）（2022•重庆）如图，AB是 O的切线，B为切点，连接AO交 O于点C，延长AO
⊙ 第14页（共37页） ⊙交 O于点D，连接BD．若∠A＝∠D，且AC＝3，则AB的长度是（ ）
⊙
A．3 B．4 C．3 D．4
【分析】连接OB，则OB⊥AB，由勾股定理可知，AB2＝OA2﹣OB2①，由OB和OD是半径，
所以∠A＝∠D＝∠OBD，所以△OBD∽△BAD，AB＝BD，可得BD2＝OD•AD，所以OA2﹣
OB2＝OD•AD，设OD＝x，则AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，所以（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），求
出x的值，即可求出OA和OB的长，进而求得AB的长．
【解答】解：如图，连接OB，
∵AB是 O的切线，B为切点，
∴OB⊥A⊙B，
∴AB2＝OA2﹣OB2，
∵OB和OD是半径，
∴∠D＝∠OBD，
∵∠A＝∠D，
∴∠A＝∠D＝∠OBD，
∴△OBD∽△BAD，AB＝BD，
∴OD：BD＝BD：AD，
∴BD2＝OD•AD，
即OA2﹣OB2＝OD•AD，
设OD＝x，
∵AC＝3，
∴AD＝2x+3，OB＝x，OA＝x+3，
∴（x+3）2﹣x2＝x（2x+3），解得x＝3（负值舍去），
∴OA＝6，OB＝3，
∴AB2＝OA2﹣OB2＝27，
∴AB＝3 ，
第15页（共37页）故选：C．
【点评】本题主要考查圆的相关计算，涉及切线的定义，等腰三角形的性质与判定，勾股定
理，相似三角形的性质与判定，得出△OBD∽△BAD是解题关键．
11．（4分）（2022•重庆）若关于x的一元一次不等式组 的解集为x≤﹣2，且
关于y的分式方程 ＝ ﹣2的解是负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（
）
A．﹣26 B．﹣24 C．﹣15 D．﹣13
【分析】解不等式组得出 ，结合题意得出a＞﹣11，解分式方程得出y＝ ，结
合题意得出a＝﹣8或﹣5，进而得出所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，即
可得出答案．
【解答】解：解不等式组 得： ，
∵不等式组 的解集为x≤﹣2，
∴ ＞﹣2，
∴a＞﹣11，
解分式方程 ＝ ﹣2得：y＝ ，
∵y是负整数且y≠﹣1，
第16页（共37页）∴ 是负整数且 ≠﹣1，
∴a＝﹣8或﹣5，
∴所有满足条件的整数a的值之和是﹣8﹣5＝﹣13，
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的解，解一元一次不等式组，正确求解分式方程和一元一次
不等式组是解决问题的关键．
12．（4分）（2022•重庆）在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中任意加括号，加括号后仍只有减法运算，
然后按给出的运算顺序重新运算，称此为“加算操作”．例如：（x﹣y）﹣（z﹣m﹣n）＝x﹣
y﹣z+m+n，x﹣y﹣（z﹣m）﹣n＝x﹣y﹣z+m﹣n，…．
下列说法：
①至少存在一种“加算操作”，使其运算结果与原多项式相等；
②不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
③所有可能的“加算操作”共有8种不同运算结果．
其中正确的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【分析】根据“加算操作”的定义可知，当只给x﹣y加括号时，和原式相等；因为不改变
x，y的运算符号，故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0在多项
式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，因为z，m，n中只有加减两种运
算，求出即可．
【解答】解：①（x﹣y）﹣z﹣m﹣n＝x﹣y﹣z﹣m﹣n，与原式相等，
故①正确；
②∵在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，无法改变x，y的符
号，
故不存在任何“加算操作”，使其运算结果与原多项式之和为0；
故②正确；
③在多项式x﹣y﹣z﹣m﹣n中，可通过加括号改变z，m，n的符号，加括号后只有加减两
种运算，
∴2×2×2＝8种，
所有可能的加括号的方法最多能得到8种不同的结果．
故选：D．
第17页（共37页）【点评】本题属于新定义问题，涉及整式的加减运算，加法原理与乘法原理的知识点和对
加法原理的理解能力，利用原式中只有加减两种运算求解是解题关键．
二、填空题（本大题四个小题，每小题4分，共16分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对
应的横线上．
13．（4分）（2022•重庆）计算：|﹣4|+（3﹣ ）0＝ 5 ．
【分析】根据绝对值的性质和零指数幂的性π质计算即可．
【解答】解：原式＝4+1＝5．
故答案为：5．
【点评】本题考查实数的运算，熟练掌握实数的运算法则是解题关键．
14．（4分）（2022•重庆）有三张完全一样正面分别写有字母A，B，C的卡片．将其背面朝上并
洗匀，从中随机抽取一张，记下卡片上的字母后放回洗匀，再从中随机抽取一张，则抽取
的两张卡片上的字母相同的概率是 ．
【分析】根据题意列出图表得出所有等情况数和两次抽出的卡片上的字母相同的情况数，
然后根据概率公式即可得出答案．
【解答】解：根据题意列表如下：
A B C
A AA BA CA
B AB BB CB
C AC BC CC
共有9种等可能的结果数，其中两次抽出的卡片上的字母相同的有3种情况，
所以抽取的两张卡片上的字母相同的概率为 ＝ ，
故答案为： ．
【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有
可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的
知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
15．（4分）（2022•重庆）如图，菱形ABCD中，分别以点A，C为圆心，AD，CB长为半径画弧，
分别交对角线AC于点E，F．若AB＝2，∠BAD＝60°，则图中阴影部分的面积为
第18页（共37页）．（结果不取近似值）
【分析】根据菱形的性质求出对角线的长，进而求出菱形的面积，再根据扇形面积的计算
方法求出扇形ADE的面积，由S阴影部分 ＝S菱形ABCD ﹣2S扇形ADE 可得答案．
【解答】解：如图，连接BD交AC于点O，则AC⊥BD，
∵四边形ABCD是菱形，∠BAD＝60°，
∴∠BAC＝∠ACD＝30°，AB＝BC＝CD＝DA＝2，
在Rt△AOB中，AB＝2，∠BAO＝30°，
∴BO＝ AB＝1，AO＝ AB＝ ，
∴AC＝2OA＝2 ，BD＝2BO＝2，
∴S菱形ABCD ＝ AC•BD＝2 ，
∴S阴影部分 ＝S菱形ABCD ﹣2S扇形ADE
＝2 ﹣
＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查扇形面积的计算，菱形的性质，掌握扇形面积的计算方法以及菱形的性
质是正确解答的前提．
第19页（共37页）16．（4分）（2022•重庆）为进一步改善生态环境，村委会决定在甲、乙、丙三座山上种植香樟
和红枫．初步预算，这三座山各需两种树木数量和之比为5：6：7，需香樟数量之比为4：3：
9，并且甲、乙两山需红枫数量之比为2：3．在实际购买时，香樟的价格比预算低20%，红枫
的价格比预算高25%，香樟购买数量减少了6.25%，结果发现所花费用恰好与预算费用相
等，则实际购买香樟的总费用与实际购买红枫的总费用之比为 ．
【分析】分别设出甲乙丙三山的香樟数量、红枫数量及总量，根据甲乙两山红枫数量关系，
得出甲乙丙三山香樟和红枫的数量（只含一个字母），进而根据“所花费用和预算费用相
等”列出等式，从而求得香樟和红枫的单价之间关系，进一步求得结果．
【解答】解：根据题意，如表格所设：
香樟数量 红枫数量 总量
甲 4x 5y﹣4x 5y
乙 3x 6y﹣3x 6y
丙 9x 7y﹣9x 7y
∵甲、乙两山需红枫数量之比为2：3，
∴ ，
∴y＝2x，
故数量可如下表：
香樟数量 红枫数量 总量
甲 4x 6x 10x
乙 3x 9x 12x
丙 9x 5x 14x
所以香樟的总量是16x，红枫的总量是20x，
设香樟的单价为a，红枫的单价为b，
由题意得，
[16x•（1﹣6.25%）]•[a•（1﹣20%）]+20x•[b•（1+25%）]＝16x•a+20x•b，
∴12a+25b＝16a+20b，
∴4a＝5b，
设a＝5k，b＝4k，
第20页（共37页）∴ ＝ ＝ ，
故答案为： ．
【点评】本题考查了用字母表示数，根据相等关系列方程进行化简等知识，解决问题的关
键是设需要的量，列出关系式，进行数据处理．
三、解答题：（本大题2个小题，每小题8分，共16分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上．
17．（8分）（2022•重庆）计算：
（1）（x+2）2+x（x﹣4）；
（2）（ ﹣1）÷ ．
【分析】（1）先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则计算，再合并同类项即可；
（2）先计算括号内分式的减法，再将除法转化为乘法，继而约分即可．
【解答】解：（1）原式＝x2+4x+4+x2﹣4x
＝2x2+4；
（2）原式＝（ ﹣ ）÷
＝ •
＝ ．
【点评】本题主要考查分式的混合运算和整式的混合运算，解题的关键是掌握完全平方公
式和单项式乘多项式法则及分式的混合运算顺序和运算法则．
18．（8分）（2022•重庆）在学习矩形的过程中，小明遇到了一个问题：在矩形ABCD中，E是
AD边上的一点，试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．他的思路是：首
先过点E作BC的垂线，将其转化为证明三角形全等，然后根据全等三角形的面积相等使
问题得到解决．请根据小明的思路完成下面的作图与填空：
证明：用直尺和圆规，过点E作BC的垂线EF，垂足为F（只保留作图痕迹）．
在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
第21页（共37页）∴ ∠ A ＝∠ EFB ， ①
∵AD∥BC，
∴ ∠ AEB ＝∠ FBE ， ②
又 BE ＝ EB ， ③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得 △ EDC ≌△ CFE （ AA S ）， ④
∴S△BCE ＝S△EFB +S△EFC ＝ S矩形ABFE + S矩形EFCD ＝ S矩形ABCD ．
【分析】根据已知条件依次写出相应的解答过程即可．
【解答】解：由题知，在△BAE和△EFB中，
∵EF⊥BC，
∴∠EFB＝90°．
又∠A＝90°，
∴∠A＝∠EFB，①
∵AD∥BC，
∴∠AEB＝∠FBE，②
又 BE＝EB，③
∴△BAE≌△EFB（AAS）．
同理可得△EDC≌△CFE（AAS），④
∴S△BCE ＝S△EFB +S△EFC ＝ S矩形ABFE + S矩形EFCD ＝ S矩形ABCD ，
故答案为：①∠A＝∠EFB，②∠AEB＝∠FBE，③BE＝EB，④△EDC≌△CFE（AAS）．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形的判定和性质是解题的
关键．
四、解答题：（本大题7个小题，每小题10分，共70分）解答时每小题必须给出必要的演算过
程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在对应的位置上．
第22页（共37页）19．（10分）（2022•重庆）公司生产A、B两种型号的扫地机器人，为了解它们的扫地质量，工
作人员从某月生产的A、B型扫地机器人中各随机抽取10台，在完全相同条件下试验，记
录下它们的除尘量的数据（单位：g），并进行整理、描述和分析（除尘量用x表示，共分为
三个等级：合格80≤x＜85，良好85≤x＜95，优秀x≥95），下面给出了部分信息：
10台A型扫地机器人的除尘量：83，84，84，88，89，89，95，95，95，98．
10台B型扫地机器人中“良好”等级包含的所有数据为：85，90，90，90，94
抽取的A、B型扫地机器人除尘量统计表
型号 平均数 中位数 众数 方差 “优秀”等级所占
百分比
A 90 89 a 26.6 40%
B 90 b 90 30 30%
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：a＝ 9 5 ，b＝ 9 0 ，m＝ 2 0 ；
（2）这个月公司可生产B型扫地机器人共3000台，估计该月B型扫地机器人“优秀”等
级的台数；
（3）根据以上数据，你认为该公司生产的哪种型号的扫地机器人扫地质量更好？请说明理
由（写出一条理由即可）．
【分析】（1）根据众数、中位数概念可求出a、b的值，由B型扫地机器人中“良好”等级
占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，可求出m的值；
（2）用3000乘30%即可得答案；
（3）比较A型、B型扫地机器人的除尘量平均数、众数可得答案．
【解答】解：（1）在83，84，84，88，89，89，95，95，95，98中，出现次数最多的是95，
∴众数a＝95，
10台B型扫地机器人中“良好”等级有5台，占50%，“优秀”等级所占百分比为30%，
第23页（共37页）∴“合格”等级占1﹣50%﹣30%＝20%，即m＝20，
把B型扫地机器人的除尘量从小到大排列后，第5个和第6个数都是90，
∴b＝90，
故答案为：95，90，20；
（2）该月B型扫地机器人“优秀”等级的台数3000×30%＝900（台）；
（3）A型号的扫地机器人扫地质量更好，理由是在平均除尘量都是90的情况下，A型号的
扫地机器人除尘量的众数＞B型号的扫地机器人除尘量的众数（理由不唯一）．
【点评】本题考查数据的整理，涉及众数、中位数、平均数、方差等，解题的关键是掌握数据
收集与整理的相关概念．
20．（10分）（2022•重庆）已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y＝ 的图象相
交于点A（1，m），B（n，﹣2）．
（1）求一次函数的表达式，并在图中画出这个一次函数的图象；
（2）根据函数图象，直接写出不等式kx+b＞ 的解集；
（3）若点C是点B关于y轴的对称点，连接AC，BC，求△ABC的面积．
【分析】（1）根据反比例函数解析式求出A点和B点的坐标，然后用待定系数法求出一次
函数的表达式即可；
（2）根据图象直接得出不等式的解集即可；
（3）根据对称求出C点坐标，根据A点、B点和C点坐标确定三角形的底和高，进而求出
三角形的面积即可．
第24页（共37页）【解答】解：（1）∵反比例函数y＝ 的图象过点A（1，m），B（n，﹣2），
∴ ，n＝ ，
解得m＝4，n＝﹣2，
∴A（1，4），B（﹣2，﹣2），
∵一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象过A点和B点，
∴ ，
解得 ，
∴一次函数的表达式为y＝2x+2，
描点作图如下：
（2）由（1）中的图象可得，
不等式kx+b＞ 的解集为：﹣2＜x＜0或x＞1；
（3）由题意作图如下：
第25页（共37页）由图知△ABC中BC边上的高为6，BC＝4，
∴S△ABC ＝ ＝12．
【点评】本题主要考查反比例函数和一次函数交点的问题，熟练掌握反比例函数的图象和
性质，一次函数的图象和性质，三角形面积公式等知识是解题的关键．
21．（10分）（2022•重庆）在全民健身运动中，骑行运动颇受市民青睐，甲、乙两骑行爱好者约
定从A地沿相同路线骑行去距A地30千米的B地，已知甲骑行的速度是乙的1.2倍．
（1）若乙先骑行2千米，甲才开始从A地出发，则甲出发半小时恰好追上乙，求甲骑行的
速度；
（2）若乙先骑行20分钟，甲才开始从A地出发，则甲、乙恰好同时到达B地，求甲骑行的
速度．
【分析】（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，利用路程＝速
度×时间，结合甲追上乙时二者的行驶路程相等，即可得出关于x的一元一次方程，解之即
可求出乙骑行的速度，再将其代入1.2x中即可求出甲骑行的速度；
（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，利用时间＝路程÷速度，
结合乙比甲多用20分钟，即可得出关于y的分式方程，解之经检验后即可求出乙骑行的
速度，再将其代入1.2y中即可求出甲骑行的速度．
【解答】解：（1）设乙骑行的速度为x千米/时，则甲骑行的速度为1.2x千米/时，
依题意得： ×1.2x＝2+ x，
解得：x＝20，
第26页（共37页）∴1.2x＝1.2×20＝24．
答：甲骑行的速度为24千米/时．
（2）设乙骑行的速度为y千米/时，则甲骑行的速度为1.2y千米/时，
依题意得： ﹣ ＝ ，
解得：y＝15，
经检验，y＝15是原方程的解，且符合题意，
∴1.2y＝1.2×15＝18．
答：甲骑行的速度为18千米/时．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等
量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．
22．（10分）（2022•重庆）如图，三角形花园ABC紧邻湖泊，四边形ABDE是沿湖泊修建的人
行步道．经测量，点C在点A的正东方向，AC＝200米．点E在点A的正北方向．点B，D
在点C的正北方向，BD＝100米．点B在点A的北偏东30°，点D在点E的北偏东45°．
（1）求步道DE的长度（精确到个位）；
（2）点D处有直饮水，小红从A出发沿人行步道去取水，可以经过点B到达点D，也可以
经过点E到达点D．请计算说明他走哪一条路较近？
（参考数据： ≈1.414， ≈1.732）
【分析】（1）过D作DF⊥AE于F，由已知可得四边形ACDF是矩形，则DF＝AC＝200米，
根据点D在点E的北偏东45°，即得DE＝ DF＝200 ≈283（米）；
（2）由△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，可得EF＝DF＝200米，而∠ABC＝30°，即
第27页（共37页）得AB＝2AC＝400米，BC＝ ＝200 米，又BD＝100米，即可得经过点B到
达点D路程为AB+BD＝500米，CD＝BC+BD＝（200 +100）米，从而可得经过点E到达
点D路程为AE+DE＝200 ﹣100+200 ≈529米，即可得答案．
【解答】解：（1）过D作DF⊥AE于F，如图：
由已知可得四边形ACDF是矩形，
∴DF＝AC＝200米，
∵点D在点E的北偏东45°，即∠DEF＝45°，
∴△DEF是等腰直角三角形，
∴DE＝ DF＝200 ≈283（米）；
（2）由（1）知△DEF是等腰直角三角形，DE＝283米，
∴EF＝DF＝200米，
∵点B在点A的北偏东30°，即∠EAB＝30°，
∴∠ABC＝30°，
∵AC＝200米，
∴AB＝2AC＝400米，BC＝ ＝200 米，
∵BD＝100米，
∴经过点B到达点D路程为AB+BD＝400+100＝500米，
CD＝BC+BD＝（200 +100）米，
∴AF＝CD＝（200 +100）米，
∴AE＝AF﹣EF＝（200 +100）﹣200＝（200 ﹣100）米，
∴经过点E到达点D路程为AE+DE＝200 ﹣100+200 ≈529米，
∵529＞500，
第28页（共37页）∴经过点B到达点D较近．
【点评】本题考查解直角三角形﹣方向角问题，解题的关键是掌握含30°、45°角的直角三
角形三边的关系．
23．（10分）（2022•重庆）若一个四位数M的个位数字与十位数字的平方和恰好是M去掉个
位与十位数字后得到的两位数，则这个四位数M为“勾股和数”．
例如：M＝2543，∵32+42＝25，∴2543是“勾股和数”；
又如：M＝4325，∵52+22＝29，29≠43，∴4325不是“勾股和数”．
（1）判断2022，5055是否是“勾股和数”，并说明理由；
（2）一个“勾股和数”M的千位数字为a，百位数字为b，十位数字为c，个位数字为d，记
G（M）＝ ，P（M）＝ ．当G（M），P（M）均是整数时，求出所有
满足条件的M．
【分析】（1）由“勾股和数”的定义可直接判断；
（2）由题意可知，10a+b＝c2+d2，且0＜c2+d2＜100，由G（M）为整数，可知c+d＝9，再由P
（M）为整数，可得c22+d2＝81﹣2cd为3的倍数，由此可得出M的值．
【解答】解：（1）∵22+22＝8，8≠20，
∴2022 不是“勾股和数”，
∵52+52＝50，
∴5055 是“勾股和数”；
（2）∵M为“勾股和数”，
∴10a+b＝c2+d2，
∴0＜c2+d2＜100，
∵G（M）为整数， 为整数，
∴c+d＝9，
∴P（M）＝ ＝ 为整数，
∴c2+d2＝81﹣2cd为3的倍数，
∴①c＝0，d＝9或c＝9，d＝0，此时M＝8109或8190；
②c＝3，d＝6或c＝6，d＝3，此时M＝4536或4563．
【点评】本题以新定义为背景考查了因式分解的应用，考查了学生应用知识的能力，解题
第29页（共37页）关键是要理解新定义，表示出“勾股和数”，能根据条件找出合适的“勾股和数”．
24．（10分）（2022•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ x2+bx+c与直线AB交于点
A（0，﹣4），B（4，0）．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是直线AB下方抛物线上的一动点，过点P作x轴的平行线交AB于点C，过点P
作y轴的平行线交x轴于点D，求PC+PD的最大值及此时点P的坐标；
（3）在（2）中PC+PD取得最大值的条件下，将该抛物线沿水平方向向左平移5个单位，点
E为点P的对应点，平移后的抛物线与y轴交于点F，M为平移后的抛物线的对称轴上一
点．在平移后的抛物线上确定一点N，使得以点E，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，
写出所有符合条件的点N的坐标，并写出求解点N的坐标的其中一种情况的过程．
Ⅷ
【分析】（1）用待定系数法可得抛物线的函数表达式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入可得直线AB解析式为y＝x
﹣4，设P（m， m2﹣m﹣4），则PD＝﹣ m2+m+4，可得C（ m2﹣m， m2﹣m﹣4），PC＝
﹣ m2+2m，则PC+PD＝﹣ m2+2m﹣ m2+m+4＝﹣m2+3m﹣4＝﹣（m﹣ ）2+ ，利用
二次函数性质可得PC+PD的最大值为 ，此时点P的坐标是（ ，﹣ ）；
（3）将抛物线y＝ x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝ x2+4x+ ，对称轴是直线x
第30页（共37页）＝﹣4，即可得F（0， ），E（﹣ ，﹣ ），设M（﹣4，n），N（r， r2+4r+ ），分三种情况：
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，可得N（ ， ）；②当FM、EN为对角
线时，FM、EN的中点重合，可得N（﹣ ， ）；③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中
点重合，可得N（﹣ ， ）．
【解答】解：（1）把A（0，﹣4），B（4，0）代入y＝ x2+bx+c得：
，
解得 ，
∴抛物线的函数表达式为y＝ x2﹣x﹣4；
（2）设直线AB解析式为y＝kx+t，把A（0，﹣4），B（4，0）代入得：
，
解得 ，
∴直线AB解析式为y＝x﹣4，
设P（m， m2﹣m﹣4），则PD＝﹣ m2+m+4，
在y＝x﹣4中，令y＝ m2﹣m﹣4得x＝ m2﹣m，
∴C（ m2﹣m， m2﹣m﹣4），
∴PC＝m﹣（ m2﹣m）＝﹣ m2+2m，
∴PC+PD＝﹣ m2+2m﹣ m2+m+4＝﹣m2+3m﹣4＝﹣（m﹣ ）2+ ，
∵﹣1＜0，
第31页（共37页）∴当m＝ 时，PC+PD取最大值 ，
此时 m2﹣m﹣4＝ ×（ ）2﹣ ﹣4＝﹣ ，
∴P（ ，﹣ ）；
答：PC+PD的最大值为 ，此时点P的坐标是（ ，﹣ ）；
（3）∵将抛物线y＝ x2﹣x﹣4向左平移5个单位得抛物线y＝ （x+5）2﹣（x+5）﹣4＝
x2+4x+ ，
∴新抛物线对称轴是直线x＝﹣ ＝﹣4，
在y＝ x2+4x+ 中，令x＝0得y＝ ，
∴F（0， ），
将P（ ，﹣ ）向左平移5个单位得E（﹣ ，﹣ ），
设M（﹣4，n），N（r， r2+4r+ ），
①当EF、MN为对角线时，EF、MN的中点重合，
∴ ，
解得r＝ ，
∴ r2+4r+ ＝ ×（ ）2+4× + ＝ ，
∴N（ ， ）；
②当FM、EN为对角线时，FM、EN的中点重合，
第32页（共37页）∴ ，
解得r＝﹣ ，
∴ r2+4r+ ＝ ×（﹣ ）2+4×（﹣ ）+ ＝ ，
∴N（﹣ ， ）；
③当FN、EM为对角线时，FN、EM的中点重合，
∴ ，
解得r＝﹣ ，
∴ r2+4r+ ＝ ×（﹣ ）2+4×（﹣ ）+ ＝ ，
∴N（﹣ ， ）；
综上所述，N的坐标为：（ ， ）或（﹣ ， ）或（﹣ ， ）．
【点评】本题考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法，二次函数、一次函数图象上点坐
标的特征，平行四边形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点
的坐标及相关线段的长度．
25．（10分）（2022•重庆）如图，在锐角△ABC中，∠A＝60°，点D，E分别是边AB，AC上一动
点，连接BE交直线CD于点F．
（1）如图1，若AB＞AC，且BD＝CE，∠BCD＝∠CBE，求∠CFE的度数；
（2）如图2，若AB＝AC，且BD＝AE，在平面内将线段AC绕点C顺时针方向旋转60°得到
线段CM，连接MF，点N是MF的中点，连接CN．在点D，E运动过程中，猜想线段BF，
CF，CN之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）若AB＝AC，且BD＝AE，将△ABC沿直线AB翻折至△ABC所在平面内得到△ABP，
点H是AP的中点，点K是线段PF上一点，将△PHK沿直线HK翻折至△PHK所在平面
第33页（共37页）内得到△QHK，连接PQ．在点D，E运动过程中，当线段PF取得最小值，且QK⊥PF时，
请直接写出 的值．
【分析】（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，证明△BCE≌△CBK
（SAS），推出BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，再证明∠ADF+∠AEF＝180°，可得结论；
（2）结论：BF+CF＝2CN．首先证明∠BFC＝120°．如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝
CN，连接FQ，证明△CNM≌△QNF（SAS），推出FQ＝CM＝BC，延长CF到P，使得PF＝
BF，则△PBF是等边三角形，再证明△PFQ≌△PBC（SAS），推出PQ＝PC，∠CPB＝
∠QPF＝60°，推出△PCQ是等边三角形，可得结论；
（3）由（2）可知∠BFC＝120°，推出点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），推出P，
F，O三点共线时，PF的值最小，此时tan∠APK＝ ＝ ，如图3﹣2中，过点H作
HL⊥PK于点L，设HL＝LK＝2，PL＝ ，PH＝ ，KH＝2 ，由等积法求出PQ，可得
结论．
【解答】解：（1）如图1中，在射线CD上取一点K，使得CK＝BE，
在△BCE和△CBK中，
，
第34页（共37页）∴△BCE≌△CBK（SAS），
∴BK＝CE，∠BEC＝∠BKD，
∵CE＝BD，
∴BD＝BK，
∴∠BKD＝∠BDK＝∠ADC＝∠CEB，
∵∠BEC+∠AEF＝180°，
∴∠ADF+∠AEF＝180°，
∴∠A+∠EFD＝180°，
∵∠A＝60°，
∴∠EFD＝120°，
∴∠CFE＝180°﹣120°＝60°；
（2）结论：BF+CF＝2CN．
理由：如图2中，∵AB＝AC，∠A＝60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB＝CB，∠A＝∠CBD＝60°，
∵AE＝BD，
∴△ABE≌△BCD（SAS），
∴∠BCF＝∠ABE，
∴∠FBC+∠BCF＝60°，
∴∠BFC＝120°，
如图2﹣1中，延长CN到Q，使得NQ＝CN，连接FQ，
∵NM＝NF，∠CNM＝∠FNQ，CN＝NQ，
∴△CNM≌△QNF（SAS），
∴FQ＝CM＝BC，
第35页（共37页）延长CF到P，使得PF＝BF，则△PBF是等边三角形，
∴∠PBC+∠PCB＝∠PCB+∠FCM＝120°，
∴∠PFQ＝∠FCM＝∠PBC，
∵PB＝PF，
∴△PFQ≌△PBC（SAS），
∴PQ＝PC，∠CPB＝∠QPF＝60°，
∴△PCQ是等边三角形，
∴BF+CF＝PC＝QC＝2CN．
（3）由（2）可知∠BFC＝120°，
∴点F的运动轨迹为红色圆弧（如图3﹣1中），
∴P，F，O三点共线时，PF的值最小，
此时tan∠APK＝ ＝ ，
∴∠HPK＞45°，
∵QK⊥PF，
∴∠PKH＝∠QKH＝45°，
如图3﹣2中，过点H作HL⊥PK于点L，设PQ交KH题意点J，设HL＝LK＝2，PL＝ ，
PH＝ ，KH＝2 ，
∵S△PHK ＝ •PK•HL＝ •KH•PJ，
∴PQ＝2PJ＝2× ＝2 +
∴ ＝ ＝ ．
【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定
第36页（共37页）和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用面
积法解决问题，属于中考压轴题．
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